第一部分 假期必刷8 双曲线-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业必刷题

三0022 假期必刷8双曲线 技能提升台技能提升 1.D2.C 8D由e=5,则=0七1+ a2 Ta5, 62 解得2=2， 渐近线y=一2x与圆无法相交， 所以双曲线的一条渐近线不妨取y=2x, 则圆心(2,3)到渐近线的距离 d=2×2-3到=⑤ √22+1 51 所以袋长AB=2v一=2行-1，故越D] 4. 5.D[由题意可知双曲线的一条浙近线方程为)一户，与 抛物线方程组成方程组了y一。 消去y得，x2-b y=x2+1, +1=0,A= (合)-4=0即（） =4,所以e= 1+(合)=5. 6.A[如图，设|PF1|=m,PF2 =n,则m>n>0.由双曲线定义 知，m-n=4.又mn=12,故m= 6,n=2.由于点P在以F1F2为 直径的圆上，所以PF1⊥PF2, 故a∠PE,,=子 从而tan∠POF2=tan2∠PF1F2 2tam∠PFE2=3.] 1-tan2∠PFF24 7.ACD[将双曲线方程化为标准式可得兰-上=1.当m 15 mm >0时，双肉段兰兰-1表示氛高在上给上的双曲线。 mm 且a2=1,b2=5, ,2一，6，此时顶点坐标为 (±，√小渐近线方常为=士5，总距2-源离 m 心率0√1+名=中西-，当m<0时，双南线号 b2 m 表示焦点在y轴上的双曲线，且。2=一三2 m m 品2=一品时暖点坐标为0，士 5 ,渐近线 m 方程为y=士5x,焦距2c=26 ,离心率e= w√/-m √十石=@综上可得，随m的变化而变化的是预点 坐标、焦距和离心率，] 6 &AD[:双向线将近线方程为y一士9。 ∴.双曲线渐近线与x轴夹角为30°或150° 又F为右焦点，P是双曲线上一点， ∴.0°≤∠POF<30°或150°<∠P0F≤180°. ∴∠POF不可能为60°.] 9.x2-y2=1 10.解析：双曲线y+上=1的渐近线方程为 m y=士 √-m 答案：-3 1山.解析：过F且斜幸为名的直线1：y=合(x十)，渐近线 Aa l:y=b a 联立 得B(台盒)由FB1-3Fa, a, 得A(-晋怎) 81a281a6-1,得=1 点A在双曲线上，于是25cb22 a224 所以离心率e= 36 4 答案：36 4 12解：0》芳所衣的双南线方程为号芳-1公0b>0。 时将a=代入，后益-1 又点A,在双南线上. -160=1,由此得<0，不合题意，舍去. .有69 若所求的双南线方程为兰-茶=1a>0,>0. 同上方法解得b2=9, 双肉钱方程为若-号1， @流所家双西线方银为号言-1>0 :点(6，-4回)（骨5）在双南线上 点的坐标满足方程， 329 a2 b2 =1, 由此得 2581=1. a216b2 32m-9n=1, 令m= 1 = 名，见方笑国化为 810≥1 25m-16 m=16' 解此方程组得 1 9 Q2=16,b2=9,故所求双曲线方程为长-号1 快乐低期 13.解：a=1,b=√5，c=2, 直线1过点F2,且倾斜角为45°， .直线1的方程为y=x-2, 代入双曲线方程，得2x2十4x一7=0. 设A(x1y1),B(x2y2), x1·x2=-2<0, A、B两点分别位于双曲线的左、右两支上 7 :x1十x2=-2,x1·x2=-2, .|AB=√1+121x1-x2 =Ex√+-4=ix-22-4(-2)-6 14.解：1)因为e=2,即=2，所以三三到 因为a2=1,所以c2=4. 因为a2+2=c2,所以b2=3,所以b=√3（负值舍去）. (2)因为△MA2P为等腰三角形， ①若MA:为底，别点P在直线=一日，与P在第一原 限矛盾，故舍去 ②若A2P为底，则MP=MA2,与MP>MA2矛盾， 故舍去. ③若MP为底，则MA2=PA2, 设P(x0%),x0>0,y0>0. 