2026年中考数学一轮复习课件（内蒙古）第五章三角形

2026-01-04

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摘要：

该初中数学中考复习课件全面覆盖三角形与全等三角形核心考点，严格对接中考说明，分析5年6地考点分布，其中全等三角形性质与判定考查22次占比最高，内外角关系14次，三边关系和重要线段各2次，归纳选择、填空、证明等常考题型。课件亮点在于中考真题实战与技巧指导，如通过倍长中线法、截长补短法解析内蒙古中考全等三角形证明题，培养学生推理意识与几何直观。全国中考训练题强化应用，助力学生掌握答题技巧，教师可依考点权重制定高效复习计划，提升冲刺效果。

内容正文：

第24讲　相似三角形【构建知识网络】知识点1 比例 1．两线段的比 2.比例的性质 3.平行线分线段成比例 4.黄金分割知识点2 相似三角形性质相似三角形对应角相等，对应边成比例相似三角形的对应线段(高线、中线、角平分线)的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方判定两角分别相等的两三角形相似两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似三边对应成比例的两三角形相似【满分技能】判定思路 (1)有平行截线→用平行线的性质找等角． (2)有一对等角→找另一对等角或该角的两边对应成比例． (3)有两边对应成比例→找夹角相等或第三边对应成比例． (4)直角三角形→找一对锐角相等或两条直角边对应成比例． (5)等腰三角形→找顶角相等或一对底角相等或底和腰对应成比例．知识点3 相似多边形性质对应角相等，对应边成比例对应边的比、周长的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方判定各对应角相等，各对应边成比例的多边形叫相似多边形知识点4 图形的位似定义如果两个相似多边形每组对应顶点的连线都经过同一个点，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，这个点叫做位似中心性质位似图形对应角相等位似图形对应边平行(或共线)且成比例位似图形对应点的连线或延长线相交于同一点位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；位似图形面积比等于相似比的平方位似变换与坐标在直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0，1)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k| 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k 【注意】 1.位似中心有时在两个对应点之间，有时在两个对应点连线的延长线上． 2．位似是在相似的基础上要求对应点的连线交于一点，因此位似是相似的特殊情况．知识点5 相似的应用常考类型利用光的反射定律求物体的高度利用影子计算建筑物的高度，同一时刻，物高与影长成比例构造相似三角形计算不能直接测量的物体的高度(宽度) 考点3 相似三角形的性质与判定(5年6地22考) 1．[2022·包头]如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，则△ABE与△CDE的周长比为( ) A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1 2．[2024·赤峰]数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC上的一个动点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED交BA延长线于点F. 解：(1)证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE⊥BC， ∴∠BEF＝∠CED＝90°， ∴∠F＝90°－∠B，∠CDE＝90°－∠C，且∠CDE＝∠ADF， ∴∠F＝∠ADF， ∴AD＝AF； ∵PF⊥AC， ∴∠ACF＋∠CFP＝90°， ∵FE⊥BC， ∴∠B＋∠AFD＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠B， ∴∠B＝∠ACF， ∴∠AFD＝∠CFP， 3.[半角模型][2023·赤峰]数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图1，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM，CN始终与正方形的边AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得△CMN. 【探究一】如图2，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上．求证：∠CNM ＝∠CNH；【探究二】在图2中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F.求证：△CEF∽△CNM；解：【探究一】证明：∵把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上， ∴CM＝CH，∠MCH＝90°， ∴∠NCH＝∠MCH－∠MCN＝90°－45°＝45°， ∴∠MCN＝∠HCN，【探究二】证明：如图2所示， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBA＝45°，又∵∠MCN＝45°， ∴∠FBN＝∠FCE＝45°， ∵∠EFC＝∠BFN， ∴∠CEF＝∠FNB，又∵∠CNM＝∠CNH， ∴∠CEF＝∠CNM，又∵公共角∠ECF＝∠NCM， ∴△CEF∽△CNM；【探究三】∵AC，BD是正方形的对角线， ∴∠CDE＝∠CDM＋∠EDM＝135°， ∠CAN＝180°－∠BAC＝135°， ∴∠CDE＝∠CAN，如图3所示，将△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BGC，则点G在直线AB上． ∴MC＝GC，∠MCG＝90°， ∴∠NCG＝∠NCM＝45°，又∵CN＝CN， ∴△NCG≌△NCM(SAS)， ∴∠MNC＝∠GNC，考点4 图形的位似(5年6地2考) 1．[2025·内蒙古]如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O(0，0)，A(2，1)，B(1，2)，以原点O为位似中心，在第三象限画△OA′B′与△OAB位似，若△OA′B′与△OAB的相似比为2∶1，则点A的对应点A′的坐标为( ) A．(－2，－1) B．(－4，－2) C．(－1，－2) D．(－2，－4) 2．[呼和浩特中考]图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是( ) A．点P B．点O C．点M D．点N 考点5 相似三角形的应用(5年6地2考) 1．[2022·赤峰]如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O处，然后观测者沿着水平直线BO后退到点D，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A，此时测得观测者观看镜子的俯角α＝60°，观测者眼睛与地面距离CD＝1.7 m，BD＝11 m，则旗杆AB的高度约为___m．(结果取整数，≈1.7) 17 2．[2022·鄂尔多斯]杆及升旗台的剖面如图所示，MN，CD为水平线，旗杆AB⊥CD于点B.某一时刻，旗杆AB的一部分影子BD 落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD＝1.2 m， DE＝1.4 m．同一时刻，测得竖直立在坡面DN上的 1 m高的标杆影长为0.25 m(标杆影子在坡面DN上)，此时光线AE与水平线的夹角为80.5°，求旗杆AB的高度．(参考数据：sin80.5°≈0.98，cos80.5° ≈0.17，tan80.5°≈6) 1．[2025·长春]将直角三角形纸片ABC(∠C＝90°)按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是( ) 2．[2025·河北]如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是( ) A．∠B＋∠4＝180° B．CD∥AB C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3 3．[2025·眉山]如图，在4×3的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，则△OAB与△OCD的周长之比是( ) A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶4 4.[跨学科创新·物理][2025·内江]阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA＝150 cm，阻力臂OB＝50 cm，BD＝20 cm，则AC的长度是( ) A．80 cm B．60 cm C．50 cm D．40 cm 5．[2025·浙江]如图，五边形ABCDE，A′B′C′D′E′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A′的坐标分别为(2，0)，(3，0)．若DE的长为3，则D′E′的长为( ) 6．[2025·陕西]如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为( ) A．10 B．8 C．5 D．4 7．[2025·宜宾]如图，一张锐角三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝2DB，沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，则的值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 8．[2025·成都]若＝3，则的值为__． 4 9．[2025·安徽]如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点(网格线的交点)．已知点A和A1的坐标分别为(－1，－3)和(2，6)． (1)在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将△ABC放大得到 △A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1. 解：(1)如图所示，点D即为边AB的中点， ∵A(－1，－3)，B(－3，1)， ∴点D的坐标为(－2，－1)； (2)如图所示，△A1B1C1即为所求作的三角形． 10．[2025·河南]焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．活动主题测量纪念碑的高度实物图和测量示意图　测量说明如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上测量数据 DE＝2.1 m，DF＝2.1 m，DM＝1 m，MN＝1.2 m 备注点F，M，D，C在同一水平线上根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD＝CA，请说明理由； (2)求纪念碑AB的高度； (3)小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5 m．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64 m．请判断小红的结果和(2)中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因(写出一条即可)．解：(1)∵太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处， ∵标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，即DE＝DF， ∴CD＝CA； (2)如图，令BN与DE的交点为H，则四边形BCDH和MNHD是矩形， ∵DE＝2.1 m，DF＝2.1 m，DM＝1 m，MN＝1.2 m， ∴CD＝BH，BC＝DH＝MN＝1.2 m，NH＝DM＝1 m， ∴EH＝DE－DH＝0.9 m. 设AB＝x m，则AC＝AB＋BC＝(1.2＋x)m， ∴BH＝CD＝(1.2＋x)m， ∴NB＝BH＋NH＝(2.2＋x)m. (3)纪念碑的实际高度为19.64 m，小红求出纪念碑AB的高度约为18.5 m，(2)中纪念碑AB的高度为19.8 m，则小红的结果误差较大，理由是：纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，点C的位置无法正确定位，使得CD的长存在误差，影响计算结果．