第一部分 假期必刷19 导数的应用(二)-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业必刷题

三0022 假期必刷19导数 〈《思维整合室 知识梳理 1.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实 际问题的数学模型，写出实际问题中变量 之间的函数关系式y=f(x). (2)求函数的导数f(x),解方程f(x)=0. (3)比较函数在区间端点和f(x)=0的点的 函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值 (4)回归实际问题作答. 2.不等式问题 (1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为 函数的极值或最值问题. (2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参 数分离出来，将参数范围问题转化为研究 新函数的值域问题， 要点记忆 1.实际问题中的最值. (1)注意函数定义域的确定. (2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一 个极值点，那么只要根据实际意义判定是 最大值还是最小值即可，不必再与端点的 函数值进行比较， 2.判断方程根的个数时，可以利用数形结合思 想及函数的单调性. 《技能提升台 技能提升 1.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极 大值和极小值，则实数a的取值范围是() A.(-1,2) B.(-∞，-3)U(6,+∞) C.(-3,6) D.(-∞，-1)U(2,+∞) ·4 为应用（二） 2.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与 年产量x(单位：万件)的函数关系式为y= 一日2十81：一286，则该生产厂家获取的龄 大年利润为 ( A.300万元 B.252万元 C.200万元 D.128万元 3.已知函数f(x)=x2十mx十lnx是单调递 增函数，则m的取值范围是 ( ) A.m>-2√2 B.m≥-2√2 C.m<2√2 D.m≤2√2 4.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm,要 使其体积最大，则其高为 A.208 B.100 cm C.20 cm n号m 5.已知f(x)为R上的奇函数，f'(x)为f(x) 的导函数，若f(x)=f(2一x)+4x一4，则 f(2025)= A.1 B.-2025 C.2 D.2025 6.已知函数f(x)=(x+m)e一n(lnx+x)的 图象在点(1，f(1)处的切线方程为y=(2e -2)x+1-e,若不等式f(x)≥a恒成立， 则a的最大值为 A.1 B.-1 C.2 D.e 7.（多选)下列命题正确的是 () A.函数在某区间上或定义域内的极大值是 唯一的 B.函数的极大值不一定比极小值小 C.对可导函数f(x),f'(x)=0是x。点为 极值点的充要条件 D.函数的最大值不一定是极大值，函数的 最小值也不一定是极小值 卜空快乐假期 8.(多选)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有 极值，则导函数(x)的图象可能是() 9.在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其下 底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积 最大时，梯形的上底长为 10.已知f(x)=x3-ax在[1，十∞)上是增函 数，则a的最大值是 11.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投 入运营，据市场分析，每辆客车营运的总利 润y(万元)与营运年数x(x∈N)满足y= 一x2+12x一25，则每辆客车营运 年，可使其营运年平均利润最大，最大利润 为 万元， 12.设函数f(x)=a2x2+ax-3lnx+1,其中 a>0. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若y=f(x)的图象与x轴没有公共点， 求a的取值范围. ·50 000-= 13.已知函数f(x)=alnx(a>0),e为自然对 数的底数. (1)过点A(2,f(2))的切线斜率为2，求实 数a的值； (2)当x>0时，求证：f(x)≥a(1-) (3)在区间(1，e)上e一ex<0恒成立，求 实数a的取值范围. 