第一部分 假期必刷2 立体几何中的向量方法-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业必刷题

受快乐假期 假期必刷2立体几何中 《思维整合室 知识梳理 1.两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线a,b的方向向量为a,b,其 夹角为0，则cosp=|cos0= (其 中o为异面直线a,b所成的角). 2.直线和平面所成的角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为e,平面a 的法向量为n,直线l与平面α所成的角为p, 两向量e与n的夹角为0，则sino=|cos 0 3.求二面角的大小 (1)如图①，AB,CD是二面角l3的两个面 内与棱垂直的直线，则二面角的大小 0= QB、 B ① ② ③ (2)如图②③，n1,n2分别是二面角l-3的两 个半平面α，3的法向量，则二面角的大小 0= 4.点面距离的求法 设n是平面a的法向量， AB是平面a的一条斜线， 则点B到平面α的距离为 (如图). c0M= 学然后知不足，教然后知困。 的向量方法 完成日期： 月 日 自测自查 a·b n·e 1.albl 2.nlel 3.(1)AB,CD> (2)(n1,n2）(或元-(n1,2〉) lAB·n n 要点记忆 向量法证明空间几何问题的两种基本思路 思路一：用向量表示几何量，利用向量的运 算进行判断 思路二：用向量的坐标表示几何量，共分 三步： (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间 向量（或坐标）表示问题中所涉及的量，把 立体几何问题转化为向量问题 (2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置 关系 (3)根据运算结果的几何意义来解释相关 问题。 《技能提升台 技能提升 1.若两个不同平面a,B的法向量分别为u= (1,2,-1),v=(-3,-6,3),则 ( A.a∥B B.a⊥B C.a,3相交，但不垂直D.以上均不正确 2.若平面a的法向量为n,直线l的方向向量 为a,直线l与平面α的夹角为0，则下列关 系成立的是 A.cos0=n·a na B.cos0=n·a n a csin9=日ia D.sin0=n·a nla 三0022 3.在长方体ABCD-A1B,C,D1中，AB=BC=1, AA1=√3，则异面直线AD,与DB,所成的 角的余弦值为 () A cD号 4.在三棱锥ABCD中，平面ABD与平面 BCD的法向量分别为n1,n2.若〈n1,n2）= 否，则二面角ABDC的大小为 () A.号 B. π C或 D.若或号 5.把边长为a(a>0)的正△ABC沿高线AD 折成60°的二面角，则点A到BC的距离是 ( A.a B.6 . 3a D.5 4 a 6.如图，在正三棱锥P-ABC 中，PA,PB,PC两两垂直， E,F分别是AB,BC的中 点，则直线AF与平面PEF 的夹角的余弦值为 A号B号 c 7.(多选)将正方形ABCD沿对角线BD折成直 二面角，给出下列四个结论，正确的是( ) A.AC⊥BD B.AB与CD所成的角为60 C.△ADC为等边三角形 D.AB与平面BCD所成的角为60 8.（多选)如图，在棱长为1 D 的正方体ABCD A A1BC1D1中，E,F分别 D 为CD,AB,的中点，则 下列结论正确的是() 二数类为 A.点F到点E的距离为√② B.点F到直线ED,的距离为3O 5 C点F到平面AFD,的距离为号 D.平面BFC,到平面AED,的距离为2,5 3 9.如图，在正四面体ABCD中，已 知AE=寻AB,CP=CD,则直 线DE和BF所成的角的余弦 值为 10.在四面体ABOC中，OC⊥OA,OC⊥OB, ∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1.则二面 角O-ACB的平面角的余弦值为· 11.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2, A1A=1,则点A到平面A,BC的距离 为 12.在棱长为1的正方体ABCD-A1B,C1D 中，M,N,E,F分别是棱A,B1,AD1, B,C,C,D1的中点.证明平面AMN∥平 面EFDB,并求平面AMN与平面EFDB 的距离. 飞蜜快乐假期 13.