两线段的比在同一长度单位下，两线段的长度的比叫两线段的比成比例线段四条线段a，b，c，d中，如果eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，那么这四条线段a，b，c，d叫成比例线段，简称比例线段比例尺比例尺＝eq \f(图上距离,实际距离)(单位相同) 基本性质 eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)⇔ad＝bc(a，b，c，d都不为零) 反比性质 eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)⇔eq \f(b,a)＝eq \f(d,c)(a，b，c，d都不为零) 更比性质 eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)⇔eq \f(a,c)＝eq \f(b,d)或eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)⇔eq \f(c,a)＝eq \f(d,b)(a，b，c，d都不为零) 合分比性质 eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)⇔eq \f(a±b,b)＝eq \f(c±d,d)(bd≠0) 等比性质 eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)＝…＝eq \f(m,n)＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇒eq \f(a＋c＋…＋m,b＋d＋…＋n)＝eq \f(a,b)＝k 基本事实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例推论平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例黄金分割如图所示，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果eq \f(AC,AB)＝eq \f(BC,AC)，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金分割比，其中eq \f(AC,AB)＝eq \f(CB,AC)＝eq \f(\r(5)－1,2)≈0.618，AC＝eq \f(\r(5)－1,2)AB 考点1比例线段和平行线分线段成比例(5年6地7考) 1．如图，点D为△ABC边AB上任一点，DE∥BC交AC于点E，连接BE，CD相交于点F，则下列等式中不成立的是( ) A.eq \f(AD,DB)＝eq \f(AE,EC) B.eq \f(DE,BC)＝eq \f(DF,FC) C.eq \f(DE,BC)＝eq \f(AE,EC) D.eq \f(EF,BF)＝eq \f(AE,AC) 2．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1， DF＝5，那么eq \f(BC,CE)的值等于． eq \f(3,5) 考点2黄金分割(5年6地0考) [呼和浩特中考]某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现著名的黄金分割比eq \f(\r(5)－1,2)≈0.618.如图，圆内接正五边形ABCDE，圆心为O，OA与 BE交于点H，AC，AD与BE分别交于点M，N.根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．(其他可同理得出) (1)求证：△ABM是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出△BAN的形状； (2)求证：eq \f(BM,BN)＝eq \f(BN,BE)，且其比值k＝eq \f(\r(5)－1,2)； (3)由对称性知AO⊥BE，由(1)(2)可知eq \f(MN,BM)也是一个黄金分割数，据此求sin18°的值．解：(1)证明：连接圆心O与正五边形各顶点，如图，在正五边形中，∠AOE＝360°÷5＝72°， ∴∠ABE＝eq \f(1,2)∠AOE＝36°，同理∠BAC＝eq \f(1,2)×72°＝36°， ∴AM＝BM， ∴△ABM是等腰三角形且底角等于36°. ∵∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝72°＋72°＝144°， ∴∠BAD＝eq \f(1,2)∠BOD＝72°， ∴∠BNA＝180°－∠BAD－∠ABE＝72°， ∴AB＝NB，即△ABN为等腰三角形； (2)证明：∵∠ABM＝∠ABE，∠AEB＝eq \f(1,2)∠AOB＝36°＝∠BAM， ∴△BAM∽△BEA， ∴eq \f(BM,AB)＝eq \f(AB,BE)，又∵AB＝BN， ∴eq \f(BM,BN)＝eq \f(BN,BE).设BM＝y，AB＝x，则AM＝AN＝y，AB＝AE＝BN＝x， ∵∠AMN＝∠MAB＋∠MBA＝72°＝∠BAN，∠ANM＝∠ANB， ∴△AMN∽△BAN，∴eq \f(AM,AB)＝eq \f(MN,AN)，即eq \f(y,x)＝eq \f(x－y,y)，则y2＝x2－xy，两边同时除以x2，得(eq \f(y,x))2＝1－eq \f(y,x)，设eq \f(y,x)＝t，则t2＋t－1＝0，解得t＝eq \f(\r(5)－1,2)或eq \f(－1－\r(5),2)(舍去)， ∴eq \f(BM,BN)＝eq \f(BN,BE)＝eq \f(y,x)＝eq \f(\r(5)－1,2)； (3)∵∠MAN＝36°，根据对称性得∠MAH＝∠NAH＝eq \f(1,2)∠MAN＝18°， ∵AO⊥BE，∴sin 18°＝sin∠MAH＝eq \f(MH,AM)＝eq \f(\f(1,2)MN,AM)＝eq \f(\f(1,2)（x－y）,y)＝eq \f(x－y,2y) ＝eq \f(1,2)×eq \f(x,y)－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,\r(5)－1)－eq \f(1,2)＝eq \f(\r(5)－1,4). 请你解决下面各组提出的问题： (1)求证：AD＝AF； (2)探究eq \f(DF,DE)与eq \f(AD,DC)的关系：某小组探究发现，当eq \f(AD,DC)＝eq \f(1,3)时，eq \f(DF,DE)＝eq \f(2,3)；当eq \f(AD,DC)＝eq \f(4,5)时，eq \f(DF,DE)＝eq \f(8,5). 请你继续探究： ①当eq \f(AD,DC)＝eq \f(7,6)时，直接写出eq \f(DF,DE)的值； ②当eq \f(AD,DC)＝eq \f(m,n)时，猜想eq \f(DF,DE)的值(用含m，n的式子表示)，并证明； (3)拓展应用：在图1中，过点F作FP⊥AC，垂足为点P，连接CF，得到图2，当点D运动到使∠ACF＝∠ACB时，若eq \f(AD,DC)＝eq \f(m,n)，直接写出eq \f(AP,AD)的值(用含m，n的式子表示)． (2)①eq \f(DF,DE)＝eq \f(14,6)＝eq \f(7,3)； ②当eq \f(AD,DC)＝eq \f(m,n)时，猜想eq \f(DF,DE)＝eq \f(2m,n). 证明：作AG⊥EF于点G，如图1， ∵DE⊥BC， ∴AG∥CE， ∴△AGD∽△CED， ∵eq \f(AD,DC)＝eq \f(m,n)， ∴eq \f(GD,DE)＝eq \f(AD,DC)＝eq \f(m,n). 由(1)知AD＝AF，又∵AG⊥EF， ∴DG＝FG，即DF＝2DG， ∴eq \f(DF,DE)＝eq \f(2GD,DE)＝eq \f(2m,n)； (3)eq \f(AP,AD)＝eq \f(n,2m)，理由如下：过点D作DH⊥CF，如图2， ∵∠ACF＝∠ACB，DE⊥CE， ∴DH＝DE. 由(2)得当eq \f(AD,DC)＝eq \f(m,n)时，eq \f(DF,DE)＝eq \f(2m,n)， ∴eq \f(DE,DF)＝eq \f(n,2m)， ∴eq \f(DH,DF)＝eq \f(n,2m). ∴∠AFD－∠PFD＝∠CFP－∠PFD， ∴∠AFP＝∠DFH， ∴sin∠AFP＝sin∠DFH， ∴eq \f(AP,AF)＝eq \f(DH,DF)＝eq \f(n,2m)，由(1)知AD＝AF， ∴eq \f(AP,AD)＝eq \f(AP,AF)＝eq \f(n,2m). 【探究三】把三角尺旋转到如图3所示位置，直线BD与三角尺45°角两边CM，CN分别交于点E，F.连接AC交BD于点O，求eq \f(EF,NM)的值．在△CNM与△CNH中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CM＝CH，,∠MCN＝∠HCN，,CN＝CN，)) ∴△CNM≌△CNH(SAS)， ∴∠CNM＝∠CNH； ∵∠MCN＝∠DCA＝45°， ∴∠MCN－∠DCN＝∠DCA－∠DCN，即∠ECD＝∠NCA， ∴△ECD∽△NCA， ∴∠CED＝∠CNA，eq \f(EC,NC)＝eq \f(CD,AC)＝eq \f(1,\r(2)). ∵∠CNA＝∠CEF， ∴∠CNM＝∠CEF，又∵∠ECF＝∠NCM， ∴△ECF∽∠NCM， ∴eq \f(EF,NM)＝eq \f(EC,NC)＝eq \f(CD,AC)＝eq \f(1,\r(2))，即eq \f(EF,NM)＝eq \f(\r(2),2). 解：如图，设MG为竖直立在坡面DN上的1 m高的标杆，ME为标杆影子，长为0.25 m，作DF⊥CD交AE于点F，作FH⊥AB于点H， ∵DF∥MG， ∴eq \f(MG,DF)＝eq \f(ME,DE)，∴eq \f(1,DF)＝eq \f(0.25,1.4)， ∴DF＝5.6， ∴BH＝DF＝5.6. 在Rt△AHF中，∠AFH＝80.5°， tan∠AFH＝eq \f(AH,HF)， ∴tan80.5°＝eq \f(AH,1.2)≈6， ∴AH≈7.2， ∴旗杆AB的高度为5.6＋7.2＝12.8(m)．所以，旗杆AB的高度为12.8 m. A．MN∥DE∥PQ B．BC＝2DE＝4MN C．AN＝BQ＝eq \f(1,2)NQ D.eq \f(MN,DE)＝eq \f(DE,PQ)＝eq \f(PQ,BC) A.eq \f(7,2) B．4 C.eq \f(9,2) D．5 eq \f(AE,EC) eq \f(a,b) eq \f(a＋b,b) ∴eq \f(AC,CD)＝eq \f(DE,DF). ∵EH∥AB，∴△NEH∽△NAB， ∴eq \f(EH,AB)＝eq \f(NH,NB)，∴eq \f(0.9,x)＝eq \f(1,2.2＋x)，解得x＝19.8，答：纪念碑AB的高度为19.8 m； $微专题6 全等三角形的四大常考模型模型1 “手拉手”模型 1.[2025·成都模拟]如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，其中点B，C，E在同一直线上，BE＝6，BC＝4，连接BD，则BD的长为( ) A．2 B．4 C．6 D．8 2．[2025·徐州二模]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB ＝2AC，点E在边BC上，连接AE.将线段AE绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AF，连接BF，EF，△ABD是等边三角形，若AB ＝4，则线段BF的最小值是( ) 3．[2025·商洛三模]如图，正方形ABCD的边长为2，E为正方形ABCD内与点D不重合的动点，以DE为边向下作正方形DEFG，则DE＋CG＋CF的最小值为______． 4．[2025·无锡二模]【问题原型】在数学活动课上，老师给出如下问题：如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以BC为斜边作直角三角形BCD，点D，A在边BC同侧，BD与AC交于点O，连接AD，过A作AE⊥BD于点E.求证：BE＝CD＋DE(请根据下面的要求完成证明)．【解决问题】 (1)如图2，有思维敏捷的同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在BD上截取BF＝CD，连接AF，将线段BE，CD，DE之间的数量关系转化为线段DE与EF之间的数量关系．请根据上述解题思路写出证明BE＝CD＋DE的完整过程；【实践应用】 (2)∠ADC的大小为_____度； (3)若O是AC的中点，且CD＝3，求四边形ABCD的面积．解：(1)证明：在BD上截取BF＝CD， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∠BDC＝90°， ∠AOB＝∠DOC， ∴∠ABF＝∠ACD. 在△ACD与△ABF中， ∴△ACD≌△ABF(SAS)， ∴AF＝AD. ∵AE⊥BD，∴EF＝DE. ∵BE＝BF＋EF，∴BE＝CD＋DE； (2)135； (3)在△AOE和△COD中， ∴△AOE≌△COD(AAS)，∴AE＝CD. ∵△BAF≌△CAD， ∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD. ∵∠BAF＋∠FAO＝90°， ∴∠CAD＋∠FAO＝90°， ∴∠FAD＝90°， ∴∠AFD＝∠ADF＝45°， ∴EF＝DE＝AE， ∴ED＝EF＝AE＝BF＝CD＝3， ∴S四边形ABCD＝ BD·(AE＋CD)＝ ×9×6＝27. 模型2 “一线三等角”模型 5.[2025·喀什模拟]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝ BC＝5.正方形DEFG的边长为，它的顶点D，E，G分别在△ABC 的边上，则BG的长为( ) A．3 B．3 C．5 D．5 6．[2025·南阳二模]如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(2，0)，以点O为圆心，OA的长为半径作圆，C是⊙O上一动点，连接BC，以点B为旋转中心，将BC顺时针旋转90°得BD，连接CD. 若点C从点A出发，按照逆时针方向以每秒个单位长度运动，则第33秒时，点D的坐标是( ) A．(2，4) B．(3，2) C．(1，2) D．(2，1) 7．[2025·常州一模]如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是BC中点，点E在AC上且CE＝2AE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接AF，则AF的长为( ) 8．