第一部分 假期必刷1 空间向量及其运算-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业必刷题

=0022 高二数类， 参考答案 假期必刷1空间向量及其运算 当c=一2时，ka+b=(k,k,0)+(-1,0,-2)=(k-1, k,-2),2a-b=(2,2,0)-(-1,0,-2)=(3,2,2). 技能提升台技能提升 因为ka十b与2a-b互相垂直，所以3(k-1)+2k-22= 1.D2.C3.A 4.C[b+c=(-1,2,1)+(0,1,1)=(-1,3,2),文a= 0部得=子 (2,2,3),∴.a·(b+c)=(2,2,3)·(-1,3,2)=-2+6+ 综上k= 7 6=10.] 14.(1)证明：以点A为原，点， 5.D[根据向量线性运算原则求解即可」 AB所在直线为x轴，AD 由题意，P正=P元=aC-AP)-aC-= 所在直线为y轴，AP所在 直线为之轴，建立如图所示 (i+Aò-a=子a+十b-子c.P店=A店-A护 的空间直角坐标系Axy之， 则A(0,0,0),B(1,0,0), a-c, C(1,2,0),D(0,2,0), 则B成-PE-p店=子a+bc-a-c)=-子a十 P(0,0,1).点E,F分别是B PB,PD的中点， F01,2） 6.A[因为M为AC的中点，所 E(合0，)月 以Bi=合(BA+B心.又周为 F-(合-1,0B=(-1,2.0,Fi=BD, M=2ND,所以M不=号Mò 即EF∥BD. 又BDC平面ABCD,EF寸平面ABCD, =子(B防-B,所以B武 所以EF∥平面ABCD. (2)证明：由(1)可知AP=(0,0,1),AD=(0,2,0), Bi+M=子B元+Bi DC=(1,0,0), 号BD+×Bi+BO)=合Bi+合BC+号BD.] 因为AP·DC=(0,0,1)·(1,0,0)=0, 7.BCD[a·b=0,a·c≠0，b·c=0,.只有A正确， AD·DC=(0,2,0)·(1,0,0)=0, BCD错误.] 所以AP⊥DC,AD⊥DC,即AP⊥DC,AD⊥DC. 8.ABD[只有C正确.] 又AP∩AD=A,AP,ADC平面PAD,所以DC⊥平面 PAD.因为DCC平面PDC,所以平面PAD⊥平面PDC. 9.010.受或号 11.2：3：(-4) 高考冲浪 12.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 1.D[因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,则4+x2 4x=0,解得x=2. ..AC=AB+AD 2.解析：由题意可知，2k=5×6,则k=15. :EG=0心-Oi=k.O心-k,OA=k(O心-OA) 答案：15 假期必刷2立体几何中的向量方法 =kAC=K(AB+AD) 技能提升台技能提升 =k(OB-OA+0D-0A)=OF-OE+0H-OE 1.A2.D3.C =EF+Ei,E,F,G,H共面； 4.C[当二面角ABD-C为锐角时，其大小为〈n1,n2）= (2)证明：：E京=O求-OE=k(OB-OA)=k·AB, 否：当二面角ABDC为镜角时，共大小为x一《mm) 又：EG=k·AC,∴EF∥AB,EG∥AC,又AB∩AC=A, -] 所以，平面ABCD∥平面EFGH. 5.D 13.解：(1)a+b=(1,1,0)+(-1,0,c)=(0,1,c), 6.D[依题意，PA,PB,PC两两垂 所以a+b=√1+c2=5,解得c=±2. 直，建立如图所示的空间直角坐 (2)当c=2时，ka十b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k, 标系.设PA=PB=PC=2,则 2),2a-b=(2,2,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2), P(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0) C(0,0,2),E(1,1,0),F(0,1,1), 因为ka十b与2a一b互相垂直，所以3(k-1)十2k-22= 则PE=(1,1,0),PF=(0,1,1), 0,解得太=子 AF=(-2,1,1). ·55·=0022 含二数学 第一部分 知而好学天道酬勤 假期必刷1空间向量及其运算 思维整合室 (4)向量垂直的坐标表示 a⊥b台 (5)向量长度与两个向量夹角的坐标计算公式 知识梳理 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 1.空间向量的概念 lal= (1)相等向量 1b= 的向量叫做相等向量. cosa,b〉= (2)共线向量或平行向量 (6)空间两点间的距离公式 如果表示若干空间向量的有向线段所在 设A(x1,y1,之)，B(2y2,之2)，则 的直线互相 ,那么这些向量叫 IABI= 做共线向量或平行向量，如a平行b记 自测自查 作： 1.(1)大小相等且方向相同(2)平行或重合 2.两个向量的夹角 a∥b2.(1)(a,b〉[0，π](2)垂直a⊥b (1)若a,b是两个非零向量，则其夹角记为 3.|a|bcos04.