第二章方程(组)与不等式(组) 2026年中考数学一轮复习课件（内蒙古）

该初中数学中考复习课件聚焦一元一次方程与二元一次方程（组）核心考点，严格对接中考说明，分析近5年考点权重，其中一次方程（组）实际应用考查12次，二元一次方程组考查5次，一元一次方程考查1次，归纳出解法步骤、实际问题列方程（组）等常考题型。 课件亮点在于中考真题训练与应试技巧指导，精选内蒙古、全国多地中考真题，如2024赤峰钢板配套问题示范列方程组，2023包头篮球赛应用题解析等量关系，培养学生运算能力与模型意识，助力学生掌握消元法、实际问题转化等得分技巧，为教师提供系统复习框架，提升中考冲刺效率。

第二章　方程(组)与不等式(组) 第5讲　一元一次方程与二元一次方程(组) 【构建知识网络】 知识点1 等式的基本性质 性质一 等式的两边都加(或减)同一个数(或式子)，所得结果仍是等式，即若a＝b，则a±c＝b±c 性质二 等式的两边都乘(或除以)同一个数(或式子) (除数不为0)，所得结果仍是等式，即若a＝ b，则ac＝bc或 (c≠0) 知识点2 一元一次方程 定义 只含有一个未知数，并且未知数的指数都是1的整式方程叫一元一次方程 一般形式 ax＋b＝0(a，b是常数，且a≠0) 解法步骤 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 【满分技能】 去分母时，方程两边同乘分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项；分子是多项式时，去分母后要加上括号． 知识点3 二元一次方程(组) 二元一 次方程 含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程 二元一次 方程组 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程 二元一次方 程组的解 二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解 二元一次方 程组的解法 思想 消元，把“二元”转化成“一元” 代入法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元 加减法 当二元一次方程组的两个方程中的同一个未知数的系数相等或互为相反数时，可选择加减消元．同一个未知数的系数不同也不互为相反数时，可先找系数的最小公倍数，将其变形为系数相同或互为相反数的形式，再采用加减消元法 知识点4 三元一次方程组的解法(选学内容) 知识点5 一次方程(组)的实际应用 解题步骤 审、设、列、解、验、答 等积变形问题 变形前体(面)积＝变形后体(面)积 行程问题 1.基本关系：路程＝速度×时间 2.相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程 3.追及问题：①同地不同时：前者走的路程＝后者走的路程； ②同时不同地：被追者走的路程＋两地间距离＝追者走的路程 4.航行问题：①顺水速度＝静水速度＋水流速度； ②逆水速度＝静水速度－水流速度 工程问题 工作总量＝工作效率×工作时间 营销问题 单价×数量＝总价 售价＝标价× (a为折数) 销售额＝销售单价×销量 商品利润＝售价－进价(或成本) 商品利润率＝ ×100% 数字问题 两位数＝十位数字×10＋个位数字 三位数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字 储蓄问题 利息＝本金×利率×期数 本息和＝本金＋利息 配套与 调配问题 若生产m件A产品需要配套n件B产品，则建立的等量关系为A产品数量×n＝B产品数量×m 2．[呼和浩特中考]关于x的方程mx2m－1＋(m－1)x－2＝0如果是 一元一次方程，则其解为_____________________． 3．[2025·呼和浩特二模]一元一次方程0.5x＝10＋3x的解是 x＝____． x＝2或x＝－2或x＝－3 －4 (－5，－4) 1 考点3 一次方程(组)的应用(5年6地12考) 题型一　根据实际问题抽象出方程 1．[2024·赤峰]用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板； 用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块 C型钢板，40块D型钢板，问恰好用A型钢板，B型钢板各多少块？ 如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为( ) 3．[2021·通辽]我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳 索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索 子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条 绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再 去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的 方程组是________． 题型二　一次方程(组)的应用 1．[呼和浩特中考]中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了( ) A．102里 B．126里 C．192里 D．198里 2．[2024·呼和浩特]某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮1 000 kg，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少100 kg，其中“丰收1号”小麦种植在边长为a m(a＞1)的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为(a－1)m的正方形试验田中． (1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； (2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 解：(1)设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为x kg，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为(1 000－x)kg， 由题意得x＝1.2(1 000－x)－100， 解得x＝500， 则1 000－x＝1 000－500＝500， 答：种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为500 kg，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为500 kg； 3．[2024·通辽]某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元． (1)求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元； (2)学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，请你给出最节省费用的购买方案． 设总的购买费用为w元， ∴w＝65a＋110(50－a)＝－45a＋5 500， ∵k＝－45<0，∴当a＝33时，费用最低， 此时的购买方案：购买煎蛋器33台，三明治机17台； 答：购买方案为购买煎蛋器33台，三明治机17台． 4．[2023·赤峰]某集团有限公司生产甲、乙两种电子产品共8万件，准备销往东南亚国家和地区．已知2件甲种电子产品与3件乙种电子产品的销售额相同；3件甲种电子产品比2件乙种电子产品的销售多1 500元． (1)求甲种电子产品与乙种电子产品销售单价各多少元； (2)若使甲、乙两种电子产品的销售总收入不低于5 400万元，则至少销售甲种电子产品多少件？ (2)设销售甲种电子产品a万件，则销售乙种电子产品(8－a)万件． 根据题意，得900a＋600(8－a)≥5 400， 解得a≥2. 答：至少销售甲种电子产品2万件． 1．[2025·连云港]《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”(凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”)如果设经过x天能够相遇，根据题意，得( ) 2．[2025·成都]中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷(100亩)，价值10 000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为( ) 3．[2025·黑龙江]为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1 200元购买足球和篮球用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案( ) A．6 B．7 C．4 D．5 4．[2025·深圳]若关于x的方程x＋a＝5的解为x＝1，则a＝__． 5．[2025·德阳]公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若 杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后 来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力×阻力臂＝动力×动力臂． 已知阻力和阻力臂分别为600 N和1 m，当动力为1 200 N时，动 力臂是____m. 4 0.5 7．[2025·河北]一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热 后其长度的增加称为线膨胀．在0～100 ℃(本题涉及的温度均 在此范围内)，原长为l m的铜棒、铁棒受热后，伸长量y(m)与 温度的增加量x(℃)之间的关系均为y＝αlx，其中α为常数， 称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数αCu＝1.7× 10－5(单位：/℃)；原长为2.5 m的铁棒从20 ℃加热到80 ℃伸 长了1.8×10－3 m. (1)原长为0.6 m的铜棒受热后升高50 ℃，求该铜棒的伸长量 (用科学记数法表示)； (2)求铁的线膨胀系数αFe；若原长为1 m的铁棒受热后伸长4.8 ×10－4 m，求该铁棒温度的增加量； (3)将原长相等的铜棒和铁棒从0 ℃开始分别加热，当它们的 伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高20 ℃，求该铁棒温 度的增加量． 解：(1)0.6×50×1.7×10－5＝5.1×10－4m， 答：该铜棒的伸长量为5.1×10－4 m； (2)2.5×αFe×(80－20)＝1.8×10－3， 解得αFe＝1.2×10－5/℃， 设该铁棒温度的增加量为x1， 根据题意，得1×1.2×10－5·x1＝4.8×10－4， 解得x1＝40 ℃， 答：铁的线膨胀系数αFe＝1.2×10－5/℃，该铁棒温度的增加量为40 ℃； (3)设该铁棒温度的增加量为x2， 根据题意，得1.7×10－5(x2－20)＝1.2×10－5x2， 解得x2＝68 ℃， 答：该铁棒温度的增加量为68 ℃. 8．[2025·吉林]吉林省长白山盛产人参．为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数． eq \f(a,c)＝eq \f(b,c) 二元eq \o(―――――→,\s\up15(代入消元),\s\do10(加减消元))一元 eq \f(a,10) eq \f(商品利润,商品进价) 考点1一元一次方程及其解法(5年6地1考) 1．[2025·包头二模]下列利用等式的性质，错误的是( ) A．由a＝b，得到－6a＝－6b B．由eq \f(a,c)＝eq \f(b,c)，得到a＝b C．由a＝b＋2，得到3a＝3b＋2 D．由a＝b，得到ac＝bc 考点2二元一次方程(组)及其解法(5年6地5考) 1．[2023·通辽]点Q的横坐标为一元一次方程3x＋7＝32－2x的解，纵坐标为a＋b的值，其中a，b满足二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－b＝4，,－a＋2b＝－8，))则点Q关于y轴对称点Q′的坐标为 ． 2．[包头中考]若关于x，y的二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,2x－ay＝5))的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝b，,y＝1，))则ab的值为 . 3．[2022·呼和浩特]解方程组：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋y＝5，,\f(x－1,2)＋\f(y,3)＝2.)) 解：整理方程组得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋y＝5①，,3x＋2y＝15②，)) 由①，得y＝5－4x③， 将③代入②，得－5x＝5， 解得x＝－1， 将x＝－1代入③，得y＝9， 则方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝9.)) 4．[2021·呼和浩特]解方程组：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1.5（20x＋10y）＝15 000，,1.2（110x＋120y）＝97 200.)) 解：由题意，知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1.5（20x＋10y）＝15 000，,1.2（110x＋120y）＝97 200，)) 化简得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝1 000①，,11x＋12y＝8 100②.)) ①×12－②，得13x＝3 900， 解得x＝300， 把x＝300代入①，得y＝400， ∴原方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝300，,y＝400.)) A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝40，,4x＋5y＝58)) B．eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋5y＝40，,4x＋2y＝58)) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋5y＝58，,4x＋2y＝40)) D．eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝58，,5x＋2y＝40)) 2．[2023·包头]某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在12场比赛中得20分．设该队胜x场，负y场，则根据题意，列出关于x，y的二元一次方程组正确的是( ) A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝20，,x＋2y＝12)) B．eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝12，,x＋2y＝20)) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝20，,2x＋y＝12)) D．eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝12，,2x＋y＝20)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝y＋5，,\f(1,2)x＝y－5)) (2)由题意，得“丰收1号”小麦试验田的面积为(a2－1)m2，“丰收2号”小麦试验田的面积为(a－1)2m2， 则“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为eq \f(500,a2－1)kg，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为eq \f(500,（a－1）2)kg， ∵a>1， ∴a2－1－(a－1)2＝a2－1－(a2－2a＋1)＝2a－2＝2(a－1)>0， ∴a2－1>(a－1)2>0，∴eq \f(500,a2－1)<eq \f(500,（a－1）2)， 所以“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高． eq \f(500,（a－1）2)÷eq \f(500,a2－1)＝eq \f(500,（a－1）2)·eq \f(（a＋1）（a－1）,500)＝eq \f(a＋1,a－1)， 所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的eq \f(a＋1,a－1)倍． 解：(1)设煎蛋器每台x元，三明治机每台y元． 由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝240，,x＋3y＝395，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝65，,y＝110，)) 答：煎蛋器单价为65元/台，三明治机单价为110元/台； (2)设煎蛋器采购a台，则三明治机采购(50－a)台， 由题意，得50－a≥eq \f(1,2)a，解得a≤eq \f(100,3)， ∵a只能取正整数，∴a的最大值为33， 解：(1)设甲种电子产品的销售单价是x元，乙种电子产品的销售单价是y元． 根据题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＝3y，,3x－2y＝1 500，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝900，,y＝600.)) 答：甲种电子产品的销售单价是900元，乙种电子产品的销售单价是600元； A.eq \f(1,7)x＋eq \f(1,9)x＝1　　　 B.eq \f(1,7)x－eq \f(1,9)x＝1 C．7x＋9x＝1 D．9x－7x＝1 A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝100，,300x＋\f(500,7)y＝10 000)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝100，,300y＋\f(500,7)x＝10 000)) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝100，,300x＋500y＝10 000)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝100，,300y＋500x＝10 000)) 6．[2025·山西]解方程组：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝11①，,x＋2y＝1②.)) 解：①＋②，得4x＝12，解得x＝3. 将x＝3代入②，得3＋2y＝1，解得y＝－1. 所以原方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1.)) 解：设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒， 由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝10，,25x＋20y＝230，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝4，)) 答：游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒． $第8讲　不等式(组)及其应用 【构建知识网络】 知识点1 不等式的基本性质 性质1 不等式的两边都加(或减)同一个整式，不等号的方向不变 性质2 不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变 性质3 不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 知识点2 一元一次不等式 知识点3 一元一次不等式组 概念 关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组 解法步骤 先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分 知识点4 一元一次不等式(组)的实际应用 解题步骤 审、设、列、解、验、答 表示不等 式的常见 字词及符 号表示 大于，超过，高于，多于 > 小于，不足，低于，少于 < 至少，不低于，不小于，不少于 ≥ 至多，不大于，不超过，不高于 ≤ 2．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是( ) A．ab>0 B．a＋b>0 C．a＋3<b＋3 D．－3a<－3b ①③ 考点2 一元一次不等式及其解法(5年6地5考) 1．[2023·包头]关于x的一元一次不等式x－1≤m的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为( ) A．3 B．2 C．1 D．0 2．[2021·包头]定义新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a－2b.若关于x的不等式x⊗m>3的解集为x>－1，则m的值是( ) A．－1 B．－2 C．1 D．2 x>8 m≤7 2．[2024·呼伦贝尔]对于实数a，b定义运算“※”为a※b＝ a＋3b，例如5※2＝5＋3×2＝11，则关于x的不等式x※m<2有 且只有一个正整数解时，m的取值范围是_______． a≥2 4 考点5 一元一次不等式(组)的实际应用(5年6地13考) 1．[2024·通辽]如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式 表示零件长度L的合格尺寸(L的取值范围)________________． 39.99≤L≤40.01 2．[2023·呼和浩特]学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校在租车总费用2 300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示： (1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？ (2)租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车 辆； (3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？ 