第一部分 假期必刷17 导数的有关概念及其计算-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业必刷题

=022 二数学 学然后知不足，教然后知困。 假期必刷17导数的有关概念及其计算 完成日期： 月 日 《思维整合室 3.导数的运算法则 知识梳理 (1)[f(x)±g(x)]'= (2)[f(x)·g(x)]'= 1.导数的概念 (1)定义：称函数y=f(x)在x=x处的瞬时 (3) (g(x)≠0). 变化率lim fx+A)-f）=lm △y 4.复合函数的导数 △x 复合函数y=f(g(x)的导数和函数y= 为函数y=f(x)在x=x。处的导数，记作 f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'= 或y1-6即f)=m2 ,即y对x的导数等于y对u的导 lim f(x十△x)-f(x) 数与u对x的导数的乘积. Ax0 △x 自测自查 (2)几何意义：函数f(x)在点xo处的导数 1.(1)f(x)(2)y-f(x)=f(x)(x-x) f'(xo)的几何意义是在曲线y=f(x)上点 (xo,f(xo)处的切线的斜率（瞬时速度就 2.0nx”-1 cos x -sinx a"ln a e 1 是位移函数s(t)对时间t的导数).相应 xIn a 13.(1)f(x)士g(x) 地，切线方程为 (2)f(x)g(x)+f(x)g'(x) (3)函数f(x)的导函数： f(x,+△x)-f》为 （3)f)g)-fog( Lg(x)]2 4.y'·u1 称函数f(x)=lim △x △x f(x)的导函数. 要点记忆 2.基本初等函数的导数公式 1.深刻理解“函数在一点处的导数”“导函数” 原函数 导函数 “导数”的区别与联系. f(x)=c(c为常数)》 f(x)= (1)函数f(x)在点x,处的导数f(x)是一个 f(x)=x"(n∈Q') f(x)= 常数 f(x)=sin x f'(x)= (2)函数y=f(x)的导函数，是针对某一区间 f(x)=cos x f'(x)= 内任意点x而言的.如果函数y=f(x)在 f(x)=a" f'(x)= 区间(a,b)内每一点x都可导，是指对于区 间(a,b)内的每一个确定的值xo都对应着 f(x)=e" f'(x)= 一个确定的导数f(xo).这样就在开区间 f(x)=logax f'(x)= (a,b)内构成了一个新函数，就是函数 f(x)的导函数f'(x).在不产生混淆的情 f(x)=In x f(x)= 况下，导函数也简称导数. ·43 飞壁快乐假期 00= 2.曲线y=f(x)“在点P(xy)处的切线”与 “过点P(o,y)的切线”的区别与联系 6设函数)-千+2，则了) (1)曲线y=f(x)在点P(xo,yo)处的切线是指P 为切点、切线斜率为k=f(x)的切线，是唯 A是 R一景 一的一条切线。 (2)曲线y=f(x)过点P(xo,yo)的切线，是指 c D 切线经过点P.点P可以是切点，也可以不 7.(多选)曲线y=x3十x一2在P点处的切线平 是切点，而且这样的直线可能有多条。 行于直线y=4x一1，则切线方程为( 《技能提升台 A.y=4x B.y=4x-4 C.y=4x-8 D.y=4x-2 技能提升 8.(多选)下列求导运算不正确的是() 1.函数f(x)=2x2-1在区间(1,1+△x)上的 Ae+=1+ 平均变化率Ay等于 △c 1 B.(log:)=zi A.4 B.4+2△x C.(3)'=3·1og3e C.4+2(△x)2 D.4x D.(x2 cos x)'=-2xsin x 2.已知f(x)=xnx,若f（xo)=2,则x0 9.曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为 等于 () A.e2 B.e 10.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线 D.In 2 y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过 点(-e,一1)(e为自然对数的底数)，则点 3.已知曲线y=ae+xlnx在点(1，ae)处的 A的坐标是 切线方程为y=2x+b,则 11.曲线y=e5x+2在点(0,3)处的导数为 A.a=e,b=-1 B.a-e,6-1 ,在点(0,3)处的切线方程为 C.a=e1,b=1 D.a=e1,b=-1 4.曲线y=2sinx+cosx在点（π，一1）处的切 12.求下列各函数的导数， 线方程为 () (1)y=(2x2-1)(3x+1). A.x-y-π-1=0 B.2x-y-2π-1=0 C.2x+y-2π+1=0 D.x+y-元+1=0 5.