第一部分 假期必刷6 直线，圆的位置关系-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业必刷题

=0022 假期必刷6直线、圆的位 〈《思维整合室 知识梳理 1.直线与圆的位置关系（半径r,圆心到直线的距 离为d) 相离 相切 相交 图形 方程 △0 0 量 0 观点 化 几何 d 观点 d 2.圆与圆的位置关系（两圆半径为r1, r2,d=|OO2|) 相离 外切 相交 内切 内含 图 X02 0 形 量 系 自测自查 1.<=>>=< 2.d>r1+r2d=r1+r2|r1-r2<d<r +r2d=r1-r2|d<r1-r2 要点记忆 判断直线与圆的位置关系的三种方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半 径r的大小关系判断. (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程 组的解的个数来判断. 13 驽马十驾，功在不舍。 置关系 完成日期： 月 日 (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过点与圆 的位置关系判断，但有一定的局限性，必须 是过定点的直线系 《技能提升台 技能提升 1.圆(x十1)2十y2=2的圆心到直线y=x十3 的距离为 () A.1 B.2 C.2 D.2√2 2.已知点P(4,4)和以C为圆心的圆(x一1)2 +y2=4,则|CP|= () A.√41 B.4√2 C.5 D.3 3.若圆x2+y2+4x一2y-a2=0截直线x十y 十5=0所得弦的长度为2，则实数a=() A.士2 B.-2 C.±4 D.4 4.直线x+y十2=0分别与x轴、y轴交于A, B两点，点P在圆(x一2)2十y2=2上，则 △ABP面积的取值范围是 () A.[2,6] B.[4,8] C.[√2,3√2] D.[22,3√2] 5.在平面直角坐标系xOy中，一只蚂蚁从点 M(一4，一2)出发，爬到y轴后又爬到圆 C:(x+2)2+(y一2)2=1上，则它爬行的最 短路程是 A.2√13-1 B.4 C.8 D.2√/10-1 6.由动点P向圆M:(x十2)2+(y十3)2=1引 两条切线PA,PB,切点分别为A,B,若四 边形APBM为正方形，则动点P的轨迹方 程为 () A.(x+2)2+(y+3)2=4 B.(x+2)2+(y+3)2=2 C.(x-2)2+(y-3)2=4 D.(x-2)2+(y-3)2=2 火壁快乐假阴 7.(多选)圆x2+y2-2x=0和圆x2+y2十4y =0的位置关系不可能是 A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 8.(多选)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出 定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直 线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉 线”.若△ABC满足AC=BC,顶点A(0, 1),B(2,一1)，且其“欧拉线”与圆M:(x 4)2十y2=r2相切，则下列结论正确的是 A.题中的“欧拉线”方程为x一y一1=0 B.圆M上的点到直线x一y=0的最小距离 号 C.若圆M与圆x2+(y-a)2=8有公共点， 则a∈[一4,4幻 D.若点(x,y)在圆M上，则十的最大值 是3 41 9.直线x-y=2被圆(x-4)2+y2=4所截得 的弦长为 10.写出与圆x2+y2=1和(x一3)+(y-4)2 =16都相切的一条直线的方程： 11.设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y= a对称的直线与圆(x+3)2十(y+2)2=1有公 共点，则a的取值范围是 12.已知圆C:x2十(y-2)2=5,直线l:mx y+1=0. (1)求证：对任意的m∈R,直线1与圆C总 有两个不同的交点； (2)若圆C与直线1相交于A,B两点，求 弦AB的中点M的轨迹方程. 90M 13.已知两圆M:x2+y2=10和N:x2+y2+ 2x+2y-14=0. (1)求两圆的公共弦所在的直线方程； (2)求过两圆交点且圆心在x+2y一3=0 上的圆的方程. 