甲型客车 乙型客车 载客量/(人/辆) 45 30 租金/(元/辆) 400 280 解：(1)设参加本次实践活动的老师有x名， 38x＋6＝40x－6，解得x＝6， ∴38x＋6＝38×6＋6＝234， 答：参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名； 设租车费用为y元，y＝400a＋280(6－a)＝120a＋1 680， ∵120>0， ∴y随a的增大而增大， ∴当a＝4时，y最小，y＝120×4＋1 680＝2 160， 综上所述，学校共有两种租车方案，最少租车费用是2 160元． 3．[2023·通辽]某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同． (1)求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？ (2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2 880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案． ∵－0.5<0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝12时，公司采购金额w有最小值， 即w＝－0.5×12＋60＝54， ∴当购买A型机器12台，B型机器18台时，购买总金额最低是54万元． 1．[2025·吉林]不等式x－3>2的解集为( ) A．x>5 B．x＜5 C．x>－1 D．x＜－1 2．[2025·山西]不等式组 的解集是( ) A．x＜2 B．x≥3 C．2＜x≤3 D．无解 3．[2025·福建]不等式 x＋1≤2的解集在数轴上表示正确的 是( ) 4．[2025·内蒙古]不等式组 的解集在数轴上表示正 确的是( ) 5．[2025·广西]有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，a>b，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是( ) A．a＋c>b＋c B．a＋c＝b＋c C．a＋c＜b＋c D．a－c＜b－c 6．[2025·黑龙江]关于x的不等式组 恰有3个整数 解，则a的取值范围是___________． 7．[2025·南充]不等式组 的解集是x>2，则m的 取值范围是_____． －2≤a<－1 m≤3 8．[2024·凉山州]求不等式－3＜4x－7≤9的整数解． 解：由题意，得 解不等式①，得x>1， 解不等式②，得x≤4， ∴该不等式组的解集为1<x≤4， ∴整数解为2，3，4. 9．[2025·北京]解不等式组： 解： 解不等式①，得x>－3， 解不等式②，得x<1， ∴原不等式组的解集为－3<x<1. 10．[2025·遂宁]为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某 社区决定购买A，B两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料： 材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新 型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号 的新型垃圾桶共700元． 材料二：据统计该社区需购买A，B两种型号的新型垃圾桶共200 个，但总费用不超过15 300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少 于A型号的新型垃圾桶数量的 . 请根据以上材料，完成下列任务： 任务一：求A，B两种型号的新型垃圾桶的单价？ 任务二：有哪几种购买方案？ 任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？ 解：任务一：设A种型号的新型垃圾桶的单价为x元，B种型号的新型垃圾桶的单价为y元， 答：A种型号的新型垃圾桶的单价为60元，B种型号的新型垃圾桶的单价为100元； 任务二：设购买A种型号的新型垃圾桶a个，则购买B种型号的新型垃圾桶(200－a)个， 由题意，得 解得117.5≤a≤120， ∵a为整数， ∴a＝118或119或120， ∴有三种购买方案：①购买A种型号的新型垃圾桶118个，购买B种型号的新型垃圾桶82个； ②购买A种型号的新型垃圾桶119个，购买B种型号的新型垃圾桶81个； ③购买A种型号的新型垃圾桶120个，购买B种型号的新型垃圾桶80个； 任务三：∵A种型号的新型垃圾桶价格更低， ∴购买A种型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低， 即购买A种型号的新型垃圾桶120个，购买B种型号的新型垃圾桶80个更省钱， ∴最低购买费用为60×120＋100×80＝15 200(元)， 答：购买A种型号的新型垃圾桶120个，购买B种型号的新型垃圾桶80个更省钱，最低购买费用是15 200元． 概念 不等式的左右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1 解法步骤 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1(注意：不等号方向是否改变) 解集在数 轴上的 表示 x<a 方向：小于向左，大于向右； 边界：“≤”“≥”为实心圆点；“<”“>”为空心圆圈 x>a x≤a x≥a 解集在数 轴上的表 示(a<b) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥a，,x≥b)) x≥b 同大 取大 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤a，,x≤b)) x≤a 同小 取小 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥a，,x≤b)) a≤x≤b 大小、小 大中间找 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤a，,x≥b)) 无解 大大、小 小取不了 考点1 不等式的基本性质(5年6地2考) 1．[2022·包头]若m>n，则下列不等式中正确的是( ) A．m－2<n－2 B．－eq \f(1,2)m>－eq \f(1,2)n C．n－m>0 D．1－2m<1－2n 3．[呼和浩特中考]已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则以下三个命题： ①a3－ab2<0　②eq \r(（a＋b）2)＝a＋b　③eq \f(1,a－b)<eq \f(1,a).其中真命题的序号 为 ． 3．[通辽中考]用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n－mn－3n，如：1※2＝12×2－1×2－3×2＝－6. (1)求(－2)※eq \r(3)； (2)若3※m≥－6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集． 解：(1)(－2)※eq \r(3)＝(－2)2×eq \r(3)－(－2)×eq \r(3)－3×eq \r(3)＝ 4eq \r(3)＋2eq \r(3)－3eq \r(3)＝3eq \r(3)； (2)∵3※m≥－6， ∴32m－3m－3m≥－6，解得m≥－2. 将解集表示在数轴上如图： 考点3 一元一次不等式(组)及其解法(5年6地10考) 1．[2025·内蒙古]不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x<3))的解集在数轴上表示正确的 是( ) 2．[2024·包头]若2m－1，m，4－m这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则m的取值范围是( ) A．m<2 B．m<1 C．1<m<2 D．1<m<eq \f(5,3) 3．[2023·呼和浩特]解不等式组：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3（x－2）≥4－x，,\f(1＋2x,3)>x－1.)) 