(1)acos0(2)0 ,范围是 (3)a·a5.(1)(a1+b1,a2+b2,a3+b3) (2)若(a,b)=90°，则称a与b (a1-b1,a2-b2,a3-b3）(aa1,Aa2,aa3) ,记作： 3.公式：a·b= a1b十a2b2十ab3(2)(x2-x1y2-y,z2-) 4.性质：(1)a·e= (其中e为单位 (3)(a1aa)=ab,6)号-g-2 bi b2 b3 向量) (2)若a⊥b,则a·b= ,反之也 (4)a1b+azbz+asbs=0 (5)/aj+aiFaj 成立. V匠+6+6 a·b a1b1+a2b2十a3bs (3)a2= ab√a+a+a6+%+6 5.坐标运算 (6Wx2-)+（y2-y)+(22-2) 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). (1)a+b= 要点记忆 a-b= 空间向量数量积运算与运算律 入a= 向量的数量积运算只适合交换律、加乘分 a·b= 配律及数乘结合律，不满足以下两条， (2)设A(x1y1z1),B(x2y2,22), (1)消去律：由a·b=b·c不能推出a=c,即 则AB= 向量不能约分. (3)向量平行的坐标表示 (2)乘法结合律：(a·b)c=a(b·c)不一定成 a∥b(b≠0)台 立，这是因为(a·b)c表示一个与c共线的 或当b与三条坐标轴都不平行时， 向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向 a∥b台 量，但c与a不一定共线， 飞燮快乐限期 00 《技能提升台 C++品 6 技能提升 1.在△ABC中，若∠C=90°，A(1,2,-3k), D.号BA+号BC+号Bi B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k的值为() 7.(多选)已知三条直线1,2，l的一个方向 A.√10 B.√10 向量分别为a=(4,-1,0),b=(1,4,5),c= C.2√5 D.士√10 (一3,12，一9)，则下列说法错误的是( 2.设O是△ABC的外心，则AO,BO,CO是 A.11⊥l2,但L1与l3不垂直 ( B.1⊥13，但l1与l2不垂直 A.相等向量 B.平行向量 C.l2⊥l3,但l2与l1不垂直 C.模相等的向量 D.起点相同的向量 D.11,l2,l3两两互相垂直 3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任一 8.(多选)以下四个命题中，不正确的是( 点0，都有0Ni=x0+O店+0元，则x A若0-O+号0店，则P,A,B三点 的值为 ( 共线 Ag c D.0 B.△ABC是直角三角形的充要条件是AB· 4.若向量a=(2,2,3),b=(-1,2,1),c=(0, AC-0 1,1),则a·(b+c)= A.5 B.8 C.设{a,b,c}是空间一个基底，则{a十b,b十c, C.10 D.12 c十a}构成空间的另一个基底 5.我国古代数学名著《九章 D.I(a·b)cl=la·|bl·|cl 算术》中，将底面为矩形 9.在空间四边形ABCD中，AB·CD+BC· 且一侧棱垂直于底面的 AD+CA·BD= 四棱锥称为阳马.如图所 示，已知四棱锥PAB B 10.在直角坐标系O-xyz中，已知点P(2cosx+1, 2cos2x+2,0)和点Q(c0sx,-1,3),其中 CD是阳马，PA⊥平面ABCD,且PE= x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则 PC,若AB=a,AD=b,AP=c,则BE= x的值为 1.若A02号)B1,-18),C(-2,18)是 A.- 5 5 4a-4b+ 平面a内的三点，设平面a的法向量a 5 B.ab 5 =(x,y,x),则x:y:之= 4 12.如图，已知平行四边形ABCD,从平面ABCD 3 1 c.a- 3 b一 4 外一点O引向量OE=k D.- 3 3 a+ib+ OA,OF=&OB,OG= D 4 kOC.OH=kOD. 6.在三棱锥ABCD中，M为AC的中点，若 (1)求证：四点E,F, MV=2ND,则BV= () G,H共面； A.合BA+BC+号B丽 B名BA+}BC+BD ·2 三0022 富三数学都 (2)求证：平面ABCD∥平面EFGH. 14.如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD 中，PA⊥底面ABCD,点E,F分别是PB, PD的中点，PA=AB=1,BC=2. D (1)求证：EF∥平面ABCD: (2)求证：平面PAD⊥平面PDC. 13.已知向量a=（1,1,0),b=(-1,0,c),且 a+b=√5. (1)求c的值； (2)若ka+b与2a一b互相垂直，求实数k 的值. 高考冲浪 1.(2024·新课标I卷，3)已知向量a=(0,1),b= (2,x),若b⊥(b-4a),则x= () A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.(2024·上海卷，5)已知a=(2,5),b=(6,k), a∥b,则k的值为 ·3·