第一部分 假期必刷14 等比数列的概念-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业必刷题

受快乐暇期 00-= 假期必刷14等比数列的概念 千里之行，始于足下。 完成日期： 月 日 《思维整合室 (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数 列，即as,a+m,ag+2m,…仍是等比数列，公 比为 (k,m∈N*). 知识梳理 自测自查 1.等比数列的概念 1.(1)2同一个 公比g(2)等比中项 (1)如果一个数列从第 项起，每一项与它 士√ab 的前一项的比等于 常数，那么这 2.a1g”-1 个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比 3.(1)a,a。(2)递增递减 常数列(3)g” 数列的 ,公比通常用字母q(q≠ 0)表示 要点记忆 数学语言表达式：0。 (n≥2，q 1.若数列{an,{bn}(项数相同)是等比数列， 为非零常数)，或中=q(n∈N°，g为非零 a 则数列ic…ac≠0.la.l,a} 常数). {a}也是等比数列. (2)如果三个数a,G,b成等比数列，那么G叫 2.由an+1=qanq≠0，并不能立即断言{an}为 做a与b的 ,其中G= 等比数列，还要验证a1≠0. 2.等比数列的通项公式 若等比数列{a,}的首项为a1,公比是q,则 3.三个数成等比数列，通常设为二，x,xq:四个 其通项公式为an= 符号相同的数成等比数列，通常设为乙，工 通项公式的推广：an=ang”m. 3.等比数列的性质 xq,xq. 已知{an}是等比数列，S是数列{an}的前n 《《技能提升台 项和. 技能提升 (1)若m十n=p十q,则amam= ,其中 1.在等比数列{an}中，a2=2,a5=16,则a6= m,n,p,q∈N,特别地，若2s=p+r,则 aa,=a,其中p,5,r∈N*. A.28 B.32 (2)等比数列{an}的单调性 C.64 D.14 当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时，数列 2.已知各项不为0的等差数列{an}满足2a2 {an}是 数列： a十2a12=0,数列{bn是等比数列，且b,=a, 当g>1,a1<0或0<q<1,a1>0时，数列 则b3b11等于 ( {an}是 数列； A.16 B.8 当q=1时，数列{an}是 C.4 D.2 ·34· 三0022 高二救半恐 3.已知等比数列{an}满足a1=3,a1十a十a5=21, 9.已知数列{an}是等比数列，a1,a2,a依次位 则a3十a5十a,= ( 于表中第一行，第二行，第三行中的某一格 A.21 B.42 内，又a1a2,a中任何两个都不在同一列， C.63 D.84 则an (n∈N*). 4.已知函数f(x)= 1十2且等比教列a,满 2 第一列 第二列 第三列 第一行 1 10 2 足a2a22s=1,则f(a1）十f(a2)+…十 第二行 6 14 4 f(a226）= 第三行 9 18 8 A.2026 B.1013 10.已知数列{am}为正项等比数列，且a,=√2， C.2 n号 则log2a1十log2a2+log2a3+…十log2a13= 5.已知两个等比数列{an},{bn}的前n项积分 则为A,B若号-则哈 1.已知一个等比数列的前4项之积为6第 A.3 B.27 2项与第3项的和为√2，则这个等比数列 C.81 D.243 的公比g= 6.某工厂生产A,B,C三种产品的数量刚好构 12.已知数列{an}满足a1=1,a+1=2(n十1)an· 成一个公比为q(q≠1)的等比数列，现从全 设b=a 体产品中按分层随机抽样的方法抽取一个 n 样本容量为260的样本进行调查，其中C产 (1)求b1,b2,b3; 品的数量为20，则抽取的A产品的数量为 (2)判断数列{b,}是否为等比数列，并说明 ( 理由； A.100 B.140 (3)求{an}的通项公式. C.180 D.120 7.(多选)已知数列{am}是等比数列，则下列命 题正确的是 A.数列{laI}是等比数列 B.数列{aam+1}是等比数列 C.数列}是等比数列 D.数列{lga}是等比数列 8.（多选)已知等比数列{an}的各项均为正数， a1=20,2a6十a5一a4=0,数列{am}的前n项 积为T,则 ( A.数列{an}单调递增 B.数列{an}单调递减 C.Tn的最大值为T D.Tm的最小值为Ts ·35· 飞空快乐慨阴 00= 13.已知正项等比数列{an}满足条件a2·a1 14.已知数列{an}为等比数列，且a1=2,aa =16,a+0=1 =a7.