第一部分 假期必刷5 圆的方程-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业必刷题

飞必快乐假明 l1不垂直于l2,故a=0不成立； 当a≠1且a≠0时4：y=一号-3 1 ly==a-(a+1), (号)。-1，得a=子 13,解：(1)联立2-3y+1= 0,解得即交点P01,1. (x+y-2=0 (y=1, 设与直线x一3y一1=0平行的直线方程为x-3y十c1= 0(c1≠-1). 把P(1,1)的坐标代入可得1-3十c1=0,可得c1=2, .所求直线方程为x3y十2=0. (2)设与直线x-3y-1=0垂直的直线1的方程为3x十 y十c2=0, :P1,1D到1的距离为3+1中2l=,解得G /10 5 -2或-6， .直线1的方程为3x十y-2=0或3.x十y-6=0. 14.解：(1)设A'(xy) y+2.2=-1, x+13 则 2x号-8x2+1=0 33 x=- 13 解得 334 4 即'(-) y=13' (2)在直线m上取一点，如M(2,0), 则M(2,0)关于直线1的对称点必在m'上. 设对称点为M'(a,b), [2×a2-3×+0+1=0, 2 2 则 b-0、2 6 解得 a3 30 即M() b=131 设m与1的交点为N,则由2x-3y+1=0, (3x-2y-6=0, 得N(4,3).又，m经过点N(4,3), ∴.由两点式得直线m'的方程为9x一46y十102=0. (3)法一在l:2x-3y十1=0上任取两点， 如P(1,1),N(4,3), 则P,N关于点A的对称点P',N均在直线'上 易知P(-3,-5),N'(-6,-7), 由两点式可得1的方程为2x一3y-9=0. 法二设Q(x,y)为1上任意一点， 则Q(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为Q(-2-x, -4-y). Q在直线l上， .2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即直线1的方程为2x-3y-9=0. 90M-= 高考冲浪 1.B[由直线y=k(x十1)过定，点（一1,0），要使距离最大， 则当y=k(x十1)与(0,1)和（一1,0）的连线垂直时可得最 大距离为(0,1)和（一1,0）两点之间的距离d= √(0+1)2+(1-0)z=√2，故选B.] 2.解析：因为圆心(0,0)到直线x一√3y十8=0的距离d 8 √+3 =4，由弦长公式1=2√2-d可得6= 2√2-42，解得r=5. 答案：5 假期必刷5圆的方程 技能提升台技能提升 1.C2.C3.B 4.A[设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey十F=0(D2+ E2-4F>0),,过坐标原点，则F=0,即x2+y2+Dx十 Ey=0,令x=0,则y2+Ey=0,∴y=一E=3,.E=-3. 令y=0,则x2+Dx=0,∴.x=-D=2,.D=-2..所求 圆的方程为：x2+y2-2x-3y=0.] 5.B[设所求圆的方程为x2十y2-2.x十4y十m=0,由该圆 过点(1，-1)，得m=4,所以所求圆的方程为x2+y2-2x +4y+4=0.] 6.C[如图所示，当直线AO与圆相切时， A为切点，此时∠AOC最大，连接CA, 易得AC⊥AO.由x2+y2-4x+2=0→ (x-2)2+y2=2,即C(2,0),AC=√2 所以sn∠A0C-号，得∠A0C-系] 7.AD[因为(0,0)在(x-m)2+(y十m)2=4的内部，则有 (0-m)2+(0+m)2<4,解得-√2<m<√2.] 8.ABC[可知直线mx十2y-4=0过圆心(2,1)， 有2m十2n-4=0,即n=2-m, 则m=m·(2-m)=-m2+2m=-(m-1)2+1≤1.] 9.(1,2)10.(x-2)2+(y+1)2=411.√26+2 12.解：方法一：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey十F=0(D2+ E2-4F>0)① 将P,Q的坐标分别代入①， 得4D-2E+F+20=0,② {D-3E-F-10=0,③ 令x=0,由①得y2+Ey+F=0,④ 由已知y一y2=43,其中y1y2是方程④的两根. ∴.(y1-y2)2=(y1十y2)2-4y1y2=E2-4F=48,⑤ D=-2, ,D=-10, 联立②③⑤解得E=0, 或{E=-8, (F=-12, （F=4. 故所求方程为x2十y2-2x-12=0或x2十y2-10x 8y+4=0. 方法二：由题意得线段PQ的中垂线方程为x一y一1=0. .所求圆的圆心C在直线x一y一1=0上，设其坐标为 (a,a-1).又圆C的半径长r=|CP|= √(a-4)2+(a+1)'.① 60 三0022 由已知圆C截y轴所得的线段长为4√，而圆心C到y 轴的距离为a. ∴.r2=a2+ 45 ,代入①并将两端平方得a2-6a+5 2 =0,解得a1=1,a2=5,∴.r1=√13，r2=√37. 故所求圆的方程为(x-1)2+y2=13或(x-5)2+ (y-4)2=37. 13.解：(1)根据题意，直线l1与l2:3x-2y-1=0平行， 则直线（的斜率为号，又直线1过原点，所以直线1的 方程为3x一2y=0. (2)直线11的方程为3x-2y=0,直线l2:3.x-2y-1= 0,所以1与2间的距离为，10+1山 1√/13 √32+(-2)2√1313 (3)设圆心C(a,b). 由于直线1：3x一2y=0平分圆C,所以圆心在直线1 上，即3a-2b=0.① 又|CA|=ICB, 所以有√(a-1)2+(b-3)z=√(a-2)2+(b-2)2.② 联立①②，解得a=2,b=3. 所以|CA|=√(2-1)2+(3-3)2=1. 所以圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=1. 14.解：原方程化为(x-2)2十y2=3, 表示以点C(2,0)为圆心，以√5为 半径的圆. (1)设义=k,即y=kx, 由图可知当直线y=k.x与圆相切 时，斜率k取最大值和最小值， Rt△AOC中，tan∠AOC= =5, √22-3 故k的最大值为√5，由对称性知k的最小值为一√5. 故兰的最大值为尽，最小值为一 (2)设y-x=b,即y=x十b, 当y=x十b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小 值，此时2-0+b=5,即6=一2士6. 故y一x的最大值为一2十√6，最小值为一2一√6. (3)x2+y2表示圆上点与原点距离的平方，由图知x2十 y2的最大值为(1OC1+√5)2=(2+√5)2=7+45. 最小值为(OC-√5)2=(2-√3)2=7-4√5. 高考冲浪 1.B[由题可知，圆的方程可化为(x一2)2+ 3y2=5,故圆心B(2,0),A(0,-2),如图，设 切点为M,N,AB=2√2，BM=√5，故 AM=3,sin∠MBA三AB二2 sin a-sin(a)-sinNBM-sin 2 Cos∠MBA=E. ∠MB=x是×品年] 6 2.解析：x2十(y-2)2=m十4，r2=x=1,由题意m十4=1 →m=-3. 答案：一3 3.解析：设点A(0,0),B(4,0),C(一1,1)，D(4,2),圆过其 中三点共有四种情况，解决办法是两条中垂线的交，点为 圆心，圆心到任一点的距离为半径. (1)若圆过A,B,C三点，则圆心在直线x=2,设圆心坐标 为(2，a),则4十a2=9+(a-1)2→a=3,r=√/4+a2= √13，所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13. (2)若圆过A,B,D三点，同(1)设圆心坐标为(2，a),则 4十a2=4十(a-2)2→a=1,r=√4十a2=√5，所以圆的方 程为(.x-2)2+(y-1)2=5. (3)若圆过A,C,D三点，则线段AC的中垂线方程为y= x十1，线段AD的中垂线方程为y=-2x十5，联立得 .4 x= 3 /16+49=65 7 rN9千9 3 y=3 所以国的方程为(-号)‘+（子）}- (4)若圆过B,C,D三，点，则线段BD的中垂线方程为 y=1,线段BC中垂线方程为y=5x-7,联立得 所以圆的方程为（一）+g-1-1 25 答案：(x-2)2+(y-3)2=13或(.x-2)2+(y-1)2=5 或(-号)+(-子)-要或(8)}+-1 =169 25 假期必刷6直线、圆的位置关系 技能提升台技能提升 1.C2.C3.A 4.A[,直线x十y+2=0分别交x轴、y轴于A,B两点， A(-2,0),B(0,-2),.AB|=2V2,点P在圆(x-2)2 十y2=2上，圆心为(2,0)，设圆心到直线的距离为d,则d =2+0+2=22.故点P到直线x十y十2=0的距离d的 2 1 范国是[5,32D],则S△AP=2ABd∈[2,6].] 5.A[由圆C:(x+2)2+(y-2)2 =1,得圆心C(-2,2),半径r=1, 易得点M(-4,一2)关于y轴的 对称点为M(4,一2)， 如图，所求的最短路程即为M到 圆C上的，点的最短距离|CM|-r=√(4+2)2+(-2-2)2 -1=2/13-1.] 6.B[因为四边形APBM为正方形，且MA=MB=1,所 以MP=√2，故动点P的轨迹是以M为圆心√2为半径的 圆，其方程为(x十2)2+(y十3)2=2.]=0022 富二数学 敏而好学，不耻下问。 假期必刷5圆的方程 完成日期： 月 日 思维整合室 要点记忆 知识梳理 求圆的方程的两种方法 (1)直接法： 1.设圆的圆心是C(a,b),半径是r,则圆的标 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和 准方程是 ;当圆的圆心在 半径，进而写出方程. 坐标原点时，圆的半径为r,则圆的标准方 (2)待定系数法： 程是 ①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关， 2.设点P到圆心的距离为d,圆的半径为r.若 点P在圆外，则d 则设圆的标准方程，依据已知条件列出关 r.若点P在圆 上，则d r.若点P在圆内，则 于a,b,r的方程组，从而求出a,b,r的值； d ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则 3.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0. 选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 (1)当 时，方程表示一个点， D,E,F的方程组，进而求出D,E,F的值. 该点的坐标为 《技能提升台 (2)当 时，方程不表示任何 图形 技能提升 (3)当 时，方程表示的曲线 1.点P(m,5)与圆x+y2=24的位置关系是 为圆，它的圆心坐标为 ,半径等于 () ,上述方程称为圆的一 A.在圆内 B.在圆上 般式方程 4.比较二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx十 C.在圆外 D.不确定 Ey+F=0和圆的一般方程x2+y2+Dx+ 2.圆C:x2+y2+2x+4y-3=0的圆心坐 Ey十F=0,可以得出如下结论.当二元二次 标是 ( ) 方程具有以下条件： A.(1,2) B.(2,4) (1)x和y的系数相同，且不等于0，即 C.(-1,-2) D.(-1,-4) (2)没有xy项，即 3.圆的一条直径为x=2(一2≤y≤0)，则此圆 (3) 时，它才表示圆 的方程是 自测自查 A.(x-2)2+(y-1)2=1 1.(x-a)2+(y-b)2=r2x2+y2=r2 B.（x-2)2+(y+1)2=1 2.>= < C.(x+2)2+(y-1)2=1 a.IDD+E-4F=0(-号-) D.(x+2)2+(y+1)2=1 4.过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别 (2)D2+E2-4F<0 为2和3的圆的方程为 (3)D2+E2-4F>0 2-2) A.x2+y2-2x-3y=0 合D+E-4F B.x2+y2+2x-3y=0 C.x2+y2-2x+3y=0 4.(1)A=C≠0(2)B=0(3)D2+E-4AF>0 D.x2+y2+2x+3y=0 ·11 飞壁快乐假期 00M-= 5.与圆x2+y2-2x十4y十3=0同圆心，且过 13.已知直线1过原点，且与直线l2:3x一2y 点(1，一1)的圆的方程是 () -1=0平行. A.x2+y2-2x+4y-4=0 (1)求直线11的方程； B.x2+y2-2x+4y+4=0 (2)求11与12间的距离； C.x2+y2+2x-4y-4=0 (3)若圆C经过点A(1,3),B(2,2),并且 D.x2+y2+2x-4y+4=0 被直线11平分，求圆C的方程. 6.设O为坐标原点，A为圆C:x2+y2-4x十2 =0上的一个动点，则∠AOC的最大值为 () A.1 B晋 C牙D.牙 7.（多选)若坐标原点在圆(x-m)2十(y十m) =4的内部，则实数m的取值可以是() A.-1 B.2 C.-2 D.1 14.已知实数x,y满足方程x2+y一4x+1=0. 8.(多选)若直线mx十2ny一4=0始终平分圆 (1)求义的最大值和最小值； x2+y2-4x-2y-4=0的周长，则mm的取 (2)求y一x的最大值和最小值； 值可以是 ( (3)求x2+y2的最大值和最小值. A.-1 B.-2 C.1 D.2 9.已知圆x2+y2一2x一4y=0,则该圆的圆心 坐标为 10.设圆x2+y2一4x+2y-11=0的圆心为 A,点P在圆上，则PA的中点M的轨迹 方程是 11.设点P(x,y)是圆x+(y十4)2=4上任意 一点，则√(x-1)+(y-1)的最大值为 12.已知一个圆过P(4,一2)，Q(一1,3)两点， 高考冲浪 且在y轴上截得的线段长为4√5，求该圆 1.(新课标I卷，6)过点(0，一2)与圆x2+y 的方程. 一4x一1=0相切的两条直线的夹角为α，则 sin a= A.1 B.5 c.四 D.6 4 4 2.(上海卷，7)已知圆C:x2十y2-4y-m=0的 面积为x,则m= 3.(全国乙卷，14)过四点(0,0)，(4,0)，(-1,1)， (4,2)中的三点的一个圆的方程为 ·12·