第一部分 假期必刷3 直线方程-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业必刷题

=022 假期必刷3直线方 〈《思维整合室 知识梳理 1.直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴 相交的直线，把x轴绕着交点按 方 向旋转到直线重合时，所转过的最小 α也能刻画直线的倾斜程度，我 们把这个角α称为这条直线的倾斜角. (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是 2.直线的斜率 (1)我们把一条直线的倾斜角α的 叫 作这条直线的斜率，斜率常用小写字母 表示，即k= (2)过两点的直线的斜率公式 经过两点P,(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2) 的直线的斜率= 3.直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 纵截距、 斜截式 斜率 与x轴不垂直 的直线 点斜式 过一点、 斜率 与两坐标轴均 两点式 过两点 不垂直的直线 不过原点且与 截距式纵、横截距 两坐标轴均不 垂直的直线 Ax+By+C=0 般式 所有直线 (A2+B2≠0) 自测自查 1.(1)逆时针 正角 (2){a0≤0<π} 2.(1)正切值 tan aaz≠ (2)二y 2 x2-x1 3.y=kx+b y-yo=k(x-xo) y-yi y2-y1 x一x1 工+义=1 x2一x1 a b 二数学都 温故而知新，可以为师矣。 5程 完成日期： 月 日 要点记忆 1.直线的倾斜角α和斜率之间的对应关系： 0<a<音 2 <0-T 2 k 0 k>0 不存在 k<0 2.截距和距离的不同之处 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可 正，可负，也可是零，而“距离”是一个非 负数 3.直线的方向向量 设A(x1y1),B(x2y2)(其中x≠x2)是直线 1上的两点，则向量AB=(x2一x1y2一y)以及 与它平行的向量都是直线的方向向量.若直 线1的斜率为，它的一个方向向量的坐标 为(x,y),则k=义 4.直线Ax十By+C=0(A2+B≠0)的一个法 向量v=(A,B),一个方向向量a=(一B,A). 《技能提升台 技能提升 1.经过A(0,4),B(√3,1)两点的直线的倾斜 角是 () A.-60° B.60 C.120° D.150° 2.方程y=k(x-2)表示 A.过点(2,0)的所有直线 B.过点(2,0)且不垂直于y轴的所有直线 C.过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线 D.过点(2,0)且除去x轴的所有直线 3已知A1.-3,B8,),C(9,,且A,B, C三点共线，则λ= ) A.-1 B.0 C.1 D.2 4.过点A(一1,1)的直线1的倾斜角是直线 11:√3x一y+1=0的倾斜角的2倍，则直线 1的方程是 () A.√3x-y+√3+1=0 B.√3x+y+3-1=0 C.3x-3y+3+3=0 D.W3x+3y+√3-3=0 飞密快乐假期 5.若AB>0且BC<0,则直线Ax+By+C=0 不经过第几象限 () A.一 B.二 C.三 D.四 6.过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上 的截距2倍的直线方程是 A.2x+y-12=0 B.2x+y-12=0或2x-5y=0 C.x-2y-1=0 D.x-2y-1=0或2x-5y=0 7.(多选)已知直线xsin a+ycos a十1=0(a∈ R),则下列命题正确的是 A.直线的倾斜角是π一α B.无论α如何变化，直线不过原点 C.直线的斜率一定存在 D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标 轴围成的三角形的面积不小于1 8.(多选)若直线1过点A(1,2),且在两坐标 轴上截距的绝对值相等，则直线1的方程可 能为 () A.x-y+1=0 B.x+y-3=0 C.2x-y=0 D.x-y-1=0 9.过点P(一1，√3)且倾斜角为30°的直线方程 为 10.已知△ABC的三个顶点坐标为A(1,2), B(3,6),C(5,2),M为AB的中点，N为 AC的中点，则中位线MN所在直线的方 程为 11.一束光线从点A(一√3,3)射出，沿倾斜角 150°的直线射到x轴上，经x轴反射后，反 射线所在的直线方程为 12.求适合下列条件的直线方程 (1)经过点A(一1，一3)，倾斜角等于直线 y=3x的倾斜角的2倍； (2)经过点B(3,4),且与两坐标轴围成一 个等腰直角三角形. 000= 13.直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a ∈R). (1)若1在两坐标轴上的截距相等，求实数 a的值； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值 范围. 14.