数列{bn}的前n项和记为Sn,满足 a3十a48 2S,=n2+n. (1)求{a}的通项公式： (1)求数列{an},{bn}的通项公式； (2)若对任意n∈N*,am>bn恒成立，求实 数入的取值范围. (2)设Tm=a1a2…an,求Tn的最大值. 高考冲浪 1.(2025·全国二卷，9)记Sn为等比数列{an} 的前n项和，q为{an}的公比，q>0.若S3= 7,a=1,则 ( ) A.q=2 1 B.as 1 C.S5=8 D.an+S,=8 2.(2024·上海卷，12)等比数列{an}的首项a1 >0,公比q>1,记1n={x-yx,y∈[a1, a2]U[an,an+1]},若对任意正整数n,In是 闭区间，则q的取值范围是 ·36·三0022 9.解析：a,=4n号a,为等差数列，设共公差为d. 3 3 则a1=2,d=4小an2+bm=a1十a2十.+an=2n+ n2D×4=2n-7a=2,b=-ah=-l 1 2 答案：一1 10.解析：设数列{an}的公差为d.由a1>0,a10a11<0知 d<0,且a10>0,a11<0,.T18=a1十a2+…+a10-a11 -a12-…-a18=2S10-S18=60. 答案：60 11.解析：由题意，当1为奇数时， an+2-am=-1+3=2, 所以数列{a2-1}是首项为2，公差为2的等差数列， 所以a2-1=2+2(1-1)=21. 当n为偶数时，a1+2-an=1十3=4， 所以数列{a2m}是首项为4，公差为4的等差数列， 所以a2m=4+4(n-1)=41. 设数列{an}的前10项和为S10, 则S10=a1十a2十…a10=(a1十a3十…+ag)+(a2十a4 ++ao)=5X2,+10)+5x4+20=90. 2 2 答案：90 1a1+2(k-1)=10, 12.解：(1)由 血，+2-0.解得{化2或0， 2 (k=5,k=6. 因为a1>0,所以a1=2,k=5. (2)因为a1=2,d=2,所以aw=2,则a2n=41,且{a2n} 为等差数列，所以T,=ae+an)”=4十4n)1=2n 2 2 +21. 13.（1)证明：因为b,是数列{S,}的前1项积， 所以当n≥2时，S=bn 代入是+名-2可移瓷+=2 整理可得2bw-1十1=2bu, 即6，-61=2（≥2）.。 号店后=2所以=合 3 故伍，)是以号为首项，弓为公差的等差藏列 (②解：由1)可知4=号+0一1)=安，则忌十 2 2所以5汽 2 当0=1时，a1=S1=2, 3 当n≥2时a,=S,-S。1=当+1- n十1n (n+1) 又4=号不满足上式。 2n=1, 故an 1 (n(n+1)n≥2. ·7 富二数学 14.解：(1)设{an}的公差为d. 因为数列{an}为等差数列，所以a2十ag=a3十a7=一4， 又因为a3a7=-12, 解得=2，。或0=一6 (a=-6,a7=2. 因为S,有最大值，所以d<0, 所以=2， (a7=-6 所以1+2d=2, (a1+6d=-6, 解得/1=6， d=-2. 所以a,=a1+(n-1)d=8-2,Sn=a十a2 2 -n2+7. (2)由an=-21十8≥0，解得n≤4；由a=-2十8<0， 解得n>4,即n≥5.所以当n≤4时，Tw=|a1十|a2|十 …+aw|=a1+…+an=Sw=-n2+7; 当a≥5时，Tw=|a+a2+…+an=a1十a2+a3十 a1-a5-…-an=2S4-S,=m2-7n+24. 上e 高考冲浪 1.解析：设an=a1+(n-1)d,则由条件得2a1十5d=7,4a1 +7d=5,解得a1=-4,d=3, 则S10=5(2a1十9d)=95. 答案：95 2.解析：本题考查了等差数列的求和公式的应用， a1=-3d=2∴s,=a,+ 6×(-3)+6X5×2=12. 2 答案：12 假期必刷14等比数列的概念 技能提升台技能提升 1.B[设等比数列{an}的公比为q,:a2=2,a5=16,a1q =2,a1g=16,解得a1=1,q=2.则a6=25=32.] 2.A[由等差数列性质得a2十a12=2a7,所以4a7-a号=0， 又因为a7≠0，所以a7=4,b7=4,由等比数列性质得 b3b1m=b号=16.] 3.B[设等比数列{an}的公比为g,则由a1=3,a1十a3十a5 =21得3(1十g2+g)=21,解得g2=-3(舍去)或g2= 2,于是a3+a5十a7=g2(a1+a3十a5)=2×21=42.] 十x+=2,则fa2) +/不a)=fa)+/(日）=2.因为a,为等比数列， 所以a1a2026=a2a2025=…=a1013a1014=1,所以f(a1） +f(a2)+…+f(a2026)=1013X[f(a2)+f(a2025)]= 2×1013=2026.] 