若函数f(x)=ln(ex)+受r-b的图象在 (2)y=x-sin 点M(1,1)处的切线与直线2x-y+6=0 垂直，则b= B.0 c D 25 ·44· =0022. 高二数半数 (3)y=1 十1 14.设函数f(x)=ax一么，曲线y=fx在点 1-√1+ (2,f(2)处的切线方程为7x一4y-12=0. (1)求f(x)的解析式； (2)求证：曲线y=f(x)上任一点处的切线 与直线x=0和直线y=x所围成的三角形 面积为定值，并求此定值 13.已知函数y=xnx(x>0). (1)求这个函数的导数； (2)求这个函数的图象在x=1处的切线 方程. 高考冲浪 1.(2024·全国甲卷（文），7)设函数f(x)= e+2sinx,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的 1+x2 切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 () A吉 c号 ng 2.(2024·新课标I卷，13)若曲线y=e十x 在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1) 十a的切线，则a= ·45·三0022 假期必刷17导数的有关概念及其 计算 技能提升台技能提升 1.B2.B3.D4.C 5.C[由题意知f)=分r2+lnx,所以f(x)=ax十 b ∫)=号+n1=1, a=2, 解得 /aa+=- b=-5,则= 2 ()-翠 6B[国为f()=年+f1)2,所以f()= （r+1)=e+2f10x=1)2+2f(1Dx,故f(1D (x+1)2 =1D+2f),解程f1)=-是.] e 7.AB 8.ACD 9.解析：“y=是切线斜率=)1=1=2。 .切线的方程为y-0=2(x-1),即2x-y-2=0. 答案：2.x-y-2=0 10.解析：设点A(0%),则%=n0.又y=1, 当=n时y A在曲线y=lnx上的切线为y0（0 即y-lnx0=工-1， T0 代入点(-e,-1),得-1-ln0=e-1, 即zoln zo=e, 考查函数H(x)=xlnx,当x∈(0，l)时，H(x)<0, 当x∈(1，十o∞)时，H(x)>0, 且H'(x)=lnx+1,当x>1时，H(x)>0,H(.x)单调 递增， 注意到H(e)=e,故xln0=e存在唯一的实数根xo= e,此时yo=1, 故，点A的坐标为A(e,1). 答案：(e,1) 11.解析：依题意得，y1x=0=-5e5r|x=0=-5, 因此所求的切线方程是y一3=一5.x, 即5.x+y-3=0. 答案：-55.x十y-3=0 12.解：(1)y=6.x3+2.x2-3.x-1, y=18.x2+4x-3. (2)y=-sin 2cos 2--sin i.y=1-7conr. (3)y=1 +1 2 1-1+小= 2 (1-x)2 13.解：(1)y=znx(x>0)y=1lnx+x·1=lnx x +1,∴.y'=lnx+1(x>0). (2)由(1)得k=y|x=1=ln1+1=1. .7 富二数学) 当x=1时，y=0,切点为(1,0)，.切线方程为y-0= 1×(x-1),即y=x-1. 14.解：(1)方程7x一4y一12=0可化为y= 4x-3. 当=2时y=子又f)=a+ x21 于是 2a-z= 解得a=l故fx)=x-3 b7 b=3, x 441 (2)授P0)为曲线上任一点，由fx)=1+是 可得曲线在点P(x0,y%)处的切线方程为 -()(+是)水- 令x=0,得y=一 ,从而得切线与直线x=0的交点坐 令y=x,得x=2.x0,从而得切线与直线y=x的交点坐 标为(2.x02x0), 所以曲线在点P(x0y0)处的切线与直线x=0,y=x所 国成的三角号面农为宁引岛引2-6 故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6. 高考冲浪 1.A[f(x) =(e+2cosx)1+x2)-（e+2sinx)·2L,所以f(0) (1+x2)2 =3,所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y一1 =3(x-0),即3x-y十1=0，切线与两坐标轴的交点分 别为0,1D·(了，0），所以切线与两坐标轴所国成的三 角形的面积为日×1X3-日] 2.解析：由题知y=(e十x)/=e+1,当x=0时，切线斜率 k=2, 则切线方程为y=2x+1,y'=[n(x十1)十a]Y= 2,得x=-y=2×(-)）+1=0,y=lhx+1D+a 1 的切点(0) 1 即0=ln(-2+1)+a,故a=h2 答案：ln2 假期必刷18 导数的应用（一） 技能提升台技能提升 1.D 2.BF-,由巴知得62， 1f'(1)=a-b=0, 以f@=号+是=子长选服 3.D