第一部分 假期必刷7 椭圆-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业必刷题

=0022 假期必刷7椭 《思维整合室 知识梳理 1.椭圆的定义 条件 结论1 结论2 平面内的动点M与平 为 面内的两个定点F,F2 M点的 椭圆的焦点 轨迹为 MF+MF,|=2a 椭圆 为 2a>|F1F2| 椭圆的焦距 2.椭圆的标准方程和几何性质 图形 b& A0cfA,文 标准方程 (a>b>0) (a>b>0) ≤x≤ ≤x 范围 ≤y≤ ≤y≤ 对称轴： 对称性 对称中心： 性 A A1」 质 A2 A2 顶点 B B B2 B2 长轴A1A2的长为2a 轴 短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2=2c 离心率 e=￡∈ a a:b,c a2= 的关系 富二数类 学而不厌，诲人不倦。 圆 完成日期： 月 日 自测自查 1.F1,F2|FF2 =1 621 -a a-b b -b b-a a 坐标轴 原点（一a,0) (a,0)(0,-b)(0,b)(0,-a)(0,a) (-b,0)(b,0)(0,1)b2+c2 要点记忆 求椭圆的标准方程的两种方法 (1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2,b的 值，结合焦点位置可写出椭圆方程。 (2)待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭 圆的标准方程，结合已知条件求出a,b;若 焦点位置不明确，则需分焦点在x轴和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为 Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B). 《技能提升台 技能提升 1.设点P是椭圆2十 =1(a>2)上的一点， a F,F,是椭圆的两个焦点，若|FF2|= 4√3，则|PF,I+|PF2|= () A.4 B.8 C.4√2 D.47 2.椭圆二+-1(a>6>0)上任意一点到两 a b2 焦点的距离分别为d1,d2,焦距为2c,若d1,2c, d。成等差数列，则椭圆的离心率为() A.2 c号 p. 15 飞是快乐慨阴 3.已知椭圆C的焦点为F(一1,0)，F2(1,0),过 F,的直线与C交于A,B两点.若AF,|= 2FB引，AB引=|BFI,则C的方程为() A.+y=1 c+-1 4已知椭圆写+苦-1,5,5，为两个熊点0 为原点，P为椭圆上一点，cos∠F,PF2= 多则1P01= A号 B.30 2 c D.35 2 5.已知椭圆C,十y=1(m>0),则“m=2” m 是“椭圆C的离心率为号的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6设椭圆系+若=1的左，右焦点分别为F 2 F2,点P在椭圆上，且满足PF,·PF。=9, 则|PF,I·PF2|的值是 () A.14 B.17 C.20 D.23 7.(多选)如图，F为椭圆 B + =1(a>b>0) 的右焦点，过F作x轴 的垂线交椭圆于点P, 点A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点，O 为坐标原点，若△OAB的面积是△OPF面 积的)倍，则该椭圆的离心率是 ( A.15 25 5 B 5 ·1 000-□ 8(多选)设情圆C:着+苦-1的左，右维点 3 分别为F,F2,P是椭圆C上的动点，则下 列说法正确的是 ( ) A.PF+PF,=4 B.椭圆C的离心率e=2 1 C.△PFF2面积的最大值为23 D.以线段FF2为直径的圆与直线x十y一2 =0相切 9.若椭圆的焦点在y轴上，长轴的长为4，离 心率。-，则其标准方程为 10.已知直线1与椭圆后十苦-1在第一象限 交于A,B两点，1与x轴、y轴分别交于 M,N两点，且|MAI=INB|,IMN|= 2√5，则1的方程为 1.