第八章圆课件2026年中考数学一轮复习 （内蒙古）

该初中数学课件系统覆盖圆的基本性质核心考点，包括垂径定理、圆周角定理、圆心角弧弦关系等。对接中考说明梳理知识点，分析考点权重如垂径定理5年6地9考，归纳选择填空解答等常考题型，体现备考针对性和实用性。 课件亮点在于中考真题训练与应试技巧指导，通过2024包头垂径定理解答题，示范构造辅助线和全等证明方法，培养学生推理能力与几何直观。帮助学生掌握答题技巧提高得分率，为教师提供系统复习框架，助力中考冲刺。

综合与实践专题2 几何中的综合与实践 类型1 课题活动类 1．[2025·无锡]某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺，标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动(示意图1)．在点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E和旗杆顶M在同一条直线上．已知旗杆底端N与F，Q在同一条直线上，EF＝2.8m，PQ＝1.4m，QF＝2m，FN＝16m. (1)求旗杆MN的高度； 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度南禅寺妙光塔，简称“妙光 塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一， 该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔 的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心B均无法到 达．经研究，设计并实施了如下测量活动(示意图2)． 在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF，直立在 点Q处的小军从点P处看到标杆顶E和塔顶A在同一条直 线上．小军沿FQ的方向走到点Q′处，此时标杆E′F′ 竖立于F′处，从点P′处看到标杆顶E′和塔顶A在同一条直线 上．已知AB，EF，PQ，E′F′和P′Q′在同一平面内，点B，F， Q，F′，Q′在同一条直线上，EF＝E′F′＝2.8m，PQ＝P′Q′ ＝1.4m，FQ＝1.2m，F′Q′＝2.2m，QQ′＝30m. (2)求妙光塔AB的高度． 解：(1)如图1，PH⊥MN于点H，交EF于点G， 则四边形PQFG，PQNH均为矩形， ∴HN＝GF＝PQ＝1.4 m，GP＝QF＝2 m， HP＝NQ＝NF＋FQ＝16＋2＝18(m)， ∴EG＝EF－GF＝2.8－1.4＝1.4(m)， 由题意知EF∥MN， ∴∠M＝∠GEP，∠MHP＝∠EGP， ∴△MHP∽△EGP， (2)如图2，P′I⊥AB于点I，交EF于点M，交E′F′于点M′， ∵PQ＝P′Q′＝1.4 m， ∴点P在线段P′I上，四边形PQFM，PQBI，P′Q′F′M′，P′Q′BI均为矩形， ∴IP＝BQ，MP＝FQ＝1.2 m，M′P′＝F′Q′＝2.2 m， IB＝MF＝M′F′＝PQ＝P′Q′＝1.4 m， ∴EM＝E′M′＝2.8－1.4＝1.4 (m)， 2．[2024·山东]【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B.测量A，B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°.画出示意图，如图1. 【问题解决】(1)计算A，P两点间的距离； (参考数据：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75) 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图2，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可． (2)乙小组的方案用到了_____；(填序号) ①解直角三角形　　②三角形全等 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案． 解：(1)(示例)如图，过点B作BH⊥AP于点H， ∵AB＝60米，∠PAB＝79°，sin79°≈0.98， cos79°≈0.19， ∴AH＝AB·cos79°≈60×0.19＝11.4(米)， BH＝AB·sin79°≈60×0.98＝58.8(米)． ∵∠PAB＝79°，∠PBA＝64°， ∴∠APB＝180°－79°－64°＝37°， 类型2 项目式学习类 3．[2025·山西]项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目 主题 景物的测量与计算 驱动 问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动 内容 利用视图，三角函数等有关知识进行测量与计算 活动 过程 方案 说明 图1为该景点俯视图的示意图，点A，D是正八边形中一组平行边的中点，BC为圆的直径图中点A，B，C，D在同一条直线上． 图2为测量方案示意图，直径BC所在水平直线与外栏墙分别交于点E，F，外栏墙AE与DF均与水平地面垂直，且AE＝DF.BE，CF均表示步道的宽，BE＝CF.图中各点都在同一竖直平面内． 活动 过程 数据 测量 在点A处测得，点B和点C的俯角分别为∠DAB＝37°，∠DAC＝8.5°，AD＝26米．图中墙的厚度均忽略不计 计算 …… 交流 展示 …… 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径BC的长(结果精确到1米．参考数据：sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)． 解：由题意得∠AEF＝90°，四边形AEFD为矩形， ∴EF＝AD＝26，AD∥EF， ∴∠ABE＝∠DAB＝37°， ∠ACE＝∠DAC＝8.5°， 设BE＝CF＝x米，则CE＝(26－x)米，BC＝(26－2x)米， 在Rt△ABE中，∠AEB＝90°， ∠AEB＝90°，tan∠ABE＝ ， ∴AE＝BE·tan∠ABE＝x·tan37°， 在Rt△ACE中， ∠AEC＝90°，tan∠ACE＝ ， ∴AE＝CE·tan∠ACE＝(26－x)·tan8.5°， ∴x·tan37＝(26－x)·tan8.5°， 解得x＝ ， ∴BC＝26－2× ≈17(米)， 答：内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米． 类型3 操作实践及解决问题类 4．[2025·山东]【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1. 【问题提出】 部件主视图如图2所示，由于l的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到l的长度的方案，以检测该部件中l的长度是否符合要求． 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法． 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱(圆柱)． 操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，⊙O分别与AC，AD相切于点B，D.用游标卡尺测量出CC′的长度y. 【问题解决】 已知∠CAD＝∠C′A′D′＝60°，l的长度要求是1.9 cm～2.1 cm. (1)求∠BAO的度数； (2)已知钢柱的底面圆半径为1 cm，现测得y＝7.52 cm.根据以上 信息，通过计算说明该部件l的长度是否符合要求；(参考数据： ≈1.73) 【结果反思】 (3)本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由． 解：(1)∵⊙O分别与AC，AD相切于点B，D， ∴AB＝AD， ∴Rt△OBA≌Rt△ODA(HL)， ∠OAB＝∠OAD＝ ∠CAD＝30°； (3)能，将圆柱换成正方体(答案不唯一)． 如图， 设正方体的棱长为a，用游标卡尺测量出CF的长度y. ∴BC＝BD＝a. ∵∠CAD＝60°， 5．[2025·自贡]如图1，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自贡灯会的辉煌历史．小蕊参加了测量该塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下． (1)制作工具 如图2，在矩形木板HIJK上O点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物G，过点O画射线QM∥HK.测量时竖放木板，当重垂线OG∥HI时，将等腰直角三角尺ACB的直角顶点C紧靠铁钉，绕点O转动三角尺，通过OB边瞄准目标N，测量∠MOB可得仰角度数．采用同样方式，可测俯角度数． 测量时，QM是否水平呢？小蕊产生了疑问．组长对她说：“因为OG始终垂直于水平面，满足OG⊥QM就行．”求证：OG⊥QM； (2)获取数据 如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小蕊在15楼阳台P处测得塔底U的仰角为5.1°，在25楼对应位置D处测得塔底U的俯角为9.1°，塔顶T的仰角为14.5°. 如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个Rt△VWZ，∠W＝90°，∠WVZ＝14.5°，VW＝10.0 cm.在边WZ上取两点X，Y，使∠YVW＝5.1°，∠XVY＝4.0°，量得YW＝0.91 cm，XY＝0.70 cm，ZX＝0.94 cm，则tan5.1°≈____，tan9.1°≈____，tan14.5°≈____；(结果保留小数点后两位) (3)计算塔高 请根据小蕊的数据，计算该塔高度；(结果取整数) (4)反思改进 小蕊的测量结果与该塔实际高度存在2米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小蕊提出两条合理的改进建议(总字数少于50字)． 解：(1)证明：∵四边形HIJK为矩形， ∴∠H＝90°， ∵QM∥HK， ∴∠IQM＝∠H＝90°. 又∵OG∥HI， ∴∠MOG＝∠IQM＝90°， ∴OG⊥QM； (2)0.09；0.16；0.26； (3)如图，延长DR交TU于点F，延长PS交TU于点E， 则∠DFE＝∠PEF＝∠DFT＝∠DPE＝90°， ∴四边形DPEF为矩形， ∴DP＝EF，DF＝PE， 由题意可得DP＝(25－15)×3＝30(米)， ∠EPU＝5.1°，∠FDU＝9.1°， ∠TDF＝14.5°， (4)提出合理建议为：①多次测量取平均值；②取角的正切值用分数．(答案不唯一) 6．[2025·河北]综合与实践 【情境】要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板(如图1)，需找到合适的切割线． 【模型】已知矩形ABCD(数据如图2所示)．作一条直线MN，使MN与BC所夹的锐角为45°，且将矩形ABCD分成周长相等的两部分． 【操作】嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 【探究】根据以上描述，解决下列问题． (1)图2中，矩形ABCD的周长为_______； (2)在图3的基础上，用尺规作图作出直线MN(作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法)； (3)根据淇淇的作图过程，请说明图4中的直线MN符合要求． 【拓展】操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题． (4)如图5，若直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，分别交边AD，BC于点P，Q，过点B作BH⊥PQ于点H，连接CH. ①当∠PQC＝45°时，求tan∠BCH的值； ②当∠BCH最大时，直接写出CH的长． 解：(1)10； (2)(示例)如图1所示， 以点E为圆心、EO为半径画弧，交BC于点M，连接MC并向两边延长，交AD于点N，直线MN即为所求作； (3)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AD∥BC. ∵BG＝AB＝1， ∴∠AGB＝45°，CG＝3， ∵AN＝MG， ∴四边形AGMN是平行四边形， ∴MN∥AG， ∴∠NMG＝∠AGB＝45°. ∴BM＝DN， ∴AN＋AB＋BM＝CM＋CD＋DN， ∴MN把矩形ABCD分成了周长相等的两部分， ∴直线MN符合要求； ②如图3所示，连接BD交PQ于点O， ∵PQ把矩形ABCD分成了周长相等的两部分， ∴点O为BD和PQ的中点， ∵BH⊥PQ，∴点H在以BO为直径的⊙L上， 当CH与⊙L相切时，∠BCH最大， ∵AB＝1，AD＝4， 过点L作LT⊥BC，∴∠BTL＝90°， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴TL∥CD， ∴△BLT∽△BDC， 类型4 多学科融合类 7．