第一部分 假期必刷11 数列的概念与简单表示法-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业必刷题

三-022 假期必刷11数列的概影 【思维整合室 知识梳理 1.数列的概念 (1)数列的定义：按照 排列的一列数 称为数列，数列中的每一个数叫做这个数 列的 (2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可 以看成以 为定义域的函数am=f(n).当自变量 按照从小到大的顺序依次取值时所对应的 一列函数值。 (3)数列有三种表示法，它们分别是 和 2.数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数 有穷数列 项数 分类 无穷数列 项数 递增数列 按项与项 an+1an 间的大小 递减数列 an+1_an 其中n∈N 关系分类 常数列 an+1=an 有界数列 存在正数M,使|an≤M 按其他 从第二项起，有些项大于它的 标准分类 摆动数列 前一项，有些项小于它的前一 项的数列 3.数列的两种常用的表示方法 (1)通项公式：如果数列{an}的第n项am与 之间的关系可以用一个式子 来表示，那么这个公式叫做这个数 列的通项公式. (2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项（或 前几项)，且从第二项（或某一项）开始的任 一项a,与它的前一项am1（或前几项)间 的关系可以用一个公式来表示，那么这个 公式就叫做这个数列的递推公式. 自测自查 1.(1)一定顺序项(2)正整数集N*(或它 的有限子集)(3)列表法图象法通项公 式法 2.有限无限>< 3.(1)序号nan=f(n) 高二数学 念与简单表示法 要点记忆 1.若数列{an}的前n项和为Sn,通项公式为 a.,则a.-n1, {Sn-Sn-1n≥2. 2.在数列{a,}中，若an最大，则0,1” (an≥am+1, 若an最小，则a,Sa。-1, anan+1· 【《技能提升台 技能提升 1.已知n∈N*,给出4个表达式： ①an= 0,n为奇数，②a. 1+(-1) 1,n为偶数， -,③am 2 =1+cosnπ，④an= 2 an .其中能作为 数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是 A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 2.已知数列1，√3,5，√7，…，√/2-1，则35 是它的 ( A.第22项 B.第23项 C.第24项 D.第28项 3.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍 之数五十”的推论.主要用于解释中国传统 文化中的太极衍生原理.数列中的每一项， 都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪 数量总和.是中华传统文化中隐藏着的世界 数学史上第一道数列题.其前10项依次是 0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…,则此数列 第20项为 ( ) A.180B.200C.128D.162 4.已知数列{an}满足a1=0,a2=1,an= 十a,为奇数(m≥3.则数列1a.)的 2Xa,-2,n为偶数 前9项和为 ( A.35 B.48 C.50 D.51 5已知数列a,的通项公式为4，-，若 a1Xa2X…Xan≤a1Xa2X…Xak对n∈ N*恒成立，则正整数k的值为 ) A.5 B.6 C.7 D.8 6.数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,am+1= 3Sn(n≥1)，则a；等于 () A.3×4 B.3×44+1 C.4 D.45+1 飞密快乐假期 7.(多选)下列有关数列的说法正确的是( ) A.数列的图象是一群孤立的点 B.如果一个数列不是递增数列，那么它一 定是递减数列 C.数列0,2,4,6,8，…的一个通项公式为 an=2n D.数列1，√2,2,2√2,4，…的一个通项公式 为an=(√2)”-1 8.(多选)在数列{an}中，a1=1,am+1一am= n(n+1),则 A-号 Ba,-号 C.d.-2 n+1 D.a=2-1 7 9.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sm= a1(4"-1) ，若a4=32,则a1= 10.已知数列{an}的前n项和Sn=2n2一3n,则 {an}的通项公式为 11.一个正方形被等分成九个相等的小正方 形，将最中间的一个小正方形挖掉，得图 ①；再将剩下的每个正方形都分成九个相 等的小正方形，并将其最中间的一个小正 方形挖掉，得图②；如此继续下去，则图③ 中共挖掉了 个正方形，请写出每 次挖掉的正方形个数所构成的数列的一个 递推公式： 图① 图② 图③ 12.