5.D[法一设等比数列{an}的公比为q1,则a3=a1q1, {an}的前5项积A=a1a2a3a4a5=ag}+2+3+4=aig0. 设等比数列{bn}的公比为q2,则b3=b1q呢，B5=bg2°.因 飞快乐假 为是--3所以官00 As aigio a191)5 =35=243. b3 b1q2 biq2 法二由等比数列的性质知a1a5=a2a4=a号，所以{an}的 前5项积A5=a1a2a3a4a5=a喝，同理可得B5=b,所以 A5=a=35=243.] B5 b 6.C[:A,B,C三种产品的数量刚好构成一个公比为g的 等比数列，C产品的数量为20，A产品的数量为29，B 产品的数量为20，：样本容量为260，.29+20十20 260,解得g=号或-子（含去），则A产品的数量为9 20=180.] 7.ABC[因为数列{a,}是等比教列，所以=4.对于 an A,a+1 a 1=g,所以数列{a,}是等比数列， an A正确：对于B,士1a=g2,所以数列{a,4+1}是等比 anan+1 1 数列，B正确：对于C,1=a1=,所以教列 1是 1 an+1 q an 等比教列，C正确：对于D,ga-2出=g出，不 lga 2lga Iga 一定是常数，所以D错误.] 8.BC[设等比数列{a,}的公比为g,因为2a6十a5一a4=0,所 以2a4g2+a49-a4=0.因为a4>0,所以2g2+q-1=0, 解得g=号或g=-1(含去).所以数列口，}单调逅减，A 错误；B正确.因为数列{n}单调递减，且各项均为正数， 所以数列{an}的前n项积Tn有最大值，无最小值，D错 误.若T取最大值，则引， ≥1， 即 x() a+1<1, 1)” 20x(2）<1, x∈N,所以n=5,即Tm的最大值为T5,C正确.] 9.解析：观察题中的表格可知a1a2a3分别为2,6,18，即{an} 是首项为2，公比为3的等比数列，4，=2·3”1. 答案：2·3”-1 10.解析：，数列{a}为正项等比数列，且a1a13=a2a12= azan=aano asag asas =a,.logza +log2a2 log2a3+…+log2a13=log2(a1a2…a13）=log2a}3= 13 13log2a7=21 答案：号 1l,解析：设该等比数列的前4项依次为a,aq,ag2,ag3(其 中aq≠0)， 由题意得 a‘ag·ag2·ag2=16, (ag+ag2=√2， ·7 000-□ 所以 (a2(g+q2)2=2, 以子7-士日垫理得-g十1=0支+ 所以。a2g3 10g十1=0，解得g=3士2√2或q=-5士2√6. 答案：3士2√2或-5士2√6 12.解：(1)由条件可得a4+1=2m+1D。 an. 将n=1代入得，a2=4a1,而a1=1,所以，a2=4. 将n=2代入得，a3=3a2,所以，a3=12. 从而b1=1,b2=2,b3=4. (2){b}是首项为1，公比为2的等比数列. 由条件可得22，即+1=2b.,又因为61=1，所 n+1 n 以{b}是首项为1，公比为2的等比数列 (3)由(2)可得0=2-1，所以a=n·2”1 71 13.解：(1)设{au》的公比为g(g>0). 由题意得a写=a2a16=16,所以ag=a1g2=4,s十a1 a3十a4 (a3十a)0=g=8' 1 a3十a4 所以9=2，a1=1024.所以a=a19"1=1024× (份)=2 (2)Tn=a1a2…aw=210+9+8+…+1-0=2.二次画 数y=②=宁+引：的因象的对称销为直 2 线x=号故当n=10或n=11时，工，取得最大位，且凌 大值为255. 14.解：(1)设数列{au}的公比为q(g≠0)，由a3a4=a7得 a1q3=a1q°， 又a1=2,q=2,∴an=2”. ,2Sn=n2+,.b1=S1=1,且2Sw-1=(1-1)2+(1 1)(n≥2)，则当n≥2时，2bn=2Su-2S-1=2+n-(n2 -),则bn=,当n=1时，b1=1也满足上式.bn=1. (2)a,=2"b,=,a,>汤A<2 11 记cn=2,则1=2+1.”=2 cwn+1‘21+i' 当n=1时，兰=名=1，则c2=61: c11+1 当22时，岩祭-8异号>1.则1>6 ∴.(cn)min=c1=c2=2.则A<2,即实数入的取值值范围 为(-∞，2). 高考冲浪 1.AD[由题可知 [a+a1q+a1g2=7 1 a1g2=1 ,解得 q>0 a1=4 三0022 所以a,=4×(侵)=（合），则as=(2) 1.5- 1一2 12 ×(2)”=8.] 2.