第一部分 假期必刷13 等差数列的前n项和公式-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业必刷题

快乐限期 假期必刷13等差数列 【《思维整合室 知识梳理 1.等差数列的前n项和公式 前n项和公式：Sn= 2.等差数列前n项和的性质 (1)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列 Sn,S2m一Sm,Sm一S2m,…也是等差数列. (2)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列 {侣}也为等去数列 自测自查 1.na+n(n-1)d n(a1十an） 2 2 要点记忆 在等差数列{an}中， (1)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1十a2n)= n.iSmSn-ndiS S奇=an (2)若项数为奇数2n一1，则S2,-1=(2m一1)an S奇三n S有-S阳=a,Sg-n-了 (3)若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n 项和分别是S。和T.则1=4 12n-1 bn 《技能提升台 技能提升 1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且2a7一 a11=4,则S5= A.15 B.20 C.25 D.30 的前n项和公式 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=7, S6=16,则a7十a8十ag= ( A.9 B.11 C.13 D.25 3.已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为 S,T且 7n十5，则25= ( n-3 b15 A.7 B.8 C.9 D.10 4.已知数列{an}的前n项和为Sm,且an+1=an +2,S,=一35，则当Sn取得最小值时，n的 值是 A.6 B.7 C.8 D.9 5.北京天坛的圜丘坛为 古代祭天的场所，分 上、中、下三层.上层中 心有一块圆形石板（称 为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构 成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的 第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环 依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层 比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不 含天心石) ( A.3699块 B.3474块 C.3402块 D.3339块 6.设Sn是等差数列{an}的前n项和，a2=一7，S =2a1,当|Sn|取得最小值时，n=（) A.10 B.9 C.8 D.7 7.（多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn, 公差d≠0，若Sn≤S。,则 ( A.a1<0 B.d<0 C.a6=0 D.S13≤0 三0022 8.(多选)已知d为等差数列{an}的公差，S 为数列{an}的前n项和.若{an}为递减数 列，则下列结论正确的为 ) A.数列{Sn}为递减数列 B.数列}是等差数列 n C.若前10项中，偶数项的和与奇数项的和之 比为9：8，且S10=一170，则公差为一2 D.若S15>0,S16<0,则Sg>Sg 9在数列a.中a,=a-号a,十a,十…十a =an2+bm(n∈N*),其中a,b为常数，则ab 10.在等差数列{an}中，a1>0,a1oa1<0.若此 数列的前10项和S1。=36,前18项和 S18=12,则数列{|an|}的前18项和T18= 11.已知数列{am}满足a1=2,a2=4,am+2一am =(一1)”+3，则数列{an}的前10项和为 12.在等差数列{a}中，已知首项a1>0,前n项 和为Sn,公差d=2,a=10,Sk=30(k∈N). (1)试求a1和k; (2)求数列{am}的前n项和Tn ·3 富三数学型 13.记S。为数列{an}的前n项和，b为数列 4S,的前n项积，已如受+分-2 (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式. 14.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a2十a8 =-4,a3a,=-12,且Sn有最大值. (l)求数列{an}的通项公式am及前n项 和Sn; (2)设数列{|an|}的前n项和为Tn,求Tm. 