14.已知圆C1:x2+y2-4x-6y+9=0. (1)过点P(3,5)作圆C,的切线1，求直线1 的方程； (2)若圆C2:x2+y2十2x-4y-4=0与圆 C,相交于A,B两点，求|AB. 高考冲浪 1.(2024·全国甲卷，12)已知b是a,c的等差 中项，直线a.x十by十c=0与圆x2十y2十4y 一1=0交于A,B两点，则|AB|的最小值为 () A.1 B.2 C.4 D.2√5 2.(2025·全国一卷，7)已知圆x2+(y+2) =r2(r>0)上到直线y=√3x+2的距离为1 的点有且仅有两个，则x的取值范围是 () A.(0,1) B.(1,3) C.(3,+∞) D.(0,+∞)三0022 由已知圆C截y轴所得的线段长为4√，而圆心C到y 轴的距离为a. ∴.r2=a2+ 45 ,代入①并将两端平方得a2-6a+5 2 =0,解得a1=1,a2=5,∴.r1=√13，r2=√37. 故所求圆的方程为(x-1)2+y2=13或(x-5)2+ (y-4)2=37. 13.解：(1)根据题意，直线l1与l2:3x-2y-1=0平行， 则直线（的斜率为号，又直线1过原点，所以直线1的 方程为3x一2y=0. (2)直线11的方程为3x-2y=0,直线l2:3.x-2y-1= 0,所以1与2间的距离为，10+1山 1√/13 √32+(-2)2√1313 (3)设圆心C(a,b). 由于直线1：3x一2y=0平分圆C,所以圆心在直线1 上，即3a-2b=0.① 又|CA|=ICB, 所以有√(a-1)2+(b-3)z=√(a-2)2+(b-2)2.② 联立①②，解得a=2,b=3. 所以|CA|=√(2-1)2+(3-3)2=1. 所以圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=1. 14.解：原方程化为(x-2)2十y2=3, 表示以点C(2,0)为圆心，以√5为 半径的圆. (1)设义=k,即y=kx, 由图可知当直线y=k.x与圆相切 时，斜率k取最大值和最小值， Rt△AOC中，tan∠AOC= =5, √22-3 故k的最大值为√5，由对称性知k的最小值为一√5. 故兰的最大值为尽，最小值为一 (2)设y-x=b,即y=x十b, 当y=x十b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小 值，此时2-0+b=5,即6=一2士6. 故y一x的最大值为一2十√6，最小值为一2一√6. (3)x2+y2表示圆上点与原点距离的平方，由图知x2十 y2的最大值为(1OC1+√5)2=(2+√5)2=7+45. 最小值为(OC-√5)2=(2-√3)2=7-4√5. 高考冲浪 1.B[由题可知，圆的方程可化为(x一2)2+ 3y2=5,故圆心B(2,0),A(0,-2),如图，设 切点为M,N,AB=2√2，BM=√5，故 AM=3,sin∠MBA三AB二2 sin a-sin(a)-sinNBM-sin 2 Cos∠MBA=E. ∠MB=x是×品年] 6 2.解析：x2十(y-2)2=m十4，r2=x=1,由题意m十4=1 →m=-3. 答案：一3 3.解析：设点A(0,0),B(4,0),C(一1,1)，D(4,2),圆过其 中三点共有四种情况，解决办法是两条中垂线的交，点为 圆心，圆心到任一点的距离为半径. (1)若圆过A,B,C三点，则圆心在直线x=2,设圆心坐标 为(2，a),则4十a2=9+(a-1)2→a=3,r=√/4+a2= √13，所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13. (2)若圆过A,B,D三点，同(1)设圆心坐标为(2，a),则 4十a2=4十(a-2)2→a=1,r=√4十a2=√5，所以圆的方 程为(.x-2)2+(y-1)2=5. (3)若圆过A,C,D三点，则线段AC的中垂线方程为y= x十1，线段AD的中垂线方程为y=-2x十5，联立得 .4 x= 3 /16+49=65 7 rN9千9 3 y=3 所以国的方程为(-号)‘+（子）}- (4)若圆过B,C,D三，点，则线段BD的中垂线方程为 y=1,线段BC中垂线方程为y=5x-7,联立得 所以圆的方程为（一）+g-1-1 25 答案：(x-2)2+(y-3)2=13或(.x-2)2+(y-1)2=5 或(-号)+(-子)-要或(8)}+-1 =169 25 假期必刷6直线、圆的位置关系 技能提升台技能提升 1.C2.C3.A 4.A[,直线x十y+2=0分别交x轴、y轴于A,B两点， A(-2,0),B(0,-2),.AB|=2V2,点P在圆(x-2)2 十y2=2上，圆心为(2,0)，设圆心到直线的距离为d,则d =2+0+2=22.