如图，在三棱柱ABC A1BC1中，AA1=2, A,C⊥底面ABC, ∠ACB=90°，A1到平 面BCC1B1的距离 为1. (1)求证：AC=AC; (2)若直线AA1与BB1的距离为2，求 AB,与平面BCC,B,所成的角的正弦值. 14.如图，在直三棱柱ABC A A,B,C,中，AA1=AB=1, B AB⊥BC. (1)证明：AB1⊥A1C; (2)若三棱锥A1-AB,C的 体积为停，求平面A,B,C 与平面AB,C的夹角的余弦值. ·6 900-= 高考冲浪 1.(2024·新课标I 卷，17)如图，四棱 锥P-ABCD中，PA ⊥底面ABCD,PA D =AC=2,BC=1, AB=√3. (1)若AD⊥PB,证明：AD∥平面PBC; (2)若AD⊥DC,且二面角ACP-D的正弦 值为厘求AD, 2.(2025·全国一卷，17)如 图，在四棱锥P一ABCD 中，PA⊥底面ABCD,AB ⊥AD,BC∥AD. (1)证明：平面PAB⊥平 B 面PAD; (2)若PA=AB=√2，BC=2,AD=1+√5， 且点P,B,C,D均在球O的球面上. (ⅰ)证明：点O在平面ABCD内； (ⅱ)求直线AC与PO所成角的余弦值.=0022 高二数类， 参考答案 假期必刷1空间向量及其运算 当c=一2时，ka+b=(k,k,0)+(-1,0,-2)=(k-1, k,-2),2a-b=(2,2,0)-(-1,0,-2)=(3,2,2). 技能提升台技能提升 因为ka十b与2a-b互相垂直，所以3(k-1)+2k-22= 1.D2.C3.A 4.C[b+c=(-1,2,1)+(0,1,1)=(-1,3,2),文a= 0部得=子 (2,2,3),∴.a·(b+c)=(2,2,3)·(-1,3,2)=-2+6+ 综上k= 7 6=10.] 14.(1)证明：以点A为原，点， 5.D[根据向量线性运算原则求解即可」 AB所在直线为x轴，AD 由题意，P正=P元=aC-AP)-aC-= 所在直线为y轴，AP所在 直线为之轴，建立如图所示 (i+Aò-a=子a+十b-子c.P店=A店-A护 的空间直角坐标系Axy之， 则A(0,0,0),B(1,0,0), a-c, C(1,2,0),D(0,2,0), 则B成-PE-p店=子a+bc-a-c)=-子a十 P(0,0,1).点E,F分别是B PB,PD的中点， F01,2） 6.A[因为M为AC的中点，所 E(合0，)月 以Bi=合(BA+B心.又周为 F-(合-1,0B=(-1,2.0,Fi=BD, M=2ND,所以M不=号Mò 即EF∥BD. 又BDC平面ABCD,EF寸平面ABCD, =子(B防-B,所以B武 所以EF∥平面ABCD. (2)证明：由(1)可知AP=(0,0,1),AD=(0,2,0), Bi+M=子B元+Bi DC=(1,0,0), 号BD+×Bi+BO)=合Bi+合BC+号BD.] 因为AP·DC=(0,0,1)·(1,0,0)=0, 7.BCD[a·b=0,a·c≠0，b·c=0,.只有A正确， AD·DC=(0,2,0)·(1,0,0)=0, BCD错误.] 所以AP⊥DC,AD⊥DC,即AP⊥DC,AD⊥DC. 8.ABD[只有C正确.] 又AP∩AD=A,AP,ADC平面PAD,所以DC⊥平面 PAD.因为DCC平面PDC,所以平面PAD⊥平面PDC. 9.010.受或号 11.2：3：(-4) 高考冲浪 12.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 1.D[因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,则4+x2 4x=0,解得x=2. ..AC=AB+AD 2.解析：由题意可知，2k=5×6,则k=15. :EG=0心-Oi=k.O心-k,OA=k(O心-OA) 答案：15 假期必刷2立体几何中的向量方法 =kAC=K(AB+AD) 技能提升台技能提升 =k(OB-OA+0D-0A)=OF-OE+0H-OE 1.A2.D3.C =EF+Ei,E,F,G,H共面； 4.C[当二面角ABD-C为锐角时，其大小为〈n1,n2）= (2)证明：：E京=O求-OE=k(OB-OA)=k·AB, 否：当二面角ABDC为镜角时，共大小为x一《mm) 又：EG=k·AC,∴EF∥AB,EG∥AC,又AB∩AC=A, -] 所以，平面ABCD∥平面EFGH. 5.D 13.解：(1)a+b=(1,1,0)+(-1,0,c)=(0,1,c), 6.D[依题意，PA,PB,PC两两垂 所以a+b=√1+c2=5,解得c=±2. 