第一部分 假期必刷12 等差数烈的概念-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业必刷题

=0022 假期必刷12等差数列的概念 学而不思则罔，思而不学则殆。 完成日期： 月 日 〈《思维整合室 (3)若{an}是等差数列，公差为d,则相隔等距 离的项组成的数列是等差数列，即a, 知识梳理 a+ma+2m,…,仍是等差数列，公差为 (k,m∈N*). 1.等差数列的概念 自测自查 (1)如果一个数列从第 项起，每一项与 它的前一项的差等于 ,那么这个 1.(1)2同一个常数 公差 (2)a十b 2 数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数 2.a1+(n-1)d (1)(n-m)d 列的 ,公差通常用字母d表示. 3.(2)递增递减常数列(3)md 数学语言表达式：am+1一an=d(n∈N,d为常 数)，或an-an-1=d(n≥2，d为常数). 要点记忆 (2)若a,A,b成等差数列，则A叫做a,b的等 差中项，且A= 数列{an}是等差 已知{an}为等差数列，d为公差. 数列台2an=an-1十an+1(n≥2，n∈N*). 1.有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的 2.等差数列的通项公式 和相等，即a1十an=a2十an-1=a3十an2=…= 若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则 ak十am-k+1=…. 其通项公式为an= 2.若数列{an},{bn}是公差分别为d1,d2的等 推广：(1)an=am十 (m,n∈N*). 差数列，则数列{pan},{an十p},{pan十qbn》 (2)等差数列的通项公式与函数的关系an 都是等差数列(p,q都是常数)，且公差分别 dn+(a1一d)是关于n的一次函数， 为pd1,d1,pd1+qd2. (3)数列{an}是等差数列台an=pn十q(p,g为 3.若am=n,an=m(m≠0)，则am+n=0. 常数). 《技能提升台 3.等差数列的有关性质 技能提升 已知数列{an}是等差数列 (1)当m+n=p十q时，am十an=a。十ag（m,n, 1.“a3十ag=2a”是“数列{an}为等差数列”的 p,q∈N*).特别地，若m十n=2,则am十 am=2ab(m,n,p∈N*). A.充分不必要条件 (2)等差数列{an}的单调性：当d>0时，{an》 B.必要不充分条件 是 数列；当d<0时，{an}是 C.充要条件 数列；当d=0时，{an}是 D.既不充分也不必要条件 ·29· 飞曼快乐假期 00-= 2.《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、 8.（多选)已知等差数列{an}满足3a3=4a4,则 大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立 该数列中一定不为零的项为 夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起， A.a6 B.ar 其日影长依次成等差数列，立春当日日影长 C.as D.ag 为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则立夏 1 0.在等差数列1a中，a三20264。= ,a= 当日日影长为 A.16.5尺 B.13尺 (m≠n,则数列(a,的公差为 m C.3.5尺 D.2.5尺 10.已知△ABC的一个内角为120°，并且三边 3.在等差数列{an}中，若a3十a4十a5=3,ag=8, 长构成公差为4的等差数列，则△ABC的 则a2的值是 ( 面积为 A.15 B.30 11.已知在等差数列{an}中，a2=4,a6=16,若 C.31 D.64 在数列{an}中每相邻两项之间插入三个 4.已知数列{an}为等差数列，且满足a13= 数，使得新数列也是一个等差数列，则新数 2026,a226=103,则a2126的值为( ) 列的第41项为 A.2036 B.2126 12.已知数列{am}的前n项和S,=n2+3n+2, C.126 D.3 判断{a}是否为等差数列. 5.已知等差数列{an}的公差为1，且a2,a4,a 成等比数列，则an= ( A.2n+1 B.2n+2 C.n+1 D.n+2 6.已知a,和，是两个等差数列，其中会 ≤k≤5)为常值，a1=288,a5=96,b1=192, 则b3= ( A.64 B.128 C.256 D.512 7.(多选)已知各项均为正数的等差数列{an》 单调递增，且as=2,则 ( A.公差d的取值范围是 B.2a7=ag+2 C.ag十a4>a6十a5 D.a1十ag=4 ·30· 三0022 富二数类为 13.在等差数列{an}中，a2十a5=-24,a17=66. (2)设bn= a一，求数列{b.}的通项 (1)求a2o26的值； antl-an (2)2026是否为数列{an}中的项？若是， 公式. 则为第几项？ 14.