解：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3（x－2）≥4－x①，,\f(1＋2x,3)>x－1②，)) 解不等式①，得x≤1，,解不等式②，得x<4，, ∴原不等式组的解集为x≤1. 4．[2021·呼伦贝尔]解不等式组：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1<x＋6，,\f(1－2x,2)－\f(1－5x,6)≤\f(2,3)，))在数轴上表示解集并列举出非负整数解． 解：解不等式2x＋1<x＋6，得x<5，,解不等式eq \f(1－2x,2)－eq \f(1－5x,6)≤eq \f(2,3)， 得x≥－2，, ∴不等式组的解集为－2≤x<5，,将解集表示在数轴上： 不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4. 考点4 求待定字母的取值或范围(5年6地6考) 1．[2024·呼和浩特]关于x的不等式eq \f(2x－1,3)－1>eq \f(x,2)的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式2x－1≤x＋m的解大，则m的取值范围是 ． 0≤m<eq \f(1,3) 解析：根据题意得x※m＝x＋3m<2， 解得x<2－3m. ∵x※m<2有且只有一个正整数解， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－3m>1①，,2－3m≤2②，)) 解不等式①，得m<eq \f(1,3)，解不等式②，得m≥0， ∴0≤m<eq \f(1,3). 3．[2022·呼伦贝尔]已知关于x的不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－3x≥－1，,a－x<0))无解，则a的取值范围是 . 4．[包头中考]不等式eq \f(1,3) (x－m)＞3－m的解集为x＞1，则m的值为 ． (2)∵每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名， ∴汽车总数不超过6辆． ∵要保证所有师生都有车坐， ∴汽车总数不少于eq \f(234＋6,45)＝eq \f(16,3)(辆)，则汽车总数最少为6辆， ∴共需租车6辆， 故答案为：6； (3)设租用甲客车a辆，则租用乙客车(6－a)辆， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(400a＋280（6－a）≤2 300，,45a＋30（6－a）≥240，)) 解得4≤a≤eq \f(31,6)， ∵a为整数， ∴a＝4或a＝5， 方案一：租用甲客车4辆，则租用乙客车2辆； 方案二：租用甲客车5辆，则租用乙客车1辆； 解：(1)设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运 (x－10)吨， 由题意得eq \f(450,x－10)＝eq \f(500,x)，解得x＝100， 经检验，x＝100是分式方程的解，且符合题意， x－10＝100－10＝90， 答：每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨； (2)设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器(30－m)台． 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(90m＋100（30－m）≥2 880，,1.5m＋2（30－m）≤55，)) 解得10≤m≤12， 公司采购金额w＝1.5m＋2(30－m)＝－0.5m＋60， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1>5，,1－3x≥－8)) INCLUDEPICTURE"Z1117.TIF" A B C D eq \f(1,2) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x＜3)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3≤0，,x－a>0)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3>－1，,－x＜－m＋1)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3<4x－7①，,4x－7≤9②，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（x＋1）>x－1，,\f(x＋5,2)>3x.)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（x＋1）>x－1①，,\f(x＋5,2)>3x②，)) eq \f(2,3) 由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝380，,5x＋4y＝700，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝60，,y＝100，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(60a＋100（200－a）≤15 300，,200－a≥\f(2,3)a，)) $第7讲　分式方程及其应用 【构建知识网络】 知识点1 分式方程的定义与解法 概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程 解法 1.一化：通过去分母把分式方程转化成整式方程 2．二解：解这个整式方程 3．三检验：把方程的解代入最简公分母，若最简公分母＝0，则这个解是方程的增根 基本 思想 转化思想 知识点2 增根与无解 增根 在方程变形过程中产生的不适合原分式方程的根 无解 1.整式方程的解为原分式方程的增根 2．整式方程无解，导致原分式方程无解 【注意】 1.产生增根的原因是将分式方程化为整式方程时，在方程的两 边同乘了一个使分母为0的整式． 2．增根和无解并非同一概念，无解包含产生增根和原方程去 分母后的整式方程无解两种情况，如 ＝1有增根，则a ＝1；若该方程无解，则a＝1或－2. 知识点3 分式方程的实际应用 【满分技能】 列分式方程解应用题必须检验，既要检验是否为所列分式方程的根(增根要舍去)，还需检验是否符合应用题的实际情况． x＝－4 3 考点5 分式方程的实际应用(5年6地11考) 1．[2024·呼伦贝尔]A，B两种机器人都被用来搬运化工原料， A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运 900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A， B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？( ) A．60，30 B．90，120 C．60，90 D．90，60 2．[2024·呼和浩特]2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙 的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大 号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2 400元购进 小号“龙辰辰”的数量是用2 200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍， 则大号“龙辰辰”的单价为___元．某网店在该厂家购进了两种型号的 “龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰” 个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比 小号“龙辰辰”的售价多30%.若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则 该网店所获最大利润为______元． 1 260 55 3．[2025·内蒙古]智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均a秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个． (1)求a的值； (2)现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10 000个？ 1．[2025·湖南]将分式方程 去分母后得到的整式方程 为( ) A．x＋1＝2x B．x＋2＝1 C．1＝2x D．x＝2(x＋1) 2．[2025·深圳]某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵树比原计划少了3棵．若设原计划人数为x人，则下列方程正确的是( ) 3．[2025·齐齐哈尔]如果关于x的分式方程 ＝2无解， 那么实数m的值是( ) A．m＝1 B．m＝－1 C．m＝1或m＝－1 D．m≠1且m≠－1 4．[2025·黑龙江]已知关于x的分式方程 ＝3解为 负数，则k的值为( ) A．k＜－4 B．k>－4 C．k＜－4且k≠－ D．k>－4且k≠－ ∵解为正整数且x≠1， ∴a为大于等于6的偶数． ∵a≤9，∴a＝6或8， 当a＝6时，不等式组的解集为2.5≤x≤5，整数解为3，4，5，满足条件． 当a＝8时，不等式组的解集为3.5≤x≤5，整数解为4，5，满足条件． 则所有满足条件的整数a之和为6＋8＝14. 6．[2025·平凉]方程 ＝1的解是x＝____． －1 7．[2025·浙江]解分式方程： 解： 方程两边同时乘以(x－1)(x＋1)， 得3(x－1)－(x＋1)＝0， 去括号，得3x－3－x－1＝0， 移项，合并同类项，得2x＝4， 系数化为1，得x＝2， 检验：当x＝2时，(x－1)(x＋1)≠0， ∴x＝2是原方程的解． 8．[2025·山西]我国自主研发的HGCZ－2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里． 解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里． 根据题意，得 解得x＝2， 经检验，x＝2是原方程的根，且符合题意． 答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里． 9．[2025·潍坊]某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比A型机器人单价低3万元． (1)求A型、B型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求A，B两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 解：(1)设A型机器人单价为x万元，则B型机器人单价为(x－3) 万元， 根据题意，得 解得x＝9， 经检验，x＝9是原分式方程的根，且符合题意， ∴x－3＝6， ∴A型机器人单价为9万元，B型机器人单价为6万元； (2)设配备A型机器人y台，则配备B型机器人(10－y)台， 根据题意，得9y＋6(10－y)≤70， 解得y≤ ， ∵要求A，B两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数， ∴y的取值为1，2，3，共有3种方案： 方案一：A型机器人1台，B型机器人9台； 方案二：A型机器人2台，B型机器人8台； 方案三：A型机器人3台，B型机器人7台． eq \f(x－a,x－1)－eq \f(3,x) 基本步骤 审、设、列、解、验、答 基本类型 1.行程问题：eq \f(路程,速度)＝时间 2.工作量问题：eq \f(工作总量,工作效率)＝工作时间 3.营销问题：eq \f(总价,单价)＝数量 考点1 式方程的解法(5年6地5考) 1．[2024·通辽]分式方程eq \f(3,x－2)＝eq \f(2,x)的解为 . 2．[2024·呼和浩特]解方程：eq \f(3,2x－2)＋5＝eq \f(x,x－1). 解：eq \f(3,2x－2)＋5＝eq \f(x,x－1)， 方程两边同时乘以2(x－1)，得3＋10(x－1)＝2x， 去括号，得3＋10x－10＝2x，移项，得10x－2x＝10－3， 合并同类项，得8x＝7，系数化为1，得x＝eq \f(7,8)， 经检验，x＝eq \f(7,8)是原方程的解， 所以方程的解是x＝eq \f(7,8). 考点2 分式方程的增根和无解(5年6地1考) 1．[2021·呼伦贝尔]若关于x的分式方程eq \f(2,x－3)＋eq \f(x＋a,3－x)＝2无解，则a的值为( ) A．3 B．0 C．－1 D．0或3 2．若关于x的分式方程eq \f(3x,x－2)－1＝eq \f(m＋3,x－2)有增根，则m的值为 ． 考点3 式方程的特殊解(5年6地1考) 1．[2022·通辽]若关于x的分式方程2－eq \f(1－2k,x－2)＝eq \f(1,2－x)的解为正数，则k的取值范围为( ) A．k<2 B．k<2且k≠0 C．k>－1 D．k>－1且k≠0 2．若关于x的分式方程eq \f(x,x－1)＋1＝eq \f(m,1－x)的解为非负数，则m的取值范围是( ) A．m≤1且m≠－1 B．m≥－1且m≠1 C．m<1且m≠－1 D．m>－1且m≠1 考点4 根据实际问题列分式方程(5年6地2考) 1．[2022·呼伦贝尔]九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( ) A.eq \f(10,x)＝eq \f(10,2x)－eq \f(1,3) B．eq \f(10,x)＝eq \f(10,2x)－20 C.eq \f(10,x)＝eq \f(10,2x)＋eq \f(1,3) D．eq \f(10,x)＝eq \f(10,2x)＋20 2．[2020·呼伦贝尔]甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件．设甲每天做x个零件，下列方程正确的是( ) A.eq \f(240,x)＝eq \f(280,130－x) B．eq \f(240,130－x)＝eq \f(280,x) C.eq \f(240,x)＋eq \f(280,x)＝130 D．eq \f(240,x)－130＝eq \f(280,x) 解：(1)由题意，得eq \f(800,a)－eq \f(600,a)＝25，解得a＝8， 经检验a＝8是原方程的解，且符合题意， ∴a的值为8； (2)1小时＝3 600 s， 设需要x个这样的机器人， 由题意，得eq \f(3 600,8)×4x≥10 000，解得x≥eq \f(50,9)， ∵x为正整数，∴x最小值为6， 答：至少需要6个这样的机器人. eq \f(1,x)＝eq \f(2,x＋1) A.eq \f(60,x)－eq \f(60,2x)＝3 B.eq \f(60,2x)－eq \f(60,x)＝3 C.eq \f(60,x)＝2×eq \f(60,x＋3) D.eq \f(60,x)＝2×eq \f(60,x－3) eq \f(mx,1－x)＋eq \f(x,x－1) eq \f(x＋k,x－4)－eq \f(2k,4－x) eq \f(4,3) eq \f(4,3) 5．[2025·眉山]若关于x的不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3x－1,2)≤x＋2，,x＋1≥－x＋a))至少有两个正整数解，且关于x的分式方程eq \f(a－1,x－1)＝2－eq \f(3,1－x)的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为( ) A．