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明：直线1过定点； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值 范围； (3)若直线1交x轴负半轴于点A,交y轴 正半轴于点B,△AOB的面积为S(O为坐 标原点)，求S的最小值并求此时直线1的 方程. 高考冲浪 1.（北京卷)若直线2x+y一1=0是圆(x一a) +y2=1的一条对称轴，则a= () A号 B. C.1 D.-1 2.(天津卷)若直线x-y十m=0(m>0)与圆 (x一1)2十(y一1)2=3相交所得的弦长为 m,则m=三0022 .'.sin I cos(n,AB)= n·AB1 √13 n·|AB 13 故AB与平面BCCB1所成角的正孩值为3 14.(1)证明：连接A1B,如图.由直三 A 棱柱ABC-A1B1C1的性质可知， B BB1⊥BC. 因为AB⊥BC,AB∩BB1=B,AB C平面AA1B1B,BB1C平 面AA1B1B, 所以BC⊥平面AA1B1B. B 因为AB1C平面AA1B1B,所以 BC⊥AB1. 因为AA1=AB=1,所以四边形AA1B1B为正方形，所 以AB1⊥A1B, 又因为BC∩A1B=B,BCC平面A1BC,A1BC平面 A1BC,所以AB1⊥平面A1BC.因为A1CC平面A1BC, 所以AB1⊥A1C (2)解：由(1)得BC⊥平面AA,B1B,从而点C到平面 AA1B1的距离为BC, 故VAAn,e=VcAA月=号×号AB·AA·BC -日-吾中0=反 以B为原点，分别以BC,BA,BB1所在直线为x轴，y 轴，之轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,1,0),A1(0,1,1),B1(0,0,1),C(√2,0,0)， 设平面AB1C的法向量为m=(x1,y1,1),因为AC= (2,-1,0),AB1=(0,-1,1), 所以m·AC0→1-y=0, (m·AB1=0(-y1+x1=0, 令x1=√2，则y1=1=2,可得平面AB1C的一个法向量 m=(√2,2,2). 设平面A1BC的法向量为n=(x2y2,之2)，因为AC= (2,-1,-1),A1B1=(0,-1,0), 所以·AC0→小E4-2-=0, (n·A1B1=0-y2=0, 令x2=√2，则y2=0,2=2,可得平面A1B1C的一个法 向量n=(√2,0,2). 设平面A1B1C与平面AB1C的夹角为0，则cos0= m·n=西 mn 5 故平面ABC与平面AB,C的夹角的余弦值为√国 5 高考冲浪 1.解：(1)因为PA⊥底面ABCD,AD,BCC平面ABCD,所 以PA⊥AD,PA⊥BC.文AD⊥PB,且AP∩BP=P, AP,BPC平面PAB,所以AD⊥平面PAB.在△ABC中，因 为AC=2,BC=1,AB=√5，所以AC2=BC+AB,即AB⊥ BC,又AP⊥BC,且AP∩AB=A,AP,ABC平面PAB,所以 BC⊥平面PAB.因此，AD∥BC,又AD中平面PBC,BCC平面 ·5 含二数学) PBC,所以AD∥平面PBC. (2)过D点作DE∥PA,则DE ⊥平面ABCD,以D为坐标原 点，分别以DA,DC,DE所在的 直线为x轴，y轴，之轴建立空间 直角坐标系.设DA=m,DC n,其中m2+n2=4,则A(m, 0,0),C(0,,0),P(m,0,2), 所以AP=(0,0,2),CP=(m,-1,2),DC=(0,1,0). 设平面APC的法向量为n=(x,y,之)，则 (2x=0, 令x=,则y=m,所以n=(n,m,0)； (m.x-ny+2z=0 设平面DPC的法向量为v=(x,y,之)，同理可得v=(2,0,一. 因为二面角APCD为锐二面角，所以其余弦值为吗，因 此9-1cos(n,)1= 2n 一，解得m=3,即 √m2+n2√/4+m AD=√5. 2.解：(1)证明：由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AB. 又AB⊥AD,AD∩PA=A,所以AB⊥平面PAD,又 ABCPAB,故平面PAB⊥平面PAD. (2)易知AB,AD,PA两两垂直，以A为坐标原点，AB方 向为x轴正方向，AD方向为y轴正方向，AP方向为之轴 正方向建立空间直角坐标系，易得A(0,0,0),B(2,0, 0),C(2,2,0),D(0,W3+1,0),P(0,0,N2). (1)设球心O(x,y,),由OB=OC=OD=OP可得 「(x-√2)2+y+2=(x-√2)2+(y-2)2+2 (x-√2)2+y2+2=x2+(y-√3-1)2+之2，解得y=1, (x-√2)2+y2+g2=x2+y2+(x-√2)2 x=之=0，显然，点O(0,1,0)为直线AD上的，点，ADC平面 ABCD,所以，点O(0,1,0)在平面ABCD上 (i)AC=(2,2,0),PO=(0,1,-√2)，直线AC与PO所 成角的余弦位等于cos(AC,PO)=AC·Pg =2 IACIPO 6X3 3 假期必刷3直线方程 技能提升台技能提升 1,C[由题易知直线AB的斜率=一4=一B,设直线 /5-0 AB的倾斜角为0，则tan0=-√5，得0=120°.] 