已知箭圆三+芳-1(a>6>0,焦点 F,(一c,0),F2(c,0),c>0,若过F1的直 线和圆(x一2c)+y=相切，与椭圆的第 一象限交于点P,且PF,⊥x轴，则该直线的 斜率是 ,椭圆的离心率是 12.已知椭圆的中心在原点，两焦点F,F2在 x轴上，且过点A(一4,3).若FA⊥F2A, 求椭圆的标准方程. 6 三0022 13.已知椭圆C:号+芳-1(a>6>0)的左，右 焦点分别为F,F2,点P为椭圆C上一点， ∠FPF2=120°，|PF|=2+√3，|PF2|= 2-3. (1)求椭圆C的方程； (2)求点P的坐标. 14已知精圆E+芳-1(a>6的一个顶 点为A(0,1),焦距为23 (1)求椭圆E的方程； (2)过点P(一2,1)作斜率为k的直线与椭 圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC 分别与x轴交于点M,V.当|MN=2时， 求k的值 二救) 高考冲浪 1.(2024·新课标Ⅱ卷，5)已知曲线C:x2+y =16(y>0),从C上任意一点P向x轴作 垂线段PP',P'为垂足，则线段PP的中点 M的轨迹方程为 A后+-1>0)后+->0) C6+=-1(y>0)D6+后-1>0) 2.(2024·新课标I卷，16)已知A(0,3)和 p,引芳椭圆C若+芳-1a>6≥0)上 两点。 (1)求C的离心率； (2)若过P的直线1交C于另一点B,且 △ABP的面积为9，求l的方程. 7·三0022 两式相减得直线AB的方程为6.x十2y-13=0, 则圈心C到直线AB的距离d=2+6-13= /40 4 所以AB1=2V-=3y6 2· 高考冲浪 1.C[因为a,b,c成等差数列，所以a-2b十c=0,直线a.x十by 十c=0恒过P(1,一2)，当PC⊥AB时，AB引取得最小值，此 时|PC=1,AB=2√5-PC7=4.] 2.B[与直线y=√3x+2距离为1的直线为l1:y=√3.x十4 和l2:y=√3x,圆心M(0,-2)到11的距离为d1= -2-4=3,到l2的距离为d2= 一2一=1.依 √/12+（√3）2 12+(3)2 题可知圆与11，l2的交点总个数为2，据草图可知圆应与 l2相交，与1相离，故1<r<3,选B.] 假期必刷7椭圆 技能提升台技能提升 1.B2.A3.B 4.B[设∠FPF,=20,0<0<受， 所以SAF,E=1an∠FPE=1an9. 2 由cos∠F,PF2=cos20=os20-sin20-1-tan2g_3 cos20+sin20 1+tan20 5' 解得an0=是， 2 由椭圆方程可知，a2=9,b2=6,c2=a2-b=3, 所以，SaF,5=合×FFXp=合×2BXp =6×分，解得：呢=3， 即=9×(1-音)=号，周此1OP1-+呢 2 m2得m=2:由 e=m='得 (m>1, (0m<1, n=子所以“m=2”是“精图C的离心年为号的充分不 2 必要条件.] 6.D[设m=PF11,n=|PF2|,∠F1PF2=0,由题意得 mcos0=9.易知a=5,b=4,c=√a2-b=3,则|F1F2 =2c=6,m十n=2a=10,由余弦定理可得cos0= nm2+n2-FF22,所以(m十n)2-2mm-36=2 mncos0 2mn =18,即100-2m1-36=18,解得m1=23,即PF1|· |PF21=23.] D[设Pcw,则号+2-1，可得P(k,名) 6 :△OAB的面积是△OPF面积的号倍， ab=5×c2a2=5bc, 2 a “b+=5 8.AB[:摘圆C的方程为号+兰=1，∴a=2,b=厅c 4+3 1,由椭圆的定义可知PF|十|PF2|=2a=4,故A正确； 离心奉e=台=名：故B正确：△PF,的西积S△m, =rra·lp=ly,,60≤Ip<万△PFF 面积最大值为√3，故C错误： F1(-1,0),F2(1,0),F1F2|=2,.以线段F1F2为直 径的圆的方程为x2+y2=1,其圆心为(0,0)，半径为1，又 直线方程为x十y一2=0，.圆心到直线的距离d= -2L=2>1. √+I 以线段F1F2为直径的圆与直线x十y一2=0相离，故 D错误.] 9.号+2=1 10.