第一部分 假期必刷9 抛物线-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业必刷题

快乐低期 13.解：a=1,b=√5，c=2, 直线1过点F2,且倾斜角为45°， .直线1的方程为y=x-2, 代入双曲线方程，得2x2十4x一7=0. 设A(x1y1),B(x2y2), x1·x2=-2<0, A、B两点分别位于双曲线的左、右两支上 7 :x1十x2=-2,x1·x2=-2, .|AB=√1+121x1-x2 =Ex√+-4=ix-22-4(-2)-6 14.解：1)因为e=2,即=2，所以三三到 因为a2=1,所以c2=4. 因为a2+2=c2,所以b2=3,所以b=√3（负值舍去）. (2)因为△MA2P为等腰三角形， ①若MA:为底，别点P在直线=一日，与P在第一原 限矛盾，故舍去 ②若A2P为底，则MP=MA2,与MP>MA2矛盾， 故舍去. ③若MP为底，则MA2=PA2, 设P(x0%),x0>0,y0>0. 则W/(x0-1)2+(y0-0)2=3,即(x0-1)2+y02=9, 又周为2-公2=1， 8 3 得(x,-1D2+(6-1D×号=9，得112-6。-32=0， 得x0=2,y0=2√2，即P点坐标为P(2,2√2). (3)由A1(-1,0),A2(1,0),设P(x1y1),Q(x2,y2),则 R(-2,-),设直线1：x=my-2(m>方) x=my-2(m>b） 1 联立 x23y2 得(b2m2-1)y2-4b2my+ 21 4b2m y+y2= 2m2-7 3b2=0,则 3b2 y·y2m2-1 A1R=(-2十1，-2)，A2P=(m-1,h),又由A1R·A2P =1,得(-x2十1)(-1)-12=1， 即(x2-1)(x1-1)+y1y2=-1,即(my2-3)(my1-3) +y1y2=-1, 化简后可得到(m2+1)y1y2-3m(y1+y2)+10=0, 所以362(m2+1)-12m2b+10(b2m2-1)=0,化简 b2m2+362-10=0, ·6 000- 所以2=10∈ m2+3 ] 又m2≠是：所以b2≠10 10B2,得b2≠3，所以2 辰+3弥可 ∈03U(3,号]又6>0，故么的取位范周是0U , 高考冲浪 1.D[由题知b=√7a,则c=√7+Ia=2√2a,所以离心率e =合=2E,故选D.] 2.解析：由题知：AF2|=5,|AF1|=13,|F1F2|=2c= √132-5=12，解得c=6,|AF1|-AF2|=2a=8,解得 04所以=合-是 答案：昌 假期必刷9抛物线 技能提升台技能提升 1.B 2.A[因为抛物线的标准方程为y2=4x,所以其准线方程 为x=一1.] 3.B4.B 5.D[因为抛物线C:y2=8.x的焦点F(2,0),准线方程为 x=一2，点M在C上， 所以M到准线x=一2的距离为|MF|, 又M到直线x=一3的距离为5， 所以|MF+1=5,故|MF|=4.故选D.] 6.C[由抛物线的方程为y2=4x,知F(1,0).当过点A的 直线斜率不存在，即直线与y轴重合时，满足直线与抛物 线C有唯一公共点.当过点A的直线斜率为0时，直线方 程为y=2,满足直线与抛物线C有唯一公共点.当过点A 的直线斜率存在且不为0时，设直线方程为y=kx十2，由 =虹+2得关于r的方程22+(4-x+4=0,令 (y2=4.x, △=(4级-4)2-4X4×2=0,解得及=合，此时满足条件 的直线有1条.综上，过点A与抛物线C有唯一公共点的 直线有3条.] 7.AC 8.BD[对于A,点P(9,6)在抛物线C上，.18p=36,解 得p=2,故C的方程为y2=4x,焦点为F(1,0),准线方 程为x=-1,A错误；对于B,直线PQ的斜率k=g- 6-0 号，B正确：对于C直线PQ的方程为y=子（-1，联 4 3 主抛物线方程得 =-1D解得=9或 (y2=4x, (y=6, 三0022 1 r= 9 2 即Q(付-号)故1Q=+台-g+1 y= 3 9大9 吕C错溪：对于D,线段PQ的中点的桥垒标为 号D正确] 巨19 11.解析：不妨设F1(-c,0),F2(c,0),N(x00)(x0>0,yo 1 >0).由tan∠NFF2=,∠NF,F=45,则有 y01 干有'解得=子c,%=号c,又S△w,5= yo=c-xo 合1F,F%=号2=10，解得c=50F=8,则有 O1(-3,0),故抛物线方程为y2=32(x十3). 答案：y2=32(x+3) 12.