如图，△ABC为等边三角形，其边长为3，BD＝CF＝1， ∠EDF＝60°，则BE＝__． 2 9．如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为___． 98 10．(1)如图1，已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过点C，AD⊥直线l，BE⊥直线l，垂足分别为点D，E.求证：△ADC≌△CEB； (2)如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AC＝BC，D，C，E三点都在直线l上，并且有∠ADC＝∠ACB＝∠CEB＝α，其中α为任意锐角或钝角，则△ADC与△CEB是否全等？若仍全等，请你给出证明；若不全等，请说明理由； (3)拓展与应用：如图3，D，E是D，C，E三点所在直线l上的两动点(D，C，E三点互不重合)，点F为∠ACB平分线上的一点，且△ACF和△BCF均为等边三角形，连接AD，BE，若∠ADC＝∠ACB＝∠CEB，试猜想DF与EF的关系，并说明理由．解：(1)证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∠DAC＋∠ACD＝90°. 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＋∠ECB＝90°， ∴∠DAC＝∠ECB. 在△ADC和△CEB中， ∴△ADC≌△CEB(AAS)； (2)△ADC和△CEB全等，理由如下： ∵∠ADC＋∠DAC＋∠ACD＝180°， ∠ACD＋∠ACB＋∠ECB＝180°，且∠ADC＝∠ACB， ∴∠DAC＝∠ECB. 在△ADC和△CEB中， ∴△ADC≌△CEB(AAS)； (3)DF＝EF，DF与EF所成夹角为60°，理由如下： ∵∠ADC＋∠DAC＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠ACB＋∠ECB＝180°，且∠ADC＝∠ACB， ∴∠DAC＝∠ECB. ∵△ACF和△BCF均为等边三角形， ∴AC＝BC. 在△ADC和△CEB中， ∴△ADC≌△CEB(AAS)， ∴∠ACD＝∠CBE，CD＝BE. 又∵在等边△ACF和等边△BCF中，CF＝BF，∠ACF＝∠CBF＝∠CFB＝60°， ∴∠ACF＋∠ACD＝∠CBF＋∠CBE， ∴∠DCF＝∠EBF. 在△DCF和△EBF中， ∴△DCF≌△EBF(SAS)， ∴DF＝EF，∠DFC＝∠EFB， ∴∠DFC＋∠EFC＝∠EFB＋∠EFC， ∴∠DFE＝∠CFB＝60°，综上所述，DF＝EF，DF与EF的夹角为60°. 11．[2025·定西三模]【模型建立】 (1)如图1，点E是正方形ABCD边BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE交AE于点F，交CD于点G.用等式写出线段BG，AE的数量关系，并说明理由；【模型应用】 (2)如图2，点E是正方形ABCD边BC上一点，连接AE，过点E作EG⊥AE交CD于点G，交AB的延长线于点M，用等式写出线段CG，BM，BE的数量关系，并说明理由；【模型迁移】 (3)如图3，当点E在CB的延长线上时，连接AE，过点E作EG⊥AE交DC的延长线于点G，交AB的延长线于点M，用等式直接写出线段CG，BM，BE的数量关系．解：(1)BG＝AE.理由如下： ∵BG⊥AE，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＋∠ABF＝90°. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC， ∴∠ABF＋∠GBC＝90°， ∴∠BAF＝∠CBG. 在△ABE和△BCG中， ∴△ABE≌△BCG(ASA)， ∴BG＝AE； (2)BE＝CG＋BM.理由如下：如图1，在DG上取一点H，使HG＝BM，连接BH. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD， ∴HG平行且等于BM， ∴四边形BMGH为平行四边形， ∴BH∥MG. ∵EG⊥AE， ∴AE⊥BH. 由(1)知△ABE≌△BCH， ∴BE＝CH＝CG＋HG＝CG＋BM； (3)BE＝CG－BM.理由如下：如图2，在CG上取一点N，使NG＝BM，连接NB，又∵BM∥NG，∴四边形BMGN为平行四边形， ∴BN平行且等于MG. ∵∠BAE＋∠AEB＝90°，∠AEB＋∠MEB＝90°. ∴∠BAE＝∠MEB. ∵BN∥EG， ∴∠CBN＝∠MEB， ∴∠BAE＝∠CBN. 在△ABE和△BCN中， ∴△ABE≌△BCN(ASA)， ∴BE＝CN， ∴BE＝CG－NG＝CG－BM. 模型3 对角互补模型条件 BD平分∠ABC，∠ABC＋∠ADC＝180° 辅助线作法1 过点D分别作BA，BC的垂线结论 ①△DEA≌△DFC；②AD＝CD 辅助线作法2 将BD绕点D逆时针旋转与∠ADC相同的度数得到线段DE (1)当∠ABC＝90°，将BD绕点D逆时针旋转90°得到线段DE (2)当∠ABC＝120°，将BD绕点D逆时针旋转60°得到线段DE 结论 ①△BDE为等腰直角三角形 ②△DAB≌△DCE ③AB＋BC＝ BD ①△BDE为等边三角形 ②△DAB≌△DCE ③AB＋BC＝BD 12.[2025·哈尔滨模拟]如图，已知四边形ABCD，连接对角线AC， BD，过点D作DE⊥BC于点E，∠BAD＋∠BCD＝180°，AD＝CD，则下列结论：①BD平分∠ABC ②∠ABC＝2∠ACD　③若BC＝10， AB＝6，则EC＝2　④若tan∠ABC＝，则tan∠DAC＝ .其中正确的是_______(填序号)． ①②③ 13．[2025·咸阳模拟]如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC 上一点，连接BE，EF⊥BE交CD边于点F，若DF＝4，BE＝2 ，则正方形ABCD的边长为__． 6 14．[2024·郑州三模]【问题背景】如图1，在四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝180°或∠B＋∠D＝180°，我们把这种四边形称为“对补四边形”．某学习小组根据研究矩形、菱形、正方形的经验，又进行了如下探究．【初步认识】该学习小组先对“对补四边形”的角进行探究． (1)如图1，四边形ABCD是“对补四边形”，若∠A∶∠B∶∠C＝ 4∶3∶2，则∠D＝______；【观察猜想】 (2)该学习小组在探究“对补四边形”的边和对角线时，发现“对补四边形”的边和对角线都有着特殊的性质，并提出了下列两个猜想．猜想1：如图2，四边形ABCD是“对补四边形”，若对角线AC平分∠DAB， CD和CB的数量关系是：______；猜想2：如图3，四边形ABCD是“对补四边形”，若AB＝AD，连接CA，则CA平分∠______．请补全猜想1和猜想2，并从猜想1或猜想2中任选一个给出证明；【解决问题】 (3)某乡村准备开发一个红色旅游景区，如图4，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝120°，∠D＝60°，AB＋BC＝10，且2≤BC≤5，求旅游景区的最大面积．解：(1)90°； (2)猜想1：CD＝CB；猜想2：DCB；选择猜想1：证明：如图2，过点C分别作CE⊥AD于E， CF⊥AB于F， ∵对角线AC平分∠DAB， CE⊥AD，CF⊥AB， ∴CE＝CF，∠CED＝∠CFB＝90°. ∵四边形ABCD是“对补四边形”， ∴∠D＋∠ABC＝180°. ∵∠ABC＋∠CBF＝180°， ∴∠D＝∠CBF. 在△CDE和△CBF中， ∴△CDE≌△CBF(AAS)， ∴CD＝CB；选择猜想2：证明：如图3，过点A作AE⊥BC，垂足为E，作AF⊥CD，垂足为F， ∵∠B＋∠ADC＝180°， ∠ADC＋∠ADF＝180°， ∴∠B＝∠ADF. 又∵AB＝AD，∠AEB＝∠AFD＝90°， ∴△ABE≌△ADF(AAS)， ∴AF＝AE，BE＝DF. ∵AE⊥BC，AF⊥CF，AE＝AF， ∴AC平分∠DCB； (3)如图4，连接AC，将△ABC绕点A旋转，使AB与AD重合，得△ADM，过点A作AN⊥CD于点N，设BC＝x，且2≤x≤5，则AB＝AD＝10－x，DM＝x，∠ADM＝∠B＝120°，AM＝AC. ∵∠ADC＝60°， ∴∠ADM＋∠ADC＝120°＋60°＝180°， ∴C，D，M三点共线． ∵AM＝AC，AN⊥CM， ∴CN＝MN. 模型4 半角模型类型等腰直角三角形中含半角正方形中含半角含60°半角图已知如图，在Rt△BAC 中，AB＝AC， ∠BAC＝90°， ∠DAE＝45° 如图，在正方形ABCD中， ∠EAF＝45° 如图，在四边形ABDC中，∠BDC＝120°，∠EDF＝60°， ∠A＝60°， DB＝DC 辅助线结论 ①△AED≌△AEF ②△CEF为直角三角形 ③BD2＋CE2＝DE2 ①△AEF≌△AEG ②△AGF为等腰直角三角形③EF＝BE＋DF ①△DEF≌△DGF ②EF＝BE＋CF 15.[2025·聊城二模]如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°，若∠FAD＝α，则∠AFE的度数为( ) A．2α B．45°－α C．90°－α D．90°－2α 16．[2025·乌鲁木齐模拟]如图1，在正方形 ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的动点，且 ∠ECF＝45°.设B，E两点之间的距离为x， △CEF的面积为y，y与x的函数关系图象如图2所示．已知点M的横坐标为2，则点M的纵坐标为( ) 17．[2025·徐州三模]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°， AB＝AC，点D，E是边BC上的两点，且∠DAE＝45°，BD＝2， CE＝1，则DE＝_____． 18．[2025·东营]【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD，BC上，且∠MAN＝45°，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，连接MN.用等式写出线段DM，BN，MN的数量关系为_____； (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形ABCD的边CD，BC的延长线上，∠MAN＝45°，连接MN，用等式写出线段MN，DM，BN的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＋∠D＝180°，点N，M分别在边BC，CD上，∠MAN＝60°，用等式写出线段BN，DM，MN的数量关系，并说明理由．解：(1)MN＝DM＋BN.理由如下：由旋转的性质，可知AE＝AM，BE＝DM，∠EAM＝90°，∠ABE＝∠D＝90°， ∴∠ABE＋∠ABC＝90°＋90°＝180°， ∴E，B，C三线共线． ∵∠MAN＝45°， ∴∠EAN＝∠EAM－∠MAN＝45°＝∠MAN. 在△EAN和△MAN中， ∴△EAN≌△MAN(SAS)， ∴EN＝MN. ∵EN＝BE＋BN， ∴MN＝DM＋BN； (2)MN＝BN－DM.理由如下：如图2，在BC上取BE＝MD，连接AE. ∵AB＝AD，∠B＝∠ADM＝90°， ∴△ABE≌△ADM(SAS)， ∴AE＝AM，∠BAE＝∠DAM. ∵∠DAM＋∠DAN＝45°， ∴∠BAE＋∠DAN＝45°， ∴∠EAN＝45°＝∠MAN. 在△EAN和△MAN中， ∴△EAN≌△MAN(SAS)， ∴EN＝MN. ∵EN＝BN－BE， ∴MN＝BN－DM； (3)MN＝DM＋BN.理由如下：如图3，将△ABN绕点A逆时针旋转120°得△ADE， ∴∠B＝∠ADE， AN＝AE，BN＝DE. ∵∠B＋∠ADC＝180°， ∴∠ADE＋∠ADC＝180°， ∴E，D，C三点共线．由(1)同理可得△EAM≌△NAM(SAS)， ∴MN＝DM＋DE＝DM＋BN. A.eq \f(4\r(15)－2\r(5),5) B．4－2eq \r(5) C．2eq \r(5)－1 D.eq \f(4－\r(5),5) 2eq \r(2) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝AB，,∠ACD＝∠ABF，,CD＝BF，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEO＝∠CDO，,∠AOE＝∠COD，,AO＝CO，)) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \r(5) eq \r(2) eq \r(2) eq \f(π,2) A．5 B.eq \f(16,3) C.eq \f(17,3) D．6 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADC＝∠CEB，,∠DAC＝∠ECB，,AC＝CB，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADC＝∠CEB，,∠DAC＝∠ECB，,AC＝CB，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADC＝∠CEB，,∠DAC＝∠ECB，,AC＝CB，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DC＝EB，,∠DCF＝∠EBF，,CF＝BF，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAE＝∠CBG，,AB＝BC，,∠ABE＝∠BCG＝90°，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAE＝∠CBN，,AB＝BC，,∠ABE＝∠BCN，)) eq \r(2) eq \f(4,3) eq \f(1,3) eq \r(5) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CDE＝∠CBF，,∠CED＝∠CFB，,CE＝CF，)) 在Rt△ADN中，∠ADN＝60°， ∴DN＝AD·cos∠ADN＝eq \f(1,2)AD＝5－eq \f(1,2)x， AN＝AD·sin∠ADN＝eq \f(\r(3),2)(10－x)， ∴CN＝MN＝DN＋DM＝5－eq \f(1,2)x＋x＝5＋eq \f(1,2)x，CM＝2CN＝10＋x， ∴S△ACM＝eq \f(1,2)CM·AN＝eq \f(1,2)×(10＋x)×eq \f(\r(3),2)(10－x)＝－eq \f(\r(3),4)x2＋25eq \r(3). ∵2≤x≤5， ∴当x＝2时，S△ACM有最大值，最大值为24eq \r(3)， ∴旅游景区的最大面积是24eq \r(3). A．