解析：取AB的中点为E,因为|MA|=|NB|,所以 IME1=NE,设A(1),B(2,2),可得十2× x1+x2 二路=一号即kE·k=一子设直线AB:y=kx x1-x2 十m,k<0,m>0,令x=0,y=m,令y=0,x=-装，所 2 以E(张受)所以X 2 2k 又.|MN|=2√5，即|MN|=√m2+(√2m)2=2√5，即 m+2m=12,m=2,所以直线1的方程为y=- 2x+2, 即x十√2y-2√2=0. 答案：x+√2y-2√2=0 11.255 5 5 12.解：设所求精圆的标准方程为+兰=1(a>>0). a2十2 设焦点F1(-c,0),F2(c,0). F1A⊥F2A,.F1A·F2A=0, 而F1A=(-4+c,3),F2A=(-4-c,3), ∴.(-4+c)·(-4-c)十32=0， .c2=25,即c=5.∴.F1(-5,0),F2(5,0). 飞壁快乐假期 ∴.2a=|AF|+AF2 =√(-4+5)2+32+√(-4-5)2+32 =√10+√90=4√10. a=2√10， ∴.b2=a2-c2=(2√10)2-52=15. “所泉销周的标准方程为后+后-1。 13.解：(1)由椭圆的定义得2a=PF1|+PF2|=4, .a=2 在△PFF2中，由余弦定理可得 IFF212=PF2+PF212-2PFIPF2lcos 120, 4r2=15dc=四，6=8-2-49- 故箱周C的方程为号+4-1. (2)设点P(m,n),由题意可知m>0. :Sam,R=2PR,PFasin120=2×(2+)× 2-同×号日x2xXa…m=±哥 10 将点P的坐标代入椭圆C的方程可得 +1=1,解得 4T5 45,故点P的坐标为 m 5 5 b=1, a=2, 14.解：(1)依题意可知 2c=23,解得b=1, a2=b2+c2, c=√3， 故格圆E的方粒为背+)=1。 (2)由题可设直线方程为：y-1=k(x十2)，B(x1,y1), C(x2y2）, /y-1=k(x+2), 联立直线和椭圆E方程： +=1 可得(1+4k2)x2 4 +(16k2+8k)x+16k2+16k=0,由△>0可得(16k2+8k)2 4×(1+4k2)(16k2+16k)>0, 解得k<0, 根据韦达定理可得m十2=二6k2+8) 1+4k2 x1x2=16k2+16k 1+4k2 直线AB的斜率为友=二，AB的直线方程为： y=二 x十1，令y=0,可得点M的横坐标 IM-1-y1 x2.则有 同理可得点N的横坐标xN一2 -k(x1十2)-k(x2十2) 000-= 1 x2(x1+2)-x1(x2+2) k x1x2+2(x1+x2)+4 1 2√(x1+x2)2-4.x1x2 =2, x1x2+2(x1+x2)+4 代入韦达定理式子可得 (-(16k2+8k)12 2 4×16k2+16 1 1+4k2 1+4k2 16k十4 =2 k 16k2+16k+2 1+4k2 1+4k2 化简可得 2√64(2k2+k)2-4X16(k2+k)(1+4k2) 1 1+4k2 =2, 16k2+16k-32k2-16k⊥4+16k2 1+4k2 1+4k2 1+4k2 冬√4+4+-4--- 即 =2,可得 √ k 合两边平方则有会=子，解得k=一1.故 k的值为一4. 高考冲浪 1.A[设P点坐标为(x',y),中点M坐标为(x,y),则x =x,y=2y,代入圆的方程为x2+4y2=16,化为标准方 程为后+片 =1(y>0).] 2.解：)由已知得6=3，将点P(3,2)及6=3代入C得 +4X3=1,则a2=12,所以c2=a2-=3. 9+9 所以C的离心率e=二=E-1 a2521 (2)由已知得S△Ap=合PA·dBA=子× √9+(B-)×dgA=9,则daA=125. 5 3 kAP=一3 -,lApy=-x十3，设过点B且与 1 PA平行的直线为'：y=一2x+m, 因为dB-PA= 125 5·所以3—m=12√5则m=一3或 V+I 5 9(舍去)，所以1：y=-2x-3 联立：y=一 C方后+号-1得=0， ,=-3,所以B0,-3)或B(-3,-是) 当B坐标为0，-3)时1：y=多-3： 当B坐标为（一3号）时:=x 4