[2025·鼓楼区一模]【立竿见影】如图1，在平地上竖立一根直竿OA，太阳每天东升西落，直竿在阳光下的影子随之变化．研究表明，南京地区的影端轨迹(直竿影子顶端的轨迹)在春分日、秋分日是正东西向的直线，在其它时候是双曲线的一支，日期与轨迹形状的对应情况如图2所示．在老师指导下，鼓楼区的几位同学在学校进行了如下探索． (1)某一天甲同学在操场上观测到竿影顶端的3处标记点，位置 如图1所示，则他的这次观测大约在_____季节；(填“春夏” 或“秋冬”) (2)4月20日，乙同学从10：00到14：00每隔10 min标记一次影 端的位置． ①当天的影端轨迹最接近图2中的哪条线？ ②他选用了两处标记点确定出正东西方向，请指出他确定方向 的方案和道理； (3)如图3，丙同学在实验室中用灯光模拟出“在春分日，直竿OA的影端轨迹为正东西向的直线l”，丁同学提出：在地平面上放置一个三棱柱形状的木斜坡，其下沿BC紧挨着竿底O且OB指向北偏西45°方向(俯视图如图4所示)，影端轨迹有何变化？ ①在图4中用粗线画出落在坡面上的影端轨迹； ②已知O到直线l的距离为15 cm，斜坡坡角为30°，春分日正 午时分太阳光线与地平面的夹角约为58°，此时影端落在斜坡 上的N处，求N到地平面的距离．(精确到0.1 cm，参考数据： tan58°≈1.60， ≈2.45) 解：(1)秋冬； (2)①当天的影端轨迹最接近图2中的d； ②方案：选用相距正午等时间(如上午10：00和下午14：00)的两处标记点， 理由：由图2可知，曲线d是轴对称图形，对称轴为过点O的正南北向的直线； 选用相距正午等时间的两处标记点，则两处标记点关于曲线d的对称轴对称，连接两处标记点即可确定出正东西方向； (3)①如图4所示，粗线部分即为落在坡面上的影端轨迹； ②如图5，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为58°，O到直线l的距离为15 cm， ∴OE＝15 cm，∠E＝58°， ∴AO＝OE·tan58°＝15×1.60＝24(cm)； 设NM⊥OE于点M，设MN＝d， 则ME＝MN÷tan58°＝ ， 如图6，∵斜坡坡角为30°， 即∠NPM＝30°， ∴PN＝2d， ∴PM＝ d， ∵斜坡其下沿BC紧挨着竿底O且OB指向北偏西45°方向， ∴∠MOP＝45°，MP⊥OB， ∴eq \f(MH,EG)＝eq \f(HP,GP)，即eq \f(MH,1.4)＝eq \f(18,2)， 解得MH＝12.6， ∴MN＝MH＋HN＝12.6＋1.4＝14(m)， 即旗杆MN的高度为14 m； 由题意知EF∥AB， ∴∠IAP＝∠MEP，∠AIP＝∠EMP， ∴△IAP∽△MEP， ∴eq \f(AI,ME)＝eq \f(IP,MP)， 同理可得eq \f(AI,M′E′)＝eq \f(IP′,M′P′)， ∵EM＝E′M′， ∴eq \f(IP,MP)＝eq \f(IP′,M′P′)， ∵IP＝BQ，IP′＝BQ′＝BQ＋QQ′＝BQ＋30， ∴eq \f(BQ,1.2)＝eq \f(BQ＋30,2.2)，解得BQ＝36 m， ∴IP＝36 m， 代入eq \f(AI,ME)＝eq \f(IP,MP)，得eq \f(AI,1.4)＝eq \f(36,1.2)，解得AI＝42 m， ∴AB＝AI＋BI＝42＋1.4＝43.4(m)， 即妙光塔AB的高度为43.4m. ∴tan∠APB＝tan37°＝eq \f(BH,PH)≈0.75， ∴PH≈eq \f(58.8,0.75)＝78.4(米)， ∴AP＝AH＋PH＝11.4＋78.4＝89.8(米)． 即A，P两点间的距离为89.8米； (2)②. eq \f(AE,BE) eq \f(AE,CE) eq \f(13,3) eq \f(13,3) eq \r(3) eq \f(1,2) (2)∵钢柱的底面圆半径为1 cm， ∴BC＝OB＝1， ∵∠OAB＝30°，∠OBA＝90°， ∴AB＝eq \f(OB,tan30°)＝eq \r(3)， ∴AC＝BC＋AB＝1＋eq \r(3)， 同理A′C′＝1＋eq \r(3)， ∴l＝7.52－2(1＋eq \r(3))≈2.06， ∵1.9<2.06<2.1， ∴该部件l的长度符合要求； ∴AB＝eq \f(BD,tan60°)＝eq \f(\r(3)a,3)，∴AC＝a＋eq \f(\r(3)a,3)， ∴l＝y－2(a＋eq \f(\r(3)a,3))＝y－eq \f(2（3＋\r(3)）a,3). 设EU＝x米， 则FU＝EF－EU＝(30－x)米， ∵tan∠EPU＝eq \f(EU,PE)＝eq \f(x,PE)＝tan5.1°≈0.09， tan∠FDU＝eq \f(FU,DF)＝eq \f(30－x,DF)＝tan9.1°≈0.16， ∴PE＝eq \f(x,0.09)，DF＝eq \f(30－x,0.16)， ∴eq \f(30－x,0.16)＝eq \f(x,0.09)， 解得x＝10.8， ∴FU＝30－10.8＝19.2(米)， PE＝DF＝eq \f(10.8,0.09)＝120(米)， ∵tan∠TDF＝eq \f(TF,DF)＝eq \f(TF,120)＝tan14.5°≈0.26， ∴TF≈120×0.26＝31.2米， ∴TU＝TF＋FU＝19.2＋31.2≈50(米)， 即该塔高度约为50米； ∵直线l是GC的垂直平分线， ∴GM＝CM＝eq \f(1,2)CG＝eq \f(3,2)， ∴GM＝CM＝AN＝eq \f(3,2)， ∴BM＝BC－CM＝eq \f(5,2)，DN＝AD－AN＝eq \f(5,2)， (4)①如图2所示，过点H作HG⊥BC， 由(3)得BQ＝eq \f(3,2)，CQ＝eq \f(5,2)，∠BQH＝∠PQC＝45°， ∵BH⊥PQ于点H，∴∠BHQ＝90°， ∴△BHQ是等腰直角三角形， ∴HG＝GQ＝eq \f(1,2)BQ＝eq \f(1,2)×eq \f(3,2)＝eq \f(3,4)，CG＝CQ＋GQ＝eq \f(5,2)＋eq \f(3,4)＝eq \f(13,4)， ∴tan∠BCH＝eq \f(HG,CG)＝eq \f(\f(3,4),\f(13,4))＝eq \f(3,13)； ∴BD＝eq \r(12＋42)＝eq \r(17)，∴BO＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(\r(17),2)，∴LH＝BL＝OL＝eq \f(\r(17),4). ∴eq \f(BL,BD)＝eq \f(LT,CD)＝eq \f(BT,BC)，∴eq \f(\f(\r(17),4),\r(17))＝eq \f(LT,1)＝eq \f(BT,4)， ∴LT＝eq \f(1,4)，BT＝1，∴CT＝BC－BT＝4－1＝3， ∴CL2＝TL2＋CT2＝eq \f(145,16)， ∵CH是⊙L的切线，∴∠CHL＝90°， ∴CH＝eq \r(CL2－HL2) ＝eq \r(\f(145,16)－（\f(\r(17),4)）2) ＝eq \r(\f(145,16)－\f(17,16)) ＝2eq \r(2). eq \r(6) eq \f(d,1.60) eq \r(3) ∴OP＝PM＝eq \r(3)d， ∴OM＝eq \r(6)d， ∴OE＝OM＋ME＝eq \r(6)d＋eq \f(d,1.60)＝15， 解得d≈4.9， 答：N到地平面的距离为4.9 cm. $微专题12 隐圆模型解决策略 策略1 利用圆的定义构造圆 【方法点拨】 依据：圆的定义“在同一平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆”． 如图，由于OA＝OB＝OC，所以点A，B，C都在以 定点O为圆心的同一个圆上． 1．[2025·菏泽二模]如图，在矩形ABCD中， AB＝4，AD＝6，点E，F分别是AB，BC边上的 两个动点，且EF＝2，点G为EF的中点，点H 为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH＋CH的最小值为( ) A．10 B．9 C．8 D．5 2．[2025·海南一模]如图，P是矩形ABCD(AB>AD)的边AB上一 动点，F是BC的中点，连接DP，将△DAP沿DP所在直线折叠， 点A的对应点是点E，连接EF.已知AB＝2 ，当线段EF的最小 值为1时，边BC的长为( ) A．9 B．8 C．7 D．6 3．[2025·资阳]如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AB ＝4，AD＝DC＝2，E是线段AD的中点，F是线段AB上的一个动点． 现将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A′EF(如图的所有点在同一 平面内)，连接A′B，A′C，则△A′BC面积的最小值为( ) 4．[2023·淮安]在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°， BH为∠ABC内部的任一条射线(∠CBH不等于60°)，点C关于BH 的对称点为C′，直线AC′与BH交于点F，连接CC′，CF，则 △CC′F面积的最大值是____. 解析：如图所示，连接BC′， ∵点C关于BH的对称点为C′， ∴CB＝C′B，CF＝C′F. ∵AB＝BC＝2， ∴A，C，C′在半径为2的⊙B上， 在优弧 上任取一点E，连接AE，EC，则∠AEC＝ ∠ABC＝60°， ∴∠AC′C＝120°， ∴∠CC′F＝60°， ∴△CC′F是等边三角形， 当CC′取得最大值时，△CC′F面积最大， ∵C′在⊙B上运动，则CC′最大值为4， 则△CC′F面积的最大值是 5．如图，点A，B的坐标分别为A(6，0)，B(0，6)，C为坐标平 面内一点，BC＝2 ，M为线段AC的中点，连接OM，当OM取最大 值时，点M的坐标为_______． (4，4) 6．[2024·河南]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB ＝3，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线 AD于点E.若CD＝1，则AE的最大值为______，最小值为______． 解析：∵∠ACB＝90°，CA＝CB＝3， ∴∠BAC＝∠ABC＝ ×90°＝45°. ∵线段CD绕点C在平面内旋转，CD＝1， ∴点D在以点C为圆心，1为半径的圆上， ∵BE⊥AE， ∴∠AEB＝90°， ∴点E在以AB为直径的圆上， 在Rt△ABE中，AE＝AB·cos∠BAE， ∵AB为定值， ∴当cos∠BAE最大时，AE最大， cos∠BAE最小时，AE最小． 如图1，当AE与⊙C相切于点D，且点D在△ABC内部时，∠BAE最小，AE最大，连接CD，CE， 则CD⊥AE，∴∠ADC＝∠CDE＝90°， ∴∠CED＝∠ABC＝45°. ∵∠CDE＝90°， ∴△CDE为等腰直角三角形， ∴DE＝CD＝1， ∴AE＝AD＋DE＝2 ＋1， 即AE的最大值为2 ＋1； 当AE与⊙C相切于点D，且点D在△ABC外部时，∠BAE最大，AE最小，连接CD，CE， 则CD⊥AE， ∴∠CDE＝90°， ∵四边形ABCE为圆内接四边形， ∴∠CEA＝180°－∠ABC＝135°. ∴∠CED＝180°－∠CEA＝45°， ∵∠CDE＝90°， ∴△CDE为等腰直角三角形， ∴DE＝CD＝1， ∴AE＝AD－DE＝2 －1， 即AE的最小值为2 －1. 策略2 利用定角构造圆 7．[2024·苏州]如图，在矩形ABCD中，AB＝ ，BC＝1，动 点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿 AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的 垂线，垂足为G，则AG的最大值为( ) 9．[2025·宿迁]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4， BC＝3，点D在边AB上(不与A，B重合)，过点A作AE⊥CD，垂 足为点E，则 的最小值是__． 3 10．[2025·扬州]如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4 ， 点E是BC边上的动点，将△ABE沿直线AE翻折得到△APE，过点P 作PF⊥AD，垂足为F，点Q是线段AP上一点，且AQ＝ PF.当点E 从点B运动到点C时，点Q运动的路径长是____． 解析：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠B＝90°. ∵翻折， ∴AP＝AB＝4. ①当点P在矩形内部时，作HQ⊥AP，交AB于点H，如图1， 则∠AQH＝90°＝∠BAD， ∴∠AHQ＝∠PAF＝90°－∠HAQ. ∴点Q在以AH为直径的圆上运动， ∴当点E从点B开始运动直至点P落在AD上时，点Q的运动轨迹为半圆AH， ∴点Q的运动路径长为 ×2π＝π； ②当点P在矩形ABCD的外部时，作KQ⊥AP， 交AB的延长线于点K， 同理得△AKQ∽△PAF， AK＝ AP＝2， ∴∠AKQ＝∠PAF，点Q在以AK为直径的⊙O上运动，连接OQ， 当点E运动到点C时，如图2， ∴∠BAC＝60°，∴∠CAD＝∠BAD－∠BAC＝30°. ∵折叠，∴∠PAC＝∠BAC＝60°， ∴∠PAF＝∠PAC－∠CAD＝30°， ∴∠AKQ＝∠PAF＝30°， ∴∠AOQ＝2∠AKQ＝60°， 11．[2024·广元]如图，在△ABC中，AB＝5，tanC＝2， 则AC＋ BC的最大值为____． 延长DC到E，使EC＝CD＝x，连接BE，如图， ∴AC＋ BC＝AC＋DC＝AC＋CE＝AE. ∵BD⊥DE，DE＝2x＝BD， ∴△BDE是等腰直角三角形，则∠E＝45°. 在△ABE中，AB＝5，∠E＝45°，作△ABE的外接圆，如图， ∴由圆周角定理得点E在⊙O上运动，AE是⊙O的弦，求AC＋ BC 的最大值就是求弦AE的最大值，当弦AE过圆心O，即AE是直径时， 弦最大． ∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°. ∵∠E＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形． ∵AB＝5， ∴BE＝AB＝5， 则由勾股定理可得 12．[2024·扬州]如图，已知两条平行线l1，l2，点A是l1上的 定点，AB⊥l2于点B，点C，D分别是l1，l2上的动点，且满足AC ＝BD，连接CD交线段AB于点E，BH⊥CD于点H，则当∠BAH最大 时，sin∠BAH的值为___. 解析：∵l1∥l2， ∴∠ACE＝∠BDE，∠CAE＝∠DBE. ∵AC＝BD， ∴△ACE≌△BDE(ASA)， ∴BE＝AE＝ AB. ∵BH⊥CD， ∴∠BHE＝90°， ∴点H在以BE为直径的圆上运动． 如图，取线段BE的中点O，以点O为圆心，OB为半径画圆， 则点H在⊙O上运动， ∴当AH与⊙O相切时∠BAH最大， ∴OH⊥AH. ∵AE＝BE＝2OE， ∴AO＝AE＋OE＝3OE. ∵OH＝OE， 13．[2025·广元]综合与实践 (1)【初步感知】如图1，△ABC和△ADE中，∠C＝90°， AE·AB＝AD·AC，∠CAD＝∠EAB，求∠E的度数； (2)【深入探究】如图2，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是 线段BC上一点，连接AE，过点A在AE上方作FA⊥EA，使S△AEF＝ S矩形ABCD，连接DF，请证明△ABE∽△AFD，并直接写出点F到BC 的距离的最大值； (3)【学以致用】如图3，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°， AD＝AB＝8，BC＝16，点E是线段AB的中点，点F是线段BC上一 点，连接EF，过点E在EF上方作GE⊥FE，使S△EFG＝ S梯形ABCD， 当△ADG的面积最小时，求EG的长． 解：(1)∵∠CAD＝∠EAB， ∴∠CAD＋∠DAB＝∠EAB＋∠DAB， 即∠CAB＝∠DAE. ∵AE·AB＝AD·AC， ∴△ABC∽△ADE. ∵∠C＝90°， ∴∠E＝∠C＝90°； 如图，取BQ＝6，作矩形QPEB，则PE＝QB＝6，∠PEB＝∠B＝90°，连接PG， ∴EB·PE＝4×6＝24， ∴EB·PE＝GE·EF， 又∵∠GEF＝∠PEB＝90°， ∴∠GEP＝∠FEB＝90°－∠PEF， ∴△PEG∽△FEB， ∴∠PGE＝∠FBE＝90°， ∴G在PE为直径的圆上， ∴当△ADG的面积最小时，G在过O点且垂直于PE的直线上，则此时△PGE是等腰直角三角形， 策略3 利用等角构造圆 14．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D是BC的中点，∠CAD＝∠CBE，则AE＝( ) 15．如图，在四边形ABCD中，∠1＝∠4，∠2＝30°， 则∠3＝___°. 30 16．[2025·宿州模拟节选]如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交AB于点E，点F在AD上，且EF⊥CE，分别过点C，F作CG∥EF，FG∥CE，CG与FG交于点G. (1)求证：四边形CEFG是正方形； (2)连接GD，求∠GDE的度数． 解：(1)证明：∵CG∥EF，FG∥CE， ∴四边形CEFG是平行四边形． ∵EF⊥CE， ∴四边形CEFG是矩形． ∵在矩形ABCD中，DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝45°， AD＝BC，∠A＝∠B＝90°， ∴△ADE为等腰直角三角形，AD＝AE＝BC， ∵∠AEF＋∠CEB＝180°－∠FEC＝90°， ∠BCE＋∠BEC＝180°－∠B＝90°， ∴∠AEF＝∠BCE. 在△AEF与△BCE中， ∴△AEF≌△BCE(ASA)， ∴EF＝CE， ∴四边形CEFG是正方形； (2)连接EG， 则∠FEG＝∠DEF＋∠DEG＝45°， ∵四边形CEFG是正方形， ∴∠CGE＝45°. 又∵∠EDC＝45°， ∴∠CGE＝∠EDC， ∴C，E，D，G四点共圆， ∴∠GDE＝180°－∠GCE＝90°. 策略4 利用对角互补构造圆 17．[2025·哈尔滨三模]如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝ ∠ADC＝90°，∠DAB＝45°，对角线AC，BD交于点E，则下列 结论：①∠ABD＝∠ACD　②∠DAB＋∠DCB＝180°　③S四边形ABCD ＝ 　④若AC＝10，则BD＝5 .其中一定正确的结论是 _________(将正确结论的序号填在横线上)． ①②③④ 18．[2025·淮安二模]如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC ＝90°，AB<BC，BC＝DC＝6，AC＝2BD，则AB的长为_________. 19．[2025·吐鲁番三模改编]如图，在等边三角形ABC中，点 P，Q分别是AC，BC边上的动点(都不与线段端点重合)，且AP＝ CQ，AQ，BP相交于点O.若AB＝3，则OC的最小值为____． 解析：以AB为边作等边三角形NAB，连接CN，如图所示， ∴∠NAB＝∠NBA＝60°，NA＝NB， 易证△ABP≌△CAQ， ∴∠PBA＝∠QAC， ∴∠AOB＝180°－∠ABO－∠BAO＝120°， ∴∠ANB＋∠AOB＝180°， ∴点N，A，B，O四点共圆，且圆心为等边三角形NAB的中心M. 20．[2025·深圳模拟]如图，已知△ABC中三边长分别为AB＝ 2，AC＝3，BC＝ ，动点D在边BC上运动，过点D作DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为E，F，则EF的最小值为______． 解析：如图1，作BM⊥AC于点M，则∠AMB＝∠CMB＝90°， 设AM＝a，则CM＝AC－AM＝3－a， ∵BM2＝AB2－AM2＝BC2－CM2， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEA＝∠DFA＝90°， ∴A，E，D，F四点共圆，记圆心为O，且AD为⊙O的直径． 如图2，作OG⊥EF于点G，连接OE，OF， ∵OE＝OF，OG⊥EF， 21．[2023·日照]在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题： 如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(60°<α<180°)．点D是BC边上的一动点(点D不与B，C重合)，将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE. (1)求证：A，E，B，D四点共圆； (2)如图2，当AD＝CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线； (3)已知α＝120°，BC＝6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值． 解：(1)证明：由旋转的性质可得AE＝AD，∠DAE＝α， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC－∠BAD＝∠DAE－∠BAD， 即∠BAE＝∠CAD. 又∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD(SAS)， ∴∠AEB＝∠ADC. ∵∠ADC＋∠ADB＝180°，∴∠AEB＋∠ADB＝180°， ∴A，B，D，E四点共圆； (2)证明：如图2所示，连接OA，OD， ∵AB＝AC，AD＝CD， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠DAC. ∵⊙O是四边形AEBD的外接圆， ∴∠AOD＝2∠ABC， ∴∠AOD＝2∠ABC＝2∠DAC. ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA. ∵∠OAD＋∠ODA＋∠AOD＝180°， ∴2∠DAC＋2∠OAD＝180°， ∴∠DAC＋∠OAD＝90°， 即∠OAC＝90°，∴OA⊥AC. 又∵OA是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线； (3)如图3所示，作线段AB的垂直平分线， 分别交AB，BC于G，F，连接AM， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠C＝30°. ∵点M是边BC的中点， ∵⊙P是四边形AEBD的外接圆， ∴点P一定在AB的垂直平分线上， ∴点P在直线GF上， ∴当MP⊥GF时，PM有最小值． ∵∠PFM＝∠BFG＝90°－∠ABC＝60°， ∴在Rt△MPF中， eq \r(2) eq \r(10) A．2－eq \r(2) B．3－eq \r(2) C.eq \r(10)－eq \r(2) D．4－eq \r(2) 4eq \r(3) eq \o(AC,\s\up15(︵)) eq \f(1,2) eq \f(\r(3),4)×42＝4eq \r(3). eq \r(2) 2eq \r(2)＋1 2eq \r(2)-1 eq \f(1,2) ∴AD＝eq \r(AC2－CD2)＝eq \r(32－12)＝2eq \r(2). ∵eq \o(AC,\s\up15(︵))＝eq \o(AC,\s\up15(︵))， eq \r(2) eq \r(2) ∴AD＝eq \r(AC2－CD2)＝eq \r(32－12)＝2eq \r(2). eq \r(2) eq \r(2) eq \r(3) A.eq \r(3) B.eq \f(\r(3),2) C．2 D．1 8．[2024·达州]如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝4，点D，E分别在AC，BC上运动，连接AE，BD交于点F，且始终满足AD＝eq \f(\r(2),2)CE，则下列结论： ①eq \f(AE,BD)＝eq \r(2)　②∠DFE＝135°　③△ABF面积的最大值是4eq \r(2)－4　④CF的最小值是2eq \r(10)－2eq \r(2). 其中正确的是( ) A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ eq \f(CD,DE) 解析：作CF⊥AB于点F，作EK⊥AB于点K， ∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝5. ∵S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)AB·CF， ∴CF＝eq \f(AC·BC,AB)＝eq \f(4×3,5)＝eq \f(12,5). ∵CF⊥AB，EK⊥AB， ∴∠EKD＝∠CFD＝90°. 又∵∠EDK＝∠CDF， ∴△EDK∽△CDF， ∴eq \f(CD,DE)＝eq \f(CF,EK).∵CF＝eq \f(12,5)，是定值， ∴EK取最大值时，eq \f(CD,DE)取最小值． ∵点D运动过程中，始终保持AE⊥CD， ∴点E在以AC的中点O为圆心，eq \f(1,2)AC长为半径的圆上， ∴当点E，K，O共线时，即点E在E′位置时，EK取最大值． ∵∠AK′O＝∠ACB＝90°，∠K′AO＝∠CAB， ∴△K′AO∽△CAB， ∴eq \f(K′O,CB)＝eq \f(AO,AB)，即eq \f(K′O,3)＝eq \f(2,5)，∴K′O＝eq \f(6,5)， ∴E′K′＝OE′－K′O＝2－eq \f(6,5)＝eq \f(4,5)，即EK的最大值为eq \f(4,5)， 此时eq \f(CD,DE)＝eq \f(CF,EK)＝eq \f(\f(12,5),\f(4,5))＝3， ∴eq \f(CD,DE)的最小值是3. eq \r(3) eq \f(1,2) eq \f(4π,3) ∵PF⊥AD， ∴∠PFA＝90°＝∠AQH， ∴△AQH∽△PFA， ∴eq \f(AH,AP)＝eq \f(AQ,PF). ∵AQ＝eq \f(1,2)PF，∴eq \f(AH,AP)＝eq \f(AQ,PF)＝eq \f(1,2)， ∴AH＝eq \f(1,2)AP＝2， eq \f(1,2) eq \f(1,2) ∵AB＝4，BC＝4eq \r(3)，∠B＝90°， ∴tan∠BAC＝eq \f(BC,AB)＝eq \r(3)， ∴点Q的运动轨迹为圆心角为60°的eq \o(AQ,\s\up15(︵))，路径长为eq \f(60π,180)×1＝eq \f(π,3)， ∴点Q的运动路径总长为π＋eq \f(π,3)＝eq \f(4π,3). 5eq \r(2) eq \f(\r(5),5) 解析：过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图所示， ∵tan∠ACB＝2， ∴在Rt△BCD中，设DC＝x，则BD＝2x，由勾股定理可得BC＝eq \r(5)x， ∴eq \f(DC,BC)＝eq \f(x,\r(5)x)＝eq \f(\r(5),5)， 即eq \f(\r(5),5)BC＝DC， ∴AC＋eq \f(\r(5),5)BC＝AC＋DC. eq \f(\r(5),5) eq \f(\r(5),5) AE＝eq \r(AB2＋BE2)＝5eq \r(2)， 即AC＋eq \f(\r(5),5)BC的最大值为5eq \r(2). eq \f(1,3) eq \f(1,2) ∴sin∠BAH＝eq \f(OH,AO)＝eq \f(OE,3OE)＝eq \f(1,3). eq \f(1,2) eq \f(1,8) ∴eq \f(AE,AC)＝eq \f(AD,AB)， (2)证明：∵FA⊥EA，S△AEF＝eq \f(1,2)S矩形ABCD， ∴eq \f(1,2)AF·AE＝eq \f(1,2)AB·AD，即AF·AE＝AB·AD，∴eq \f(AF,AB)＝eq \f(AD,AE). ∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4， ∴∠BAD＝∠B＝90°，BC＝AD＝4. ∵FA⊥EA，∴∠FAE＝90°， ∴∠FAD＝∠BAE＝90°－∠DAE， ∴△ABE∽△AFD，∴∠AFD＝∠B＝90°， ∴点F在以AD为直径的圆上运动， ∴点F到BC的最大距离为eq \f(1,2)AD＋AB＝eq \f(1,2)×4＋3＝5； (3)∵梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝AB＝8，BC＝16， ∴S△EFG＝eq \f(1,8)S梯形ABCD＝eq \f(1,8)×eq \f(1,2)(AD＋BC)·AB＝eq \f(1,16)×(8＋16)×8＝12. ∵GE⊥FE， ∴eq \f(1,2)GE·EF＝12，即GE·EF＝24. ∵点E是线段AB的中点， ∴BE＝eq \f(1,2)AB＝4， ∴eq \f(EG,EB)＝eq \f(PE,EF). ∴GP＝GE＝eq \f(\r(2),2)PE＝3eq \r(2). A．4 B．3eq \r(2) C．2eq \r(5) D.eq \r(2) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠B，,AE＝BC，,∠AEF＝∠BCE，)) eq \f(AD2－BC2,2) eq \r(2) 12－6eq \r(3) eq \r(3) 设CM与圆M交点O′，CO′即为CO的最小值， ∵AB＝AC＝AN＝3， ∴NC＝3eq \r(3)，MN＝MA＝eq \r(3)， ∴CO′＝NC－2MN＝eq \r(3). eq \f(9\r(7),14) eq \r(7) ∴22－a2＝(eq \r(7))2－(3－a)2， 解得a＝1，∴AM＝1，∴cos∠BAM＝eq \f(AM,AB)＝eq \f(1,2)，∴∠BAM＝60°， ∴BM＝AB·sin∠BAM＝2sin60°＝eq \r(3)， ∴S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BM＝eq \f(1,2)×3×eq \r(3)＝eq \f(3\r(3),2). ∴∠EOG＝eq \f(1,2)∠EOF，EG＝FG＝eq \f(1,2)EF. 又∵∠EOF＝2∠EAF＝2×60°＝120°，∴∠EOG＝60°， ∴EG＝OE·sin∠EOG＝OE·sin60°＝eq \f(\r(3),2)OE，∴EF＝2EG＝eq \r(3)OE. ∵OE＝eq \f(1,2)AD，∴EF＝eq \f(\r(3),2)AD， 当AD⊥BC时，AD有最小值，此时EF有最小值， ∴ADmin＝eq \f(2S△ABC,BC)＝eq \f(2×\f(3\r(3),2),\r(7))＝eq \f(3\r(3),\r(7))， ∴EFmin＝eq \f(\r(3),2)ADmin＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(3\r(3),\r(7))＝eq \f(9\r(7),14). ∴EF的最小值为eq \f(9\r(7),14). ∴BM＝CM＝eq \f(1,2)BC＝3，AM⊥BC，∴AB＝eq \f(BM,cos∠ABC)＝2eq \r(3)， ∴BG＝eq \f(1,2)AB＝eq \r(3). 在Rt△BGF中，BF＝eq \f(BG,cos∠ABC)＝2，∴FM＝1. PM＝MF·sin∠PFM＝eq \f(\r(3),2)，∴圆心P与点M距离的最小值为eq \f(\r(3),2). $第33讲　与圆有关的位置关系 【构建知识网络】 知识点1 点与圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d 1.点在圆外⇔d>r，如图中点A 2.点在圆上⇔d＝r，如图中点B 3.点在圆内⇔d<r，如图中点C 知识点2 直线与圆的位置关系 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d. 位置关系 相离 相切 相交 d与r 的关系 d>r d＝r d<r 交点 的个数 没有 公共点 有且只有 一个公共点 有两个 公共点 示意图 知识点3 切线的性质与判定 定义 直线和圆只有一个公共点，则这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点 性质 定理 圆的切线垂直于过切点的半径(或直径) 推论 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点； 经过切点且垂直于切线的直线必过圆心 判定 用定义 判定 和圆有唯一公共点的直线是圆的切线 数量 关系 圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线 定理 过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 知识点4 切线长 定义 过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长 定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 【满分技能】 切线长与切线的区别： 切线是直线，不可度量；切线长是过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间线段的长度，是一个量. 知识点5 三角形的内切圆 定义 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆 内心 三角形内切圆的圆心叫三角形的内心，内心是三角形三条角平分线的交点 内心位置 一定在三角形的内部 性质 三角形的内心到三角形的三边的距离相等，内心与每一个顶点的连线平分每个内角 考点1 点、线与圆的位置关系(5年6地0考) [2025·内蒙古二模]如图，正方形ABCD的边长为6，以点B为圆 心，BC的长为半径画圆，则正方形ABCD的中心在⊙B___(填“内” “上”或“外”)；若将图中阴影部分剪下来围成圆锥，则圆锥 的底面直径为__． 内 3 2．[2022·呼和浩特]已知AB为⊙O的直径且AB＝2，点C是⊙O 上一点(不与A，B重合)，点D在半径OB上，且AD＝AC，AE与过 点C的⊙O的切线垂直，垂足为E.若∠EAC＝36°，则CD＝__， OD＝______. 1 解析：如图，连接CO，BC， ∵EC是⊙O的切线， ∴OC⊥EC， ∵AE⊥EC，∠EAC＝36°， ∴AE∥OC，∠ACO＝∠EAC＝36°， ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝36°， ∴∠COD＝2∠CAO＝72°， ∵AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD＝72°， ∴∠ADC＝∠COD＝72°， 4．[2024·通辽]如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD. (1)求证：∠ABC＝2∠ACD； (2)若AC＝8，BC＝6，求⊙O的半径． 解：(1)证明：如图，连接OD， ∵AB为切线，∴OD⊥AB， ∴∠ODA＝90°， ∴∠A＋∠AOD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ABC＋∠A＝90°， ∴∠AOD＝∠ABC, ∵∠AOD＝2∠ACD，∴∠ABC＝2∠ACD； 解：(1)证明：连接OD， ∵OD＝OA， ∴∠ODA＝∠OAD， 又∵∠DAB＝∠BFD，∠DAE＝∠BFD， ∴∠ODA＝∠DAE， ∵DE⊥AC， ∴∠ADE＋∠DAE＝90°， ∴∠ADE＋∠ODA＝90°，即OD⊥DE， 又∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； 解：(1)证明：连接OE，BD，如图， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠CBD＝90°， ∴∠DBE＝∠CBD－∠ABC＝90°－45°＝45°， ∴∠DOE＝2∠DBE＝2×45°＝90°， ∵EF∥CD， ∴∠FEO＝∠DOE＝90°，即OE⊥EF， ∵OE是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线； 3．[2023·呼和浩特]已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，以边AC为直径作⊙O，与AB边交于点D，点M为边BC的中点，连接DM. 解：(1)证明：连接CD，OD，如图1， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∴∠BDC＝90°， ∵M为BC的中点， ∴DM＝ BC＝MC， ∴∠MDC＝∠MCD， ∵OD＝OC， ∴∠ODC＝∠OCD， ∵∠ACB＝90°， ∴∠OCD＋∠MCD＝90°， ∴∠ODC＋∠MDC＝90°，即∠ODM＝90°， ∴OD⊥DM， ∵OD是⊙O的半径， ∴DM是⊙O的切线； (2)①在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， BC＝6，AC＝8， ∴AB＝10. i)当点P在线段BC上时， 过点P作PE⊥AB, 垂足为E，如图2， ∵tan∠BAP＝ ， ∴设EP＝m，则AE＝3m， ∴EB＝10－3m， ②过点Q作QG⊥AC，垂足为G，如图4， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠AQC＝90°， ∵∠PAC＋∠ACQ＝90°，∠GQC＋∠ACQ＝90°， ∴∠PAC＝∠GQC， ∵∠ACP＝∠QGC＝90°， ∴△APC ∽△QCG， 解：(1)证明：连接OD，BD，则∠ACD＝∠ABD， ∵∠ADF＝∠ACD， ∴∠ABD＝∠ADF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD＋∠BAD＝90°， ∴∠ADF＋∠BAD＝90°， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠ADF＋∠ODA＝90°， 即∠ODF＝90°， ∴OD⊥DF， 又∵OD为⊙O的半径， ∴DF是⊙O的切线； (2)①∵BE是⊙O的切线，∴AB⊥BE， ∴∠ABE＝90°，∴∠ABC＋∠CBE＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC＋∠BAC＝90°， ∴∠CBE＝∠BAC， ∵∠BAC＝∠BDC， ∴∠CBE＝∠BDC， 即∠CBE＝∠BDE， 又∵∠E＝∠E， ∴△CBE∽△BDE， 2．[2025·包头三模]在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA平分∠BAC交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D. (1)如图1，求证：AB为⊙O的切线； (2)如图2，AB与⊙O相切于点E，连接CE交OA于点F. ①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由； ②若OF∶FC＝1∶2，OC＝3，求tanB的值． 