已知数列{an}的首项为2，前n项和为Sn, 且-1- a。a+4s,-n∈N）. 2 高考冲浪 (1)求a2的值； 1.(北京卷，6)设{an}是公差不为0的无穷等差 数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N。, 当n>N。时，an>0”的 () A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2024·全国甲卷（文），4)等差数列{an}的 前n项和为Sm,若S,=1,则a3十a,= A.-2 C.1 n号 ·31·三0022 12.解：(1)设aw=k1十b(k≠0)，则 1k+b=3, {10k+b=21, 解得 (k=2,. b=1, .an=2n+1(n∈N*),.a2024=4049. (2)a2a4a6,ag…为5,9,13,17，…，.b,=4n+1 13.解：(1)因为4，=1十6，所以数列{an是递减数列. 运明：在数列a,中a,=1十分则a1=1十所 6-6= 以a1-a=(+马）（+）=A号 n(十D<0,故数列{a,是道减数列 6 (2)若a,=,即1十6=，变形可得n2一1一6=0，解得 n=3或n=-2(舍去)，故n=3. 14.解：(1)因为Sn=n2-n+1,取n=1可得S1=1,故a1=1; 取n=2可得S2=4-2十1=3，即a1十a2=3,故a2=2: 取n=3可得S3=9-3+1=7,即a1十a2十a3=7,故a3 =4.所以a1=1,a2=2,a3=4. (2)当n≥2时，an=S-S4-1=n2-n+1-(1-1)2十 (1-1)-1=2m-2,又a1=1,不满足上式.所以数列 Q的通项公式为a,={2,2,≥2 高考冲浪 1.C[因为{an}为等差数列，设其首项为a1,公差为d,则 8-aoDg-1+”号4-号+a1号 2 S+1_Sn=4, n+1-n=2, 故倍}为等差铁列，则甲是乙的充分条件： 反之， 倍}为等鉴数到，即-受 S一m十1S=”S为常教，设为， n(+1) 即m一S=t,故5.=a1-1nn十1D,故S。1= n(n+1) (n-1)an-t·n(n-1),n≥2， 两式相减有：an=a+1-(n-1)a,一2t1今a+1一a, 2t,且为常数，对n=1也成立，故{a,}为等差数列，则甲是 乙的必要条件，故甲是乙的充要条件.故选C.] 2.C[由题意可得：当n=1时，a2=2a1十2， 即a1g=2a1+2,① 当n=2时，a3=2(a1十a2)十2， 即a1g2=2(a1+a1g)+2,② 联立①②可得a1=2,q=3,则a4=a1g3=2×33=54.] 假期必刷12等差数列的概念 技能提升台技能提升 1.B[如果数列{a}是等差数列，根据等差中项的定义可 得a3十ag=2a6,反之a3十ag=2a6成立，不一定得到数列 {an}是等差数列.] 2.D[设十二节气自冬至日起的日影长构成等差数列 {an},则立春当日日影长为a4=9.5尺，春分当日日影长 为a7=6尺，所以立夏当日日影长为a10=2a7一a4= 2.5尺.] .7 高二数学 3.A[设等差数列{an}的公差为d,a3十a4十a5=3,ag=8, .3a4=3,即a1+3d=1,a1+7d=8, 17 a1=-41 联立解得{ 7 d= 4 则42=-17+乙X11=15,] 44 4D[设学装能列a,小的公差为d.剥d-0器 -1,所以a2126=a103+（2126-103)d=2026-2023 =3.] 5.D[等差数列{an}的公差为1，且a2a4a7成等比数列， (a+3)2=(a1+1)(a1+6),解得a1=3. ∴.a,=3+(n-1)=n十2.] 6.B[由题分-会则么=64，故6士-192时4 2 2 128.故选B.] 7.BCD[由题意得d>0,a1>0,5=2,所以a1=2-4d>0, 解得dK分，所以d(0,号）故Λ错误：2a1-a=(a 十ag)一ag=a5=2,故B正确；由ag十a4-(a6十a5)=ag -a6-(a5-a4)=2d-d=d>0,得ag+a4>a6+a5,故 C正确；由等差数列的性质，得a1十ag=25=4,故D 正确.门 8.ACD[设数列{an}的公差为d.3a3=4a4,.3a3=4 (a3+d)=4a3+4d,.ag=-4d,∴.an=ag+(n-3)d= -4d+(n-3)d=(n-7)d,.a2=0.] 9.解析：设{a,}的公差为d,则am-a,=-=”二 n m mn (m-nd.d-md=d+(m-Ddd+(n -1d=2a1+m+i-2d=日+h-0=(m+0d, mn 即2a1+(m+u-2)d=(m+0)d,d=a1=2026 答案：2026 10.解析：不妨设A=120°，内角A,B,C所对的边分别为a, b,c,令c<b,则a=b+4,c=b-4. 由余滨定短得c0s120++-合 1 2b(b-4) 解得b=10.所以5ac=2 -besin120°=155. 答案：15√5 11.解析：设等差数列{an》的公差为d,则d=二g2= 6-24 =3. 在数列{a,}中的每相邻两项之间插入三个数，则新的等 差载列么}的公差为号-是故新载列的首项么=41= 4-3=1,故{6，}的道项公式为6，=1十子(n-1)=子 +子1=子×1+子=81. 