直，建立如图所示的空间直角坐 (2)当c=2时，ka十b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k, 标系.设PA=PB=PC=2,则 2),2a-b=(2,2,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2), P(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0) C(0,0,2),E(1,1,0),F(0,1,1), 因为ka十b与2a一b互相垂直，所以3(k-1)十2k-22= 则PE=(1,1,0),PF=(0,1,1), 0,解得太=子 AF=(-2,1,1). ·55· 飞堡快乐假期 S00-= 设平面PEF的法向量为n=(xy,z), 则”庄-+-0， AM=（0,21）AB=(0,1,0.NM=FE,即MN∥FE 令x=1,可得平面PEF的一个法 同理可证AM∥DF,∴.平面AMN∥平面EFDB. n·PF=y+x=0, 设平面AMN的法向量为n=(x,y,1), 向量n=(1,-1,1). 由n⊥NM,n⊥AM,得n·NM=0,n·AM=0,求得n 设直线AF与平面PEF的夹角为9，则sin)=n·的 (2,-2,1)..平面AMN与平面EFDB的距离为d= AF -景 2= 13.(1)证明：如图，A1C⊥底面 5X√6 ABC,BCC平面ABC, .A1C⊥BC,又BC⊥AC, A1C,ACC平面ACC1A1, 7.ABC A1C∩AC=C, 8.ABC[以D为原点，分别以DA, 外D .BC⊥平面ACC1A1,又BC DC,DD1的方向为x轴y轴、之轴的 C平面BCCB1, 正方向建立如图所示的空间直角坐 .平面ACCA⊥平面BCCB, 标系. 过A1作AO⊥CC1交CC1于O,又平面ACC1A1∩平 由题意知，A(1,0,0),B(1,1,0),Ex 面BCCB1=CC1,A1OC平面ACC1A1, (0,20）C0,11D,D0,0,1. ∴.A1O⊥平面BCCB1, A1到平面BCC1B1的距离为1，A1O=1, F,所以应=(-10，-1D元=(02 在Rt△A1CC1中，A1C⊥A1C1,CC1=AA1=2, 设CO=x,则CO=2-x, d=(-10.D2=(-1,g,0） :△A1OC,△A1OC1,△A1CC1为直角三角形， 且CC1=2, 设平面AED1的法向量为n=(x,y,之)， CO2+A102=AC2,A102+OC=CA, AD1·n=-x十之=0， AC2+AC=CIC2, 所以 1 则可得平面AED1的一个 AE·n=-x+2y=0, .1十x2+1十(2-x)2=4,解得x=1, 法向量为n=(1,2,1). .AC=A1C=A1C1=√2，∴.AC=A1C. 点F到，点E的距离FE=√(-1)+(-1)严=2，故A正确： (2)连接A1B,由(1)易证A1B=A1B1,故取BB1的中点 F,连接A1F,A1A与B1B的距离为2， 点F到直线ED1的距离为 A1F=2, FE.ED ∴.A1C=AC=√2，AB=A1B1=√5，BC=3, 3,故B正 建立空间直角坐标系C-xy之如图所示， ED 确：点F到平面AED1的距离d ”是故 n C正确： 由正方体的性质可知，平面BFC1∥平面AED1,平面 BFC1到平面AED1的距离即为点F到平面AED1的距 A 离长D错说] C(0,0,0),A(√2,0,0)，B(0,W5,0),B1(-√2，W3,W2), 9言1a1.号 C1(-√2,0，√2)， 12.解：先证明平面AMN∥平面EFDB. ∴.CB=(0W5,0),CC1=(-√2,0，W2), 以D为原点，建立如图所示的空间 AB1=(-2√2，W5,√2)， 直角坐标系，则D(0,0,0),A(1,0,0), 设平面BCC1B1的法向量为n=(x,y,之)， B(1,1,0), M(小N(合 则m·CB=0, 即8=0， 令x=1, (n·CC=0,(-V2x+√2x=0 (分F(,2月 则y=0,之=1， 所以平面BCCB1的一个法向量为： ∴N=(合，20）成-（合号） n=(1,0,1), 设AB1与平面BCC1B所成的角为0， ·56 三0022 .'.sin Icos(n,AB)= ln·ABl √13 PBC,所以AD∥平面PBC (2)过D点作DE∥PA,则DE n·|AB1 13 ⊥平面ABCD,以D为坐标原 故AA与平西以C所成角的正孩值为 点，分别以DA,DC,DE所在的 直线为x轴，y轴，2轴建立空间 14.