第一部分 假期必刷10 直线与圆锥曲线的位置关系-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业必刷题

化受快乐限期 假期必刷10直线与圆锥曲线的位置关系 锲而不舍，金石可镂。 完成日期： 月 日 《思维整合室 。一=1千十4.特别 若直线过抛物线的焦点，则弦长|AB|=x1十 知识梳理 x2十p= 22(a为弦AB的倾斜角). sin a 直线与圆锥曲线的位置关系的判定 2.中点弦的重要结论 (1)代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立消 2 去y,整理得到关于x的方程ax+bx+c=0. AB为椭圆二+片-1(a>6>0)的弦， a 62 A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(xo,y). 1与C 方程a.x2十b.x十c=0的解 bxo 的交点 (1)斜率：k= ayo 无解（含1是双曲线的渐 (2)弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O b=0 近线) a=0 有一解（含1与抛物线的 的连线的斜率之积为定值二 b≠0 对称轴平行或与双曲线 《技能提升台 的渐近线平行) 技能提升 4>0 两个 的解 a≠0 △=0 两个相等的解 1直线y=虹一+1与精圆号+誉-1的位 4 置关系为 ( △<0 无实数解 无公共点 A.相交 B.相切 (2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲 C.相离 D.不确定 线和直线，利用图象和性质可判定直线与 2.直线y=x+1截抛物线y2=2px(p≠0)所 圆锥曲线的位置关系 得弦长为2√6，此抛物线方程为 () A.y2=-2x B.y2=6.x 自测自查 C.y2=-2x或y2=6xD.以上都不对 (1)无公共点 一个交点不等 两个交点 一个切点 3若直线y=kx与双曲线写-苦-1相交，则 k的取值范围是 要点记忆 a 1.直线与圆锥曲线的相交弦长问题 设斜率为（≠0）的直线1与圆锥曲线C相交于 B(0】 A,B两点，A(x1y),B(x2y2),则AB=√1+k c() 1x-x2|=√1十k·√(，十)-4红2 n(-e,-号后+e ·24 三0022 畜二数学卧 4.过点P(2,1)的直线1与双曲线x2-义=1 9.斜率为3的直线过抛物线C:y=4x的焦点， 且与C交于A,B两点，则|AB引= 相交于A,B两点.若P是线段AB的中点， 10.已知直线y=x十m被椭圆4x2+y2=1截 则直线1的方程是 A.6x-y-11=0 B.6x+y-13=0 得的效长为，则m的值为 C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-4=0 11.过点M(2,-2)作抛物线x=2y(p>0)的 5.已知F为抛物线C:y=4x的焦点，过点F 两条切线，切点分别为A,B,若线段AB的 的直线l交抛物线C于A,B两点.若|AB| 中点的纵坐标为6，则力的值是 =8,则线段AB的中点M到直线x十1=0 2 的距离为 ) 2.已知圆C士1a>h>0的离心 A.2 B.4 C.8 D.16 6已知精圆6号+芳 率为弯左右题点分别为A(-2,0 =1(a>b>0)的右焦点 B(2,0). 为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两 (1)求椭圆C的方程； 点.若AB的中点坐标为(1，一1)，则E的方 (2)过点E(1,0)作斜率为的直线1与椭 程为 圆C交于不同的两点M,V(异于A,B两 取东+茶-1 2 点)，直线AM,AN分别交直线x=1于P, Q两点，当|PQ=2时，求k的值. c+盖-i 7.(多造》已知椭圆的方程为号+兰-1，斜率 为的直线不经过原点O,而且与椭圆相交 于A,B两点，M为线段AB的中点，则下列 结论正确的是 A.直线AB与OM垂直 B.若点M(1,1),则直线方程为2x+y-3=0 C若直线方程为y=十1，则点M行别 D.若直线方程为y=x十2，则1AB1=42 3 8.（多选)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点 F(2,0),直线y=k.x十m与该抛物线相交于 A,B两点，M(2,1)是AB的中点，点P在抛 物线上，O为坐标原点，则下列结论正确 的是 A.k=2 B.m=-7 C.(PFI+IPM min=4 D.△AOB的面积是2 ·25· 飞曼快乐假期 S00-= 13.