三0022 高二数学孕) 知1，x=2是函数x)= 2.(2025·上海卷，19)已知f(x)=x2-(m+ 2)x+mlnx,m∈R. ax2+bx+1的两个极值点. (1)若f(1)=0,求不等式f(x)≤x2一1的 (1)求f(x)的解析式； 解集； (2)记g(x)=f(x)-m,x∈[-2,4]，若函 数g(x)有三个零点，求实数m的取值 范围 高考冲浪 (2)若函数y=f(x)满足在(0，十∞)上存在 1.(2024·新课标Ⅱ卷，16)已知函数f(x)= 极大值，求m的取值范围； e-ax-a'. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1) 处的切线方程； (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围 ·51·三022 增区间为(-∞，-2)，(-2，十o∞).令g(x)=(x-2)e a(x+2)=0,得Q一干号e.将函鼓g(x)=(x-2)e -a(x十2)的零点问题，转化为直线y=a与函数f(x) -影因象的交点的横生标问通，作出直线y一口与 函数f(x)的大致图象，如图所示.当x<一2时，f(x)> 0周为-1》=e1=-总<0,2) e =0,所以当ac【名0]时成线y=a与向袋了) 号文点的横全标范周是[-1,2].故西数g)的农 点的取值范围是[-1,2]. 答案：(-∞，-2)，(-2，十0∞)[-1,2] 12.解：因f(x）=1二2+k1nx, f(x)=二x-（1-2+=x-1 （若≤0，则在[日e上旋有f)<0, 所以)在[日小上单调递减。 所以f(x)m=f(e)=1e+k1ne= e +6-1. f)x=f(日）=e-k-l (②)若>0，由得>e, 则x一 1<0,所以 所以)在[日小上单调远成 所以fx)m=f(e)=e+k1ne=上+k-1, e e f)ns=f(日）=e-k-1 签上所遂，当K时，fm=+-1 f(r)max=e-k-1. 13.解：(1)f(x)=3a.x2+2bx-3, 依题意，f'1)=f(-1)=0,即3a+26-3=0, (3a-2b-3=0, 解得所以f代x)=x2-3x, 1b=0. f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1). 令f(x)=0,得x=-1或1. 若x∈(-∞，-1)U(1,十o∞)，则f'(x)>0, 故f(x)在(-∞，-1)和(1，十∞)上是增函数； 若x∈(-1,1)，则f(x)<0, 故f(x)在(-1,1)上是减函数. 所以，f(一1)=2是极大值；f(1)=一2是极小值. (2)曲线方程为y=x3-3.x,点A(0,16)不在曲线上. 设切点为M(x0yo),则点M的坐标满足yo=x8-3x 因f'(x0)=3(x8-1), 故切线的方程为y-y0=3(x8-1)(x-x0). 注意到点A(0,16)在切线上，有 高二数 16-(x8-3.x0)=3(x8-1)(0-xo) 化简得x=一8，解得x0=一2. 所以，切点为M(-2,一2)，切线方程为9x一y十16=0. 14.解：(1)若a=1,则f(.x)=x2+x-lnx,x>0. ∴f(x)=2x+1-1=22+x-1=2x-1D(x+1 ∴f(x)在(0，)上单调递减，在（合，+∞）上单调递 增fm=f(合）是-n合-是+1n2 (2)由已如得f(x)=2x+a-≤0在[1,2]上恒成立， 1-2x在[1,2]上恒成立.令g(x)=1-2x,x∈ a≤ [1,2],则g(x)=- -2<0,∴g(x)在[1,2]单调递 减，∴.g(x)min=g(2)= 7 2a≤ ，即实数a的取 7 雀范周为(0，一] 高考冲浪 1.ACD[首先有f(x)=(x-1)2(x-4), 则f(x)=3(x-1)(x-3), 对于A有，x=3左右的两侧符号变化为由负到正，故其 为极小值点，故A正确： 对于B有，当0<x<1时，函数单调递增且x2<x, 故f(x2)<f(x),故B错误： 对于C有，当1<x<2时，得1<2x-1<3且f(1)=0, f(3)=-4,故-4<f(2x-1)<0,故C正确： 对于D有，当-1<x<0时，f(x)单调递增，f(2-x)> f(x)成立，故D正确.] 2.AD[求导得f(x)=6.x(x-a),于是A正确，当a>1 时，极大值f(0)=1>0,极小值f(a)=1一a3<0,所以必 有三个零点；B错，a<0时x=0应为极小值点：C错，任 何三次函数不存在对称轴；D正确，当a=2时f(x)= 2(x-1)3-6(x-1)-3,关于(1，-3)中心对称.] 假期必刷19导数的应用（二） 技能提升台技能提升 1.B2.C3.B4.A 5.C[f(x)=f(2-x)+4x-4,求导得f(x)=-f(2-x)+ 4,即f(x)+f'(2-x)=4①.因为f(x)为R上的奇函 数，则f(一x)=一f(x),求导得f(x)=f(一x),所以 f(x)是R上的偶函数，所以f(2一x)=f(x一2)，结合 ①式可得，f(x)十f(x-2)=4,所以f(x-2)十f(x-4)= 4,两式相减得f(x)=f(.x一4)，所以'(x)是周期为4 的周期函数，所以f(2025)=f(1).由①式，令x=1,得 f'(1)=2,所以f'(2025)=f(1)=2.] 6.A[fa)=+m+1De-n(侵+1小>0.因为画 数f(.x)=(x+m)e-n(lnx十x)的图象在点(1，f(1)) 处的切线方程为y=(2e-2)x十1一e,所以 f1)=(m十2)e-2m=2e-2·解得m=0所以fx 1f(1)=(m+1)e-n=e-1, n=1, =xe-lnx-x,则f(x)=(x+1D)e2-1-1=(x十1) 火燮快乐限明 (e-）令g)=e-2（>0,则g(x)=e+ >0(x>0),所以函数g(.x)在(0，十o∞)上单调递增.又 (合)）=E-2<0,g(1)=e-1>0,则存在∈ (合1）小使得g()=0,即存在∈（合小使得 f()=0,则e=,故0=1n之=-nt0.当0<< x0时，f(x)<0,当x>xo时，f(x)>0,所以函数f(x) 在(0，x0)上单调递减，在(x0,十∞)上单调递增，所以 f(x)min=f(xo)=xoe。-lnx0-x0=l.又因为不等式 f(x)≥a恒成立，所以a≤1，所以a的最大值为1.] 7.BD 8.ABC 9.解析：设上底的一半为x,高为h,则h=√r2一x2梯形面积 S=(+x)P-严则S=-2x2-rz+r ,令S'=0得 √r2-x2 x=分.当x∈（0,2)时，S'>0,S单调递增，当x∈ (乞r）时S<0,S单调递减.S在x=乞时取得最大 值所以梯形面积最大时，梯形的上底长为 答案r 10.解析：f(x)=3.x2-a≥0在[1，十o)上恒成立， 即a≤3.x2在[1，十oo)上恒成立，所以a≤3. 答案：3 11.解析：，总利润y(万元)与营运年数x之间的关系式为 y=-x2+12x-25, ∴平均利润之=-1一5+12=一（+）十12， (2-1+空◆-1+罗-0，得=5 .运营5年的年平均利润最大，最大利润为2万元 答案：52 12.解：(1)因为f(x)=ax2+ax-3lnx十1，所以定义域为 (0,十0)， 所以f(x）=2a2x+a- 3=2a2x2+ax-3 =(2ax+3)(a.x-1) 因为a>0,x>0,所以2ar+3>0, x f()20a-120-af-1 f(x)单调递增. ()<0-101 因为>0，所以0<≤，f(x)单调递减。 蝶上)在(0，)上单调道减，在（日，十∞）单调逅增。 (2)由1)得知)有最小值（日）： f(日）=1+1-3n2+1=3+3na… 若f(x)的图象与x轴没有公共点，而3十3lna>0, In a>-1,a>I e a的取位范图是（日+∞）月 ·8 900-= 13.(1)解：f(x)=是，f(2)=受=2，解得a=4. (2)证明：令g)=a(nx-1+) g)=a(侵3)◆gu>0 即a(日)>0，解得>1， 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增。 所以g)最小值为g)=0,所以fx)≥a(-） (3)解：由题意可知e÷<ex,化简得一1<lnx,a> .令)=n,则()= n.x-(x-1).1 (In x)2 1nx-1+1 所以h'(x)= (In z)2 由(2)知，在x∈(1，e)上，lnx-1+>0, 所以h'(x)>0,即函数h(x)在(1，e)上单调递增， 所以h(x)<h(e)=e-l.所以a≥e-1. 所以a的取值范围是[e一l,十o∞). 4.解：)因为f(x)=5+a2+bx+1,所以f(x)月 一x2+2ax十b,根据极值点定义，方程f(x)=0的两个 根即为x1=-1,x2=2. 因为f(x)=-x2+2a.x十b,代入x1=-1,x2=2,可 得{1-2a+6=0, -4+4a+b=0, 1 解得-云'经验证符合题意，所以f(x)=一子2十 (b=2. 22+2x+1. (2)根据题意得g(x)=一 + 3 zx2+2x+1-mx∈[-2,41. 1 2 因为g(x)有三个零点，所以方 -3-20123456x -1 程m=+2+2x十门 在区间[一2,4幻内有三个实数根， -5 即函黛f)=了+宁2+2十1的园象与直线y m在区间[一2,4]内有三个交点. f(x)=-x2+x十2，则令f'(x)>0,解得-1<x<2;令 f(x)<0,解得x>2或x<-1,所以函数f(x)在(-2， 一1)，(2,4)上单调递减，在（一1,2）上单调递增. 