12eq \r(2) B．15 C．9eq \r(2) D．5 eq \r(5) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AM，,∠EAN＝∠MAN，,AN＝AN，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AM，,∠EAN＝∠MAN，,AN＝AN，)) $微专题8 相似三角形的五大常考模型模型1 “A”字模型 1.[2025·岳阳二模]如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，D为AC的中点，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，则DE的长为( ) 2．[2025·青海]如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝3， DB＝2，则的值是____． 3．[2025·龙东]如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－ x＋3交x轴于点A，交y轴于点B.四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，A3A4B4C4，…都是正方形，顶点A1，A2，A3，A4，…都在x轴上，顶点B1，B2，B3，B4， …都在直线y＝－ x＋3上，连接BA1，B1A2，B2A3，B3A4，…，分别交 C1B1，C2B2，C3B3，C4B4，…于点D1，D2，D3，D4，…，设△BB1D1， △B1B2D2，△B2B3D3，△B3B4D4，…的面积分别为S1，S2，S3，S4，…，则S2 025＝________．模型2 “母子”模型 4．[2025·上海三模]如图，在矩形ABCD中， E，F分别为CD，AB上的点，且ED＝2BF，连接 CF，EF，DF，其中∠CFE＝∠CDF，CF＝2，则DF＝( ) 5．[2025·云南]如图，D是△ABC的边BC上一点，添加一个条件，使△CAD∽△CBA.你添加的条件是：____________________ ___________________________． ∠CAD＝∠B或∠ADC＝ ∠BAC或 (任选一个) 6．[2025·运城二模]如图，为某数学综合实践活动小组利用太阳光下的影子测物体高度的示意图．上午9点测得树的影长 BC为24.5米，下午14点测得该树的影长AB为2米．若两次测量太阳光线形成的夹角刚好为90°，则这棵树的高度约是__米． 7 7．[2025·重庆二模]如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D为 BC边上一点，且满足∠ADC＝∠CAB，若AC＝4，AD＝3，则BD 的长度为____． 8．[2025·扬州一模]如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D，E 分别是AB，AC上的点，将△ABC沿着DE折叠，使点A落在BC边的中点(记为A′)处．若AB＝8，BC＝12，则AD的长为____． 4.5 模型3 “8”字模型 9.[2025·嘉兴二模]如图，线段AD，BC交于点E，连接AB，CD. 若∠A＝∠C，AE＝2，BE＝3，DE＝5，则CE的长为( ) 10．[2025·梅州一模]如图，E，F是▱ABCD的边AD上的两点，连接CE，BF交于点O，△EOF的面积为1，△BOC的面积为9，四边形ABOE的面积为5，则图中阴影部分的面积为( ) 11．[2025·广州三模]如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛AB 在暗盒中所成的像CD的长是1 cm，则像CD到小孔O的距离为__cm. 3 12．[2024·宁夏]如图，在▱ABCD中，点M，N在AD边上，AM＝DN，连接CM并延长，交BA的延长线于点E，连接BN并延长交CD的延长线于点F.求证：AE＝DF.小丽的思考过程如下：参考小丽的思考过程，完成推理．证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，∴△AEM∽△DCM，同理得△FDN∽△BAN，又∵AM＝DN， ∴AM＋MN＝DN＋MN，即AN＝DM，又∵AB＝CD，∴AE＝DF. 13．[2025·信阳二模]【阅读与思考】小刚学习了圆这章知识后，在某本课外书上看到还有一个相交弦定理(圆内的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段长的积相等)，下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．已知：如图1，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P. 求证：AP·BP＝CP·DP. 证明：如图1，连接AC，BD， ∵∠C＝∠B，∠A＝∠D， ∴①___________， ∴ ＝②___________， ∴AP·BP＝CP·DP， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等．【任务】 (1)请将上述证明过程补充完整； (2)小刚又看到一道课后习题：如图2，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，PB＝6 cm，PA＝4 cm，OP＝5 cm，求⊙O的半径．解：(1)△ACP∽△DBP，； (2)延长OP交⊙O于点D，延长PO交⊙O于点F，设⊙O的半径为x cm，则PD＝(x－5)cm，PF＝(x＋5)cm，由(1)得 PD·PF＝PB·PA， ∴(x－5)(x＋5)＝6×4，解得x＝7， ∴⊙O的半径为7 cm. 模型4 “一线三等角”模型 14.[2025·自贡]如图，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EFG，点E，F在坐标轴上．若∠A＝90°，tanB＝， A(－4，3)，则点G坐标为( ) A．(11，－4) B．(10，－3) C．(12，－3) D．(9，－4) 15．[2023·东营]如图，在等边三角形△ABC中，点D，E分别是边AC，BC上的点．将△ABC沿DE翻折，点C正好落在线段AB上的点F处，使得AF∶BF＝1∶2.若BE＝2，则CE的长度为( ) 16.[新定义][2025·常州二模]定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形是“全相似四边形”．如图，△ABC和△ADC关于直线AC对称，下列条件能使四边形ABCD成为“全相似四边形”的是( ) A．∠BAD＝90° B．∠ABC＝90° C．∠BCD＝60° D．∠CDA＝60° 17．[2025·铁岭模拟]如图，以矩形ABCO的顶点O为原点建立平面坐标直角系，BC的中点D落在y轴上，反比例函数y＝ (x>0) 的图象经过点A和点B，若点C的坐标为(－1，m)，则k的值是 _____．模型5 旋转型(手拉手模型) 18.[2025·滁州三模](1)如图1，正方形AEGH的顶点E，H在正方形ABCD的边上，则HD∶GC∶EB＝__________； (2)把图1中的正方形都换成矩形，并以点A为旋转中心顺时针旋转，如图2，且AD∶AB＝AH∶AE＝m∶n，此时HD∶GC∶EB＝ _____________． 19．[2025·湖北模拟]如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝8，AB＝4，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α. (1)问题发现：当α＝0°时，＝_______；当α＝180°时，＝_______； (2)拓展探究：试判断，当0°≤α<360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； (3)问题解决：当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长． 20．[2024·东营]在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3. (1)问题发现如图1，将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系是________，AD与BE的位置关系是_________； (2)类比探究将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系、位置关系与(1)中结论是否一致？若AD交CE于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用如图3，将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE，当点D落到AB边上时，连接BE，求线段BE的长．解：(1)延长DA交BE于点H，如图1， ∵将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE， ∴CD＝AC＝1，CE＝BC＝3， ∠ACD＝∠ACB＝90°， ∴BE＝3AD. ∵CD＝AC，CE＝BC，∠ACD＝∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠DAC＝ ×90°＝45°， ∠CBE＝∠CEB＝ ×90°＝45°， ∴∠BHD＝180°－∠ADC－∠CBE＝180°－45°－45°＝90°， ∴AD⊥BE. 故答案为：BE＝3AD，AD⊥BE； (2)线段AD与BE的数量关系、位置关系与(1)中结论一致；理由如下：延长DA交BE于点H，如图2， ∵将△CAB绕点C旋转得到△CDE， ∴CD＝AC＝1，CE＝BC＝3，∠ACD＝∠BCE， ∠DCE＝∠ACB＝90°， ∴BE＝3AD. 又∵∠ENH＝∠CND，∠HEN＋∠ENH＋∠EHN＝180°，∠CND＋∠CDN＋∠DCN＝180°， ∴∠EHN＝∠DCN＝90°， ∴AD⊥BE； (3)过点C作CM⊥AB于点M，如图3，由旋转得AC＝CD， ∴AM＝MD＝ AD. ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3，由勾股定理得 A.eq \f(6,5) B.eq \f(4,3) C．2 D．2eq \r(3) eq \f(3,5) eq \f(AE,AC) eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4049 eq \f(1,2) eq \f(1,2) A．2eq \r(2) B．3 C.eq \f(5,2) D.eq \r(2)＋1 eq \f(CA,CB)＝eq \f(CD,CA) eq \f(7,3) A.eq \f(6,5) B.eq \f(5,2) C.eq \f(10,3) D.eq \f(15,2) A．8 B.eq \f(25,3) C.eq \f(26,3) D．9 ∴eq \f(AE,DC)＝eq \f(AM,DM). ∴eq \f(DF,AB)＝eq \f(DN,AN). ∴eq \f(AE,DC)＝eq \f(DF,AB). eq \f(AP,DP) eq \f(CP,BP) A.eq \f(14,5) B.eq \f(12,5) C.eq \f(16,5) D.eq \f(18,5) eq \f(k,x) 2eq \r(2) 1∶eq \r(2)∶1 m∶eq \r(m2＋n2)∶n eq \f(AE,BD) eq \f(AE,BD) eq \f(AE,BD) 解：(1)eq \f(\r(5),2)；eq \f(\r(5),2)； (2)当0°≤α<360°时，eq \f(AE,BD)的大小没有变化，eq \f(AE,BD)＝eq \f(\r(5),2)，证明如下：如图2，由旋转的性质可得∠ECD＝∠ACB， ∴∠ECD＋∠ACD＝∠ACB＋∠ACD，∴∠ECA＝∠DCB. ∵eq \f(EC,AC)＝eq \f(CD,BC)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(CE,CD)＝eq \f(AC,BC)，∴△ECA∽△DCB， ∴eq \f(AE,BD)＝eq \f(EC,DC)＝eq \f(2\r(5),4)＝eq \f(\r(5),2)； (3)①如图3，连接BD， ∵AC＝4eq \r(5)，CD＝eq \f(1,2)BC＝4，CD⊥AD，∴AD＝eq \r(AC2－CD2)＝8. ∵点D，E分别是边BC，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线， ∴DE＝eq \f(1,2)AB＝2， ∴在图3中，AE＝AD＋DE＝10，由(2)得eq \f(AE,DB)＝eq \f(\r(5),2)，∴BD＝eq \f(2\r(5),5)AE＝4eq \r(5)； ②如图4，连接BD，同理得AE＝AD－DE＝6， ∴BD＝eq \f(2\r(5),5)AE＝eq \f(12\r(5),5)；综上所述，BD的长为eq \f(12\r(5),5)或4eq \r(5). 