2.C[y=k(x一2)为直线的点斜式方程，只能表示斜率存 在的直线，且直线过点(2,0).] C出AB,CE点共毯，水mc年子 解得λ=1. 4.B[因为k1=tana=√5，a=60°，所以k=tan120°= 一√3，所以直线1的方程是y-1=一√3(x十1)，即√5x十y +5-1=0.] 飞空快乐假期 5.C[AB>0且BC<0,-合<0，号>0，直线y= 合：后的针奉小于索，在y给上的减矩大于索，故立 线过第一、二、四象限，不经过第三象限.门 6.B[当直线过原，点时，由直线过，点(5,2)，可得直线的斜 丰为号，故直线的方程为y=号，即2x-5y=0:当直钱 不过原点时，设直线在x轴上的截距为b,则在y轴上的 栽距是20，直线的方程为方十六=1，起点(5,2)代入可得 ；十品-1，解得b=6.故直线的方程为首+造-1，即2x +y-12=0.] 7.BD[根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π一a∈R,A不 正确；当x=y=0时，xsin a十ycos a-十1=1≠0，所以直线 必不过原点，B正确：当Q=受时，直线斜率不存在，C不 正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三 角形的面积为S= -1n2a≥1， D正确.] &AC[当直镜经过原点时，斜率为=日=2，所家的 直线方程为y=2x,即2x一y=0;当直线不过原点时，设 所求的直线方程为x士y=k,把点A(1,2)代入可得1一2 =k或1十2=k,求得k=一1或3，故所求的直线方程为 x-y十1=0或x十y一3=0.综上，所求的直线方程为 2x-y=0,x-y十1=0或x+y-3=0.] 9.解析：由点斜式可得y-5=tan30°(x十1)，即y-√5 (x十1)，化简得x-By+4=0. 3 答案：x-5y十4=0 10.解析：由题知M(2,4),N(3,2),故中位线MN所在直线 的方拉为的号送理得2十y一8=0 答案：2x十y-8=0 11.解析：由题意知，入射光线所在(3,3)↑y 直线的斜率为tan150°= 3 3 所以入射光线方程y一3= 3 3 023,0x +.整型#=9+2， 令y=0得x=2√5，所以入射光线与x轴的交点为 （2尽，0，由对称性知，反铅无线的斜率为写，所以反射 光线的方程为y一0=5-20，即y-号一2 3 答案y-9-2 12.解：(1)设直线y=3x的倾斜角为a, 则所求直线的倾斜角为2α. 因为tana=3, 所以an2a=22。=-子 3 1-tan a ·5 00M-□ 又直线经过，点A(一1，一3)， 因此所求直线方程为y十3=一 c+1D, 即3x+4y+15=0. (2)由题意，可知所求直线的斜率为士1. 又过点B(3,4), 由点斜式得y一4=士（x-3). 所求直线的方程为x一y十1=0或x十y-7=0. 13.解：(1)当直线1过原点时，直线1在x轴和y轴上的截 距都为0，相等，.2一a=0,a=2.∴.直线1的方程为3x 十3y=0.若a≠2且a≠-1，则8号=a-2,即a十1=1， a+1 a=0,∴.直线1的方程为x十y十2=0.∴.实数a的值 为0或2. (2)直线1的方程可化为y=-(a十1)x十a一2，故要使l 不经过第二象限，只需（0十打)20解得4≤-1，所以 1a-2≤0， a的取值范围为（一o0,-1]. 14.(1)证明：直线1的方程可化为k(x十2)十(1一y)=0, 令+2=0解得{=2， 11-y=0, (y=1. .无论k取何值，直线总经过定点（一2,1） (2)解：由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为 _1+2k,在y轴上的距为1+2k, k 要使直线不经过第四象限，则必须有 -1+2≤0，解得 (1+2k≥0， k>0: 当k=0时，直线为y=1,符合题意，故k的取值范围是 [0,+0). (3)解：由题意可知k≠0，再由1的方程，得 (1去.o）B01+2,袋题意 1十2凼∠0，解得 k (1+2k>0, ≥0s=oa108=H到 .11+2k 1 .+2=（++4)≥ k 当且仅当4k=子，即k=号时取等号， 1 ∴.Smin=4. 此时直线1的方程为x一2y十4=0. 高考冲浪 1,A[若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标(a, 0),所以由2a十0-1=0，解得a=子.] 2.解析：计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关 于m的等式，即可解得m的值. 圆(x-1)2+(y-1)2=3的圆心坐标为(1,1)，半径为√3， 圆心到直线x-y十m=0(m>0)的距离为1-1十m √2 由定理可得（）+（偿）】 =3,因为m>0, √2 解得m=2.故答案为：2. 答案：2