如图所示，点A,B分别 高考冲浪 是椭圆石十品=1长轴 12025·金国=卷，1双角线C号-芳=1 的左、右端点，点F是椭 (a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2, 圆的右焦点，点P在椭 左、右顶点分别为A1,A2,以FF2为直径的 圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF. 圆与C的一条渐近线交于M,N两点，且 (1)求点P的坐标； (2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M ∠NA,M=,则 () 到直线AP的距离等于|MB,求椭圆上的 点到点M的距离d的最小值. A.∠A,MA,=晋 B.IMA I=2MA2I C.C的离心率为√13 D.当a=√2时，四边形NA,MA。的面积 为8√3 2.(2024·北京卷，19)已知椭圆方程C:立+ x =1(a>>0),焦点和短轴端点构成边卡 14已知箱圆C号+芳-1。>0)的左，有 为2的正方形，过(0，t)(t>√2)的直线l与 162 椭圆交于A、B,点C(0,1),连接AC交椭圆 焦点分别为F,E,点P1,在C上，且 于D (1)求椭圆E的方程和离心率； PF2⊥FF2. (2)若直线BD的斜率为0，求t. (1)求C的标准方程； (2)设C的左、右顶点分别为A,B,O为坐 标原点，直线1过右焦点F,且不与x轴垂 直，l与C交于M,N两点，直线AM与直 线BN相交于点Q,证明：点Q在定直 线上. ·26·飞密快乐假期 假期必刷10直线与圆锥曲线的位置关系 技能提升台技能提升 1.A[直线y=kx一k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1)，又 点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.] 2.C[由1+1∵得x2+(2-2px+1=0.1十=2功 ly2=2px -2,x1x2=1..26=√1+1·√/x+x2)2-4x1x2=√2 ·√(2p-2)2-4.解得p=-1或p=3, 抛物线方程为y2=一2x或y2=6.x.故选C.] 3.C[双南能写苦学-1的新近钱方程为y=士号，若直 线与双南线相交，数形结合，得∈（子号）门 4.A[设A(x1,y1),B(x2y2),则 两式相减 得直线1的斜率为1业=3〔n十2》=3X2=6.又直 x1-x2y1十y2 1 线1过点P(2,1),所以直线l的方程为y一1=6(x一2)， 即6.x一y一11=0，经检验此时直线1与双曲线有两个 交点.] 5.B[如图，抛物线y2=4x的焦点 为F(1,0),准线为直线x=一1， 即x十1=0.过A,B作准线的垂 线，垂足分别为C,D,则有AB =AFI+BFI=ACI+BDI 0/F =8.过AB的中点M作准线的垂 D-B 线，垂足为N,则MN为直角梯形 ABDC的中位线，则|MN|= IAC+BDI)=4,即点M到 准线x十1=0的距离为4.] D黄A0是=1亭+器1 两式作差并化简变形得山一业 x1-x2 +2,而-业=0二D=号 a2(y+y2)' x1-x23-1 2,x1+x2=2, y1十y2=-2,所以a2=2b2,又因为a2-b2=c2=9,于是 a2=18,b2=9.故选D.] 7.BD[设A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,m),y1十y2≠0，由 道意得里+营-1，单+兽=1，两或相浅可得 4 (y1-y2)(y十22+x1-)+x22=0,所以kAB 4 2 2国为m=士”m-专”，所以= y1十y2 2 卫=十业，所以kAnk on=一2，故A错误.因为kAk0M m x+x2 =一2，k0M=1,所以kAB=-2,则直线方程为y-1= -2(x-1),即2x十y一3=0，故B正确.由 (y=x+1, 2 (2.x2+y2=4, 可得3x2+2.x-3=0,所以x1十x2=一3， ·6 900-= 则中点M(号)C特溪.由 可得 {2.x2+y2=4, 3.x2十4x=0,解得x1=0,x2=- 号，则|AB到=中TX 0+引-长D三晚] 8.BCD[如图，由题意得抛物线的 方程为y2=8x,点P是抛物线y2 =8x上的一点，过点P向抛物线P 的准线作垂线，垂足为P,则PF +|PM=|PP'I+|PM|,因为 PP'+IPMI min =IMP', OC F A 以(PF|+|PM)nmin=4,故C正 确：设A(x1y1),B(x2y2),x1≠ x2,则y=8x1y2=8x2,所以y3-y=8(x2-x1),所以 k=2二1=8，因为M(2,1)为AB的中点，所以y x2-x1y2+y1 十y2=2,所以k=4,故A不正确；所以直线AB的方程为 y=4x十m,因为直线过点M(2,1),所以m=一7，故B正 确：所以直线AB的方程为y=虹-1，所以C(子0）由 、三4x二7得y-2y14=0,所以}所以 y13y2=-14, 1y一2=25，所以△A0B的面积为？