第一部分 假期必刷18 导数的应用(一)-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业必刷题

曼快乐假期 假期必刷18 导数的 〈《思维整合室 知识梳理 1.函数的单调性 在某个区间(a,b)内，如果f(x) 0,那 么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果 f(a) 0,那么函数y=f(x)在这个 区间内单调递减。 2.函数的极值 (1)判断f(xo)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点xo处连续时， ①如果在xo附近的左侧 ,右侧 ,那么f(xo)是极大值； ②如果在x。附近的左侧 ,右侧 ,那么f(xo)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤. ①求f(x); ②求方程 的根； ③检查f(x)在方程 的根的左右两 侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在 这个根处取得 ;如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得 3.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a, b们上必有最大值与最小值 (2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增，则 为函数的最小值， 为函数的 最大值；若函数f(x)在[a,b]上单调递减， 则 为函数的最大值， 为 函数的最小值， (3)设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可 导，求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值 的步骤如下： 温故而知新，可以为师矣。 应用（一） 完成日期： 月 日 ①求f(x)在(a,b)内的 ②将f(x)的各极值与 进行比较， 其中最大的一个是最大值，最小的一个是 最小值. 自测自查 1.> <2.(1)①f'(x)>0f'(x)<0 ②f(x)<0f'(x)>0(2)②f'(x)=0 ③f(x)=0 极大值极小值3.(2)f(a) f(b)f(a)f(b)(3)①极值②f(a),f(b) 要点记忆 1.可导函数的极值表示函数在一点附近的情况， 是在局部对函数值进行的比较；函数的最值表 示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个 区间上的函数值进行的比较， 2.f(x)>0在(a,b)上成立是f(x)在(a,b)上 单调递增的充分不必要条件： 3.对于可导函数f(x),f'(x)=0是函数 f(x)在x=x,处有极值的必要不充分 条件 《《技能提升台 技能提升 1.函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图 所示，则函数y=f(x)的图象可能是() 下 46 三0022 2.当x=1时，函数f(x)=adnx十b取得最大 值一2，则f(2)= A.-1 c号 D.1 3.函数f(x)=xnx的单调递减区间是() A.(-∞，0) B.(,+) C.(-o,) D.(0, 4.函数f(x)=x3一3x在闭区间[-2,2]上的 最大值和最小值分别是 () A.1,-1 B.2,-2 C.4,-14 D.4,-4 5.已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x= 一1处有极值0，则f(1)= () A.6 B.12 C.24 D.12或24 6.若不等式Inr≤兰十b≤e(a,bCR)对任意 的x∈[1,2]恒威立，则a的最小值为 A.-3e B.e cn号 D.3e-3In 2 7.(多选)若函数f(x)=alnx++二(a≠0) 既有极大值也有极小值，则 ( A.bc>0 B.ab0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 8.(多选)给出下面四个命题，其中正确的是 ) A.函数y=x2-5.x+4(x∈[-1,3])的最 大值为10，最小值为一号 B.函数y=2x2-4x+1(x∈(2,4)的最大 值为17，最小值为1 高二数类岛) C.函数y=x3-12x(x∈[-3,3])的最大值 为16，最小值为一16 D.函数y=x3-12x(-2<x<2)无最大值， 也无最小值 9.设a∈（0,1)，若函数f(x)=a+（1+a) 在(0，十∞)上单调递增，则a的取值范围是 10.