则W/(x0-1)2+(y0-0)2=3,即(x0-1)2+y02=9, 又周为2-公2=1， 8 3 得(x,-1D2+(6-1D×号=9，得112-6。-32=0， 得x0=2,y0=2√2，即P点坐标为P(2,2√2). (3)由A1(-1,0),A2(1,0),设P(x1y1),Q(x2,y2),则 R(-2,-),设直线1：x=my-2(m>方) x=my-2(m>b） 1 联立 x23y2 得(b2m2-1)y2-4b2my+ 21 4b2m y+y2= 2m2-7 3b2=0,则 3b2 y·y2m2-1 A1R=(-2十1，-2)，A2P=(m-1,h),又由A1R·A2P =1,得(-x2十1)(-1)-12=1， 即(x2-1)(x1-1)+y1y2=-1,即(my2-3)(my1-3) +y1y2=-1, 化简后可得到(m2+1)y1y2-3m(y1+y2)+10=0, 所以362(m2+1)-12m2b+10(b2m2-1)=0,化简 b2m2+362-10=0, ·6 000- 所以2=10∈ m2+3 ] 又m2≠是：所以b2≠10 10B2,得b2≠3，所以2 辰+3弥可 ∈03U(3,号]又6>0，故么的取位范周是0U , 高考冲浪 1.D[由题知b=√7a,则c=√7+Ia=2√2a,所以离心率e =合=2E,故选D.] 2.解析：由题知：AF2|=5,|AF1|=13,|F1F2|=2c= √132-5=12，解得c=6,|AF1|-AF2|=2a=8,解得 04所以=合-是 答案：昌 假期必刷9抛物线 技能提升台技能提升 1.B 2.A[因为抛物线的标准方程为y2=4x,所以其准线方程 为x=一1.] 3.B4.B 5.D[因为抛物线C:y2=8.x的焦点F(2,0),准线方程为 x=一2，点M在C上， 所以M到准线x=一2的距离为|MF|, 又M到直线x=一3的距离为5， 所以|MF+1=5,故|MF|=4.故选D.] 6.C[由抛物线的方程为y2=4x,知F(1,0).当过点A的 直线斜率不存在，即直线与y轴重合时，满足直线与抛物 线C有唯一公共点.当过点A的直线斜率为0时，直线方 程为y=2,满足直线与抛物线C有唯一公共点.当过点A 的直线斜率存在且不为0时，设直线方程为y=kx十2，由 =虹+2得关于r的方程22+(4-x+4=0,令 (y2=4.x, △=(4级-4)2-4X4×2=0,解得及=合，此时满足条件 的直线有1条.综上，过点A与抛物线C有唯一公共点的 直线有3条.] 7.AC 8.BD[对于A,点P(9,6)在抛物线C上，.18p=36,解 得p=2,故C的方程为y2=4x,焦点为F(1,0),准线方 程为x=-1,A错误；对于B,直线PQ的斜率k=g- 6-0 号，B正确：对于C直线PQ的方程为y=子（-1，联 4 3 主抛物线方程得 =-1D解得=9或 (y2=4x, (y=6,快乐假期 假期必刷8双曲线 《思维整合室 自测自查 知识梳理 1.MF-MF, 焦点IFF2 1.双曲线的定义 2. a26-1 x≥a或x≤一a 条件 结论1 结论2 y≤-a或y≥a 坐标轴原点 坐标轴 平面内的动点M与 F1,F2为双曲线 原点(-a,0) (a,0)(0,-a) (0,a) 平面内的两个定点 M点的 的 b y=士6x y=士 (1,+o∞) 2a F1,F2 轨迹为 a a 为双曲 =2a 双曲线 26 a2+b2 线的焦距 2a<|F1F2 2.