|0C1l1-为 =7压，故D正确.] 4 9.解析：设A(x1y),B(x2y2),又直线AB: y=√3(x-1), 由{5x一1D,得，3x2-10x+3=0,则1十，=， y2=4x 31 所以AB到=++p9+2-9 3 答案1号 10.解析：把直线y=x十m代入椭圆方程得4x2+（x十m)2 =1,即5.x2+2m.x十m2-1=0,设该直线与椭圆相交于 两点A(1y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程5x2十2m.x +m2-1=0的两根，△=4m2-20(m2-1)=-16m2+ 20>0,即m2<号、由韦达定理可得1十2= 2m 5 x1·x2= 号，所以AB=· √x1+x)2-41=E'√25 _4m4=2E,所以 5 5 m=±1. 答案：土1 11.解析：设点A(1),B(x2y2),依题意得，y'= 初线MA的方程是y一为=分(-，即y x 「0又点M2,-2D)位于直钱MA上，于是有二2p= ×2中行-p2-0:网现有年-g一4-0， 三022 因此x1,x2是方程x2一4x一4p2=0的两根，则x1十x2 =4,x1x2=一4p2.由线段AB的中点的纵坐标是6得， 十为=12，即道=十)8-2=12， 2p 2p 16十8p2=12,解得p=1或p=2. 2p 答案：1或2 12,解：1)由题意可知。=台-号0=2，所以c=后，6 尽--1，所以精圈C的方程为号+少=1 (2)设直线MN的方程为y=k(x-1)(k≠0)，联立直线 MN与椭圆的方程)4 +y=1,整理得(1+4)2 (y=k(x-1), 8k2x+4k2-4=0. 8k2 设M(x1y1),N(x2%),则+2=1十4x2 =4k2-4 1+4k2 图为直线AM的方程为y=十2红+2》，令=1， 得)片以P) 因为直线AN的方程为y=片2x+2),令x1 得y 3y2 3y2 2+2 所以Q12小 因此PQ= 3y1 3y2 =2, x1+2x2+2 即 3k(x1-1)3k(x2-1) 1=2, x1+2 x2+2 化简得|9k(x1-x2)|=2x1x2+2(x1十x2)十4|， 8k2 将x1+=1中4坎1欧 代入得19(-川 |42-4+2×8k2 +4 1+42,所以(x1-x2)2 72k2 =21+42 1+4k2 64k2 (1+462)2,所以 8k2 一4·42-4 64k2 1+4k2 1+4k2 (1+4k2)21 化简得k2=1,进而得k=士1. 13.解：(1)由已知可得点A(一6,0)，F(4,0), 设点P的坐标是(x,y), 则AP=(x+6,y),FP=(x-4,y). PALPF,.AP.FP=0. 信若1 (x+6)(x-4)+y2=0, 可得2x2+9一18=0，得x=音或x=-6 由于>0，故=，得y-5 21 点P的生标足（号） (2)由(1)可得直线AP的方程是x一√3y十6=0，点B (6,0). ·6 设点M的坐标是(m,0). 则点M到直线AP的距离是m十6， 2 于是m6l=m-6l, 2 又一6m6,解得m=2. 由椭圆上的，点(x,y)到，点M的距离为d, 得=（公-22+少2=2-4红+4+20-号2= 号-号)+15，由于-6≤x≤6， 由f)=号(-号)+15的图象可知， 当x=号时山取最小值，且最小值为丽 14.1)解：PF2LFP,P(,号） c=1,.F1(-1,0),F2(1,0), PE2+()=号 PF+PF,=号+号=4=2aa=2 6=瓜C的标准方粒为置+号-1 (2)证明：设直线1：y=k(x一1)， M(x1y1),N(x2y2),Q(x0y0), 由题意知A(-2,0),B(2,0), 1y=k(.x-1), 4+=1.得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0: x2+y2 x1十x2 3+46201x2-462-12 8k2 3十4k2 由A,M,Q三点共线可得y0。 y1 0+2x1+20 由B,N,Q三点共线可得y0。 y2 -2x22② 名器 将听=子(4-)好=是4-x)代入上式。 得0-2)24-2(x1+x2)+12 (x0+2)24+2(x1+x2)+x1x2 又x1十x2 8k2 4k2-12 3+4h21x2=3+4h2, .(x0-2)2_1 “(0+2)=9,由题意知0>2， ∴x0=4,点Q在定直线x=4上. 