8 B．14 C．18 D．38 解析：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3x－1,2)≤x＋2①，,x＋1≥－x＋a②，)) 解①，得x≤5，解②，得x≥eq \f(a－1,2)， ∵关于x的不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3x－1,2)≤x＋2，,x＋1≥－x＋a))至少有两个正整数解， ∴不等式组的解集为eq \f(a－1,2)≤x≤5，且eq \f(a－1,2)≤4，解得a≤9. 解分式方程eq \f(a－1,x－1)＝2－eq \f(3,1－x)，得x＝eq \f(a－2,2). ∴eq \f(a－2,2)≥2且eq \f(a－2,2)≠1且eq \f(a－2,2)为整数， eq \f(2x,x－1) eq \f(3,x＋1)－eq \f(1,x－1)＝0. eq \f(3,x＋1)－eq \f(1,x－1)＝0， eq \f(80,0.5x)－eq \f(116,x)＝22， eq \f(90,x)＝eq \f(60,x－3)， eq \f(10,3) $第6讲　一元二次方程及其应用 【构建知识网络】 知识点1 一元二次方程 概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程 一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0) 知识点2 一元二次方程的解法 【注意】 方程求解过程中，等式两边不能同时约去含有相同未知数的因式，避免丢根． 知识点3 一元二次方程根的判别式 根的判 别式 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为Δ＝b2－4ac 根的情况 与判别式 的关系 1.b2－4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根 2.b2－4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根 3.b2－4ac＜0⇔方程没有实数根 知识点4 一元二次方程根与系数的关系 知识点5 一元二次方程的实际应用 考点1 一元二次方程及其解法(5年6地9考) 1．[2023·赤峰]用配方法解方程x2－4x－1＝0时，配方后正确的是( ) A．(x＋2)2＝3 B．(x＋2)2＝17 C．(x－2)2＝5 D．(x－2)2＝17 2．[2023·包头]若实数m，n是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，且m<n，则点(m，n)所在象限为( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．[呼和浩特中考]若实数a，b满足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8 ＝0，则a＋b＝______． 考点2 一元二次方程根的判别式(5年6地6考) 1．[2022·呼伦贝尔]对于实数a，b定义运算“”为a⊗b＝b2－ab，例如3⊗2＝22－3×2＝－2，则关于x的方程(k－3)⊗x＝k－1的根的情况，下列说法正确的是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 2．[通辽中考]若关于x的一元二次方程kx2－6x＋9＝0有实数根，则k的取值范围是( ) A．k<1 B．k≤1 C．k<1且k≠0 D．k≤1且k≠0 3．[2025·呼伦贝尔二模]若关于x的方程(a－2)x2－4x＋1＝0有实数根，则a的取值范围是( ) A．a≤2 B．a≤5且a≠2 C．a≤6且a≠2 D．a≤6 考点3 一元二次方程根与系数的关系(5年6地13考) 1．[2022·呼和浩特]已知x1，x2是方程x2－x－2 022＝0的两个实数根，则代数式x13－2 022x1＋x22的值是( ) A．4 045 B．4 044 C．2 022 D．1 3．[2024·呼和浩特改编]已知矩形的一组邻边长是关于x的一 元二次方程x2－2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个实数根，且矩形的 周长值与面积值相等，则矩形的对角线长是 ． 解：∵m，n是一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根， ∴m＋n＝1，mn＝－1. 则m2n＋mn2＝mn(m＋n)＝－1×1＝－1. 根据上述材料，结合你所学的知识，回答下列问题： 2．[2024·通辽]如图，小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5 m)的矩形鸭舍，其面积为15 m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门(由其他材料制成)，则BC长为( ) A．5 m或6 m B．2.5 m或3 m C．5 m D．3 m 3．[2021·呼伦贝尔]有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可得到方程为( ) A．1＋2x＝81 B．1＋x2＝81 C．1＋x＋x2＝81 D．1＋x＋x(1＋x)＝81 4．[巴彦淖尔中考]某校要组织一次篮球赛邀请赛，参赛的每两 个队之间都要比赛一场，根据场地和时间条件，赛程计划安排2 天，每天安排5场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满 足的方程为____________． 1．[2025·内江]若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则实数a的取值范围是( ) A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠1 D．a＜2且a≠1 2．[2025·北京]若关于x的一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为( ) A．－4 B．－1 C．1 D．4 3．[2025·广东]广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2 500万元，预计7月产值将增至9 100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为( ) A．2 500(1＋x)2＝9 100 B．2 500(1－x)2＝9 100 C．2 500(1－2x)2＝9 100 D．2 500(1＋2x)2＝9 100 4．[2025·福建]为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程为( ) A．5x2＝6 B．5(1＋x2)＝6 C．x(5－x)＝6 D．5(1＋x)2＝6 5．[2025·安徽]下列方程中，有两个不相等的实数根的 是( ) A．x2＋1＝0 B．x2－2x＋1＝0 C．x2＋x＋1＝0 D．x2＋x－1＝0 6．[2025·河南]一元二次方程x2－2x＝0的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 7．[2025·河北]若一元二次方程x(x＋2)－3＝0的两根之和 与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位 于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．[2025·新疆]若关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0无实数根，则实数a的取值范围是( ) A．a＜1 B．