双曲线的标准方程和几何性质 要点记忆 待定系数法求双曲线标准方程的步骤 A 利用性质判断焦点的位置 图形 B2 设出双曲线的标准方程 标准方程 列 利用已知构造关于参数的方程（组）】 (a>0,b>0) (a>0,b>0) 范围 解方程（组）得标准方程 对称轴： 对称轴： 对称性 当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两 对称中心： 对称中心： 种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论， 顶点坐标： 顶点坐标： 也可设双曲线方程为mx2一ny2=1(mn>0), 顶点 4 A 直接求得. 性 A2 A 质 《技能提升台 渐近线 离心率 e= ,eE 技能提升 线段AA2叫做双曲线的实轴， 它的长|A1A2|= 实、虚轴 1.已知双南线号-1a>0)的离心率是5。 线段B,B2叫做双曲线的虚轴，它 则a= 的长|B,B2|= A.6 B.4 a,b,c间 2= (c>a>0,c>b>0) 的关系 C.2 ·18· =0022 高二数学) 2.双曲线x2一义=1的离心率大于√2的充分 8.(多选)已知F是双曲线 y 3a2 a =1(a>0) 必要条件是 ( 的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线C Am>号 B.m≥1 上一点，则∠POF的大小可能是 ( A.15° B.25 C.m>1 D.m>2 C.60° D.165 3已知双曲线C普-芳=1a>0,6>0)的窝 9.设双曲线C的两个焦点为（一√2,0），（√2， 心率为√5，C的一条渐近线与圆(x一2)2十 0),一个顶点是(1,0)，则C的方程为 (y-3)=1交于A,B两点，则|AB引= ) 10.已知双曲线y+父=1的渐近线方程为y m A号 2 x,则m= C.3⑤ D.4⑤ 5 5 1.已双偏线号-若=1(a>6,6>0的左焦 4.渐近线方程为x士y=0的双曲线的离心 率是 ( ) 点为下，过F且斜率为名的直线交双曲线 马 B.1 于点A(x1,y),交双曲线的渐近线于点 B(x2y2),且x1<0<x2,若|FB=3|FA|, C.2 D.2 则双曲线的离心率是 5设双曲线装a>0,6>0)的渐近线 12.求适合下列条件的双曲线的标准方程： 与抛物线y=x2十1相切，则该双曲线的离 (1)a=4,经过点 心率等于 A.5 B.2 (2)焦点在y轴上，且过点(3，一4√2)， C.6 D.√5 6已组PR,分别是双角线号-苦 =1(b>0) 的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，且点 P在以F,F,为直径的圆上，若PF|· 1PF,|=12,O为坐标原点，则tan∠POF2= A. c n号 7.（多选)已知双曲线的方程为5mx2-my2=5 (m∈R,m≠0)，则随m的变化而变化的是 () A.顶点坐标 B.渐近线方程 C.焦距 D.离心率 ·19 火堡快乐假朝 00 13.已知双曲线3x2-y2=3,直线1过右焦点 (2)若6=26 △MA,P为等腰三角形，且 F2,且倾斜角为45°，与双曲线交于A,B两 点.问A,B两点是否位于双曲线的同一支 点P在第一象限，求点P的坐标； 上，并求弦AB的长. (3)连接QO(O为坐标原点)并延长交Γ于 点R,若A,R·A2P=1,求b的取值范围. 14.(2024·上海卷，20)已知双线rx-岩 =1,(b>0),左、右顶点分别为A1,A2,过点 M(一2,0)的直线交双曲线T于P、Q两点. (1)若Γ的离心率为2，求b; 高考冲浪 1.(2025·全国一卷，3)已知双曲线C的虚轴 长是实轴长的√7倍，则C的离心率为 A.√2 B.2 C.7 D.2√2 2.(2024·新课标I卷，12)设双曲线C: a a之0，b>0)的左右焦点分引 F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B 两点.若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离 心率为 ·20·