精品解析：广东省广州市增城区增城中学2025-2026学年高二上学期第17周周测数学试卷

广东省广州市增城区增城中学2025-2026学年高二上学期第17周周测数学试卷 2025.12.18 学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线，直线，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 或1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行时系数的关系求解即可. 【详解】根据两直线平行，可知，解得. 故选：C 2. 已知是抛物线上一点，为抛物线的焦点，点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件求出点坐标，代入面积公式求解即可． 【详解】已知点，设点，，又，故，故，， 故选：C 3. 记为等差数列的前项和．已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求得首项和公差，进而利用通项公式和求和公式计算通项和前n项和，从而做出比较. 【详解】由 又 , 故选：A. 4. 已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 内切 C. 相交 D. 外切 【答案】C 【解析】 【分析】先根据直线经过圆的圆心求的值，再利用几何法判断两圆的位置关系即可. 【详解】因为圆，所以， 由题意，点在直线上， 得到，故，， 又，，可得， 又，，得到， 则圆与圆相交，故C正确. 故选：C 5. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 6. 记等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 90 B. 100 C. 108 D. 126 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】由，可得，所以， 又，所以， 所以. 故选：C. 7. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】说明数列是首项为4，公差为4的等差数列即可求解. 【详解】因为，所以，即． 又，所以数列是首项为4，公差为4的等差数列， 故，即． 故选：C. 8. 已知抛物线，斜率为的直线绕定点旋转，下列说法正确的是（ ） A. 直线与抛物线只有一个公共点时，一定是相切 B. 当直线与抛物线有两个公共点时，斜率的范围是 C. 当直线与抛物线只有一个公共点时，或， D. 当直线与抛物线没有公共点时，斜率的范围是 【答案】D 【解析】 【分析】设直线的方程为，联立抛物线方程，当时，一次方程有一解，直线与抛物线相交可判断A，当时，利用判别式判断直线与抛物线的位置关系可判断BCD. 【详解】设直线的方程为， 即，由消去得：， 当时，直线与抛物线相交，只有一个公共点，故A错误； 当时，， 当时，解得或，此时方程组有两个相同的实数解，直线与抛物线相切，只有一个公共点， 所以直线与抛物线只有一个公共点时，直线的斜率分别为，故C错误； 当时，解得，此时方程组有两个不同的实数解，故直线与抛物线交于两点，故B错误； 当时，解得，此时方程组没有实数解，知直线与抛物线相离，没有公共点，故D正确. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有专项得合题目恐求． 9. 已知双曲线（），则不因k的变化而变化的是（ ） A. 顶点坐标 B. 渐近线方程 C. 焦距 D. 离心率 【答案】BD 【解析】 【分析】把方程化成标准形式，再逐项分析判断即得. 【详解】双曲线化为：，实半轴长，虚半轴长， 双曲线的顶点随k的变化而变化，焦距随k的变化而变化，AC不是； 而，渐近线方程不因k的变化而变化，离心率为常数，BD是. 故选：BD 10. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. 数列是递减数列 B. C. 时，的最大值是18 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和前n项求和公式可得，结合通项公式和前n项求和公式计算，依次判断选项即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， 解得，因为，所以. A:由，可得 所以等差数列为递增数列，故A错误； B：，故B正确； C：， 由可得，所以，又， 所以的最大值是18，故C正确； D：， 由，得，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线被圆截得的最短弦长为 C. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 D. 当时，圆与圆恰有三条公切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】将直线含参部分合并同类项列出方程组求解直线恒过的定点即可； 先判断定点与圆的位置关系，弦长最小时即为定点与圆心的连线与已知直线垂直时取得，再运用弦长公式计算即可； 当时直线确定，先求出圆心到直线的距离，再结合半径长度进行判断； 利用两个圆心的距离与半径判断两个圆的位置关系. 【详解】对于，直线的方程为， 变形可得：， 令，解得，所以直线恒过定点，故正确； 对于，因为直线过定点，且点在圆内， 则经过两点的直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小， 此时圆心到直线的距离为， 所以最小弦长为，故正确； 对于，圆，其圆心为，半径为， 当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 由于，所以圆上只有个点到直线的距离为，故错误； 对于，当时，圆的方程， 化为标准方程为， 其圆心为，半径为，满足， 则两圆外切，共有三条公切线，故正确. 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在平面直角坐标系中，直线与轴，轴相交于，两点，则经过，，三点的圆的标准方程是__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是确定圆心和半径，属于基础题． 先求出、的坐标，可得圆心为直角三角形的斜边的中点，半径为的一半，由此可解． 【详解】在平面直角坐标系中，直线与轴，轴相交于，两点， ，， 则经过，，三点的圆的圆心为直角三角形的斜边的中点， 半径为的一半，即， 则经过，，三点的圆的标准方程是． 故答案为：． 13. 已知，，，若，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再根据可得，利用空间向量垂直的坐标运算列式可求的值. 【详解】因为，，所以， 由得，又， 所以，解得. 故答案为： 14. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中，，则项数为________． 【答案】19 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列前项和公式，结合等差数列的性质列式求解. 【详解】设等差数列的项数为， 则， ， 因此，解得，所以所求项数为. 故答案为：19 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知是等差数列的前n项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）n为何值时，取得最大值并求其最大值. 