高考冲浪 1.(2024·新课标Ⅱ卷，12)设S,为等差数列 {an}的前n项和，若a3十a4=7,3a2十a5=5, 则S0= 2.(2025·上海卷，3)已知等差数列{am}的首 项a1=一3，公差d=2,则该数列的前6项 和为飞快乐低期 12.解：当n=1时，a1=S1=6:当n≥2时，a,=Sn-Sw-1= (n2+3+2)-[(-1)2+3(n-1)+2]=2n+2,.当 n=1时，a1=6不满足上式， 6,n=1, a,-{2m+2m≥2. a2-a1≠ag-a4,.{an}不是等 差数列. 13.解：(1)因为在等差数列{an}中，a2十a5=2a1十5d=24, a17=a1十16d=66,解得d=4,a1=2,所以a2026=2十 2025×4=8102. (2)由(1)得an=2+4(1-1)=4n-2.令41-2=2026， 得n=507∈N*,故2026是数列{an}中的项，即2026 为{an}中的第507项. 1解：1：a1=2且-品=52名-d 2 2 2 14 4x2百=7，解得a2=号 (2)由1-1 田anam4Sn∈N*), 可得4S,一1= 2an+L,① a+1一an .4S-1-1= 2an-1aL(n≥2).② an-an-1 由0-@得4a.=ana,a。一0 2anan1 2an-1an ≠0,0+1 an-1一=2， an+1一anan一aw-1 0u1-a十au一，a1=2,即 an an+1一an au一aw-1 an+1一an an-1 -=1(n≥2)，即bn-bw-1=1(n≥2) 0n一an- 又bh1=a1= 2=是教列，是首项为子，公 a2-a114-24 3 差为1的等差载列心6}的通项公式为6=子十(m 1)×1=1-4 高考冲浪 1.C[①充分性证明： 若{a,}为递增数列，则对Hn∈N*,a+1>a,公差d= a+1-a,>0,取正整数Ng,av=a1十(N0-1)d≥0成立 则当n>N。时，存在an>0. ②必要性证明： 若存在正整数No,当n>No时，am>0, an=a1+(n-1)d, dDd,对Ym>No,m∈N都成立， nd-a1=0,且d≠0， .d>0, ∴.对Hn∈N,都有au+1一an=d>0,an+1>an,即：{an}为 递增数列. 所以“{an}为递增数列”是“存在正整数No,当n>N。时， aw>0”的充要条件. .选C. 2.D[由Sn=1a1+21d得Sg=9a1+36d=1,a1 2 +4d=寸∴as+a1=2a,=2a1+4d0=子.] .7 900-= 假期必刷13等差数列的前n项和公式 技能提升台技能提升 1.B[设等差数列{an}的公差为d,则2(a1十6d)一(a1+ 10d)=a1+24=4,所以s,=5a1+541=5(a1+2ad） 5×4=20.] 2.B[设等差数列{an}的公差为d.因为S3=7,S6一S3= 9,且S3,S6一S3,Sg一S6成等差数列，所以Sg一S6= 2(S6-S3)-S3=11,即a7+a8+ag=11.] B[产-气由等爱埃列的性质及等多英利的 求和公式可得5=2a5=】 十2型X29 2 号65=2b1501+b2×29 S9=7×29+5 T2929-3 2 =8.] 4,A[·数列{an}的前n项和为Sw,且au+1=an十2，S= -35,数列{amn}是等差数列，公差d=an+1一an=2,且 5a1十10d=-35,解得a1=-11.∴Sn=-11m+0(2-1D 2 X2=n2-121=(1-6)2-36,∴.当Sm取得最小值时，n 的值是6.] 5.C[设每一层有环，由题可知从内到外每环之间构成 公差d=9,a1=9的等差数列.由等差数列的性质知S, S2m-Su,S3-S2成等差数列，且(S3M-S2m)-（S2m Sn)=n2d,则9n2=729,得n=9,则三层共有扇面形石板 Sn=S27=27×9+27X26×9=3402(块).] 2 6.C[设等差数列{an}的公差为d,a2=-7,S5=2a1,所以 十d-7,得8310所以5，=1om+ (5a1+10d=2a1, 。D×3=3别，28，因为fx)=2（32-23)的零 2 2 点为=0号所以S,的最小值是幸运画教化)零 点处的值，又|S1=10,|S7|=7,|Sg|=4,所以当n=8 时，S取得最小值.] 7.BD[因为Sn≤S6,所以S5≤S6且S,≤S6,即a6=S6- S5≥0，a7=S?-S6≤0，因为d≠0，即a6,a7不同时为0， 所以d=a7-a6<0,因为a6≥0，即a1十5d≥0，所以a1>0, S6-13(a,+a1-13a1≤0,46不-定为零.] 2 8.BCD[由数列{an}是递减的等差数列得d<0.