由勾股定理得AD＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)， BE＝eq \r(32＋32)＝3eq \r(2)， eq \f(1,2) eq \f(1,2) ∴eq \f(AC,BC)＝eq \f(CD,CE)＝eq \f(1,3)，∴△ACD∽△BCE， ∴eq \f(AD,BE)＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(1,3)，∠ADC＝∠BEC， eq \f(1,2) AB＝eq \r(12＋32)＝eq \r(10). ∵∠AMC＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A， ∴△ACM∽△ABC， ∴eq \f(AM,AC)＝eq \f(AC,AB)，即eq \f(AM,1)＝eq \f(1,\r(10))，解得AM＝eq \f(\r(10),10)， ∴AD＝2AM＝eq \f(\r(10),5)， ∴BE＝3AD＝eq \f(3\r(10),5). $第23讲　等腰三角形与直角三角形【构建知识网络】知识点1 等腰三角形性质边 1.等腰三角形的两腰相等 2.三线合一：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合角等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角对称性等腰三角形是轴对称图形，一般有一条对称轴判定定义：有两边相等的三角形是等腰三角形定理：有两角相等的三角形是等腰三角形(简写成 “等角对等边”) 面积 S＝ ah(其中a为底边，h为底边上的高) 知识点2 等边三角形性质边等边三角形的三边相等，每边上三线合一角等边三角形的三个角都相等且每个角都等于60° 对称性等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴判定 1.三条边都相等的三角形是等边三角形 2.三个角都相等的三角形是等边三角形 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形面积知识点3 直角三角形性质 1.两锐角之和等于90° 2.斜边上的中线等于斜边的一半 3.30°角所对的直角边等于斜边的一半；三边比为 1∶ ∶2 4.勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则有a2＋b2＝c2 判定 1.有一个角为90°的三角形是直角三角形 2.勾股定理逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 3.有两个角互余的三角形是直角三角形面积 S＝ ab＝ ch(a，b分别为两条直角边的长，c为斜边的长，h为斜边c上的高) 知识点4 等腰直角三角形性质 1.具有直角三角形的所有性质 2.两直角边相等；三边之比为1∶1∶ 3.两锐角相等且都等于45° 判定 1.顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形 2.有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形 3.有一个角为45°的直角三角形是等腰直角三角形 4.两直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形面积知识点5 线段的垂直平分线、角的平分线的性质与判定线段的垂直平分线性质定理线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等判定定理与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一个点与三个顶点的距离相等，这个点叫做三角形的外心角的平分线性质定理角的平分线上的点到角两边的距离相等判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形三条边的距离相等，这个点叫做三角形的内心考点1 等腰三角形的性质和判定(5年6地22考) 1．[2023·包头]如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB.若∠1＝32°，则∠2的度数为( ) A．32° B．58° C．74° D．75° 2．[2024·呼和浩特]如图，正方形ABCD的面积为50，以AB为腰作等腰△ABF，AB＝AF，AE平分∠DAF交DC于点G，交BF的延长线于点E，连接DE.若BF＝2，则DG＝_____． 3．[2022·包头]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC ＝3，D为AB边上一点，且BD＝BC，连接CD，以点D为圆心，DC 的长为半径作弧，交BC于点E(异于点C)，连接DE，则BE的长为_______．考点2 等腰三角形的分类讨论(5年6地2考) 1．[通辽中考]腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为____________．解析：①如图1，当AB＝AC＝5，AD＝4，则BD＝CD＝3， ∴底边长为6； 2．[呼和浩特中考]等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为___________． 63°或27° 考点3 等边三角形的性质与判定(5年6地18考) 1．[2023·通辽]如图，等边三角形ABC的边长为6 cm，动点P从点A出发以2 cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交边AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧，当点D落在BC边上时，点P需移动__s. 1 2．[2021·包头]如图，已知△ABC是等边三角形，P是△ABC内部的一点，连接BP，CP. 解：(1)如图1，连接BD， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝60°. ∵∠BCD＝∠BAP，CD＝AP， ∴△ABP≌△CBD， ∴BP＝BD，∠ABP＝∠CBD. ∵∠ABP＋∠PBC＝60°， ∴∠CBD＋∠PBC＝60°， ∴∠CBD＋∠PBC＝60°， ∴∠DBP＝60°， ∴△DBP是等边三角形， ∴∠BPD＝60°. ∵BC为半圆O的直径， ∴∠BPC＝90°， ∴∠CPD＝30°； (3)如图3，延长MP交AB于点H，连接AP，过点P作PN⊥AC，垂足为N， ∵AB＝6a，AM＝2MC， ∴AM＝4a. ∵∠CMP＝150°， ∴∠AMH＝30°. ∵∠BAC＝60°， ∴∠AHM＝90°. 考点4 直角三角形的性质与判定(5年6地22考) 1．[2024·呼伦贝尔]如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝ 30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点 M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D.若△ACD的面积为8，则△ABD的面积是( ) A．8 B．16 C．12 D．24 3．[赤峰中考]如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5 考点6 垂直平分线的性质与判定(5年6地8考) 1．[呼伦贝尔中考]如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是( ) A．25° B．20° C．30° D．15° 2．[2022·鄂尔多斯]如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE 交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是__． 6 3．[2022·通辽]如图，依据尺规作图的痕迹，求∠α的度数___°. 60 1．[2025·扬州]在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是( ) A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．BD＝CD D．AD平分∠BAC 2．[2025·陕西]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°， CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．[2025·北京]如图，∠MON＝100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B.若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为( ) A．80° B．100° C．110° D．120° 5．[2025·连云港]如图，在△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，则△AEG的周长为( ) A．5 B．6 C．7 D．8 7．[2025·广西]如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2， BD＝CD＝，则AD＝_______. 8．[2025·苏州]如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝ 60°，D是线段BC上一点(不与端点B，C重合)，连接AD，以AD 为边，在AD的右侧作等边三角形ADE，线段DE与线段AC交于点 F，则线段CF长度的最大值为____．解析：如图所示，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△AHC中，∠C＝60°，∠AHC＝90°，AC＝3， ∴AH＝AC·sinC＝ . ∵△ADE是等边三角形， ∴∠ADE＝60°＝∠C. 又∵∠DAC＝∠FAD， ∴△DAC∽△FAD， 9．[2025·齐齐哈尔]等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交AB于点D，交直线AC于点E，连接BE，若AE＝5，tan∠AED＝，则△BEC的面积为 ________．解析：当∠BAC为锐角时，如图1，根据题意，得∠ADE＝90°， ∴设AD＝3x，则DE＝4x. ∵AE＝5，∴AD2＋DE2＝AE2，即(3x)2＋(4x)2＝52，解得x＝1， ∴AD＝3，DE＝4. 由折叠得AB＝2AD＝6，∴AC＝6， 10．[2025·长沙]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交CA于点M，交CB于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点D. (1)求∠BCD的度数； (2)若BC＝2.5，求AD的长．解：(1)∵AB＝AC，∠B＝72°， ∴∠ACB＝∠B＝72°. 由作图可知，CD是∠ACB的角平分线， ∴∠BCD＝∠ACD＝ ∠ACB＝36°； (2)在△BCD中，由三角形内角和定理得∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝72°， ∴∠BDC＝∠B，∴CD＝CB. 在△ACD中，∵∠BDC＝∠A＋∠ACD， ∠ACD＝36°， ∴∠A＝∠BDC－∠ACD＝72°－36°＝36°， ∴∠A＝∠ACD，∴AD＝CD， ∴AD＝BC.∵BC＝2.5，∴AD＝2.5. 11．[2025·福建]如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的．已知EF过点A，BE交CD于点G. (1)求∠DCE的大小； (2)求证：△CEG是等边三角形．解：(1)∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°. ∵D是AB的中点， ∴∠DCB＝∠DCA＝ ∠ACB＝30°. ∵CE⊥BC，∴∠BCE＝90°， ∴∠DCE＝∠BCE－∠DCB＝60°； (2)证明：由平移可知，CD∥EF， ∴∠EAC＝∠DCA＝30°. 又∵∠ECA＝∠BCE－∠ACB＝30°， ∴∠EAC＝∠ECA，∴AE＝CE，∠AEC＝120°. 又∵AB＝CB，∴BE垂直平分AC， ∴∠GEC＝ ∠AEC＝60°. 由(1)知，∠GCE＝60°，∴∠EGC＝60°， ∴∠GEC＝∠GCE＝∠EGC， ∴△CEG是等边三角形． eq \f(1,2) S＝eq \f(1,2)ah＝eq \f(\r(3),4)a2，h＝eq \f(\r(3),2)a(其中a为边长，h为高) eq \r(3) eq \f(1,2) eq \f(1,2) S＝eq \f(1,2)a2＝eq \f(1,2)ch＝eq \f(1,4)c2＝eq \f(\r(2),2)ah(a为直角边的长，h为斜边c上的高) eq \r(2) eq \f(15\r(2),4) 解析：如图，过点A作AH⊥BE于点H，连接DF，交AE于点O， ∵正方形ABCD的面积为50， ∴AB＝AD＝eq \r(50)＝5eq \r(2)，∠ADC＝∠BAD＝90°. ∵AB＝AF，BF＝2，∴AD＝AF， AH平分∠BAF，BH＝FH＝eq \f(1,2)BF＝1， ∴AH＝eq \r(AB2－BH2)＝7. ∵AH平分∠BAF，AE平分∠DAF， ∴∠HAF＝eq \f(1,2)∠BAF，∠EAF＝eq \f(1,2)∠DAF， ∴∠EAH＝∠HAF＋∠EAF＝eq \f(1,2)(∠BAF＋∠DAF)＝eq \f(1,2)×90°＝45°， ∴Rt△AEH是等腰直角三角形，∠AEH＝45°， ∴EH＝AH＝7，∴EF＝EH－FH＝6. 