答案：31 飞快乐低期 12.解：当n=1时，a1=S1=6:当n≥2时，a,=Sn-Sw-1= (n2+3+2)-[(-1)2+3(n-1)+2]=2n+2,.当 n=1时，a1=6不满足上式， 6,n=1, a,-{2m+2m≥2. a2-a1≠ag-a4,.{an}不是等 差数列. 13.解：(1)因为在等差数列{an}中，a2十a5=2a1十5d=24, a17=a1十16d=66,解得d=4,a1=2,所以a2026=2十 2025×4=8102. (2)由(1)得an=2+4(1-1)=4n-2.令41-2=2026， 得n=507∈N*,故2026是数列{an}中的项，即2026 为{an}中的第507项. 1解：1：a1=2且-品=52名-d 2 2 2 14 4x2百=7，解得a2=号 (2)由1-1 田anam4Sn∈N*), 可得4S,一1= 2an+L,① a+1一an .4S-1-1= 2an-1aL(n≥2).② an-an-1 由0-@得4a.=ana,a。一0 2anan1 2an-1an ≠0,0+1 an-1一=2， an+1一anan一aw-1 0u1-a十au一，a1=2,即 an an+1一an au一aw-1 an+1一an an-1 -=1(n≥2)，即bn-bw-1=1(n≥2) 0n一an- 又bh1=a1= 2=是教列，是首项为子，公 a2-a114-24 3 差为1的等差载列心6}的通项公式为6=子十(m 1)×1=1-4 高考冲浪 1.C[①充分性证明： 若{a,}为递增数列，则对Hn∈N*,a+1>a,公差d= a+1-a,>0,取正整数Ng,av=a1十(N0-1)d≥0成立 则当n>N。时，存在an>0. ②必要性证明： 若存在正整数No,当n>No时，am>0, an=a1+(n-1)d, dDd,对Ym>No,m∈N都成立， nd-a1=0,且d≠0， .d>0, ∴.对Hn∈N,都有au+1一an=d>0,an+1>an,即：{an}为 递增数列. 所以“{an}为递增数列”是“存在正整数No,当n>N。时， aw>0”的充要条件. .选C. 2.D[由Sn=1a1+21d得Sg=9a1+36d=1,a1 2 +4d=寸∴as+a1=2a,=2a1+4d0=子.] .7 900-= 假期必刷13等差数列的前n项和公式 技能提升台技能提升 1.B[设等差数列{an}的公差为d,则2(a1十6d)一(a1+ 10d)=a1+24=4,所以s,=5a1+541=5(a1+2ad） 5×4=20.] 2.B[设等差数列{an}的公差为d.因为S3=7,S6一S3= 9,且S3,S6一S3,Sg一S6成等差数列，所以Sg一S6= 2(S6-S3)-S3=11,即a7+a8+ag=11.] B[产-气由等爱埃列的性质及等多英利的 求和公式可得5=2a5=】 十2型X29 2 号65=2b1501+b2×29 S9=7×29+5 T2929-3 2 =8.] 4,A[·数列{an}的前n项和为Sw,且au+1=an十2，S= -35,数列{amn}是等差数列，公差d=an+1一an=2,且 5a1十10d=-35,解得a1=-11.∴Sn=-11m+0(2-1D 2 X2=n2-121=(1-6)2-36,∴.当Sm取得最小值时，n 的值是6.] 5.C[设每一层有环，由题可知从内到外每环之间构成 公差d=9,a1=9的等差数列.由等差数列的性质知S, S2m-Su,S3-S2成等差数列，且(S3M-S2m)-（S2m Sn)=n2d,则9n2=729,得n=9,则三层共有扇面形石板 Sn=S27=27×9+27X26×9=3402(块).] 2 6.C[设等差数列{an}的公差为d,a2=-7,S5=2a1,所以 十d-7,得8310所以5，=1om+ (5a1+10d=2a1, 。D×3=3别，28，因为fx)=2（32-23)的零 2 2 点为=0号所以S,的最小值是幸运画教化)零 点处的值，又|S1=10,|S7|=7,|Sg|=4,所以当n=8 时，S取得最小值.] 7.BD[因为Sn≤S6,所以S5≤S6且S,≤S6,即a6=S6- S5≥0，a7=S?-S6≤0，因为d≠0，即a6,a7不同时为0， 所以d=a7-a6<0,因为a6≥0，即a1十5d≥0，所以a1>0, S6-13(a,+a1-13a1≤0,46不-定为零.] 2 8.BCD[由数列{an}是递减的等差数列得d<0.对于A, 不妨举例数列{aw}为4,3,2,1,0，-1，-2，-3，…，则S1 =4,S2=7,S3=9,这三项不构成递减数列，故A错误：对 于B,S natunDd 2 =号+(a-号)是关于n 的一次离数，因光倍}是等差数列，故B王确：时子C,前 10项中，奇数项的和为a1十a3十a5十a7十ag=5a5,偶数 项的和a2十a4十a6十ag十a10=5a6,所以a6:a5=9:8, 设a6=9.x,a5=8.x,则5a5十5a6=-170,解得x=-2,所 以公差d=a6-a5=x=-2,故C正确；对于D,S15= 15a,+a12-15ag>0,则ag>0,516=16a,+a1d2 2 8(ag十ag)<0,则ag<-a8<0,所以Sg=Sg十ag<Sg,故 D正确.]