解：设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0), 设A(0o,由题可知M(0,-号) 1AF到=3，yo+=3, AM=娟+(+)}=17， .x8=8,代入方程x=2py0,得 8=2p(3-号)解得p=2或p=4. .所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y. 13.解：(1)易知直线与抛物线的交，点坐标为(8，一8)， .(-8)2=2p×8. .2p=8,∴.抛物线方程为y2=8.x. (2)由直线l2与1垂直，可设直线l2:x=y十m, A(x1y1),B(x2y2),且直线l2与x轴的交点为M. 由2=8得y2-8一8m=0, lx=y+m, △=64+32m>0, .m>-2.y1+y2=8,y1y2=-8m, x1x2= 2=2。 64 由题意可知OA⊥OB,即x1x2十y1y2=m2-8m=0, .m=8或m=0(舍)，∴.直线l2:x=y十8，M(8,0). 故SaAB=SaWB+SaA=7·FM·1-为l =3√y1+y2)2-4y1y2=24V5. 14,解：1)选①：设P(x,),由题意PP=+ 取/-）+=+ 整理可得y2=x十x,即y2=2x(x>0) 或y=0(x≤0)， 所以曲线C的方程为y2=2.x(x>0)或y=0(x≤0). ·6 高二数学 选②：过P作y轴的垂线，垂足 H P 于点P', 为H,交直线x=一2 设动圆的圆心为E,半径为r,则 点E到y轴的距离为r, 在梯形OFPH中，由中位线性 质可得PH=2r-2: 1 所以1PP=2合+子-2 又|PF|=2r,所以|PP'|=PF|, 由抛物线的定义知，点P是以F (2,0）为焦点的抛 物线， 所以曲线C的方程为y2=2x (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),将y=k(x-2)代入y2 =2x, 消去y整理得k2x2-2(2k2+1)x+4k2=0. 则4=4(22+1)2-4k2·42>0,x1十，=2(2k2+D 2 =4k2+2,x1=4, k2 故|MN|=√1+k2|x1-x2 =√/1+k2/(x1十x2)2-4x1x2 -√1+E/+2》2-16=2W而， 化简得(1+k2)(16k2+4)=40k,解得k2=1(负值舍 去)，故k=士1. 高考冲浪 1.ACD[1恰为抛物线的准线，由 y个 抛物线定义可知A选项正确，设 D ∠AFx=0,连接AE易知△ADE ≌△AFE,.∠DAE=∠FAE= 合∠FaD=号则AE= cos 2 0 (1-cos 0)cos IAB)-1AFI+BFI-T 十1十cs0sin日，选项B错误， 1AB1=2≥2p=6,选项C正确： sin0 |AE·|BE= (1-cos 0)cos2 (1+cos 0)cos 0+元 2 品6≥18 选项D正确.故本题正确选项为ACD.] 2.C[由直线)y=-2z十2知F1.0),所以号=1，p=2,所 以抛物线方程为y=4x,准线为x=一1，所以B(一1,4)，所 以⅓=4，代入抛物线方程得A4,4),所以AF=专+ xA=1+4=5.]三0022 假期必刷9抛物 《(思维整合室 知识梳理 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(F在 )的 的点的轨迹叫做抛物线， 叫做抛物线的焦点， 叫做抛物 线的准线。 2.抛物线的标准方程(p>0) 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 自测自查 1.距离相等定点定直线 2. 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y'=2px (30) x=- 卫 y2=-2px (-0) x= 2 x=2py (0,) x2=-2py (0-) y光 21 富二数类 线 非学无以广才，非志无以成学。 完成日期： 月 日 要点记忆 判断焦点位置及开口方向的记忆口诀 焦点要看一次项，符号确定开口方向： 如果y是一次项，负时向下，正向上； 如果x是一次项，负时向左，正向右. 《技能提升台 技能提升 1.已知抛物线的准线方程为x=一7，则抛物 线的标准方程为 () A.x2=-28y B.y2=28x C.y2=-28x D.x2=28y 2.已知抛物线的标准方程y=4x,则它的准 线方程是 () A.x=-1 B.x=1 C.y=-1 D.y=1 3.