【答案】（1） （2），取得最大值56 【解析】 【分析】（1）根据与关系求解； （2）法一，利用二次函数求最值；法二，由项的符号求最值. 【小问1详解】 由题意可知：， 当时，， 当时，， 当时，，符合， ∴数列的通项公式； 【小问2详解】 法一：， 由二次函数图象及知或时，取得最大值56. 法二：当时，， 当时，， 当时，， 所以当或时，有最大值. 16. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， 【小问2详解】 因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 17. 已知圆C：与直线l： （1）证明：直线l和圆C恒有两个交点； （2）若直线l和圆C交于两点，求的最小值及此时直线l的方程． 【答案】（1） 将直线l方程变形得， 联立，解得，所以不论k取何值，直线l必过定点， 圆C：，圆心坐标为，半径， 因为，所以点P在圆C内部， 则直线l与圆C恒有两个交点． （2）最小值为，此时直线l方程为 【解析】 【分析】（1）先求直线所过定点，然后证明定点在圆内即可； （2）结合图形分析可知，当直线时弦最短，然后可解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 直线l经过圆C内定点，圆心， 记圆心C到直线的距离为d，则， 所以，当取得最大值时，取得最小值， 由图可知，，所以直线时，取得最小值， 此时， 因为，所以直线l的斜率为， 又直线l过点， 所以当取得最小值时，直线l的方程为，即， 综上：最小值为，此时直线l方程为 18. 已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1. （1）求椭圆的方程； （2）设点为椭圆上位于第一象限内一动点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值. 【答案】（1）； （2）证明：因为椭圆C的方程为：，所以，. 设，则，即. 则直线BM的方程为：，令，得； 同理：直线AM的方程为：，令，得. 所以 . 即四边形ABCD的面积为定值2. 【解析】 【分析】（1）由椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1，列出方程组，求出，，由此能求出椭圆的方程； （2）设，，则，从而直线的方程为，进而，同理得，进而，由此能证明四边形的面积为定值2． 【小问1详解】 由已知可得：解得：； 所以椭圆C的方程为：. 【小问2详解】 略 19. 如图，在梯形中，，，将沿翻折成，使得，连接，． （1）求证：； （2）若，，，且点均在球的球面上． （ⅰ）证明点在线段上； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 翻折前，，即，，翻折后，，， 而，平面，则平面， 又平面， 所以. （2） （ⅰ）由（1）得直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，得， 设，由，得， 解得，，则点，所以在线段上. （ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）（ⅰ）以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式，结合球面的意义列出方程组求解；（ⅱ）求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）同上坐标系，， 设平面的法向量，则，取，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省广州市增城区增城中学2025-2026学年高二上学期第17周周测数学试卷 2025.12.18 学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线，直线，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 或1 D. 0 2. 已知是抛物线上一点，为抛物线的焦点，点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 记为等差数列的前项和．已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 内切 C. 相交 D. 外切 5. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 记等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 90 B. 100 C. 108 D. 126 7. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线，斜率为的直线绕定点旋转，下列说法正确的是（ ） A. 直线与抛物线只有一个公共点时，一定是相切 B. 当直线与抛物线有两个公共点时，斜率的范围是 C. 当直线与抛物线只有一个公共点时，或， D. 当直线与抛物线没有公共点时，斜率的范围是 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有专项得合题目恐求． 9. 已知双曲线（），则不因k的变化而变化的是（ ） A. 顶点坐标 B. 渐近线方程 C. 焦距 D. 离心率 10. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. 数列是递减数列 B. C. 时，的最大值是18 D. 11. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线被圆截得的最短弦长为 C. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 D. 当时，圆与圆恰有三条公切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在平面直角坐标系中，直线与轴，轴相交于，两点，则经过，，三点的圆的标准方程是__________ 13. 已知，，，若，则的值为______. 14. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中，，则项数为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知是等差数列的前n项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）n为何值时，取得最大值并求其最大值. 16. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 已知圆C：与直线l： （1）证明：直线l和圆C恒有两个交点； （2）若直线l和圆C交于两点，求的最小值及此时直线l的方程． 18. 已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1. （1）求椭圆的方程； （2）设点为椭圆上位于第一象限内一动点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值. 19. 如图，在梯形中，，，将沿翻折成，使得，连接，． （1）求证：； （2）若，，，且点均在球的球面上． （ⅰ）证明点在线段上； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $