第一部分 假期必刷4 两直线的位置关系-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业必刷题

三0022 假期必刷4两直线的位置关系 技能提升台技能提升 1.A[由1⊥l2,得2(m+1)(m-3)+2(m-3)=0, .m=3或m=一2，.m=3是l1⊥l2的充分不必要条 件.故选A.门 2.C[由根与系数的关系得k。·kb=一1，则a与b互相 垂直.] 3.A[联立人=2， 3x+2y-12=0.得-2’ 所以两条直线的交点坐标为(2,3).] 4.D[由(m-1)x+(2m-1)y=m-5,得(x+2y-1)·m -（红十3y一5)=0，由十2)10得定点坐标为9，一40. （x+y-5=0, 故选D.] 5.C[直线2x十y十m=0的斜率k1=一2，直线x十2y十1 =0的斜率为妇=一名，则1≠6，且k1妇≠-1.故 选C.] 6.A[直线3.x十4y十3=0与直线6.x十my-14=0平行， “号-公≠号4，解得m=8 直线6.x十my-14=0,即直线6.x+8y-14=0,化为3.x+ 4y-7=0, .它们之间的距离= -7-3=2.故选A.] √32+42 7.BC[直线1，l2对应的斜率k1,k2存在，则直线方程可 化为40=-日1-合4=-名x-是1=-日 a a c a >0,k2=-1>0.又k1>k2c<a<0,C正确，D错误： c b∠0， a 又 ∴.b<0,d>0,A错误，B正确. d4>0, 8.BD[由题可知点A,B在直线 y x十y一3=0的同侧，设，点B关于 A(2,4) B(6,2) 直线x十y一3=0的对称，点为 B'(a,b),如图所示 M 0 [a+6++2-3=0, x+y-3=0 2 2 则 解得 x(-=-1 =1,即B(1,一3).要使将军走过的总路程最短，则 b=-3. 将军从出发点到河边的路线所在直线即为直线AB', 因为A2,,所以直线A的方程为)十3-岩：一1，即 7x一y一10=0，故A错误.设将军在河边饮马的地，点为 M,则M即为直线7x一y一10=0与x十y一3=0的交点， 联立两直线方程解得M(得号)故B正璃。 将军从河边回军营的路线所在直线为直线BM,又B(6,2), 直线BM的方程为y-2=8一2 36x一6)，即x一7y十 5 8=0,故C错误. 总路程|MA|+|MB|=|MA|+|MB|=|AB|= √(2-1)2+(4+3)2=5√2， 所以“将军饮马”走过的总路程为5√瓦，故D正确.] 9解折：去写≠5g产 解得t=一7. 答案：一7 10.解析：由方程组一2y+4=0, （x+y-2=0, 得-0即交点P(0,2. y=2, 因1，的斜率为子，且1山1，故1的韩率为一号故直线1 4 的方程为y=-3x+2,即4r+30y-6=0. 答案：4x十3y-6=0 11.解析：由题可知直线1的斜率为-二(a≠0)， 直线与的斜率为是，所以一=是， a4 解得a=一3' 4 则直线l1:3.x-4y-6=0, 直线l2:3.x-4y-4=0, 两直线间的距离d=一6十4=2 V32+(-4)25 答案：子兰 12.解：(1)法一由A1B2-A2B1=0, 得a(a-1)-1×2=0, 由A1C2-A2C1≠0，得a(a2-1)-1×6≠0， 所以4/12台(a-1)-1X2=0, a(a2-1)-1×6≠0， →02a-2=0可得a=-1, (a(a2-1)≠6， 故当a=-1时，l1∥l2. 法二当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0, 11不平行于12： 当a=0时，l1:y=-3,l2:x-y-1=0, 11不平行于l2: 当a≠1且a≠0时，两直线方程可化为h: y=号-3y=-a+1 a 1 (-3≠-(a+1), 解得a=-1, 综上，当a=-1时，l1∥l2. (2)法-由A1A2十B1B2=0, 得a+2a-10=0,可得a=号 法二当a=1时，l1:x十2y十6=0，l2:x=0,l1与12不 垂直，故a=1不成立； 当a=0时，l1:y=-3,l2:x-y-1=0, 飞必快乐假明 l1不垂直于l2,故a=0不成立； 当a≠1且a≠0时4：y=一号-3 1 ly==a-(a+1), (号)。-1，得a=子 13,解：(1)联立2-3y+1= 0,解得即交点P01,1. (x+y-2=0 (y=1, 设与直线x一3y一1=0平行的直线方程为x-3y十c1= 0(c1≠-1). 把P(1,1)的坐标代入可得1-3十c1=0,可得c1=2, .所求直线方程为x3y十2=0. (2)设与直线x-3y-1=0垂直的直线1的方程为3x十 y十c2=0, :P1,1D到1的距离为3+1中2l=,解得G /10 5 -2或-6， .直线1的方程为3x十y-2=0或3.x十y-6=0. 14.解：(1)设A'(xy) y+2.2=-1, x+13 则 2x号-8x2+1=0 33 x=- 13 解得 334 4 即'(-) y=13' (2)在直线m上取一点，如M(2,0), 则M(2,0)关于直线1的对称点必在m'上. 设对称点为M'(a,b), [2×a2-3×+0+1=0, 2 2 则 b-0、2 6 解得 a3 30 即M() b=131 设m与1的交点为N,则由2x-3y+1=0, (3x-2y-6=0, 得N(4,3).又，m经过点N(4,3), ∴.由两点式得直线m'的方程为9x一46y十102=0. (3)法一在l:2x-3y十1=0上任取两点， 如P(1,1),N(4,3), 则P,N关于点A的对称点P',N均在直线'上 易知P(-3,-5),N'(-6,-7), 由两点式可得1的方程为2x一3y-9=0. 法二设Q(x,y)为1上任意一点， 则Q(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为Q(-2-x, -4-y). Q在直线l上， .2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即直线1的方程为2x-3y-9=0. 90M-= 高考冲浪 1.B[由直线y=k(x十1)过定，点（一1,0），要使距离最大， 则当y=k(x十1)与(0,1)和（一1,0）的连线垂直时可得最 大距离为(0,1)和（一1,0）两点之间的距离d= √(0+1)2+(1-0)z=√2，故选B.] 2.解析：因为圆心(0,0)到直线x一√3y十8=0的距离d 8 √+3 =4，由弦长公式1=2√2-d可得6= 2√2-42，解得r=5. 答案：5 假期必刷5圆的方程 技能提升台技能提升 1.C2.C3.B 4.A[设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey十F=0(D2+ E2-4F>0),,过坐标原点，则F=0,即x2+y2+Dx十 Ey=0,令x=0,则y2+Ey=0,∴y=一E=3,.E=-3. 令y=0,则x2+Dx=0,∴.x=-D=2,.D=-2..所求 圆的方程为：x2+y2-2x-3y=0.] 5.B[设所求圆的方程为x2十y2-2.x十4y十m=0,由该圆 过点(1，-1)，得m=4,所以所求圆的方程为x2+y2-2x +4y+4=0.] 6.C[如图所示，当直线AO与圆相切时， A为切点，此时∠AOC最大，连接CA, 易得AC⊥AO.由x2+y2-4x+2=0→ (x-2)2+y2=2,即C(2,0),AC=√2 所以sn∠A0C-号，得∠A0C-系] 7.AD[因为(0,0)在(x-m)2+(y十m)2=4的内部，则有 (0-m)2+(0+m)2<4,解得-√2<m<√2.] 8.ABC[可知直线mx十2y-4=0过圆心(2,1)， 有2m十2n-4=0,即n=2-m, 则m=m·(2-m)=-m2+2m=-(m-1)2+1≤1.] 9.(1,2)10.(x-2)2+(y+1)2=411.√26+2 12.解：方法一：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey十F=0(D2+ E2-4F>0)① 将P,Q的坐标分别代入①， 得4D-2E+F+20=0,② {D-3E-F-10=0,③ 令x=0,由①得y2+Ey+F=0,④ 由已知y一y2=43,其中y1y2是方程④的两根. ∴.(y1-y2)2=(y1十y2)2-4y1y2=E2-4F=48,⑤ D=-2, ,D=-10, 联立②③⑤解得E=0, 或{E=-8, (F=-12, （F=4. 故所求方程为x2十y2-2x-12=0或x2十y2-10x 8y+4=0. 方法二：由题意得线段PQ的中垂线方程为x一y一1=0. .所求圆的圆心C在直线x一y一1=0上，设其坐标为 (a,a-1).又圆C的半径长r=|CP|= √(a-4)2+(a+1)'.① 60三022 假期必刷4两直线 〈《思维整合室 知识梳理 1.两条直线位置关系的判定 直线 斜截式 一般式 方程 位置 y=k x+b Ax+By+C=0 关系 y=k2x十b2 A2x+B2y+C2=0 相交 垂直 平行 且 (A1B2-A2B1=0 重合 k=kz B,C1-B1C2=0 且b1=b2 或AB,-A,B,=0 A1C2-A2C1=0 2.三种距离 (1)两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1y1),P2(x2,y2)间 的距离公式为|P,P2|= 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x,y)的 距离|OP|= (2)点到直线的距离公式 平面上任意一点P,(x,yo)到直线l:Ax十 By十C=0的距离d= (3)两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线L:Ax十By十C=0, L2:Ax十By+C2=0间的距离d= 自测自查 1.k1≠k2A1B2一A2B1≠0k1k2=-1 A1A2十B1B2=0k1=k2且b,≠b2 AB,A,B=0或AB,AB=0 B2C1-B,C2≠0{A1C2-A2C1≠0 2.