函数f(x)=x3+x2一5x+2的图象与直 线y=k恰有三个不同的交点，则实数k的 取值范围是 11.函数f(x)=x一2 x十2 ·e的单调递增区间为 若a∈[-吕0小则函数g) (x-一2)e一a(x十2)的零点的取值范围是 12.已知函数fr)=二2+nx,k<,求函 数f(x)在[e]上的最大值和最小值 火空快乐假期 13.已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=士1 处取得极值. (1)f(1)和f(一1)是函数f(x)的极大值 还是极小值？ (2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线， 求此切线方程. 900= 14.已知函数f(x)=x2十ax-lnx. (1)若a=1,求函数y=f(x)的最小值； (2)若函数y=f(x)在[1,2]上单调递减， 求实数a的取值范围. 高考冲浪 1.(多选)(2024·新课标I卷，10)设函数 f(x)=(x-1)2(x-4),则 A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时，f(x)<f(x2) C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) 2.(多选)(2024·新课标Ⅱ卷，11)设函数 f(x)=2x3-3a.x2+1,则 A.当a>1时，f(x)有三个零点 B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b,使得x=b为曲线f(x)的对 称轴 D.存在a,使得点(1，f(1)为曲线y=f(x) 的对称中心 48·三0022 假期必刷17导数的有关概念及其 计算 技能提升台技能提升 1.B2.B3.D4.C 5.C[由题意知f)=分r2+lnx,所以f(x)=ax十 b ∫)=号+n1=1, a=2, 解得 /aa+=- b=-5,则= 2 ()-翠 6B[国为f()=年+f1)2,所以f()= （r+1)=e+2f10x=1)2+2f(1Dx,故f(1D (x+1)2 =1D+2f),解程f1)=-是.] e 7.AB 8.ACD 9.解析：“y=是切线斜率=)1=1=2。 .切线的方程为y-0=2(x-1),即2x-y-2=0. 答案：2.x-y-2=0 10.解析：设点A(0%),则%=n0.又y=1, 当=n时y A在曲线y=lnx上的切线为y0（0 即y-lnx0=工-1， T0 代入点(-e,-1),得-1-ln0=e-1, 即zoln zo=e, 考查函数H(x)=xlnx,当x∈(0，l)时，H(x)<0, 当x∈(1，十o∞)时，H(x)>0, 且H'(x)=lnx+1,当x>1时，H(x)>0,H(.x)单调 递增， 注意到H(e)=e,故xln0=e存在唯一的实数根xo= e,此时yo=1, 故，点A的坐标为A(e,1). 答案：(e,1) 11.解析：依题意得，y1x=0=-5e5r|x=0=-5, 因此所求的切线方程是y一3=一5.x, 即5.x+y-3=0. 答案：-55.x十y-3=0 12.解：(1)y=6.x3+2.x2-3.x-1, y=18.x2+4x-3. (2)y=-sin 2cos 2--sin i.y=1-7conr. (3)y=1 +1 2 1-1+小= 2 (1-x)2 13.解：(1)y=znx(x>0)y=1lnx+x·1=lnx x +1,∴.y'=lnx+1(x>0). (2)由(1)得k=y|x=1=ln1+1=1. .7 富二数学) 当x=1时，y=0,切点为(1,0)，.切线方程为y-0= 1×(x-1),即y=x-1. 14.解：(1)方程7x一4y一12=0可化为y= 4x-3. 当=2时y=子又f)=a+ x21 于是 2a-z= 解得a=l故fx)=x-3 b7 b=3, x 441 (2)授P0)为曲线上任一点，由fx)=1+是 可得曲线在点P(x0,y%)处的切线方程为 -()(+是)水- 令x=0,得y=一 ,从而得切线与直线x=0的交点坐 令y=x,得x=2.x0,从而得切线与直线y=x的交点坐 标为(2.x02x0), 所以曲线在点P(x0y0)处的切线与直线x=0,y=x所 国成的三角号面农为宁引岛引2-6 故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6. 高考冲浪 1.A[f(x) =(e+2cosx)1+x2)-（e+2sinx)·2L,所以f(0) (1+x2)2 =3,所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y一1 =3(x-0),即3x-y十1=0，切线与两坐标轴的交点分 别为0,1D·(了，0），所以切线与两坐标轴所国成的三 角形的面积为日×1X3-日] 2.