已知抛物线y=2px(p>0),过其焦点且斜 率为1的直线交抛物线于A,B两点，若线 段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的 准线方程为 ) A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 4.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点 (一1,1)，则该抛物线的焦点坐标为() A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1) 5.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在 C上，若M到直线x=一3的距离为5，则 MF= () A.7 B.6 C.5 D.4 飞婴快乐假期 6.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点 A(0,2)且与抛物线C有唯一公共点的直 线有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 7.(多选)已知抛物线的顶点为原点，焦点在y 轴上，抛物线上点M(m,一2)到焦点的距离 为4，则m的值可能为 A.-4 B.-2 C.4 D.2 8.(多选)已知抛物线C:y2=2px的焦点为 F,点P(9,6)在C上，直线PF交C于另一 点Q,则 () A.C的准线方程为x=1 B直线PQ的斜率为 C.FQ=2 D.线段PQ的中点的横坐标为 0 9.设抛物线y2=2x(p>0)的焦点为F,点 A(0,2),若线段FA的中点B在抛物线上，则 点B到该抛物线准线的距离为 10.已知抛物线：y2=2x(p>0).若第一象限 的A,B两点在抛物线上，焦点为F,|AF =2,|BF|=4,|AB|=3,则直线AB的斜 率为 11.应用抛物线和双曲线的 光学性质，可以设计制造 反射式天文望远镜，这种 0 望远镜的特点是镜筒可 以很短而观察天体运动 又很清楚.某天文仪器厂设计制造的一种 反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中 心截口示意图)所示.其中，一个反射镜 PO,Q弧所在的曲线为抛物线，另一个反 ·22 00M-= 射镜MO,N弧所在的曲线为双曲线的一 个分支.已知F,F,是双曲线的两个焦点， 其中F,同时又是抛物线的焦点，且∠NFF =45,am∠NFE。=,△NF,F:的面积为 10,|O1F2|=8,以FF2的中点O为原点， F,F。所在直线为x轴，建立平面直角坐标 系，则抛物线方程为 12.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦 点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线 上的一点，且|AM=√/17，|AF|=3,求此 抛物线的标准方程。 三0022 13.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,抛物线C与直线l1:y=一x的一个交点 的横坐标为8. (1)求抛物线C的方程； (2)不过原点的直线2与1，垂直，且与抛 物线交于不同的两点A,B,若线段AB的 中点为P,且|OP|=|PB|,求△FAB 的面积. ·2 富二数学) 14.在平面直角坐标系xOy中，设点P的轨迹 为曲线C.①点P到F(2,0)的距离比P 到y轴的距离大2：②过点F(20]的动 圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径.在① 和②中选择一个作为条件： (1)选择条件： ,求曲线C的方程； (2)设直线y=(x一2)(k≠0)与曲线C相 交于M,N两点，若|MN=2√I0,求实数 k的值. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个 解答计分 高考冲浪 1.(2025·全国一卷，10)设抛物线C:y=6.x的 焦点为F,过F的直线交C于A、B两点，过A 作直线1：x=一 的垂线垂足为D,过F作垂 直于AB的直线交1于E,则 A.AD-AF B.AE=AB C.|AB≥6 D.|AE·|BE≥18 2.(2025·全国二卷，6)设抛物线C:y2=2px (p>0)的焦点为F,点A在C上，过点A作 C的准线的垂线，垂足为B,若直线BF的方 程为y=一2x+2,则|AF|= () A.3 B.4C.5 D.6