解：(1)如图1，过点O作OG⊥AB，垂足为G， ∵OA平分∠BAC交BC于点O，∠ACB＝90°， ∴OG＝OC， ∴点G在⊙O上，即AB为⊙O的切线； (2)①OA垂直平分CE，理由： 连接OE，如图2， ∵AB与⊙O相切于点E，AC与⊙O相切于点C， ∴AE＝AC， ∵OE＝OC， ∴OA垂直平分CE； 考点5 三角形的内切圆与内心(5年6地0考) 1．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA.若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为( ) A．15° B．17.5° C．20° D．25° 2．刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古 典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘 徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是 勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种 表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB， BC，CA的长分别为c，a，b，则可以用含c，a， b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达 式错误的是( ) 1．[2025·福建]如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C.AB∥PC，且交⊙O于点B.若∠P＝30°，则∠BCP的大小为( ) A．30° B．45° C．60° D．75° 2．[2025·自贡]PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．点C在⊙O 上，不与点A，B重合．若∠P＝80°，则∠ACB的度数为( ) A．50° B．100° C．130° D．50°或130° 3．[2025·南通]在平面直角坐标系中，以点A(3，0)为圆心， 为半径作⊙A.直线y＝kx－3k＋2与⊙A交于B，C两点，则BC 的最小值为__． 6 4．[2025·安徽]如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆 心O在线段PA上．已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为___°. 20 5．[2025·黑龙江]如图，PA，PB是圆O的切线，A，B为切点， AC是直径，∠BAC＝35°，∠P＝_____． 70° 6．[2025·广州]已知⊙O的半径为6，⊙O所在平面内有一动点 P，过点P可以引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.点P 与圆心O的距离为d，则d的取值范围是_____；若过点O作OC∥PA 交直线PB于点C(点C不与点B重合)，线段OC与⊙O交于点D.设PA ＝x，CD＝y，则y关于x的函数解析式为____________． d＞6 7．[2025·绥化]如图，∠APO＝∠BPO，PA与⊙O相切于点M，连接OM，OP与⊙O相交于点C，过点C作CD⊥OM，垂足为E，交⊙O于点D，连接PD交OM于点F. (1)求证：PB是⊙O的切线； (2)当PC＝6，PM＝ CD时，求线段MF的长． 解：(1)证明：过点O作ON⊥PB于点N， ∵PA与⊙O相切于点M，∴OM⊥PA. ∵∠APO＝∠BPO， ∴PO是∠APB的平分线， ∴ON＝OM. ∵OM为⊙O的半径， ∴ON为⊙O的半径． ∵ON⊥PB，∴PB是⊙O的切线； 8．[2025·宜宾]如图，已知AE是⊙O的直径，D是⊙O上一点，过 D作直线DB与AE的延长线交于B点，过点A作AC⊥BD于C点，连接AD， DE，且∠AED＝∠ADC. (1)求证：直线BC是⊙O的切线； (2)若AE＝10，tan∠CAD＝ ，求DE与BD的长度； (3)在(2)的条件下，若F为 上的一动点，且F在直线AB上方， 连接AF，DF，EF.当四边形ADEF面积最大时，求DF的长度． 解：(1)连接OD，则OD＝OE， ∴∠ODE＝∠OED. ∵∠AED＝∠ADC， ∴∠ODE＝∠ADC. ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ADE＝90°， ∴∠ODC＝∠ADC＋∠ODA＝∠ODE＋∠ODA＝90°. 又∵OD是⊙O的半径， ∴直线BC是⊙O的切线； 考点2 切线的性质(5年6地13考) 1．[2023·通辽]某款“不倒翁”(如图1)的主视图是图2，PA，PB分别与eq \o(AMB,\s\up16(︵))所在圆相切于点A，B，若该圆半径是10 cm，∠P＝60°，则 主视图的面积为 cm2. (100eq \r(3)＋eq \f(200π,3)) eq \f(\r(5)－1,2) ∴CD＝CO＝eq \f(1,2)AB＝1. ∵∠ADC＝∠CDO＝72°， ∠COD＝∠ACD， ∴△ACD∽△COD， ∴eq \f(AC,CO)＝eq \f(CD,OD)， 设OD＝x，则AC＝AD＝1＋x， ∴eq \f(1＋x,1)＝eq \f(1,x)， 解得x＝eq \f(\r(5)－1,2)，x＝eq \f(－\r(5)－1,2)(舍去)， 即DO＝eq \f(\r(5)－1,2). 3．[2025·内蒙古]如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，垂足为O，OC＝2，P是BA延长线上一点，连接CP，交⊙O于点D，连接AD，∠OCP＝60°.过点P作⊙O的切线，切点为E，交CO的延长线于点F. (1)求eq \o(CD,\s\up16(︵))的长； (2)求∠DAB的度数； (3)求cos∠OFP的值． 解：(1)如图，连接OD， 在⊙O中，OC＝OD， 又∵∠OCP＝60°， ∴△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝60°， ∵OC＝2， ∴eq \o(CD,\s\up16(︵))的长＝eq \f(60π×2,180)＝eq \f(2π,3)； (2)∵OC⊥AB， ∴∠POF＝∠AOC＝90°， ∴∠AOD＝∠AOC－∠COD＝30°， ∵在⊙O中，OA＝OD， ∴∠DAB＝∠ADO＝eq \f(180°－∠AOD,2)＝75°； (3)如图，连接OE, ∵∠AOC＝90°，∠OCP＝60°， ∴∠CPO＝30°， ∴PO＝eq \r(3)CO＝2eq \r(3). ∵OE是⊙O的切线， ∴∠OEF＝90°，OE＝OC＝2， ∴∠OFP＋∠FOE＝90°， ∵∠POF＝∠AOC＝90°， ∴∠POE＋∠FOE＝90°， ∴∠OFP＝∠POE， ∴cos∠OFP＝cos∠POE＝eq \f(OE,PO)＝eq \f(2,2\r(3))＝eq \f(\r(3),3). (2)在Rt△ABC中，AB＝eq \r(BC2＋AC2)＝eq \r(62＋82)＝10, ∵∠OCB＝90°＝∠ODA，∠A＝∠A， ∴△AOD∽△ABC， ∴eq \f(AO,AB)＝eq \f(OD,BC)， ∴eq \f(8－OD,10)＝eq \f(OD,6)， ∴OD＝3， ∴⊙O半径的长为3. 考点3 切线的判定(5年6地13考) 1．[2024·呼伦贝尔]如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于 点D，DE⊥AC，垂足为E. ⊙O的两条弦FB，FD相交于点F，∠DAE＝∠BFD. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若∠C＝30°，CD＝2eq \r(3)，求扇形OBD的面积． (2)∵∠C＝30°，CD＝2eq \r(3)，DE⊥AC， ∴DE＝eq \f(1,2)CD＝eq \r(3)，∠CDE＝60°， 又∵OD⊥DE， ∴∠BDO＝180°－∠ODE－∠CDE＝30°， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB＝30°， ∴∠AOD＝60°，∠BOD＝120°， 又∵OD＝OA， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD＝OD，∠ODA＝60°， ∴∠ADE＝30°， 在Rt△ADE中， AD＝eq \f(DE,cos∠ADE)＝eq \f(\r(3),cos30°)＝2， ∴OA＝OD＝AD＝2， ∴扇形OBD的面积为eq \f(120π·22,360)＝eq \f(4π,3). 2．[2024·赤峰]如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，⊙O经过B，C两点，与斜边AB交于点E，连接CO并延长，交AB于点M，交⊙O于点D，过点E作EF∥CD，交AC于点F. (1)求证：EF是⊙O的切线； (2)若BM＝4eq \r(2)，tan∠BCD＝eq \f(1,2)，求OM的长． (2)∵∠DBC＝90°，tan∠BCD＝eq \f(1,2)， ∴eq \f(DB,BC)＝eq \f(1,2)， ∵BC＝AC， ∴eq \f(DB,AC)＝eq \f(1,2)， ∵∠DMB＝∠CMA，∠A＝∠DBM， ∴△DBM∽△CAM， ∴eq \f(BM,AM)＝eq \f(DM,CM)＝eq \f(DB,AC)＝eq \f(1,2)， ∵BM＝4eq \r(2)， ∴AM＝2BM＝8eq \r(2)， ∴AB＝AM＋BM＝8eq \r(2)＋4eq \r(2)＝12eq \r(2)， 在等腰直角三角形ABC中，AC2＋BC2＝AB2， ∴AC2＋AC2＝AB2＝(12eq \r(2))2，解得AC＝12， ∴AC＝BC＝12，∴DB＝eq \f(1,2)BC＝6， 在Rt△BDC中，CD＝eq \r(BC2＋DB2)＝eq \r(122＋62)＝6eq \r(5)， ∴CO＝DO＝3eq \r(5)， 又∵eq \f(DM,CM)＝eq \f(1,2)， ∴CM＝2DM， ∴2DM＋DM＝CD＝6eq \r(5)， ∴DM＝2eq \r(5)， ∴OM＝OD－DM＝3eq \r(5)－2eq \r(5)＝eq \r(5). (1)求证：DM是⊙O的切线； (2)点P为直线BC上任意一动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ. ①当tan∠BAP＝eq \f(1,3)时，求BP的长； ②求eq \f(CQ,AP)的最大值． eq \f(1,2) eq \f(1,3) ∵∠ABC＝∠ABC,∠BEP＝∠BCA＝90°， ∴△EPB ∽△CAB， ∴eq \f(EB,BC)＝eq \f(EP,AC)＝eq \f(BP,AB)， ∴eq \f(10－3m,6)＝eq \f(m,8)， 解得m＝eq \f(8,3). ∵eq \f(BP,AB)＝eq \f(EP,AC)， ∴eq \f(BP,10)＝eq \f(\f(8,3),8)， ∴BP＝eq \f(10,3)； ii)当点P在CB的延长线上时， 过点P作PF⊥AB，交AB的延长线于点F，如图3， ∵tan∠BAP＝eq \f(1,3)， ∴设PF＝n，则AF＝3n， ∴BF＝3n－10. ∵∠PBF＝∠ABC，∠PFB＝∠ACB＝90°， ∴△PFB ∽△ACB， ∴eq \f(PF,AC)＝eq \f(BF,BC)＝eq \f(PB,AB)，∴eq \f(n,8)＝eq \f(3n－10,6)，解得n＝eq \f(40,9)， ∵eq \f(PB,AB)＝eq \f(PF,AC)，∴eq \f(PB,10)＝eq \f(\f(40,9),8)， ∴PB＝eq \f(50,9). 综上所述，PB＝eq \f(10,3)或PB＝eq \f(50,9)； ∴eq \f(CQ,AP)＝eq \f(QG,AC)＝eq \f(QG,8)， 当QG为半径时，即QG＝4时，eq \f(QG,8)最大且最大值为eq \f(1,2)， ∴eq \f(CQ,AP)的最大值为eq \f(1,2). 4．[2023·包头]如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，点C是eq \o(AE,\s\up16(︵))的中点，连接BC，过点C的直线垂直于BE的延长线于点D，交BA的延长线于点P. (1)求证：PC为⊙O的切线； (2)若PC＝2eq \r(2)BO，PB＝10，求BE的长． 