解析：由题知y=(e十x)/=e+1,当x=0时，切线斜率 k=2, 则切线方程为y=2x+1,y'=[n(x十1)十a]Y= 2,得x=-y=2×(-)）+1=0,y=lhx+1D+a 1 的切点(0) 1 即0=ln(-2+1)+a,故a=h2 答案：ln2 假期必刷18 导数的应用（一） 技能提升台技能提升 1.D 2.BF-,由巴知得62， 1f'(1)=a-b=0, 以f@=号+是=子长选服 3.D 飞变快乐慨期 4.B[f(x)=3.x2-3,由f(x)=0,得x=士1. 又因为f(-2)=-2,f(-1)=2, f(1)=-2,f(2)=2. 故fmax(x)=2,fmin（x)=-2.] 5.C[由f(x)=x3+3ax2+b.x+a2,得f(x)=3.x2+6a.x 十b.因为f(x)在x=一1处有极值0，所以 一1)=0，即{1十+=0解得{g}或 {f(-1)=0,13-6+b=0, b=3 88s8g,f=8+r+8=→ 0,则f(x)在R上单调递增，函数无极值，舍去. 当名时，f()=3x2+2x+9,令x)=0,得x 一1或x=一3，经检验x=一1和x=一3都为函数的极 值点，综上，8，所以了)=3+12+9=24 A[因为nr≤兰+be,号]所以ahr< 十a≤xe,所以问题可转化为求直线y=bx十a的纵截距 a的最小值.先考虑不等式右半边，设f(x)=xe,则 f)ex+1>0,所以在x[,号]上单两递 增，所以f)在x∈[，号]上的图象上回”，所以直线 y=bx十a与f(x)的图象相切时，切点横坐标越大，纵截 距悠小，令切点横坐标为号，则切点为（停昌）初线 斜率为受e主，切线方程为y=e(受1一)下面考虑不 等式左半边.对于y=(受4星)当y=0时= 9 <1,即这条切线与g(x)=xlnx的图象无交点.g'(x)= 1nx十1，g（x)的国象在t(受g(侵)）处的切线斜率为 n号+1，在1，g1)处的切线斜率为1，均小于直线y e(受x是)的鲜率，所以可令直线y=x十a在 (停，含6+a)类与f()的图象相文，在1,6+a)处与 g(x)的图象相交，此时a取最小值，此时直线方程为y= -0 (x-1)+0=3e(x-1),截距为-3e.] 7.BCD[由题可知f(x)的定义域为(0，十o∞)，f(x)=a b_2c=a2-b一2c,由画数f(x)既有极大值也有 -r2x3 极小值，知f'(x)在(0，十∞)上有两个不等实根，令h(x) =ax2-bx-2c,则h(x)在(0，+o∞)上有两个不等实根， b2+8ac>0, A>0, b0· 所以{x1+x2>0,即 x1x2>0, -2c>0. a b2+8ac>0, 所以{ab>0, 所以b与a同号，c与a异号，故bc<0,所 (ac<0, 以A错误，B,C,D正确.故选BCD.] .8 90M-= 8.ACD[由二次函数的图象和性质可知A正确，B错误， 因为函数y=2x2一4x+1在(2,4)上单调递增，并且x≠ 2,x≠4，所以无最大值、无最小值；对于C,(x)=3x2 12=3(x十2)·(x-2),令f(x)=0得x=2或x=-2, 所以x=2和x=一2是函数f(x)在[一3,3]上的两个极 值，点，且f(2)=-16,f(-2)=16,又f(x)在区间端点的 函数值为f(3)=一9，f(一3)=9，比较以上函数值，可得 f(x)max=16,f(x)mim=-16,所以C正确.对于D,由C 知，y=x3-12x在（一2,2）上单调递减，故在（一2,2）上无 最大值也无最小值，正确.] 9.解析：由函数的解析式可得f(x)=alna+(1+a)r ln(1十a)≥0在区间(0，十oo)上恒成立， 则1+arn1+a≥-alna,即('片）广≥ no在区同0，十o)上返成立， In a 故()01≥ma而a+1(1,2), 故ln(1+a)>0, 故nat≥-lna'即a(a+1)≥1， 10<a<1, 10<a<1, 故51≤4<1， 结合题意可得实数a的取值范国是[2，月 答案[》 10.解析：f(x)=x3+x2-5x十2，f(x)=3.x2+2x-5, 由f(x)=0,得x=一 或=1 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： 5 (1,十0) 3 3 f(x) 0 0 + f(x) 229 27 根据上表与右图知，当x= y229 /27 函数取得极大值且极大值为 V= f(智)罗当=1时画软取 得极小值且极小值为f1)=一1， 根据题意结合图形可知k的取值 范因为(1器)》 答案：(1罗) 11.解析：易知f(x)的 定义域为（一∞， -2)U(-2,+0∞)， f)=x-2 x+2 f)=(}e -2 +号(ey y=a [2+引=肉为f()≥0在 (一∞，一2)U(一2，十0)上恒成立，所以f(x)的单调递 三022 增区间为(-∞，-2)，(-2，十o∞).