故点P到直线x十y十2=0的距离d的 2 1 范国是[5,32D],则S△AP=2ABd∈[2,6].] 5.A[由圆C:(x+2)2+(y-2)2 =1,得圆心C(-2,2),半径r=1, 易得点M(-4,一2)关于y轴的 对称点为M(4,一2)， 如图，所求的最短路程即为M到 圆C上的，点的最短距离|CM|-r=√(4+2)2+(-2-2)2 -1=2/13-1.] 6.B[因为四边形APBM为正方形，且MA=MB=1,所 以MP=√2，故动点P的轨迹是以M为圆心√2为半径的 圆，其方程为(x十2)2+(y十3)2=2.] 飞密快乐假期 7.ABD[圆x2+y2-2x=0的标准方程为(x-1)2+y2=1, 圆心为(1,0)，半径为1，圆x2十y2十4y=0的标准方程为 x2+(y十2)2=4，圆心为(0，-2)，半径为2..圆心距d =√(1-0)2+(0+2)2=√5<1+2=3，且√5>2-1=1， 两圆相交.门 8.ABD[由题意，△ABC的“欧拉线”即AB的垂直平分 线，：A(0,1),B(2,-1),AB的中点坐标为(1,0)，kAB =1一1-1，则AB的垂直平分线方程为y=x-1,即 2-0 x-y-1=0,故A正确；“欧拉线”与圆M:(x-4)2+ y2=r2相切，且圆心M(4,0)到直线x-y-1=0的距离 为-39r=3识，则国M的方程方红 √I+I 402+y2=号，国心M4,0)到直线x-y=0的距离为d =4一0=22，则圆M上的点到直线x一y=0的最小 √+1 距离为d-7=2后-39-竖故B三病：若周M: 2 4)2+y2=号与国x2+()-0)2=8有公共点，则22- 9<0+0≤2+39，郎得<。 <圆，此C链送：十的几何意义为圆M上的点) 与定点P(一1,0)连线的斜率，当过P(一1,0)的直线与圆 M相切，且直线的斜率为正时，中取得最大值，设过点 P(-1,0)与圆M相切的直线方程为y=k(x十1)，即kx 叶长=0，由兰-39解得k=士3六 √k2+1 的莱大位是3图，故D正确门 9.2√2 10.解析：由图可得，两圆外 切，且均与直线11：x=-1 相切，另过两圆圆心的直 G54 线1的方程为y=专x,可 得1与11交点为3-2345678 P(1,一号)由切线定 1-2 理得，两圆另一公切线12过点P,设2：y十=(x十 4 1),由点到直线距离公式可得 k一3 √R2+1 =1,解得k=24 即y=牙一器另由于两国外切，因此在公切点处 7 3 存在公切线3与1垂直，解得13：y=一x十 5 答案=-1，或y7织或y=-子十子（答对 其中之一即可) ·6 000-□ 11解析：因为km=。,所以AB关于直线y=a的对称 直线为(3-Qz-2y+2a=0,所以3a一3)》+4+2al≤1，整 √/4+(3-a)2 理可得12m2-2a十6<0，解得了<a<号 答案[合】 12.(1)证明：因为直线l:mx-y十1=0恒过定点N(0,1), 且点N(0,1)在圆C:x2+(y-2)2=5的内部， 所以直线1与圆C总有两个不同的交点. (2)解：由题知C(0,2),设动，点M(x,y), 当x=0时，M(0,1): 当x≠0时，由垂径定理，知MN⊥MC, 所以y2.二1=-1， 差理得+（名）广-子又01满足此方起。 所以孩AB的中点M的锐选方程是+（号）广=日 13.解：(1)方法一： 由/2+y2=10. {x2+y2+2.x+2y-14=0, 3 故两圆的交点为A(一1,3)，B(3,一1)， 由直线方程的两，点式可得公共弦所在的直线方程为 x+y-2=0. 方法二：由2+y2=10, x2+y2+2x+2y-14=0, 消去二次项得x十y一2=0，即为公共弦所在直线的方程. (2)由两圆方程可得圆心连线为y=x,由圆的性质所求 圆的圆心在y=x上， 由∫y=2, 。得x=y=1,故所求圆的圆心C(1,1), x+2y-3=0 半径r=|AC1=√(-1-1)2+(3-1)2=2√2， .