已知在数列{an}中，a1=3,a1o=21,an是 关于项数n的一次函数. (1)求{an}的通项公式，并求a2o24; (2)若{bn}是由a2,a4,a6,a8,…组成的，试 归纳{b}的一个通项公式. 90M-= 13.已知数列{an}的通项公式为a,=1十6 (1)判断数列{an}的单调性，并证明你的 结论； (2)若数列{an}中存在am=n的项，求n 的值 14.设数列{am}的前n项和为Sn,Sn=n一n十1. (1)写出a1,a2,a3的值； (2)求数列{an}的通项公式 高考冲浪 1.（2023·新课标I卷，7)记S,为数列{an}的 前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙： S〉为等差数列.则 () n A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要 条件 2.(2023·天津卷，6)已知{an}为等比数列，S 为数列{an}的前n项和，a+1=2Sn十2，则 a4的值为 () A.3 B.18 C.54 D.152飞空快乐假明 1x2+y2=c2 由 b ,设M(a,b),N(-a,-b), y-az 又因为A2(a,0),所以MA2⊥A1A2 R△MAA中∠AMA,=吾， 所以MA1:|MA2|=2:5,所以B错误. 所以A1M=√JTA1A22+MA22 =√/4a2+b2=√3a2+c2, 由|A1M|=2A1A2|得√3a2+c2=4a, 即c2=13a2,即e2=13,所以e=√13，所以C正确.因为 当a=√2，c2=26,从而b=24,即b=2√6，四边形 NA1MA2的面积为S= 2X号×2E×26=8,所以D正确.] 2.解：(1)由题意b=c =反，从而a=B+2=2, √2 所以籍闲方程为号十苦-1，离心来为。 42 2 (2)显然直线AB斜率存在，否则 B,D重合，直线BD斜率不存在 与题意不符，同样直线AB斜率 不为0，否则直线AB与椭圆无 交点，矛盾 从而设AB:y=kx十t,(t>√2)， A(x1y),B(x2y2), 联立+立，化简并整理得(1+2k2)x2+12 (y=kx+t -4=0, 由题意△=16k2t2-8(2k2+1)(t2-2)=8(4k2+2-t2) >0,即k,t应满足42+2-2>0，所以1+x2=1+2k2· -4kt 2t2-4 x1x2=2k2十1 若直线BD斜率为0，由椭圆的对称性可设D(一x2,y2), 所以ADy=兰(x一)十y1,在直线AD方程中令 x1十x2 x=0, 得c=12十x2y x1十x2 =(kx2十t)+x2(k1+t) x1十x2 2t型2+=是-1 x1十x2 -4kt 所以t=2, 此时k应满足 14k2+2-t2=4k2-2>0 即k应满足k< k≠0 2 茶上所遂1=2满足超意此时<号我>号 2 00M-= 假期必刷11数列的概念与简单表示法 技能提升台技能提升 1.A[检验知①②③都是所给数列的通项公式.] 2.B[观察可知数列的通项公式是an=√21-I, 令an=√21-I=3√5=√/45，得n=23.] 3.B[由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50… 可得偶数项的通项公式：a2=2m2. 则此数列第20项a20=2×102=200.] 4.A[由题得当n=3时，ag=2十0=2，当1=4时，a4=2 ×1=2,当n=5时，a5=2+2=4,当n=6时，a6=2×2= 4,当n=7时，a7=2+4=6,当n=8时，a8=2×4=8,当 n=9时，ag=2十6=8，所以{an}的前9项和Sg=a1十a2 十…+ag=1+2+2+4+4+6+8+8=35.] 5.Aa,当n≤5时，0u>1;当n≥6时，a,<1,由题 意知，a1Xa2X…Xae是{an}的前n项乘积的最大值，所 以k=5.] 6.A[当≥1时，an+1=3Sn,则a+2=3S+1, ∴.an+2-a+1=3S1+1-3Sn=3an+1,2即an+2=4an+1, ∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列. (1(n=1), 又a2=3S1=3a1=3,∴.a= 13×4"-2(n≥2) ∴当1=6时，a6=3×46-2=3X44.] 7.AD[对于选项A,因为数列是一类特殊的函数，其自变 量∈N,所以数列的图象是一群孤立的点，故A正确： 对于选项B,常数列既不是递增数列，也不是递减数列，故 B错误；对于选项C,当n=1时，a1=2≠0，故C错误；对 于选项D,因为a1=(√2)°，a2=√2，a3=(√2)2，a4= (√2)3，a=(√2)4，…，所以该数列的一个通项公式为an =(√2)”=1，故D正确.] &D[由a1a,十n得，当n≥2时 、a1-411=-am1a-2n-20-7a3 a:=2号ag-a1=1-7将各成相加得a,一a1 11 1二1(m≥2，则a=2-≥2）.当n=1时a1=2i n =1,满足上式，所以0，=2-7，当n=3时a=2-号 9.解析：S=14-1 3 a4=32, ∴.a4=S4-S3 255a1_63a1=32,∴.a1=2 3 3 答案：日 10.