高考冲浪 1.ACD[根据双曲线的对称性可知A1A2与MN互相平 分，所以四边形A1MA2N是平行四边形，因为∠NA1M =,所以∠AMA,=吾A正确.以FF为直径的园 的方程为x2+y2=c2, 不妨设渐近线y=么x, a 飞空快乐假明 1x2+y2=c2 由 b ,设M(a,b),N(-a,-b), y-az 又因为A2(a,0),所以MA2⊥A1A2 R△MAA中∠AMA,=吾， 所以MA1:|MA2|=2:5,所以B错误. 所以A1M=√JTA1A22+MA22 =√/4a2+b2=√3a2+c2, 由|A1M|=2A1A2|得√3a2+c2=4a, 即c2=13a2,即e2=13,所以e=√13，所以C正确.因为 当a=√2，c2=26,从而b=24,即b=2√6，四边形 NA1MA2的面积为S= 2X号×2E×26=8,所以D正确.] 2.解：(1)由题意b=c =反，从而a=B+2=2, √2 所以籍闲方程为号十苦-1，离心来为。 42 2 (2)显然直线AB斜率存在，否则 B,D重合，直线BD斜率不存在 与题意不符，同样直线AB斜率 不为0，否则直线AB与椭圆无 交点，矛盾 从而设AB:y=kx十t,(t>√2)， A(x1y),B(x2y2), 联立+立，化简并整理得(1+2k2)x2+12 (y=kx+t -4=0, 由题意△=16k2t2-8(2k2+1)(t2-2)=8(4k2+2-t2) >0,即k,t应满足42+2-2>0，所以1+x2=1+2k2· -4kt 2t2-4 x1x2=2k2十1 若直线BD斜率为0，由椭圆的对称性可设D(一x2,y2), 所以ADy=兰(x一)十y1,在直线AD方程中令 x1十x2 x=0, 得c=12十x2y x1十x2 =(kx2十t)+x2(k1+t) x1十x2 2t型2+=是-1 x1十x2 -4kt 所以t=2, 此时k应满足 14k2+2-t2=4k2-2>0 即k应满足k< k≠0 2 茶上所遂1=2满足超意此时<号我>号 2 00M-= 假期必刷11数列的概念与简单表示法 技能提升台技能提升 1.A[检验知①②③都是所给数列的通项公式.] 2.B[观察可知数列的通项公式是an=√21-I, 令an=√21-I=3√5=√/45，得n=23.] 3.B[由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50… 可得偶数项的通项公式：a2=2m2. 则此数列第20项a20=2×102=200.] 4.A[由题得当n=3时，ag=2十0=2，当1=4时，a4=2 ×1=2,当n=5时，a5=2+2=4,当n=6时，a6=2×2= 4,当n=7时，a7=2+4=6,当n=8时，a8=2×4=8,当 n=9时，ag=2十6=8，所以{an}的前9项和Sg=a1十a2 十…+ag=1+2+2+4+4+6+8+8=35.] 5.Aa,当n≤5时，0u>1;当n≥6时，a,<1,由题 意知，a1Xa2X…Xae是{an}的前n项乘积的最大值，所 以k=5.] 6.A[当≥1时，an+1=3Sn,则a+2=3S+1, ∴.an+2-a+1=3S1+1-3Sn=3an+1,2即an+2=4an+1, ∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列. (1(n=1), 又a2=3S1=3a1=3,∴.a= 13×4"-2(n≥2) ∴当1=6时，a6=3×46-2=3X44.] 7.AD[对于选项A,因为数列是一类特殊的函数，其自变 量∈N,所以数列的图象是一群孤立的点，故A正确： 对于选项B,常数列既不是递增数列，也不是递减数列，故 B错误；对于选项C,当n=1时，a1=2≠0，故C错误；对 于选项D,因为a1=(√2)°，a2=√2，a3=(√2)2，a4= (√2)3，a=(√2)4，…，所以该数列的一个通项公式为an =(√2)”=1，故D正确.] &D[由a1a,十n得，当n≥2时 、a1-411=-am1a-2n-20-7a3 a:=2号ag-a1=1-7将各成相加得a,一a1 11 1二1(m≥2，则a=2-≥2）.当n=1时a1=2i n =1,满足上式，所以0，=2-7，当n=3时a=2-号 9.解析：S=14-1 3 a4=32, ∴.a4=S4-S3 255a1_63a1=32,∴.a1=2 3 3 答案：日 10.解析：a1=S1=2-3=-1, 当n2时，an=Sw-Sw-1=(2m2-3m)-[2(n-1)2- 3(1-1)]=4n-5,由于a1也适合此等式，.an=41-5. 答案：an=41-5 11.解析：图③中共挖掉了8×9十1=73（个）.设每次挖掉的 正方形个数为au,根据图形得a1=1=8°，a2=8l,a3= 82,则an=8”-1,故递推公式为an=8a-1(1n≥2). 答案：an=8an-1(n≥2)