所求圆的方程为(x-1)2十(y-1)2=8. 14.解：(1)圆C1的方程可化为(x -2)2+(y-3)2=4, 则圆心C1(2,3),半径为2， 由(3-2)2十(5-3)2>4，可知 2 点P在圆C1的外部，作出圆C 及过点P的切线如图所示， -2-101234元 由图可知，过点P的切线1的斜 率存在，设l的方程为y-5=k(x-3),即kx一y十5 3k=0, 则圆心C到直线1的距离为2-3十5-3=2，解得 √1+k2 k=0或k=-号，所以直线1的方程为4x十3)-27=0 或y=5. (2)由 x2+y2-4x-6y+9=0, x2+y2+2x-4y-4=0, 三0022 两式相减得直线AB的方程为6.x十2y-13=0, 则圈心C到直线AB的距离d=2+6-13= /40 4 所以AB1=2V-=3y6 2· 高考冲浪 1.C[因为a,b,c成等差数列，所以a-2b十c=0,直线a.x十by 十c=0恒过P(1,一2)，当PC⊥AB时，AB引取得最小值，此 时|PC=1,AB=2√5-PC7=4.] 2.B[与直线y=√3x+2距离为1的直线为l1:y=√3.x十4 和l2:y=√3x,圆心M(0,-2)到11的距离为d1= -2-4=3,到l2的距离为d2= 一2一=1.依 √/12+（√3）2 12+(3)2 题可知圆与11，l2的交点总个数为2，据草图可知圆应与 l2相交，与1相离，故1<r<3,选B.] 假期必刷7椭圆 技能提升台技能提升 1.B2.A3.B 4.B[设∠FPF,=20,0<0<受， 所以SAF,E=1an∠FPE=1an9. 2 由cos∠F,PF2=cos20=os20-sin20-1-tan2g_3 cos20+sin20 1+tan20 5' 解得an0=是， 2 由椭圆方程可知，a2=9,b2=6,c2=a2-b=3, 所以，SaF,5=合×FFXp=合×2BXp =6×分，解得：呢=3， 即=9×(1-音)=号，周此1OP1-+呢 2 m2得m=2:由 e=m='得 (m>1, (0m<1, n=子所以“m=2”是“精图C的离心年为号的充分不 2 必要条件.] 6.D[设m=PF11,n=|PF2|,∠F1PF2=0,由题意得 mcos0=9.易知a=5,b=4,c=√a2-b=3,则|F1F2 =2c=6,m十n=2a=10,由余弦定理可得cos0= nm2+n2-FF22,所以(m十n)2-2mm-36=2 mncos0 2mn =18,即100-2m1-36=18,解得m1=23,即PF1|· |PF21=23.] D[设Pcw,则号+2-1，可得P(k,名) 6 :△OAB的面积是△OPF面积的号倍， ab=5×c2a2=5bc, 2 a “b+=5 8.AB[:摘圆C的方程为号+兰=1，∴a=2,b=厅c 4+3 1,由椭圆的定义可知PF|十|PF2|=2a=4,故A正确； 离心奉e=台=名：故B正确：△PF,的西积S△m, =rra·lp=ly,,60≤Ip<万△PFF 面积最大值为√3，故C错误： F1(-1,0),F2(1,0),F1F2|=2,.以线段F1F2为直 径的圆的方程为x2+y2=1,其圆心为(0,0)，半径为1，又 直线方程为x十y一2=0，.圆心到直线的距离d= -2L=2>1. √+I 以线段F1F2为直径的圆与直线x十y一2=0相离，故 D错误.] 9.号+2=1 10.解析：取AB的中点为E,因为|MA|=|NB|,所以 IME1=NE,设A(1),B(2,2),可得十2× x1+x2 二路=一号即kE·k=一子设直线AB:y=kx x1-x2 十m,k<0,m>0,令x=0,y=m,令y=0,x=-装，所 2 以E(张受)所以X 2 2k 又.|MN|=2√5，即|MN|=√m2+(√2m)2=2√5，即 m+2m=12,m=2,所以直线1的方程为y=- 2x+2, 即x十√2y-2√2=0. 答案：x+√2y-2√2=0 11.255 5 5 12.解：设所求精圆的标准方程为+兰=1(a>>0). a2十2 设焦点F1(-c,0),F2(c,0). F1A⊥F2A,.F1A·F2A=0, 而F1A=(-4+c,3),F2A=(-4-c,3), ∴.(-4+c)·(-4-c)十32=0， .c2=25,即c=5.∴.F1(-5,0),F2(5,0).