解：(1)证明：连接OC， ∵BD⊥CD，∴∠D＝90°， ∵点C是eq \o(AE,\s\up16(︵))的中点，∴eq \o(AC,\s\up16(︵))＝eq \o(CE,\s\up16(︵))， ∴∠ABC＝∠CBD， ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠OCB＝∠CBD， ∴OC∥BD，∴∠PCO＝∠D＝90°， ∴OC⊥PD，∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线； (2)连接AE交OC于点M， ∵PC＝2eq \r(2)BO，BO＝CO， ∴PC＝2eq \r(2)CO， ∵PB＝10， ∴PO＝PB－OB＝10－OC， ∴在Rt△PCO中，PC2＋OC2＝PO2， ∴(2eq \r(2)CO)2＋OC2＝(10－OC)2， ∴OC＝eq \f(5,2)或OC＝－5(不符合题意，舍去)． ∵点C是eq \o(AE,\s\up16(︵))的中点，OC是半径， ∴OC垂直平分AE， ∵OA＝OB， ∴OM是△AEB的中位线， ∴BE＝2OM. ∵AB是直径， ∴∠AEB＝∠D＝90°， ∴AE∥PD， ∴eq \f(OM,OC)＝eq \f(OA,OP)＝eq \f(\f(5,2),10－\f(5,2))＝eq \f(1,3)， ∴OM＝eq \f(1,3)OC＝eq \f(1,3)×eq \f(5,2)＝eq \f(5,6)，∴BE＝2×eq \f(5,6)＝eq \f(5,3). 考点4切线的性质与判定的综合(5年6地1考) 1．[2024·呼和浩特]如图，△ACD内接于⊙O，直径AB交CD于点G，过点D作射线DF，使得∠ADF＝∠ACD，延长DC交过点B的切线于点E，连接BC. (1)求证：DF是⊙O的切线； (2)若CD＝eq \f(8,3)CG，BE＝3CE＝3. ①求DE的长； ②求⊙O的半径． ∴eq \f(CE,BE)＝eq \f(BE,DE)， ∵BE＝3CE＝3， ∴CE＝1， ∴eq \f(1,3)＝eq \f(3,DE)， ∴DE＝9； ②∵DE＝9，CE＝1， ∴CD＝DE－CE＝9－1＝8， ∵CD＝eq \f(8,3)CG， ∴CG＝eq \f(3,8)CD＝3， ∴DG＝CD－CG＝8－3＝5，GE＝CG＋CE＝3＋1＝4， ∵∠GBE＝90°， ∴BG＝eq \r(GE2－BE2)＝eq \r(42－32)＝eq \r(7)， ∵∠BAC＝∠BDC，∠AGC＝∠DGB， ∴△AGC∽△DGB，∴eq \f(AG,DG)＝eq \f(CG,BG)，即eq \f(AG,5)＝eq \f(3,\r(7))， ∴AG＝eq \f(15\r(7),7)， ∴AB＝AG＋BG＝eq \f(15\r(7),7)＋eq \r(7)＝eq \f(22\r(7),7)， ∴⊙O的半径为eq \f(11\r(7),7). ②∵OF∶FC＝1∶2，OC＝3，则FC＝2OF， 在△OCF中，OF2＋(2OF)2＝32， 解得OF＝eq \f(3\r(5),5)，则CF＝eq \f(6\r(5),5). 由①，得OA⊥CE，则∠OCF＋∠COF＝90°， 又∵∠OCF＋∠ACF＝90°， ∴∠COF＝∠ACF， ∵∠CFO＝∠ACO＝90°， ∴△OCF∽△OAC， ∴eq \f(OC,OA)＝eq \f(OF,OC)＝eq \f(CF,AC)，即eq \f(3,OA)＝eq \f(\f(3\r(5),5),3)＝eq \f(\f(6\r(5),5),AC)， 解得AC＝6. ∵AB与圆O切于点E， ∴∠BEO＝90°，AC＝AE＝6， 又∵∠B＝∠B， ∴△BEO∽△BCA，∴eq \f(BE,BC)＝eq \f(OE,AC)＝eq \f(BO,AB)， 设BO＝x，BE＝y， 则eq \f(y,3＋x)＝eq \f(3,6)＝eq \f(x,y＋6)，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6y＝9＋3x，,6x＝3y＋18，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝4，))即BO＝5，BE＝4， ∴tanB＝eq \f(OE,BE)＝eq \f(3,4). A．d＝a＋b－c B．d＝eq \f(2ab,a＋b＋c) C．d＝eq \r(2（c－a）（c－b）) D．d＝|(a－b)(c－b)| eq \r(13) y＝eq \f(（x－6）2,2x) eq \f(5,4) (2)∵CD⊥OM，OM为半径， ∴CE＝DE＝eq \f(1,2)CD. ∵PM＝eq \f(5,4)CD， ∴eq \f(CD,PM)＝eq \f(4,5)， ∴eq \f(CE,PM)＝eq \f(DE,PM)＝eq \f(2,5). ∵∠OMP＝90°，∠OEC＝90°，∴CD∥PM，∴△OMP∽△OEC， ∴eq \f(CE,PM)＝eq \f(OC,OP)＝eq \f(OE,OM). ∵PC＝6，∴eq \f(2,5)＝eq \f(OC,OC＋6)， ∴OC＝4，∴OC＝OM＝4， ∴OE＝eq \f(8,5). ∵∠FMP＝∠FED，∠MFP＝∠EFD，∴△MFP∽△EFD， ∴eq \f(MF,EF)＝eq \f(MP,ED)， 设MF＝x，则EF＝4－x－eq \f(8,5)＝eq \f(12,5)－x， ∴eq \f(x,\f(12,5)－x)＝eq \f(5,2)，解得x＝eq \f(12,7)， ∴MF＝eq \f(12,7). eq \f(3,4) eq \o(AE,\s\up15(︵)) (2)∵∠C＝∠ADE＝90°，∠ADC＝∠AED， ∴∠CAD＝∠DAE， ∴tan∠CAD＝tan∠DAE＝eq \f(3,4). ∵tan∠DAE＝eq \f(DE,AD)， ∴eq \f(DE,AD)＝eq \f(3,4)， ∴AD＝eq \f(4,3)DE. ∵AD2＋DE2＝AE2，AE＝10，∴(eq \f(4,3)DE)2＋DE2＝102，∴DE＝6. ∵∠BDE＝∠CAD，∠CAD＝∠DAE，∴∠BDE＝∠DAE. ∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAD， ∴eq \f(BE,BD)＝eq \f(DE,AD)＝eq \f(3,4)， ∴BE＝eq \f(3,4)BD. ∵OD＝OE＝eq \f(1,2)AE＝5， ∴OB＝OE＋BE＝5＋eq \f(3,4)BD. ∵OD2＋BD2＝OB2， ∴52＋BD2＝(5＋eq \f(3,4)BD)2， 解得BD＝0(舍去)或BD＝eq \f(120,7)； (3)过点E作EG⊥DF于点G， 则∠DGE＝90°. 当四边形ADEF的面积最大时，△AEF的面积最大，点F到AE的距离最大，则点F是eq \o(AE,\s\up15(︵))的中点， ∴eq \o(AF,\s\up15(︵))＝eq \o(EF,\s\up15(︵))，∴AF＝EF. ∵∠AFE＝90°，∴∠AEF＝∠EAF＝eq \f(1,2)(180°－∠AFE)＝45°， ∴∠EDF＝∠EAF＝45°，∴∠DEG＝90°－∠EDF＝45°， ∴DG＝EG. ∵DG2＋EG2＝DE2，DE＝6， ∴DG＝EG＝3eq \r(2). ∵AE＝10， ∴EF＝eq \f(\r(2),2)AE＝5eq \r(2)， ∴FG＝eq \r(EF2－EG2)＝4eq \r(2)， ∴DF＝DG＋FG＝7eq \r(2). $第八章　圆 第32讲　圆的基本性质 【构建知识网络】 知识点1 圆的概念及性质 圆的 定义 形成 性定义 在平面内，线段OA绕它固定的端点O旋转一周，另一个端点A所描出的封闭曲线叫做圆 描述 性定义 圆还可以看成是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形 圆的有关概念 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦 直径 经过圆心的弦叫做直径 弧 圆上任意两点间的部分叫做弧 半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆为两条等弧，每一条弧都叫做半圆 优弧 大于半圆的弧叫做优弧 圆的有 关概念 劣弧 小于半圆的弧叫做劣弧 同心圆 圆心相同，但半径不相等的圆叫做同心圆 等圆 半径相等的两个圆叫做等圆．两个等圆能够重合 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角 圆周角 顶点在圆上并且两边在圆内的部分分别是圆的弦，这样的角叫做圆周角 圆的 对称性 与旋转 不变性 1.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线 2.圆是中心对称图形，对称中心为圆心 3.圆具有旋转不变性：绕圆心旋转任意一个角度都能与原来的图形重合 【满分技能】 1.直径是圆中最长的弦；2.直径是弦，但弦不一定是直径；3.半圆是弧，但弧不一定是半圆；4.一弧对一弦；5.一弦对两弧． 知识点2 圆心角、弧、弦之间的关系 定理 在同圆或等圆中，相等的 圆心角所对的弧相等，所 对的弦相等．如图，在⊙O 中，∵∠AOB＝∠COD， ∴ ，AB＝CD 推论 1.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余 各组量都分别相等，即“知一推二”. 如图，在⊙O中，∠AOB＝∠COD⇔ ⇔AB＝CD 2.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，如图， 在⊙O中， 的度数为75°⇔∠AOB＝75° 知识点3 垂径定理及其推论 定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧，如图， 在⊙O中，CD为直径，若AB⊥CD， 则 ，AE＝BE 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧，如图，在⊙O中，CD为直径，若 CD平分AB，则AB⊥DC， 【满分技能】 垂径定理及其推论实质上都是“知二推三”，即满足下列任意两个条件，能推出其余三个结论：1.过圆心；2.垂直于弦；3.平分弦(不是直径)；4.平分弦所对的优弧；5.平分弦所对的劣弧． 知识点4 圆周角定理及其推论 定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 如图，在⊙O中， ∠AOB＝∠C＝∠D＝∠E 推论 1.圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半 2.同弧或等弧所对的圆周角相等 3.直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径 【满分技能】 在圆中，一条弧所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有无数个．经常考查的有关圆周角、圆心角的几个基本图形： 知识点5 三角形的外接圆 定义 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆 外心 三角形外接圆的圆心叫外心，它是三角形三边垂直平分线的交点 外心 位置 锐角三角形的外心，在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部 性质 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等 【满分技能】 确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 知识点6 圆内接四边形 定义 如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆 性质 圆内接四边形的对角互补，如图所示，∠A＋∠BCD＝180°，∠B＋∠D＝180° 圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角，如图所示，∠DCE＝∠A 【满分技能】 圆的内接平行四边形是矩形，圆的内接梯形是等腰梯形. 考点1 垂径定理及其推论(5年6地9考) 1．[2024·通辽]如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1 m，CD＝2.5 m，则拱门所在圆的半径为( ) A．1.25 m B．1.3 m C．1.4 m D．1.45 m 2．[2024·赤峰]如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是( ) A．61° B．63° C．65° D．67° 3．[2024·呼和浩特改编]在半径为r的⊙O中，弦AB，CD互相 垂直于点P，当OP＝m时，则AB2＋CD2＝________． 8r2－4m2 4．[2024·包头]如图，AB是⊙O的直径，BC，BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一点(OE>BE)，连接OC，CE，且∠BOC＝2∠BCE. (2)证明：方法一：过点O作OF⊥BD于点F， ∴BF＝ BD， ∵BD＝2OE， ∴OE＝BF， 又∵OC＝OB，∠OEC＝∠BFO＝90°， ∴Rt△CEO≌Rt△OFB(HL)， ∴∠COE＝∠OBF， ∴BD∥OC； 2．[2023·呼和浩特]如图，△ABC内接于⊙O且∠ACB＝90°， 弦CD平分∠ACB，连接AD，BD.若AB＝5，AC＝4，则BD＝____， CD＝____． 解：(1)证明：方法一：如图1，连接BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ADC－∠BDC＝∠ADB，∠BDC＝∠BAC， ∴∠ADC－∠BAC＝90°； 方法二：如图2，连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠PBC＝∠BAC＋∠ACB， ∴∠PBC－∠BAC＝90°. ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠ADC＋∠ABC＝180°， ∵∠PBC＋∠ABC＝180°， ∴∠ADC＝∠PBC， ∴∠ADC－∠BAC＝90°； ∴PC2＝PA·PB， ∵⊙O的半径为3， ∴AB＝6， ∴PA＝PB＋6， ∵CP＝4， ∴42＝(PB＋6)·PB， 解得PB＝2或PB＝－8(舍去)， 则AP＝2＋6＝8. 考点3 三角形的外接圆(5年6地1考) 1．[2023·包头]如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥ AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD. 若DE＋DF＝6.5，△ABC的周长为21，则EF的长为( ) A．8 B．4 C．3.5 D．3 2．[赤峰中考]如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA ＝3，则△ABC外接圆的面积为( ) A．3π B．4π C．6π D．9π 考点4 圆的内接四边形(5年6地5考) 1．[2023·赤峰]如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°， 连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD.则∠CBD的度数是( ) A．25° B．30° C．35° D．40° 3．[2024·包头]如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在 四边形ABCD内部，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，连接 OA，OB.若∠AOB＝140°，∠BCP＝35°，则∠ADC的度数为_____. 105° 1．[2025·宜宾]如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D.若AB＝8，OC＝5，则OD的长是( ) 2．[2025·新疆]如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，∠ADC＝30°，则∠BOC＝( ) A．30° B．45° C．60° D．75° 3．[2025·平凉]如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC，连接BD，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为( ) A．20° B．35° C．55° D．70° 4．[2025·山西]如图，AB为⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于 AB异侧的两点，连接AD，CD.若 ，则∠D的度数为( ) A．30° B．45° C．60° D．75° 5．[2025·陕西]如图，AB为⊙O的直径， ，∠CDB＝24°， 则∠ACD的度数为_____． 66° 6．[2025·广安]如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∠BCD＝120°，⊙O的半径为6，则BD的长为______． 7．[2025·浙江]如图，矩形ABCD内接于⊙O，E是 上一点， 连接EB，EC分别交AD于点F，G.若AF＝1，EG＝FG＝3，则⊙O的 直径为______． 8．[2025·深圳]如图，以矩形ABCD的B点为圆心，BC的长为半 径作⊙B，交AB于点F，点E为AD上一点，连接CE，将线段CE绕 点E顺时针旋转至EG，点G落在⊙B上，且点F为EG中点．若AF＝ 1，AE＝3，则CD的长为__． 6 解析：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝∠ABC＝∠BCD＝90°. ∵∠G为 所对的圆周角， 所对的圆心角为∠ABC， ∴∠G＝ ∠ABC＝45°. ∵将线段CE绕点E顺时针旋转至EG， ∴CE＝GE， ∴∠ECG＝∠G＝45°， ∴∠GEC＝180°－∠G－∠ECG＝180°－45°－45°＝90°， ∴∠AEF＋∠DEC＝∠AEF＋∠AFE＝90°， 9．[2025·安徽]如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB＋2∠ABC＝180°. (1)求证：OC∥AD； (2)若AD＝2，BC＝2 ，求AB的长． 解：(1)证明：∵∠AOC＝2∠ABC，∠DAB＋2∠ABC＝180°， ∴∠DAB＋∠AOC＝180°， ∴OC∥AD； (2)连接BD，交OC于点E. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD. ∵OC∥AD，∴OC⊥BD， ∴点E为BD的中点． 又∵O是AB的中点， ∴OE是△ABD的中位线， ∴OE＝ AD＝1. 设半圆的半径为r，则CE＝r－1. 由勾股定理知， OB2－OE2＝BE2＝BC2－CE2， 即r2－1＝(2 )2－(r－1)2， 解得r1＝3，r2＝－2(舍去)， ∴AB＝2r＝6. 10．[2025·福建]如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F.G是AB上一点，GD交AC于点H，且AB＝AC，BG＝DG. (1)求证：∠ABC＝∠DBE＋∠E； (2)求证：AH2＝HF·HC； (3)若tan∠ABC＝ ，AD＝2DE，CD＝ ， 求△AGH的周长． 解：(1)证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. ∴∠ACB＝∠ADB， ∴∠ABC＝∠ADB. ∵∠ADB＝∠DBE＋∠E， ∴∠ABC＝∠DBE＋∠E； (2)证明：∵ ∴∠ABD＝∠ACD. ∵BG＝DG， ∴∠BDG＝∠ABD＝∠ACD. 又∵∠DHF＝∠CHD， ∴△HDF∽△HCD， ∴HD2＝HF·HC. 由(1)知，∠ABC＝∠DBE＋∠E. 又∵∠ABC＝∠DBE＋∠ABD，∴∠ABD＝∠E， ∴∠BDG＝∠E. ∵∠ADB＝∠ADG＋∠BDG＝∠DBC＋∠E，∴∠ADG＝∠DBC. ∴∠DAC＝∠DBC， ∴∠ADG＝∠DAC， ∴AH＝DH，∴AH2＝HF·HC； (3)由(2)知，AH＝DH， ∴△AGH的周长为AG＋GH＋AH＝AG＋GH＋DH＝AG＋DG＝AG＋BG＝AB. 设DE＝m，则AD＝2DE＝2m， AE＝AD＋DE＝3m. 由(2)可知， ∠ACD＝∠E. 过点C作CP⊥AE，垂足为P，则∠CPD＝∠CPE＝90°. ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ADC＋∠ABC＝180°. 又∵∠ADC＋∠CDP＝180°，∴∠CDP＝∠ABC， eq \o(AB,\s\up15(︵))＝eq \o(CD,\s\up15(︵)) eq \o(AB,\s\up15(︵))＝eq \o(CD,\s\up15(︵)) eq \o(AB,\s\up15(︵)) eq \o(AC,\s\up15(︵))＝eq \o(BC,\s\up15(︵))，eq \o(AD,\s\up15(︵))＝eq \o(BD,\s\up15(︵)) eq \o(AC,\s\up15(︵))＝eq \o(CB,\s\up15(︵))，eq \o(AD,\s\up15(︵))＝eq \o(BD,\s\up15(︵)) eq \f(1,2) (1)如图1，若BE＝1，CE＝eq \r(5)，求⊙O的半径； (2)如图2，若BD＝2OE，求证：BD∥OC.(请用两种证法解答) 解：(1)∵OC＝OB， ∴∠OBC＝∠OCB＝eq \f(1,2)(180°－∠BOC)， ∵∠BOC＝2∠BCE， ∴∠OBC＝eq \f(1,2)(180°－2∠BCE)＝90°－∠BCE， 即∠OBC＋∠BCE＝90°， ∴∠OEC＝90°， ∴OC2＝OE2＋CE2， ∴OC2＝(OC－1)2＋(eq \r(5))2， 解得OC＝3， 即⊙O的半径为3； eq \f(1,2) 方法二：连接AD， ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD＝eq \r(AB2－BD2)＝eq \r(（2OC）2－（2OE）2)＝2eq \r(OC2－OE2)＝2CE， ∴eq \f(OC,AB)＝eq \f(CE,AD)＝eq \f(OE,BD)＝eq \f(1,2)， ∴△CEO∽△ADB， ∴∠COE＝∠ABD， ∴BD∥OC. 考点2 圆周角定理及其推论(5年6地22考) 1．[2022·通辽]如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值 为( ) A.eq \f(2\r(13),13) 　 B.eq \f(3\r(13),13) 　 C.eq \f(2,3) D．eq \f(\r(5),3) eq \f(5\r(2),2) eq \f(7\r(2),2) 3．[2023·包头]如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是eq \o(AC,\s\up16(︵))上一点，P是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP. (1)求证：∠ADC－∠BAC＝90°；(请用两种证法解答) (2)若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半径为3，CP＝4，求AP的长． (2)由图2可得∠ADC＝∠PBC， ∵∠ACP＝∠ADC， ∴∠PBC＝∠ACP，即∠PBC＝∠PCA， ∵∠BPC＝∠CPA， ∴△PBC∽△PCA， ∴eq \f(PB,PC)＝eq \f(PC,PA)， 2．[2021·赤峰]如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，∠ADC＝ 120°，点E是eq \o(AD,\s\up16(︵))上任意一点，连接BE，CE，则∠BEC的度数为( ) A．20° B．30° C．40° D．60° A．3 B．2 C．6 D.eq \f(5,2) eq \o(AC,\s\up15(︵))＝eq \o(BC,\s\up15(︵)) eq \o(BC,\s\up15(︵))＝eq \o(BD,\s\up15(︵)) 6eq \r(3) 2eq \r(14) eq \o(AD,\s\up15(︵)) eq \o(FC,\s\up15(︵)) eq \o(FC,\s\up15(︵)) eq \f(1,2) ∴∠DEC＝∠AFE. 又∵∠D＝∠A＝90°， ∴△EAF∽△CDE，∴eq \f(EF,CE)＝eq \f(AE,CD). ∵点F为EG中点，∴eq \f(EF,EG)＝eq \f(EF,CE)＝eq \f(1,2). ∵AE＝3，∴eq \f(AE,CD)＝eq \f(1,2)＝eq \f(3,CD)， ∴CD＝6. eq \r(3) eq \f(1,2) eq \r(3) eq \r(5) eq \r(6) ∵eq \o(AB,\s\up15(︵))＝eq \o(AB,\s\up15(︵))， eq \o(AD,\s\up15(︵))＝eq \o(AD,\s\up15(︵))， ∴eq \f(HF,HD)＝eq \f(HD,HC)， ∵eq \o(CD,\s\up15(︵))＝eq \o(CD,\s\up15(︵))， 又∵∠CAD＝∠EAC， ∴△ACD∽△AEC， ∴eq \f(AC,AE)＝eq \f(AD,AC)＝eq \f(CD,EC)， ∴AC2＝AD·AE＝6m2， ∴AC＝eq \r(6)m. 又∵CD＝eq \r(6)， ∴eq \f(\r(6)m,3m)＝eq \f(\r(6),EC)， ∴EC＝3. ∴tan∠CDP＝tan∠ABC＝eq \r(5)， ∴在Rt△DCP中，eq \f(PC,PD)＝eq \r(5)， 即PC＝eq \r(5)PD.∴CD＝eq \r(PD2＋PC2)＝eq \r(6)PD， ∴eq \r(6)PD＝eq \r(6)， ∴PD＝1，PC＝eq \r(5)， ∴PE＝DE－DP＝m－1. 在Rt△CPE中，PE2＋PC2＝CE2， ∴(m－1)2＋(eq \r(5))2＝32， 解得m＝3或m＝－1(舍去)， ∴AB＝AC＝3eq \r(6)， ∴△AGH的周长为3eq \r(6). $第34讲　与圆有关的计算 【构建知识网络】 知识点1 弧长和扇形面积的计算 知识点2 正多边形和圆 1．