又∵AD＝AF，AE平分∠DAF， ∴AE垂直平分DF， ∴DE＝EF＝6，OD＝eq \f(1,2)DF， ∴∠AED＝∠AEH＝45°， ∠DEF＝∠AED＋∠AEH＝90°， ∴DF＝eq \r(DE2＋EF2)＝6eq \r(2)， ∴OD＝3eq \r(2)，在Rt△AOD中，OA＝eq \r(AD2－OD2)＝4eq \r(2). 设OG＝x(x>0)，则AG＝OA＋OG＝4eq \r(2)＋x，在Rt△ADG和Rt△DOG中，AG2－AD2＝DG2＝OD2＋OG2，即(4eq \r(2)＋x)2－(5eq \r(2))2＝(3eq \r(2))2＋x2，解得x＝eq \f(9\r(2),4)，即OG＝eq \f(9\r(2),4)，则DG＝eq \r(OD2＋OG2)＝eq \r(（3\r(2)）2＋（\f(9\r(2),4)）2)＝eq \f(15\r(2),4). 3eq \r(2)－3 6或2eq \r(5)或4eq \r(5) ②如图2，当AB＝AC＝5，CD＝4时，则AD＝3， ∴BD＝2， ∴BC＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5)， ∴此时底边长为2eq \r(5)； ③如图3，当AB＝AC＝5，CD＝4时，则AD＝eq \r(AC2－CD2)＝3， ∴BD＝8， ∴BC＝4eq \r(5)， ∴此时底边长为4eq \r(5). (1)如图1，以BC为直径的半圆O交AB于点Q，交AC于点R，当点P在eq \o(QR,\s\up16(︵))上时，连接AP，在BC边的下方作∠BCD＝∠BAP，CD＝AP，连接DP，求∠CPD的度数； (2)如图2，E是BC边上一点，且EC＝3BE，当BP＝CP时，连接EP并延长，交AC于点F.若eq \r(7)AB＝4BP，求证：4EF＝3AB； (3)如图3，M是AC边上一点，当AM＝2MC时，连接MP.若∠CMP＝ 150°，AB＝6a，MP＝eq \r(3)a，△ABC的面积为S1，△BCP的面积为S2，求S1－S2的值．(用含a的代数式表示) (2)如图2，连接AP并延长交BC于点G， ∵AB＝AC，BP＝CP， ∴AG⊥BC，BG＝CG. 设BE＝x，则EC＝3x， ∴AB＝BC＝4x. ∴BG＝CG＝2x，∴EG＝x. ∵eq \r(7)AB＝4BP，∴BP＝eq \r(7)x. ∵AG⊥BC，∴∠BGP＝90°. 在Rt△BGP中，由勾股定理，得GP2＝BP2－BG2， ∴GP＝eq \r(（\r(7)x）2－（2x）2)＝eq \r(3)x. 在Rt△EGP中，tan∠GEP＝eq \f(GP,EG)＝eq \r(3)， ∴∠GEP＝60°，∴∠GEP＝∠ABC. ∵∠ECF＝∠BCA，∴△CEF∽△CBA， ∴eq \f(EF,BA)＝eq \f(EC,BC)＝eq \f(3x,4x)，∴4EF＝3AB. 在Rt△AMH中，∠AMH＝30°，AM＝4a， ∴AH＝2a， ∴MH＝eq \r(AM2－AH2)＝2eq \r(3)a. ∵MP＝eq \r(3)a， ∴HP＝eq \r(3)a. ∴S△ABP＝eq \f(1,2)·AB·HP＝eq \f(1,2)×6a·eq \r(3)a＝3eq \r(3)a2. 在Rt△MNP中，∠NMP＝30°，MP＝eq \r(3)a， ∴NP＝eq \f(\r(3),2)a， ∴S△ACP＝eq \f(1,2)·AC·NP＝eq \f(1,2)×6a·eq \f(\r(3),2)a＝eq \f(3\r(3)a2,2). ∴S1－S2＝S△ABP＋S△ACP＝eq \f(9\r(3)a2,2). eq \f(1,2) 2．[2023·呼和浩特] 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB ＝ BC，AC＝4eq \r(2)，点P为AC边上的中点，PM交AB的延长线于点M，PN交BC的延长线于点N，且PM⊥PN.若BM＝1，则△PMN的面积为( ) A．13 B．eq \r(13) C．8 D.eq \f(13,2) 解析：如图，连接BP. 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°， ∵AB＝BC，点P为AC边上的中点， ∴BP⊥AC，∠CBP＝∠ABP＝eq \f(1,2)∠ABC＝45°， ∠BCA＝45°，BP＝CP＝eq \f(1,2)AC＝2eq \r(2). ∴∠MBP＝∠NCP＝180°－45°＝135°. ∵BP⊥AC，PM⊥PN， ∴∠BPM＋∠MPC＝90°，∠CPN＋∠MPC＝90°， ∴∠BPM＝∠CPN. 又∵BP＝CP，∠MBP＝∠NCP， ∴△BMP≌△CNP(ASA)， ∴BM＝CN＝1，MP＝NP. 在Rt△BPC中，BC＝eq \r(BP2＋CP2)＝4. ∴在Rt△MBN中，MN＝eq \r(BM2＋BN2)＝eq \r(12＋52)＝eq \r(26). 又∵在Rt△MPN中，MP＝NP， ∴MP2＋NP2＝MN2， ∴MP＝NP＝eq \r(13)， ∴S△PMN＝eq \f(1,2)MP·NP＝eq \f(13,2). 考点5 角平分线的性质与判定(5年6地8考) 1．[2022·鄂尔多斯]如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C.若EC＝2，则OD的长为( ) A．2 B．2eq \r(3) C．4 D．4＋2eq \r(3) 2．[包头中考]如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于eq \f(1,2)DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是( ) A．1 B．eq \f(3,2) C．2 D．eq \f(5,2) 3．[包头中考]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC＝3，AB＝5，则CE的长为( ) A.eq \f(3,2) B．eq \f(4,3) C．eq \f(5,3) D．eq \f(8,5) 3．[2025·安徽]如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE＝eq \r(3)，则AC的长是( ) A．4eq \r(3) B．6 C．2eq \r(3) D．3 6．[2025·连云港]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝ 30°，AD平分∠CAB，BE⊥AD，E为垂足，则eq \f(AD,BE)的值为( ) A．2eq \r(3) B.eq \f(7\r(3),3) C.eq \f(5\r(3),2) D.eq \f(8\r(3),3) 解析：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°， ∴AB＝2BC，AC＝eq \r(3)BC，设BC＝x，则AB＝2x，AC＝eq \r(3)x. ∵AD平分∠CAB，∠ACB＝90°， ∴点D到AC，AB的距离相等，均为CD的长，∠CAD＝∠BAD， ∴eq \f(S△ACD,S△ABD)＝eq \f(\f(1,2)AC·CD,\f(1,2)AB·CD)＝eq \f(CD,BD)，∴eq \f(CD,BD)＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(\r(3),2)， ∴CD＝eq \f(\r(3),2＋\r(3))BC＝(2eq \r(3)－3)x， ∴AD＝eq \r(AC2＋CD2)＝(3eq \r(2)－eq \r(6))x， ∵BE⊥AD，∠CAD＝∠BAD，∴sin∠CAD＝sin∠BAD， ∴eq \f(CD,AD)＝eq \f(BE,AB)，即eq \f(BE,2x)＝eq \f(2\r(3)－3,3\r(2)－\r(6))，∴BE＝eq \f(\r(6)－\r(2),2)x， ∴eq \f(AD,BE)＝eq \f(（3\r(2)－\r(6)）x,\f(\r(6)－\r(2),2)x)＝2eq \r(3). eq \r(2) eq \r(3)－1 eq \f(3,4) eq \f(3\r(3),2) ∴eq \f(AF,AD)＝eq \f(AD,AC)，∴AF＝eq \f(AD2,AC)＝eq \f(AD2,3). ∵CF＝AC－AF，∴当AF有最小值时，CF有最大值， ∴当AD有最小值时，AF有最小值， ∴当AD⊥BC时，AD有最小值，即AF有最小值，此时点D与点H重合， ∴AD的最小值为eq \f(3\r(3),2)，∴AF的最小值为eq \f(\b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)))2,3)＝eq \f(9,4)， ∴CF的最大值为3－eq \f(9,4)＝eq \f(3,4). eq \f(3,4) eq \f(12,5)或eq \f(132,5) ∵tan∠AED＝eq \f(3,4)＝eq \f(AD,DE)， ∴S△ABE＝eq \f(1,2)AB·DE＝eq \f(1,2)×6×4＝12. 过点C作CF⊥AB于点F，则CF∥DE， ∴△ADE∽△AFC，∴eq \f(AE,AC)＝eq \f(DE,FC)，即eq \f(5,6)＝eq \f(4,FC)，∴CF＝eq \f(24,5)， ∴S△ABC＝eq \f(1,2)AB·CF＝eq \f(1,2)×6×eq \f(24,5)＝eq \f(72,5)， ∴S△BEC＝S△ABC－S△ABE＝eq \f(72,5)－12＝eq \f(12,5)；当∠BAC为钝角时，如图2，过点B作BG⊥CE于点G，则∠ABG＝∠AED， ∴tan∠ABG＝tan∠AED，同(1)可得AE＝5，AB＝AC＝6， ∴CE＝AC＋AE＝11，同理可得BG＝eq \f(24,5)，∴S△BEC＝eq \f(1,2)CE·BG＝eq \f(1,2)×eq \f(24,5)×11＝eq \f(132,5)；综上所述，△BEC的面积为eq \f(12,5)或eq \f(132,5). eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) $微专题5 角平分线常见图形及辅助线作法模型1 角平分线＋平行线⇒等腰三角形已知：OC是∠AOB的平分线， AC∥OB. 结论：AC＝OA. 1．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BO与∠ACB的平分线CO相交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N，若AB＝24，AC＝36，则△AMN的周长是( ) A．60 B．66 C．72 D．78 2．[2024·江西]追本溯源：题(1)来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题(2)． (1)如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由；方法应用： (2)如图2，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交BC于点G. ①图中一定是等腰三角形的有(　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 ②已知AB＝3，BC＝5，求CF的长．解：(1)△BDE是等腰三角形．理由如下： ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD. ∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠CBD， ∴∠BDE＝∠ABD，∴EB＝ED， ∴△BDE是等腰三角形； (2)①∵在▱ABCD中， ∴AE∥BC，AB∥CD，同(1)∠ABE＝∠CBE＝∠AEB， ∴AB＝AE. ∵AF⊥BE，∴∠BAF＝∠EAF. ∵AE∥BC，AB∥CD， ∴∠BGA＝∠EAF，∠BAF＝∠F. ∵∠BGA＝∠CGF， ∴∠BGA＝∠BAG，∠DAF＝∠F＝∠CGF， ∴AB＝BG，DA＝DF，CG＝CF，即△ABE，△ABG，△ADF，△CGF是等腰三角形，共有四个，故答案为：B； ②∵在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5， ∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，由①得DA＝DF， ∴CF＝DF－CD＝5－3＝2. 模型2 角平分线＋垂线已知：点P是角平分线OP上一点，AP⊥OP交OP于点P，延长AP交ON于点B. 结论：△AOB是等腰三角形． 3．如图，△ABC的面积为10 cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP，则△PBC的面积为( ) A．5.5 cm2 B．6 cm2 C．5 cm2 D．4.5 cm2 4．如图，在△ABC中，BD平分∠CBA，CE平分∠ACB的外角，AD⊥ BD于点D，AE垂直CE于E，AB＝c，AC＝b，BC＝a，则DE＝( ) 5．如图，已知，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD的延长线于点E. (1)若AD＝1，求DC； (2)求证：BD＝2CE. 解：(1)如图1所示，过点D作DH⊥BC于点H， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠BCA＝45°， ∴DH＝CH. ∵BD是∠ABC的平分线， ∴DH＝AD＝1，∴CD＝； (2)证明：如图2所示，延长CE，BA相交于点F. ∵∠EBF＋∠F＝90°，∠ACF＋∠F＝90°， ∴∠EBF＝∠ACF. 