令g(x)=(x-2)e a(x+2)=0,得Q一干号e.将函鼓g(x)=(x-2)e -a(x十2)的零点问题，转化为直线y=a与函数f(x) -影因象的交点的横生标问通，作出直线y一口与 函数f(x)的大致图象，如图所示.当x<一2时，f(x)> 0周为-1》=e1=-总<0,2) e =0,所以当ac【名0]时成线y=a与向袋了) 号文点的横全标范周是[-1,2].故西数g)的农 点的取值范围是[-1,2]. 答案：(-∞，-2)，(-2，十0∞)[-1,2] 12.解：因f(x）=1二2+k1nx, f(x)=二x-（1-2+=x-1 （若≤0，则在[日e上旋有f)<0, 所以)在[日小上单调递减。 所以f(x)m=f(e)=1e+k1ne= e +6-1. f)x=f(日）=e-k-l (②)若>0，由得>e, 则x一 1<0,所以 所以)在[日小上单调远成 所以fx)m=f(e)=e+k1ne=上+k-1, e e f)ns=f(日）=e-k-1 签上所遂，当K时，fm=+-1 f(r)max=e-k-1. 13.解：(1)f(x)=3a.x2+2bx-3, 依题意，f'1)=f(-1)=0,即3a+26-3=0, (3a-2b-3=0, 解得所以f代x)=x2-3x, 1b=0. f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1). 令f(x)=0,得x=-1或1. 若x∈(-∞，-1)U(1,十o∞)，则f'(x)>0, 故f(x)在(-∞，-1)和(1，十∞)上是增函数； 若x∈(-1,1)，则f(x)<0, 故f(x)在(-1,1)上是减函数. 所以，f(一1)=2是极大值；f(1)=一2是极小值. (2)曲线方程为y=x3-3.x,点A(0,16)不在曲线上. 设切点为M(x0yo),则点M的坐标满足yo=x8-3x 因f'(x0)=3(x8-1), 故切线的方程为y-y0=3(x8-1)(x-x0). 注意到点A(0,16)在切线上，有 高二数 16-(x8-3.x0)=3(x8-1)(0-xo) 化简得x=一8，解得x0=一2. 所以，切点为M(-2,一2)，切线方程为9x一y十16=0. 14.解：(1)若a=1,则f(.x)=x2+x-lnx,x>0. ∴f(x)=2x+1-1=22+x-1=2x-1D(x+1 ∴f(x)在(0，)上单调递减，在（合，+∞）上单调递 增fm=f(合）是-n合-是+1n2 (2)由已如得f(x)=2x+a-≤0在[1,2]上恒成立， 1-2x在[1,2]上恒成立.令g(x)=1-2x,x∈ a≤ [1,2],则g(x)=- -2<0,∴g(x)在[1,2]单调递 减，∴.g(x)min=g(2)= 7 2a≤ ，即实数a的取 7 雀范周为(0，一] 高考冲浪 1.ACD[首先有f(x)=(x-1)2(x-4), 则f(x)=3(x-1)(x-3), 对于A有，x=3左右的两侧符号变化为由负到正，故其 为极小值点，故A正确： 对于B有，当0<x<1时，函数单调递增且x2<x, 故f(x2)<f(x),故B错误： 对于C有，当1<x<2时，得1<2x-1<3且f(1)=0, f(3)=-4,故-4<f(2x-1)<0,故C正确： 对于D有，当-1<x<0时，f(x)单调递增，f(2-x)> f(x)成立，故D正确.] 2.AD[求导得f(x)=6.x(x-a),于是A正确，当a>1 时，极大值f(0)=1>0,极小值f(a)=1一a3<0,所以必 有三个零点；B错，a<0时x=0应为极小值点：C错，任 何三次函数不存在对称轴；D正确，当a=2时f(x)= 2(x-1)3-6(x-1)-3,关于(1，-3)中心对称.] 假期必刷19导数的应用（二） 技能提升台技能提升 1.B2.C3.B4.A 5.C[f(x)=f(2-x)+4x-4,求导得f(x)=-f(2-x)+ 4,即f(x)+f'(2-x)=4①.因为f(x)为R上的奇函 数，则f(一x)=一f(x),求导得f(x)=f(一x),所以 f(x)是R上的偶函数，所以f(2一x)=f(x一2)，结合 ①式可得，f(x)十f(x-2)=4,所以f(x-2)十f(x-4)= 4,两式相减得f(x)=f(.x一4)，所以'(x)是周期为4 的周期函数，所以f(2025)=f(1).由①式，令x=1,得 f'(1)=2,所以f'(2025)=f(1)=2.] 6.A[fa)=+m+1De-n(侵+1小>0.因为画 数f(.x)=(x+m)e-n(lnx十x)的图象在点(1，f(1)) 处的切线方程为y=(2e-2)x十1一e,所以 f1)=(m十2)e-2m=2e-2·解得m=0所以fx 1f(1)=(m+1)e-n=e-1, n=1, =xe-lnx-x,则f(x)=(x+1D)e2-1-1=(x十1)