(1)Wx2-x1)+(2-y)√x2+y （2)A+B,+C (3)1C-Cl √A2+B2 √A+B 富二数类 的位置关系 要点记忆 常见的三大直线系方程 (1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方 程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C). (2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方 程是Bx-Ay十m=0(m∈R) (3)过直线1：A1x+B1y十C,=0与12：A2x十 By十C2=0的交点的直线系方程为A1x +B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈ R),但不包括l2. 《技能提升台 技能提升 1.“m=3”是“直线L:2(m+1)x+(m-3)y+ 7-5m=0与直线l2:(m-3)x十2y-5=0 垂直”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若直线a,b的斜率分别为方程x2-4x-1=0 的两个根，则a与b的位置关系为 () A.互相平行 B.互相重合 C.互相垂直 D.无法确定 3.两条直线11：x=2和l2:3x+2y-12=0的 交点坐标是 ( ) A.(2,3) B.(-2,3) C.(3,-2) D.(-3,2) 4.不论m为何值时，直线(m一1)x十(2m一1) y=m-5恒过定点 () B.(-2,0) C.(2,3) D.(9,-4) 5.直线2x十y+m=0和x+2y+n=0的位置 关系是 ( A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定 6.已知直线3x+4y+3=0与直线6x+my一 14=0平行，则它们之间的距离是() A.2 B.8 c号 D.1o 飞密快乐假期 7.(多选)直线11，l2的方程分别 y l:x+ay+b=0,12:x+cy +d=0,它们在坐标系中的位 置如图所示，则下列结论中正 确的是 A.b>0,d<0 B.b<0,d>0 C.ac D.a<c 8.(多选)动画电影《长安三万里》重新点燃了 人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞 诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当 中思想性最深刻、想象力最丰富、艺术性最 强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从 军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏 饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学 问题一“将军饮马”，即将军在白天观望烽 火台，黄昏时从山脚下某处出发，先到河边 饮马，再回军营，怎样走才能使总路程最短？ 在平面直角坐标系中，设将军的出发点是 A(2,4),军营所在位置为B(6,2),河岸线 所在直线的方程为x+y一3=0，若将军从 出发点到河边饮马，再回到军营的总路程最 短，则 () A.将军从出发点到河边的路线所在直线的 方程是6x一y一8=0 B将军在河边饮马的地点的坐标为侣，母) C.将军从河边回军营的路线所在直线的方 程是x-6y十6=0 D.“将军饮马”走过的总路程为5√2 9.已知两条直线11：(3+t)x+4y=5-3t,l2: 2x+(5+t)y=8,l1∥l2,则t= 10.经过两条直线11：x一2y十4=0和l2:x+y -2=0的交点且与直线13：3x-4y+5=0 垂直的直线1的方程为 11.直线l1:x+ay-2=0(a∈R)与直线l2: 3 y=导2-1平行，则a ,1与12 的距离为 12.已知直线L1:ax十2y十6=0和直线l2:x十 (a-1)y+a2-1=0. (1)试判断1与l2是否平行； (2)当11⊥l2时，求a的值. 900-= 13.已知直线2x一3y+1=0和直线x+y一2 =0的交点为P. (1)求过点P且与直线x-3y-1=0平行 的直线方程； (2)若直线1与直线x一3y一1=0垂直，且 P到1的距离为求直线1的方程 14.已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1, -2).求： (1)点A关于直线1的对称点A'的坐标； (2)直线m:3.x-2y-6=0关于直线1的 对称直线m'的方程； (3)直线1关于点A对称的直线'的方程. 高考冲浪 1.(课标Ⅲ卷)点(0，一1)到直线y=k(x十1) 距离的最大值为 () A.1 B.√2 C.√3 D.2 2.(天津卷)已知直线x一√3y十8=0和圆x2+y =r2(r>0)相交于A,B两点.若|AB=6, 则r的值为