在△ABD和△ACF中， ∴△ABD≌△ACF(ASA)， ∴BD＝CF. 在△BCE和△BFE中， ∴△BCE≌△BFE(ASA)， ∴CE＝EF，∴BD＝CF＝2CE. 模型3 角平分线＋斜线⇒构造全等三角形如图，已知：点A是射线OM上一点，在ON上截取OB＝OA，连接PB. 结论：△OPB≌△OPA. 6．如图，∠ACB＝2∠B，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB，AC，CD有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．解：AB＋AC＝CD，证明：如图，在AF上截取AG＝AC，连接DG， ∵AD平分∠CAF， ∴∠CAD＝∠GAD. 在△CAD和△GAD中， ∴△CAD≌△GAD(SAS)， ∴CD＝GD，∠ACD＝∠AGD. ∵∠ACD＋∠ACB＝180°，∠AGD＋∠DGF＝180°， ∴∠ACB＝∠DGF. ∵∠ACB＝2∠B，∴∠DGF＝2∠B. ∵∠DGF＝∠B＋∠BDG， ∴∠B＝∠BDG，∴BG＝DG， ∴BA＋AG＝BG＝DG＝CD， ∴AB＋AC＝CD. 模型4 角平分线＋对角互补如图，已知：∠A＋∠C＝180°，BD是∠ABC的平分线．结论：AD＝CD. 7．(1)阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A＋∠C＝180°.求证：DA＝DC. 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在BC上截取BM＝BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA到点N，使得BN＝BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题．结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明； (2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC，当∠DAC＝60° 时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由．解：(1)方法1：在BC上截BM＝BA，连接DM，如图1， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD. 在△ABD和△MBD中， ∴△ABD≌△MBD(SAS)， ∴∠A＝∠BMD，AD＝MD. ∵∠BMD＋∠CMD＝180°，∠C＋∠A＝180°， ∴∠C＝∠CMD，∴DM＝DC，∴DA＝DC；方法2：延长BA到点N，使得BN＝BC，连接DN，如图2， ∵BD平分∠ABC， ∴∠NBD＝∠CBD. 在△NBD和△CBD中， ∴△NBD≌△CBD(SAS)， ∴∠BND＝∠C，DN＝DC. ∵∠NAD＋∠BAD＝180°，∠C＋∠BAD＝180°， ∴∠BND＝∠NAD，∴DN＝DA，∴DA＝DC； (2)AB，BC，BD之间的数量关系为AB＋BC＝BD，如图3所示，延长CB到点P，使BP＝BA，连接AP，由(1)可知AD＝CD， ∵∠DAC＝60°， ∴△ADC为等边三角形， ∴AC＝AD，∠ADC＝60°. ∵∠BCD＋∠BAD＝180°， ∴∠ABC＝360°－180°－60°＝120°， ∠PBA＝180°－∠ABC＝60°. ∵BP＝BA，∴△ABP为等边三角形， ∴∠PAB＝60°，AB＝AP. ∵∠DAC＝60°，∴∠PAB＋∠BAC＝∠DAC＋∠BAC，即∠PAC＝∠BAD. 在△PAC和△BAD中， ∴△PAC≌△BAD(SAS)，∴PC＝BD. ∵PC＝BP＋BC＝AB＋BC，∴AB＋BC＝BD. 8．【教材呈现】下面是七年级下册某数学教材的部分内容改编：已知：如图1，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E. 求证：PD＝PE. 分析：图中有两个直角三角形PDO和PEO，只要证明这两个三角形全等，便可证得PD＝PE. 【问题解决】请根据教材分析，结合图1写出证明过程；【类比探究】 (1)如图2，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，点M，N分别在OB，OA上，连接PM和PN，若∠PMO＋∠PNO＝180°，求证： PM＝PN； (2)如图3，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，若∠ABC＝60°， ∠C＝45°，DC＝，直接写出△ABD的面积．解：【问题解决】证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. ∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOC＝∠BOC. 在△OPD和△OPE中， ∴△OPD≌△OPE(AAS)， ∴PD＝PE；【类比探究】 (1)证明：如图2，过点P作PQ⊥OB于点Q，PF⊥OA于点F. ∵OC是∠AOB的平分线，PQ⊥OB，PF⊥OA， ∴PQ＝PF. ∵∠PMO＋∠PMQ＝180°，∠PMO＋∠PNO＝180°， ∴∠PMQ＝∠PNO. 在△PMQ和△PNF中， ∴△PMQ≌△PNF(AAS)，∴PM＝PN； (2)如图3，过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥BC于点H. 在Rt△DHC中，∠C＝45°，DC＝， ∴DH＝HC＝1. ∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°， ∴∠DBC＝30°，∴BD＝2HD＝2. 在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°， ∴∠A＝180°－60°－45°＝75°，由三角形的外角性质，得∠BDA＝∠DBC＋∠C＝75°， ∴∠BDA＝∠A，∴BA＝BD＝2. ∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DH⊥BC， ∴DG＝DH＝1， A.eq \f(a＋b＋c,2) B.eq \f(a＋b－c,2) C.eq \f(a－b＋c,2) D.eq \f(b＋c－a,2) eq \r(2) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABD＝∠ACF，,AB＝AC，,∠BAD＝∠CAF，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EBC＝∠EBF，,BE＝BE，,∠CEB＝∠BEF，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝AG，,∠CAD＝∠GAD，,AD＝AD，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝BD，,∠ABD＝∠MBD，,BA＝BM，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝BD，,∠NBD＝∠CBD，,BN＝BC，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(PA＝BA，,∠PAC＝∠BAD，,AC＝AD，)) eq \r(2) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠PDO＝∠PEO，,∠AOC＝∠BOC，,OP＝OP，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠PMQ＝∠PNF，,∠PQM＝∠PFN，,PQ＝PF，)) eq \r(2) ∴S△ABD＝eq \f(1,2)AB·DG＝eq \f(1,2)×2×1＝1. $微专题7 与中点有关的辅助线的作法方法1 构造中位线当已知条件中同时出现两个及两个以上中点时，常考虑构造中位线；或出现一个中点，要证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线．利用三角形中位线的性质定理：DE∥BC且 DE＝ BC，△ADE∽△ABC，则可得线段之间的相等或比例关系． 1．[2023·鞍山]如图，AC，BC为⊙O的两条弦，D，G分别为AC， BC的中点，⊙O的半径为2.若∠C＝45°，则DG的长为( ) 2．[2023·巴中]如图，在Rt△ABC中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，D，E分别为AC，BC中点，连接AE，BD相交于点F，点G在CD上，且DG∶GC＝1∶2，则四边形DFEG的面积为( ) A．2 cm2 B．4 cm2 C．6 cm2 D．8 cm2 3．[2022·安顺]如图，在△ABC中，AC＝2 ，∠ACB＝120°， D是边AB的中点，E是边BC上一点，若DE平分△ABC的周长，则DE的长为( ) 4．[2023·南通]如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC＝4，BD＝6，则AD＋BC的最小值是______．解析：设AC，BD的交点为O，AB，BC，CD，DA的中点分别是P，Q，R，S，连接PQ，QR，RS，SP，OQ，OS，QS，∵AC，BD互相垂直，∴△AOD和△BOC为直角三角形，且AD，BC分别为斜边，∴AD＝2OS，BC＝2OQ，∴AD＋BC＝2(OS＋OQ)，∴当OS＋OQ最小时，AD＋BC最小，再根据“两点之间线段最短”得OQ＋OS≥QS，∴当点O在线段QS上时，OQ＋OS最小，最小值为线段QS的长，∵P，Q分别为AB，BC的中点，∴PQ是△ABC的中位线， 5．[2023·黑龙江]如图1，△ABC和△ADE是等边三角形，连接 DC，点F，G，H分别是DE，DC和BC的中点，连接FG，FH.易证： FH＝ FG. 若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，如图2.若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝ 120°，如图3.其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图2或图3进行证明． ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴CE＝BD，∠ACE＝∠ABD， ∴FG＝HG. ∵BD∥GH，FG∥CE， ∴∠FGH＝∠FGD＋∠HGD＝∠DCE＋∠GHC＋∠GCH＝∠DBC＋ ∠DCB＋∠ACD＋∠ACE＝∠DBC＋∠ABD＋∠ACB＝∠ACB＋∠ABC＝90°， ∴△HGF是等腰直角三角形，图3证明如下：如图3所示，连接BD，HG，CE， ∵点F，G分别是DE，DC的中点， ∴FG是△CDE的中位线， ∴FG∥CE，FG＝ CE，同理可得GH∥BD，GH＝ BD. ∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°， ∴AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴CE＝BD，∠ACE＝∠ABD， ∴FG＝HG. ∵BD∥GH，FG∥CE， ∴∠FGH＝∠FGD＋∠HGD＝∠DCE＋∠GHC＋∠GCH＝∠DBC＋∠DCB＋∠ACD＋∠ACE＝∠DBC＋∠ABD＋∠ACB＝∠ACB＋∠ABC＝180°－∠BAC＝60°， ∴△HGF是等边三角形，∴FH＝FG. 方法2 中点＋平行⇒全等如图，AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点O为EF中点，则△POE≌△QOF. 口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行． 6．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BD，AB＝5，BD＝4，CD＝3，点E是AC的中点，则BE的长为( ) 7．[威海中考]矩形ABCD与CEFG按如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH.若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝( ) 8．[内江中考]如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE＝BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD＝2.7，AF＝4，AB＝6，则CE的长为( ) 9．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，△AEF的边EF过点C，且AE＝EF，AB∥EF，连接DE，DE⊥AD，S△AEC∶S△ACF＝3∶8， AB＝14，CE的值为( ) A．2.5 B．4 C．3.5 D．3 方法3 倍长中线法当遇见中线或者中点时，可以尝试用倍长中线法构造全等三角形，证线段间的数量关系． 10．如图，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°.点D为BC的中点，连接AD.若AD＝3，则EF＝__． 6 11．[2020·德州]问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)小红证明△BED≌△CAD的判定定理是：________； (2)AD的取值范围是_________；解：(1)两边及其夹角相等的三角形全等或SAS； (2)1<AD<5； (3)证明：延长AD至点A′，使A′D＝AD，如图1， ∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD. 