解析：a1=S1=2-3=-1, 当n2时，an=Sw-Sw-1=(2m2-3m)-[2(n-1)2- 3(1-1)]=4n-5,由于a1也适合此等式，.an=41-5. 答案：an=41-5 11.解析：图③中共挖掉了8×9十1=73（个）.设每次挖掉的 正方形个数为au,根据图形得a1=1=8°，a2=8l,a3= 82,则an=8”-1,故递推公式为an=8a-1(1n≥2). 答案：an=8an-1(n≥2) 三0022 12.解：(1)设aw=k1十b(k≠0)，则 1k+b=3, {10k+b=21, 解得 (k=2,. b=1, .an=2n+1(n∈N*),.a2024=4049. (2)a2a4a6,ag…为5,9,13,17，…，.b,=4n+1 13.解：(1)因为4，=1十6，所以数列{an是递减数列. 运明：在数列a,中a,=1十分则a1=1十所 6-6= 以a1-a=(+马）（+）=A号 n(十D<0,故数列{a,是道减数列 6 (2)若a,=,即1十6=，变形可得n2一1一6=0，解得 n=3或n=-2(舍去)，故n=3. 14.解：(1)因为Sn=n2-n+1,取n=1可得S1=1,故a1=1; 取n=2可得S2=4-2十1=3，即a1十a2=3,故a2=2: 取n=3可得S3=9-3+1=7,即a1十a2十a3=7,故a3 =4.所以a1=1,a2=2,a3=4. (2)当n≥2时，an=S-S4-1=n2-n+1-(1-1)2十 (1-1)-1=2m-2,又a1=1,不满足上式.所以数列 Q的通项公式为a,={2,2,≥2 高考冲浪 1.C[因为{an}为等差数列，设其首项为a1,公差为d,则 8-aoDg-1+”号4-号+a1号 2 S+1_Sn=4, n+1-n=2, 故倍}为等差铁列，则甲是乙的充分条件： 反之， 倍}为等鉴数到，即-受 S一m十1S=”S为常教，设为， n(+1) 即m一S=t,故5.=a1-1nn十1D,故S。1= n(n+1) (n-1)an-t·n(n-1),n≥2， 两式相减有：an=a+1-(n-1)a,一2t1今a+1一a, 2t,且为常数，对n=1也成立，故{a,}为等差数列，则甲是 乙的必要条件，故甲是乙的充要条件.故选C.] 2.C[由题意可得：当n=1时，a2=2a1十2， 即a1g=2a1+2,① 当n=2时，a3=2(a1十a2)十2， 即a1g2=2(a1+a1g)+2,② 联立①②可得a1=2,q=3,则a4=a1g3=2×33=54.] 假期必刷12等差数列的概念 技能提升台技能提升 1.B[如果数列{a}是等差数列，根据等差中项的定义可 得a3十ag=2a6,反之a3十ag=2a6成立，不一定得到数列 {an}是等差数列.] 2.D[设十二节气自冬至日起的日影长构成等差数列 {an},则立春当日日影长为a4=9.5尺，春分当日日影长 为a7=6尺，所以立夏当日日影长为a10=2a7一a4= 2.5尺.] .7 高二数学 3.A[设等差数列{an}的公差为d,a3十a4十a5=3,ag=8, .3a4=3,即a1+3d=1,a1+7d=8, 17 a1=-41 联立解得{ 7 d= 4 则42=-17+乙X11=15,] 44 4D[设学装能列a,小的公差为d.剥d-0器 -1,所以a2126=a103+（2126-103)d=2026-2023 =3.] 5.D[等差数列{an}的公差为1，且a2a4a7成等比数列， (a+3)2=(a1+1)(a1+6),解得a1=3. ∴.a,=3+(n-1)=n十2.] 6.B[由题分-会则么=64，故6士-192时4 2 2 128.故选B.] 7.BCD[由题意得d>0,a1>0,5=2,所以a1=2-4d>0, 解得dK分，所以d(0,号）故Λ错误：2a1-a=(a 十ag)一ag=a5=2,故B正确；由ag十a4-(a6十a5)=ag -a6-(a5-a4)=2d-d=d>0,得ag+a4>a6+a5,故 C正确；由等差数列的性质，得a1十ag=25=4,故D 正确.门 8.ACD[设数列{an}的公差为d.3a3=4a4,.3a3=4 (a3+d)=4a3+4d,.ag=-4d,∴.an=ag+(n-3)d= -4d+(n-3)d=(n-7)d,.a2=0.] 9.解析：设{a,}的公差为d,则am-a,=-=”二 n m mn (m-nd.d-md=d+(m-Ddd+(n -1d=2a1+m+i-2d=日+h-0=(m+0d, mn 即2a1+(m+u-2)d=(m+0)d,d=a1=2026 答案：2026 10.解析：不妨设A=120°，内角A,B,C所对的边分别为a, b,c,令c<b,则a=b+4,c=b-4. 由余滨定短得c0s120++-合 1 2b(b-4) 解得b=10.所以5ac=2 -besin120°=155. 答案：15√5 11.解析：设等差数列{an》的公差为d,则d=二g2= 6-24 =3. 在数列{a,}中的每相邻两项之间插入三个数，则新的等 差载列么}的公差为号-是故新载列的首项么=41= 4-3=1,故{6，}的道项公式为6，=1十子(n-1)=子 +子1=子×1+子=81. 答案：31