解析：由题意不妨设x>y,若x,y均在[a1,a2],则有x y∈[0，a2-a1],若x,y均在[au,an+1],则有x-y∈[0， a+1一an],若x,y分别在两个区间，则x-y∈[a,-a2, au+1一a1],又因为q>1,总有1，是闭区间，则am一a2≤ a+1一a,恒成立即可，化简得g”-1(g-2)十g≥0，所以有 q≥2恒成立. 答案：[2，十o∞) 假期必刷15等比数列的前n项和公式 技能提升台技能提升 1.C[由Sn=a”-1知，当a=1时，S=0,此时数列{an 为等差数列(an=0).当a≠1时，a1=a-1,an=Sn S4-1=a"-1-(a"-1-1)=a"-d-1=(a-1)a"-1,≥2， n=1时也符合上式，故数列{an}是首项为a一1，公比为a (a≠1)的等比数列.门] 2.C[设等比数列{an}的公比为q,由a1十a3十a5十…十 a211-9门=1-2，解得g2=2,a1=-1.所以 1-q2 a2a3a4=a3=(a1g2)3=-8.] 3.C[设正项等比数列{an}的公比为q(g>0),由题意可得 1一导脚-9一2=0，解得g=2或g=-1水含大) 1-26 则S=1-2=63.] 4.C[设等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,则Sn, S2m一S,S3m一S2,S4m一S3,…成等比数列，公比为q”. 又因为Sm=10,S2m=60,所以S2m-Sn=50,所以q”=5, 所以S3m-S2m=50X5=250,所以S4m-S3m=250×5= 1250,所以S4w=(S4n-S3n)+(S3w-S2n)+(S2w-Sn)+ S,=1250++250+50+10=1560.] 5.A[设第六天走的路程为a1,第五天走的路程为a2,…, 第一天走的路程为α6，根据题意每天走的路程为前一天 的-半，所以公比g=2,且S。=41,S-19,所以 1-q 41=9-2,解答a01=7 6.C[若数列{Su}递增，则S+1-Sn=aw+1>0,所以a1g >0,又因为9>1，所以a1>0,则am>0,所以由m1 a q>l,得an+1>a,因此数列{aw}递增，充分性成立：若数 列{an}递增，则a+1一an>0,所以am(g-1)>0,又因为 q>1,所以an>0,因此Sw=a1十a2十…十an也递增，即 数列{Sn}递增，所以必要性成立.综上，“数列{Sn}递增” 是“数列{an}递增”的充要条件.] ·7 高二数学型 .ACD[设a,的公比为gg>0.则ag·a=解 1 得g=2,故a,=a2g2=2 2,则a1=1,S=2 =2 1 1一2 2一，对于Aa4=京-8，故A正确；对于B,S=2 11 是=子故B错送：对于Ca十5十2=2 为常数，故C正确；对于D,由S一2=一2”六'S1-2 1Sm-2 =7≥2，可得S。一2为等比数列，故D正确] 8.C[设{an}的公比为g.对于A,若a1>0,g<0,则a2= a1g<0,故A错误.对于B,若a2>0,又因为a2=a1q,所 以a1与g同号，当a1>0,q=1时，S2026=2026a1>0:当 1时，S财-19g多<0g-1.明1- >0,1一g2026=0,所以S2026=0,故B错误.对于C,因为 a1>0,q≠0，所以a3=a1g>0,故C正确.对于D,若a3 >0,即a3=a1g2>0,则a1>0,q≠0，当q=1时，S2026= 2026a1>0,当g≠1时，S206=a1.1二0. 12g,由于a1> 0,若g=-1,S2026=0,故D错误.] 9.解析：在等比数列{an}中，，a3=2S2十1，a4=2S3十1， .a4-a3=2S3+1-(2S2+1)=2(S3-S2)=2a3, a4=3agg=a4=3. 答案：3 10.解析：am+1一an=2",.当1≥2时，a,=(an一an-1)十 (a-1-a1-2)+…+(a2-a1)十a1=2"-1+2"-2+…十 22+2+212+2=2”-2+2=2% 当n=1时，a1=2也满足上式，∴.an=2”.∴.S= 2-21+1 1二2=2+1-2. 答案：21+1一2 11.解析：因为在等比数列中，若项教为2，则=g,所以 S奇 a1+a2+a3+…+a1o0=(a1+a3+a5+…+a9g)+(a2 +a4+a,十…+a1m)=(a+ag+a,+…+ag)+3(a +a+as+…+ag)=90+号×90=120. 答案：120 [aig3=9a1g, 12.解：1)易知g≠1，由题意可得1一g）=13, 1-q q>0, 潮得a=1g=8a,=318.-言-号 (2)假设存在常数入，使得数列{S,十入}是等比数列， S1+λ=A+1,S2十λ=A+4,S3+入=A+13, .(入+4)2=（入+1）（入+13），