对于A, 不妨举例数列{aw}为4,3,2,1,0，-1，-2，-3，…，则S1 =4,S2=7,S3=9,这三项不构成递减数列，故A错误：对 于B,S natunDd 2 =号+(a-号)是关于n 的一次离数，因光倍}是等差数列，故B王确：时子C,前 10项中，奇数项的和为a1十a3十a5十a7十ag=5a5,偶数 项的和a2十a4十a6十ag十a10=5a6,所以a6:a5=9:8, 设a6=9.x,a5=8.x,则5a5十5a6=-170,解得x=-2,所 以公差d=a6-a5=x=-2,故C正确；对于D,S15= 15a,+a12-15ag>0,则ag>0,516=16a,+a1d2 2 8(ag十ag)<0,则ag<-a8<0,所以Sg=Sg十ag<Sg,故 D正确.] 三0022 9.解析：a,=4n号a,为等差数列，设共公差为d. 3 3 则a1=2,d=4小an2+bm=a1十a2十.+an=2n+ n2D×4=2n-7a=2,b=-ah=-l 1 2 答案：一1 10.解析：设数列{an}的公差为d.由a1>0,a10a11<0知 d<0,且a10>0,a11<0,.T18=a1十a2+…+a10-a11 -a12-…-a18=2S10-S18=60. 答案：60 11.解析：由题意，当1为奇数时， an+2-am=-1+3=2, 所以数列{a2-1}是首项为2，公差为2的等差数列， 所以a2-1=2+2(1-1)=21. 当n为偶数时，a1+2-an=1十3=4， 所以数列{a2m}是首项为4，公差为4的等差数列， 所以a2m=4+4(n-1)=41. 设数列{an}的前10项和为S10, 则S10=a1十a2十…a10=(a1十a3十…+ag)+(a2十a4 ++ao)=5X2,+10)+5x4+20=90. 2 2 答案：90 1a1+2(k-1)=10, 12.解：(1)由 血，+2-0.解得{化2或0， 2 (k=5,k=6. 因为a1>0,所以a1=2,k=5. (2)因为a1=2,d=2,所以aw=2,则a2n=41,且{a2n} 为等差数列，所以T,=ae+an)”=4十4n)1=2n 2 2 +21. 13.（1)证明：因为b,是数列{S,}的前1项积， 所以当n≥2时，S=bn 代入是+名-2可移瓷+=2 整理可得2bw-1十1=2bu, 即6，-61=2（≥2）.。 号店后=2所以=合 3 故伍，)是以号为首项，弓为公差的等差藏列 (②解：由1)可知4=号+0一1)=安，则忌十 2 2所以5汽 2 当0=1时，a1=S1=2, 3 当n≥2时a,=S,-S。1=当+1- n十1n (n+1) 又4=号不满足上式。 2n=1, 故an 1 (n(n+1)n≥2. ·7 富二数学 14.解：(1)设{an}的公差为d. 因为数列{an}为等差数列，所以a2十ag=a3十a7=一4， 又因为a3a7=-12, 解得=2，。或0=一6 (a=-6,a7=2. 因为S,有最大值，所以d<0, 所以=2， (a7=-6 所以1+2d=2, (a1+6d=-6, 解得/1=6， d=-2. 所以a,=a1+(n-1)d=8-2,Sn=a十a2 2 -n2+7. (2)由an=-21十8≥0，解得n≤4；由a=-2十8<0， 解得n>4,即n≥5.所以当n≤4时，Tw=|a1十|a2|十 …+aw|=a1+…+an=Sw=-n2+7; 当a≥5时，Tw=|a+a2+…+an=a1十a2+a3十 a1-a5-…-an=2S4-S,=m2-7n+24. 上e 高考冲浪 1.解析：设an=a1+(n-1)d,则由条件得2a1十5d=7,4a1 +7d=5,解得a1=-4,d=3, 则S10=5(2a1十9d)=95. 答案：95 2.解析：本题考查了等差数列的求和公式的应用， a1=-3d=2∴s,=a,+ 6×(-3)+6X5×2=12. 2 答案：12 假期必刷14等比数列的概念 技能提升台技能提升 1.B[设等比数列{an}的公比为q,:a2=2,a5=16,a1q =2,a1g=16,解得a1=1,q=2.则a6=25=32.] 2.A[由等差数列性质得a2十a12=2a7,所以4a7-a号=0， 又因为a7≠0，所以a7=4,b7=4,由等比数列性质得 b3b1m=b号=16.] 3.B[设等比数列{an}的公比为g,则由a1=3,a1十a3十a5 =21得3(1十g2+g)=21,解得g2=-3(舍去)或g2= 2,于是a3+a5十a7=g2(a1+a3十a5)=2×21=42.] 十x+=2,则fa2) +/不a)=fa)+/(日）=2.因为a,为等比数列， 所以a1a2026=a2a2025=…=a1013a1014=1,所以f(a1） +f(a2)+…+f(a2026)=1013X[f(a2)+f(a2025)]= 2×1013=2026.] 5.D[法一设等比数列{an}的公比为q1,则a3=a1q1, {an}的前5项积A=a1a2a3a4a5=ag}+2+3+4=aig0. 设等比数列{bn}的公比为q2,则b3=b1q呢，B5=bg2°.因