a>1 C．a≤1 D．a≥1 9．[2024·凉山州]若关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，则a的值为( ) A．2 B．－2 C．2或－2 D. 10．[2025·苏州]已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x－ m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝____． 11．[2025·广安]已知方程x2－5x－24＝0的两根分别为a和b， 则代数式a2－4a＋b的值为___． 12．[2025·眉山]已知方程x2－2x－5＝0的两根分别为x1，x2， 则(x1＋1)(x2＋1)的值为____． －3 29 －2 13．[2025·齐齐哈尔]解方程：x2－7x＝－12. 解：x1＝4，x2＝3(过程略)． 14．[2025·达州]为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人 故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物 的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调 查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是___件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公 司每天的利润是630元； (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价 为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)(60＋10x)； (2)设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意，得(40－30－x)(60＋10x)＝630， 整理，得x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3， 由于要让利于游客，x＝1舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元； (3)设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则W＝(40－30－x)(60＋10x) ＝(10－x)(60＋10x) ＝－10x2＋40x＋600 ＝－10(x－2)2＋640， ∵－10<0， ∴当x＝2时，W取最大值为640元，此时售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 方法 使用形式 方程的根 基本思想 直接开 平方法 x2＝n或(x＋m)2＝n 当n≥0时，x＝±eq \r(n)或x＝±eq \r(n)－m 降次 配方法 把一元二次方程化为(x＋m)2＝n的形式 当n≥0时，x＝±eq \r(n)－m；当n＜0时，方程无解 公式法 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a) (b2－4ac≥0) 因式 分解法 可化为(x－m)(x－n)＝0的形式 x1＝m，x2＝n 根与系数 的关系 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1x2＝eq \f(c,a) 常见变形 1.x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2 2.(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2 3.eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝eq \f(x1＋x2,x1x2) 4.eq \f(x2,x1)＋eq \f(x1,x2)＝eq \f(（x1＋x2）2－2x1x2,x1x2) 变化率 问题 设a为起始量，n为增长(下降)次数，b为增长后(下降后)的量，则a(1±m)n＝b 营销问题 1.常见公式：利润＝售价－进价(或成本)； 总利润＝单个利润×数量； 利润率＝eq \f(利润,进价)×100%； 售价＝进价×(1＋利润率)； 售价＝标价×折扣 2．“每每问题”：单价每降m元，多卖n件，若降价x元，则多卖eq \f(x,m)·n件 面积问题 往往通过“平移法”“拼凑法”，把不规则图形转化为规则图形，找出变化前后的面积之间的关系 (握手)循 环赛制 问题 1.单循环赛(握手问题、飞机或车票单价)：x个队，每两个队之间进行一场比赛，一共进行eq \f(x（x－1）,2)场比赛 2．双循环赛(敬酒、飞机或车票种类)：x个队，每两个队之间进行两场比赛，一共进行x(x－1)场比赛 －eq \f(1,2)或1 2．[2023·包头]若x1，x2是一元二次方程x2－2x－8＝0的两个实数根，则eq \f(x1＋x2,x1x2)＝ ． -eq \f(1,4) 4eq \r(6) 4．[2023·通辽]阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1x2＝eq \f(c,a). 材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值． (1)应用：一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根为x1，x2， 则x1＋x2＝ ，x1x2＝ ； (2)类比：已知一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根为m，n，求m2＋n2的值； (3)提升：已知实数s，t满足2s2＋3s－1＝0，2t2＋3t－1＝0且s≠t，求eq \f(1,s)－eq \f(1,t)的值． －eq \f(3,2) －eq \f(1,2) 解：(2)∵一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两根分别为m，n， ∴m＋n＝－eq \f(3,2)，mn＝－eq \f(1,2)， ∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝(－eq \f(3,2))2－2×(－eq \f(1,2))＝eq \f(9,4)＋1＝eq \f(13,4)； (3)∵实数s，t满足2s2＋3s－1＝0，2t2＋3t－1＝0， ∴s，t可以看作方程2x2＋3x－1＝0的两个根， ∴s＋t＝－eq \f(3,2)，st＝－eq \f(1,2). ∵(t－s)2＝(t＋s)2－4st＝(－eq \f(3,2))2－4×(－eq \f(1,2))＝eq \f(17,4)， ∴t－s＝eq \f(\r(17),2)或t－s＝－eq \f(\r(17),2)， 当t－s＝eq \f(\r(17),2)时，eq \f(1,s)－eq \f(1,t)＝eq \f(t－s,st)＝eq \f(\f(\r(17),2),－\f(1,2))＝－eq \r(17)， 当t－s＝－eq \f(\r(17),2)时，eq \f(1,s)－eq \f(1,t)＝eq \f(t－s,st)＝eq \f(－\f(\r(17),2),－\f(1,2))＝eq \r(17)， 综上所述，eq \f(1,s)－eq \f(1,t)的值为eq \r(17)或－eq \r(17). 考点4 一元二次方程的实际应用(5年6地7考) 1．[2024·呼和浩特]我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是( ) A．x·eq \f(60－x,2)＝864 B．x(60＋x)＝864 C．x(60－x)＝864 D．x(30－x)＝864 eq \f(x（x－1）,2)＝10 eq \f(1,2) $