与正多边形有关的概念 正多边形 各边相等，各角都相等的多边形是正多边形 正多边形 的中心 一个正n边形一共有n条对称轴，这n条对称轴相交于一点，这个点到正n边形各个顶点的距离都相等，到各边的距离也都相等，我们把这个点叫做正多边形的中心 正多边形 的外接圆 和半径 以正多边形的中心为圆心，以中心到一个顶点的距离为半径作圆，得这个正多边形的外接圆．正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径 正多边形 的内切圆 和边心距 以正多边形的中心为圆心，以中心到一条边的距离为半径作圆，得到这个正多边形的内切圆．正多边形的内切圆的半径叫做正多边形的边心距 中心角 正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角 2.正多边形中的常用公式 知识点3 圆锥的有关计算 底面圆 的周长 C＝2πr 设圆锥底面圆半径为r，圆锥的高为h，母线长为l 底面圆 的面积 S底＝πr2 圆锥的 侧面积 S圆锥侧＝πrl 圆锥的 表面积 S圆锥表＝πr2＋πrl 圆锥的 体积 V圆锥＝ πr2h 设圆锥底面圆半径为r，圆锥的高为h，母线长为l 母线长 侧面展开图 的圆心角 ∠α的度数＝ 28.7 4.[隐形圆][2022·通辽]如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直 径，若AB＝2 ，BC＝3，点P从B点出发，在△ABC内运动且始 终保持∠CBP＝∠BAP，当C，P两点距离最小时，动点P的运动路 径长为____． 解析：∵AC为⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∠ABP＋∠PBC＝90°. ∵∠PAB＝∠PBC， ∴∠PAB＋∠ABP＝90°， ∴∠APB＝90°. ∴点P在以AB为直径的圆上运动，且在△ABC的内部， 如图，记以AB为直径的圆的圆心为O1， 连接O1C交⊙O1于点P′，连接O1P，CP. ∵CP≥O1C－O1P， ∴当点O1，P，C三点共线时， 即点P在点P′处时， CP有最小值， 2．[2022·呼和浩特]如图，从一个边长是a的正五边形纸片上 剪出一个扇形，这个扇形的面积为_____(用含π的代数式表示)； 如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为___． 3．[2023·包头]如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD 相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的 延长线于点E，则图中阴影部分的面积为___. π 4．[2021·通辽]如图，AB是⊙O的弦，AB＝ ，点C是⊙O上 的一个动点，且∠ACB＝60°，若点M，N分别是AB，BC的中点， 则图中阴影部分面积的最大值是_________． 2．[2024·呼和浩特]如图是平行四边形纸片ABCD，BC＝36 cm， ∠A＝110°，∠BDC＝50°，点M为BC的中点，若以M为圆心，MC 为半径画弧交对角线BD于点N，则∠NMC＝___度；将扇形MCN纸片 剪下来围成一个无底盖的圆锥(接缝处忽略不计)，则这个圆锥的 底面圆半径为__cm. 40 2 3．[2023·呼和浩特]圆锥的高为 ，母线长为3，沿一条母 线将其侧面展开，展开图(扇形)的圆心角是____度，该圆锥的 侧面积是____(结果用含π的式子表示)． 120 3π 考点5 正多边形与圆(5年6地8考) 1．[2024·呼和浩特]如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为( ) A．26° B．27° C．28° D．30° 1．[2025·湖南]如图，北京市某处A位于北纬40°(即∠AOC＝40°)，东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°(即∠BOC＝15°)，东经116°；设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为( ) 2．[2025·绥化]在⊙O中，如果75°的圆心角所对的弧长是2.5π cm，那么⊙O的半径是( ) A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm 3．[2025·云南]若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为 90°，母线长为40 cm，则该圆锥的底面圆的半径为( ) A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm 4．[2023·十堰]如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，AB为底面圆的直径，SB＝6，AB＝4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为( ) 5．[2025·山西]如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E.若BC＝4，则图中阴影部分的面积为( ) A．2π－4 B．4π－4 C．8π－8 D．4π－8 6．[2025·达州]如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知 圆锥的底面半径为2，则扇形的弧长是____． 4π 7．[2025·成都]如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三 个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部 分的面积为_____． 8．[2025·青岛]如图，在扇形AOB中，∠AOB＝30°，OA＝2 ， 点C在OB上，且OC＝AC，延长CB到D，使CD＝CA，以CA，CD为邻 边作平行四边形ACDE，则图中阴影部分的面积为_______(结果 保留π)． 9．[2025·上海]已知一个圆与一个角的两边各有两个公共 点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的 两条边，那么这个角的大小是____________. 36°或108° eq \f(1,3) l＝eq \r(r2＋h2) eq \f(r,l)×360° 考点1 与弧长有关的计算(5年6地10考) 1．[2024·包头]如图，在扇形AOB中，∠AOB＝80°，半径OA＝3， C是eq \o(AB,\s\up16(︵))上一点，连接OC，D是OC上一点，且OD＝DC，连接BD.若 BD⊥OC，则eq \o(AC,\s\up16(︵))的长为( ) A.eq \f(π,6) B．eq \f(π,3) C．eq \f(π,2) D．π 2．[2023·通辽]如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交eq \o(AB,\s\up16(︵))于点D，点C是半径OB上一动点，若OA＝1，则阴影部分周长的最小值为( ) A.eq \r(2)＋eq \f(π,6) B．eq \r(2)＋eq \f(π,3) C．2eq \r(2)＋eq \f(π,6) D．2eq \r(2)＋eq \f(π,3) 3．[2024·呼伦贝尔]为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图，eq \o(AB,\s\up16(︵))与eq \o(CD,\s\up16(︵))是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是72°，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽AC的长是 米(π取3.14，计算结果精确到0.1)． eq \r(3) eq \f(\r(3),3)π ∵AB＝2eq \r(3)， ∴O1B＝eq \r(3)， 在Rt△BCO1中，tan∠BO1C＝eq \f(BC,O1B)＝eq \f(3,\r(3))＝eq \r(3)， ∴∠BO1C＝60°， ∴eq \o(BP′,\s\up16(︵))＝eq \f(60π×\r(3),180)＝eq \f(\r(3),3)π. ∴C，P两点距离最小时，点P的运动路径长为eq \f(\r(3),3)π. 考点2 与扇形面积有关的计算(5年6地8考) 1．[2021·呼伦贝尔]如图，两个半径长均为eq \r(2)的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD的圆心C是eq \o(AB,\s\up16(︵))的中点，且扇形CFD绕着点C旋转，半径AE，CF交于点G，半径BE，CD交于点H，则图中阴影面积等于( ) A.eq \f(π,2)－1 B．eq \f(π,2)－2 C．π－1 D．π－2 eq \f(3πa2,10) eq \f(3a,5) 考点3求阴影部分的面积(5年6地9考) 1．[2022·赤峰]如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝4，则图中阴影部分的面积为( ) A．2π B．2eq \r(2) C．2π－4 D．2π－2eq \r(2) 2．[2021·包头]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝eq \r(5)，BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为( ) A．8－π B．4－π C．2－eq \f(π,4) D．1－eq \f(π,4) 2eq \r(3) eq \f(4,3)π－eq \f(\r(3),4) 考点3 与圆锥有关的计算(5年6地10考) 1．[2023·赤峰]某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20π cm，母线AB长为30 cm，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带(彩带宽度忽略不计)，这条彩带的最短长度是( ) A．30 cm B．30eq \r(3) cm C．60 cm D．20π cm 2eq \r(2) 2．[2021·呼和浩特]如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面d及π的值都正确的是( ) A．d＝eq \f(8（\r(2)－1）,sin22.5°)，π≈8sin22.5° B．d＝eq \f(4（\r(2)－1）,sin22.5°)，π≈4sin22.5° C．d＝eq \f(4（\r(2)－1）,sin22.5°)，π≈8sin22.5° D．d＝eq \f(8（\r(2)－1）,sin22.5°)，π≈4sin22.5° A.eq \f(5,72)πR千米 B.eq \f(1,12)πR千米 C.eq \f(5,36)πR千米 D.eq \f(2,9)πR千米 A．5 B．3eq \r(3) C．3eq \r(2) D．6eq \r(3) eq \f(π,6) 3eq \r(3)－π eq \r(3) 10．[2025·宜宾]如图，扇形OPN为某运动场内的投掷区，eq \o(PN,\s\up15(︵))所在圆的圆心为O，A，B，N，O在同一直线上．直线AP与eq \o(PN,\s\up15(︵))所在⊙O相切于点P.此时测得∠PAO＝45°；从点A处沿AO方向前进8.0米到达B处．直线BQ与eq \o(PN,\s\up15(︵))所在⊙O相切于点Q，此时测得∠QBO＝60°.(参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73，π≈3.14) (1)求圆心角∠PON的度数； (2)求eq \o(PN,\s\up15(︵))的弧长．(结果精确到0.1米) 解：(1)∵直线AP与eq \o(PN,\s\up15(︵))所在⊙O相切于点P， ∴∠APO＝90°. ∵∠PAO＝45°， ∴∠PON＝90°－∠PAO＝45°； (2)∵直线BQ与eq \o(PN,\s\up15(︵))所在⊙O相切于点Q， ∴∠BQO＝90°. ∵∠QBO＝60°， ∴cos∠QBO＝cos60°＝eq \f(BQ,BO)＝eq \f(1,2)， 设BQ＝x，BO＝2x， ∴OQ＝OP＝eq \r(BO2－BQ2)＝eq \r(3)x. ∵AB＝8.0 m，∴AO＝AB＋BO＝(8.0＋2x)m. ∵在Rt△APO中，∠A＝45°， ∴sinA＝sin45°＝eq \f(PO,AO)＝eq \f(\r(2),2)， ∴eq \f(\r(3)x,8.0＋2x)＝eq \f(\r(2),2)，解得x＝(4eq \r(6)＋8)m， ∴OP＝eq \r(3)×(4eq \r(6)＋8)＝(12eq \r(2)＋8eq \r(3))m， ∴eq \o(PN,\s\up15(︵))的弧长为eq \f(45π×（12\r(2)＋8\r(3)）,180)≈24.1 m， 答：eq \o(PN,\s\up15(︵))的弧长为24.1 m. $