又周为(-1D=-日，f(2)=9.(-2)=号f4) 号所以高数f()在[一24】内的大致因象加因 所示 三022 若使函教f)=一子+72十2x十1的图象与直线 y=m在区间[-2,4]内有三个交点，则需使-6<m≤ 景脚m(日] 高考冲浪 1.解：(1)a=1,f(x)=ex一x一1，切，点(1，e-2),f(x)=ex -1,k=f'(1)=e-1 所以要求的切线方程为y-(e一2)=(e-1)(x-1),即y =(e-1)x-1. (2)f'(x)=e-a,当a≤0时，f(x)>0,f(x)在R上单 调递增，此时无极值 .a>0,令f(x)=0,x=lna f(x)在(-∞，lna)上单调递减，(lna,十o)上单调递增， f(x)极小值=f(lna)=a-alna-a3<0, .1-lna-a2<0 g(a)--a-Ina+1.8(a)--2a-1<0 g(a)在(0，十o∞)单调递减，而g(1)=0, .g(a)<0台a>1 ∴a的取值范围(1，十o∞). 2.解：(1)由题意，f(1)=1-m-2=0→m=-1→f(x)=x2 -x-lnx,故x2-x-lnx≤x2-1→x+lnx-1≥0.设g (x)=x十lnx-l,x>0,由y=x与y=lnx均为增函数， 故g(x)为增函数. 由g(1)=0得g(x)≥0曰x≥1，故解集为[1，十∞) (2)由题意，f(x)=2x-(m十2)十”= 2x2-(m+2)x+m_（x-1)(2.x-m) 故分类讨论，由当m≤0时， f(x)=-D2x-m≥0>x≥1. 故f(x)在(0,1)单调递减，在[1，十∞)单调递增，故f(x) 无极大值不成立： 当m>0时，分类讨论， ①当m=2时f(x)=21D≥0恒成立，f)在(0. 十∞)单调递增，故f'(x)无极大值不成立 ②当0<m<2时， f=12m2≥0>x≥1或0<≤受， fx)在(0，受]和[1，+∞)单调递增，在（受，1单洞递 减，故fx)在=受处取得板大值； ③当m>2时f)==124m>0→x≥受或0 <x≤1， f)在(0,1]和[受，+∞)单调递增，在(，受)单调递 减，故f(x)在x=1处取得极大值； 综上：m∈(0,2)U(2,+o∞). 8 二教类) 假期过关验收卷 1.C[由S+1=Sn十a十4得au+1=S,w+1-Sn=an十4， 数列{an}是以2为首项，4为公差的等差数列，S20= 20×2+20X19×4=800.] 2 2.C[因为点P(a,b)在圆C:x2+y2=1内，所以a2+<1, 设圆心C(0,0)到直线ax十by=1的距离为d,则d= 1一>1，圆C:x2+y2=1的半径r=1,因为d>r,所 √a2+b2 以直线ax十by=1与圆C的位置关系为相离.] 3.D[f(x)=2f')+1,当x=1时，f(1)=2f1)+ ,解得)=-，故f)=-2+名所以e) =20e+8=-名+1. e 4D[狼随志，抛物线E的预点坐标为(@，号)小则超物线 的预点到焦点F的距高为号-吕十受p>0,解泽=4， 于是得抛物线E的方程为x2=一8y十4，令y=0,得x= 士2，即抛物线E与x轴的交点为M(2,0),N(一2,0)，因 此，MF√2+（侵）=号，所以矿石落点的运处到 点F的距离为号] 5.B[a1·a5+2a3·a5+a2·ag=25,.a3+2a3·a5+ a3=25,即(a3十a5)2=25. 又因为an>0,∴.a3十a5=5.q∈(0,1)，.a3>a5.又a3 ·a=4,则ag=4,ag=1,∴g=分则e1=16,∴a =25-, b,=5-n,数列{b,}的前n项和Sn=9,心，则S 2 92,则当0<8时>0当7=9时，多=0当w>9 时，0十受+…叶会及大时的位为8或 2 6.C[设g(x)=e·f(x)-e(x∈R),则g'(x)=er· f(.x)+ex·f(x)-e2=ex[f(x)+f'(x)-1].f'(x) >1-f(x),.f(x)+f(x)-1>0,.g'(x)>0,.y= g(x)在定义域上单调递增，，e·f(x)>e十5，∴.g(x) >5.又.g(0)=e·f(0)-e°=6-1=5，.g(x)> g(0),x>0,∴.不等式的解集为(0，十o∞).] 7.A[连接PF2,OE,如图所示. E为圆x2+y2=a2上的点， :0E=a.:0=2(o+ 0 OF1),E是PF1的中点，又 O是F1F2的中点，PF2= 2|OE|=2a,且PF2∥OE,又|PF1|-|PF2|=2a, .|PF1=4a,:PF1是圆的切线，∴.OE⊥PF1,