(1)证明：连接A1B,如图.由直三 直角坐标系.设DA=m,DC 棱柱ABC-A1B1C1的性质可知， BB1⊥BC. n,其中m2+n2=4,则A(m, 0,0),C(0,11,0),P(m,0,2), 因为AB⊥BC,AB∩BB1=B,AB C平面AA1B1B,BB1C平 所以AP=(0,0,2),C2=m,-,2),D元=(0n,0. 面AA1B1B, 设平面APC的法向量为n=(x,y,之)，则 所以BC⊥平面AA,B1B. (2x=0, 令x=,则y=n,所以n=(,m,0): 因为AB1C平面AA1B1B,所以 (m.x-ny+2z=0 BC⊥AB1. 设平面DPC的法向量为v=(x,y,z),同理可得v=(2,0,-m). 因为AA1=AB=1,所以四边形AA1B1B为正方形，所 以AB1⊥A1B, 因为二面角APCD为锐二面角，所以其余弦值为吗，因 又因为BC∩A1B=B,BCC平面A1BC,A1BC平面 北9-1cosn.p)1= 2n 三，解得m=√3，即 A1BC,所以AB1⊥平面A1BC.因为ACC平面A1BC, m2+n24+m2 所以AB1⊥A1C AD=√5. (2)解：由(1)得BC⊥平面AA1B1B,从而点C到平面 2.解：(1)证明：由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AB. AA1B1的距离为BC, 又AB⊥AD,AD∩PA=A,所以AB⊥平面PAD,又 故VAAe=VGaA,g=子X2AB·AA1·BC ABCPAB,故平面PAB⊥平面PAD. -日-号中C=E (2)易知AB,AD,PA两两垂直，以A为坐标原，点，AB方 向为x轴正方向，AD方向为y轴正方向，AP方向为之轴 以B为原，点，分别以BC,BA,BB1所在直线为x轴，y 正方向建立空间直角坐标系，易得A(0,0,0),B(√瓦，0， 轴，之轴建立如图所示的空间直角坐标系， 0),C(√2,2,0)，D(0,5+1,0),P(0,0,N2). 则A(0,1,0),A1(0,1,1),B1(0,0,1),C(√2,0,0)， (i)设球心O(x,y,2),由OB=OC=OD=OP可得 设平面AB1C的法向量为m=(x1y1,1),因为AC= 「(x-2)2+y+之2=(x-√2)2+(y-2)2+2 (2,-1,0),AB1=(0,-1,1), (x-2)2+y2+22=x2+(y-5-1)2+之2，解得y=1, 所以m·花0→人-=0. (x-√2)2+y2+x2=x2+y2+(-√2)2 {m·AB=0{-y1+1=0, x=之=0，显然，点O(0,1,0)为直线AD上的点，ADC平面 令x1=√2，则y1=1=2,可得平面AB1C的一个法向量 ABCD,所以点O(0,1,0)在平面ABCD上 m=(√2,2,2). (i)AC=(√2,2,0)，PO=(0,1,-√2)，直线AC与P0所 设平面A1BC的法向量为n=(x2,y2,2),因为A1C 成角的余弦值等于cos(AC,Pd)=AC,Pg =2 (W2,-1,-1),A1B1=(0,-1,0), IACIPO6X3 所以·AC0→-2-=0， n·A1B1=0(-y2=0, 令x2=√2，则y2=0,22=2,可得平面A1B1C的一个法 假期必刷3直线方程 向量n=(√2,0,2). 技能提升台技能提升 设平面A1B1C与平面AB1C的夹角为0，则cos0= 1,C[由题易知直线AB的斜率=一4=一尽，设直线 √5-0 |m·m=√压 m n 51 AB的倾斜角为0，则tan0=-√5，得0=120°.] 故平面ABC与平面AB,C的夹角的余弦值为国 2.C[y=k(x一2)为直线的点斜式方程，只能表示斜率存 51 在的直线，且直线过点(2,0).] 高考冲浪 1.解：(1)因为PA⊥底面ABCD,AD,BCC平面ABCD,所 3.C[:A,B,C三点共线，kB=e,即+3 λ十3 ”8-1=9-i 以PA⊥AD,PA⊥BC.又AD⊥PB,且AP∩BP=P, AP,BPC平面PAB,所以AD⊥平面PAB.在△ABC中，因 解得λ=1，] 为AC=2,BC=1,AB=√5，所以AC2=BC+AB,即AB⊥ 4.B[因为k1=tana=√5，a=60°，所以k=tan120° BC,又AP⊥BC,且AP∩AB=A,AP,ABC平面PAB,所以 -√3，所以直线1的方程是y-1=一√3(x十1)，即5x十y BC⊥平面PAB.因此，AD∥BC,又AD中平面PBC,CC平面 +5-1=0.] ·57·