在△ADC和△A′DB中， ∴△ADC≌△A′DB(SAS)， ∴∠CAD＝∠A′，AC＝A′B. 又∵AE＝EF， ∵∠CAD＝∠AFE，∴∠A′＝∠AFE. 又∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠BFD＝∠A′，∴BF＝A′B. 又∵A′B＝AC，∴BF＝AC； (4)证明：延长CG至点H使HG＝CG，连接HF，CE，HE，如图2， ∵G为FD的中点，∴FG＝DG. 在△HGF和△CGD中， ∴△HGF≌△CGD(SAS)， ∴HF＝CD，∠HFG＝∠CDG. ∵∠EFD为△BEF的外角， ∴∠EFD＝∠EBF＋∠BEF，即∠EFH＋∠HFD＝∠EBF＋90°. ∵∠ADB＋∠BDC＝90°， ∴∠EFH＋∠HFD＝∠EBF＋∠ADB＋∠BDC， ∴∠EFH＝2∠EBF，即∠EFH＝∠EBC. 又∵∠EBC＝∠EFH， ∴△EFH∽△EBC， ∴∠FEH＝∠BEC. ∵∠HEC＋∠CEF＝∠BEF＋∠CEF， ∴∠HEC＝∠BEF＝90°， ∴△CEH是直角三角形． ∵G为CH的中点， ∴EG＝ CH，即EG＝CG. eq \f(1,2) A．2 B.eq \r(3) C.eq \f(3,2) D.eq \r(2) A.eq \f(\r(5),2) B.eq \f(\r(2)＋1,2) C.eq \r(2) D.eq \r(3) eq \r(2) 2eq \r(13) PQ＝eq \f(1,2)AC＝2，PQ∥AC，同理SP＝eq \f(1,2)BD＝3，SP∥BD，∵AC⊥BD，PQ∥AC，SP∥BD，∴PQ⊥SP，在Rt△PQS中，PQ＝2，SP＝3，∴QS＝eq \r(PQ2＋SP2)＝eq \r(13)，∴OQ＋OS的最小值为eq \r(13)，∴AD＋BC的最小值为2eq \r(13). eq \r(3) 解：图2中FH＝eq \r(2)FG，图3中FH＝FG，图2证明如下：如图2所示，连接BD，HG，CE， ∵点F，G分别是DE，DC的中点， ∴FG是△CDE的中位线， ∴FG∥CE，FG＝eq \f(1,2)CE. 同理可得GH∥BD，GH＝eq \f(1,2)BD. ∴FH＝eq \r(2)FG； eq \f(1,2) eq \f(1,2) A．2 B.eq \f(5,2) C.eq \r(5) D．3 A．1 B.eq \f(2,3) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(5),2) A．2eq \r(2) B．2eq \r(3)－1 C．2.5 D．2.3 方法运用： (3)如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC； (4)如图3，在矩形ABCD中，eq \f(AB,BC)＝eq \f(1,2)，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且eq \f(EF,BE)＝eq \f(1,2)，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝A′D，,∠ADC＝∠A′DB，,CD＝BD，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(HG＝CG，,∠HGF＝∠CGD，,FG＝DG，)) 在Rt△BEF中， ∵eq \f(EF,BE)＝eq \f(1,2)，∴tan∠EBF＝eq \f(1,2). 又∵矩形ABCD中，eq \f(AB,BC)＝eq \f(1,2)， ∴eq \f(AB,AD)＝eq \f(1,2)，∴tan∠ADB＝eq \f(1,2)， ∴∠EBF＝∠ADB. ∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠EBF＝∠ADB＝∠DBC. 在△EFH和△EBC中，eq \f(EF,BE)＝eq \f(1,2)，eq \f(HF,BC)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(EF,BE)＝eq \f(HF,BC). eq \f(1,2) $第22讲　尺规作图【构建知识网络】知识点1 五种基本尺规作图 1．作一条线段等于已知线段图示作法(步骤) 依据 ①作射线OP ②在OP上截取OA＝a，OA即为所求线段圆弧上的点到圆心的距离等于半径 2.作一个角等于已知角图示作法(步骤) 依据 ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交∠α的两边于点P，Q ②作射线O′A ③以点O′为圆心，OP长为半径画弧，交O′A于点M ④以点M为圆心，PQ长为半径画弧，交第③步的弧于点N ⑤过点N作射线O′B，∠AO′B即为所求角 1.三边分别相等的两个三角形全等 2.全等三角形的对应角相等 3.两点确定一条直线 3.作已知角的平分线图示作法(步骤) 依据 ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA， OB于点N，M ②分别以点M，N为圆心，大于 MN长为半径画弧，两弧在∠AOB内相交于点P ③作射线OP，OP即为所求角的平分线 1.三边分别相等的两个三角形全等 2.全等三角形的对应角相等 3.两点确定一条直线 4．作线段的垂直平分线图示作法(步骤) 依据 ①分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N ②过点M，N作直线， MN即为所求线段的垂直平分线 1.线段垂直平分线的判定定理 2.两点确定一条直线 5.过一点作已知直线的垂线知识点2 其他作图利用基本作图作三角形 1.已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；2.已知底边及底边上的高线作等腰三角形；3.已知一直角边和斜边作直角三角形其他 1.过直线外一点作已知直线的平行线；2.过不在同一直线上的三点作圆；3.作三角形的外接圆、内切圆；4.作圆的内接正方形和正六边形【满分技能】考点1 尺规作图(5年6地14考) 1．[2025·内蒙古]如图，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，连接EF，以点E为圆心，适当长为半径画弧．交射线EA于点M，交EF 于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧(两弧半径相等)，两弧在∠AEF的内部相交于点H，画射线EH交CD于点G，若 ∠AEF＝80°，则∠EGF的度数为( ) A．100° B．80° C．50° D．40° 2．[2023·通辽]下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°. 求作：Rt△ABC的外接圆．作法：如图2. (1)分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； (2)作直线PQ，交AB于点O； (3)以O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O即为所求作的圆．下列不属于该尺规作图依据的是( ) A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 3．[2022·鄂尔多斯]下列尺规作图不能得到平行线的是( ) 4．[2022·赤峰]如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5. (1)作BC的垂直平分线，分别交AB，BC于点D，H；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，连接CD，求△BCD的周长．解：(1)如图所示，直线DH为线段BC的垂直平分线； (2)如图； ∵DH垂直平分BC，∴DC＝DB， ∴∠B＝∠DCB， ∵∠B＋∠A＝90°，∠DCB＋∠DCA＝∠ACB＝90°， ∴∠A＝∠DCA，∴DC＝ DA， ∴△BCD的周长＝DC＋DB＋BC＝DA＋DB＋BC＝AB＋BC＝8＋5＝13. 考点2 网格作图(5年6地0考) [赤峰中考]小琪同学和爸爸妈妈一起回老家给奶奶过生日，他们为奶奶准备了一个如图所示的正方形蛋糕，蛋糕的每条边上均匀镶嵌着4颗巧克力．爸爸要求小琪只切两刀把蛋糕平均分成4份，使每个人分得的蛋糕和巧克力数都相等． (1)请你在图1中画出一种分法；(无需尺规作图) (2)如图2，小琪同学过正方形的中心切了一刀，请你用尺规作图帮她作出第2刀所在的直线．(不写作法，保留作图痕迹) 解：(1)如图1所示，顺着正方形蛋糕的对角线切出两刀，即可把蛋糕和巧克力均分成四份； (2)要将正方形蛋糕均分成四份，第一刀必须保证过蛋糕的中心，第二刀为第一刀的中垂线即可，如图2所示，设第一刀与蛋糕边线的交点为A，B，分别以A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两圆弧交点的连线即为第二刀所在的直线． 1．[2025·辽宁]如图，在△ABC中，AB＝16， BC＝12，CA＝10，∠ABC的平分线BP与AC相交于点D.在线段AD上取一点K，以点C为圆心， CK长为半径作弧，与射线BP相交于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧相交于点Q，作射线CQ，与AB相交于点E，连接DE，则△DAE的周长为( ) A．12 B．14 C．16 D．18 3．[2025·西藏]如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A(1，0)，交y轴于点B(0，2)，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于 CD的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点 E，作射线OE交AB于点F，则点F的坐标是______． 4．[2025·长春]图1，图2，图3均是4×3的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，使△ABC的顶点均在格点上． (1)在图1中，△ABC是面积最大的等腰三角形； (2)在图2中，△ABC是面积最大的直角三角形； (3)在图3中，△ABC是面积最大的等腰直角三角形．解：(1)如图1所示，△ABC即为所求作； (2)如图2所示，△ABC即为所求作； (3)如图3所示，△ABC即为所求作． 5．[2025·陕西]如图，已知∠AOB＝50°，点C在边OA上．请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB.(保留作图痕迹，不写作法) 解：如图，点P即为所求作；理由如下：由作图可知，OE是∠AOB的平分线， ∴∠AOP＝ ∠AOB＝ ×50°＝25°. ∵∠ACF＝∠AOB，∴CP∥OB， ∴点P即为所求作． 6．[2025·福建]如图，矩形ABCD中，AB<AD. (1)求作正方形EFGH，使得点E，G分别落在边AD，BC上，点F，H落在BD上；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)若AB＝2，AD＝4，求(1)中所作的正方形的边长．解：(1)如图，四边形EFGH就是所求作的正方形； (2)由(1)知，OB＝OD，OE＝OG， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，AB＝2，AD＝4， ∵EG⊥FH，∴∠DOE＝∠DAB＝90°. 又∵∠ODE＝∠ADB， ∴△EOD∽△BAD， eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) 2．[2025·济南]如图，在△ABC中，按如下步骤作图： ①在CA和CB上分别截取CM，CN，使CM＝CN，分别以点M和N为圆心，以大于eq \f(1,2)MN的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点O，作射线CO交AB于点D； ②分别以点C和D为圆心，以大于eq \f(1,2)CD的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交AC于点E，交BC于点F. 根据以上作图，若AD＝4，DB＝2，BC＝3eq \r(2)，则线段AE的长为( ) A.eq \f(11\r(2),3) B．eq \f(11,2) C．5 D．4eq \r(2) eq \f(1,2) (eq \f(2,3)，eq \f(2,3)) eq \f(1,2) eq \f(1,2) ∴BD＝eq \r(AB2＋AD2)＝2eq \r(5)， ∴OD＝eq \f(1,2)BD＝eq \r(5). ∴eq \f(OE,AB)＝eq \f(OD,AD)，即eq \f(OE,2)＝eq \f(\r(5),4)，∴OE＝eq \f(\r(5),2). 在Rt△EOH中，OE＝OH， ∴EH＝eq \r(2)OE＝eq \f(\r(10),2)， ∴正方形EFGH的边长为eq \f(\r(10),2). $第25讲　锐角三角函数及其实际应用【构建知识网络】知识点1 锐角三角函数知识点2 特殊角的锐角三角函数值【满分技能】 1.锐角三角函数的取值范围：0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0. 2．锐角三角函数的增减性：sinA与tanA随∠A度数的增大而增大，cosA随∠A度数的增大而减小．知识点3 解直角三角形常用关系两锐角关系 ∠A＋∠B＝90° 三边关系 a2＋b2＝c2 边角关系基本类型知识点4 解斜三角形 1．思路方法：通过作辅助线，化“斜”为“直”． 2．辅助线类型内割型外补型特点内角中有两个特殊角内角中只有一个特殊角【满分技能】辅助线解题小技巧： (1)往往设公共边AD＝x，然后用x表示出其他线段． (2)一般出现120°，135°，150°，要作这些角的邻补角． (3)一般出现75°，105°，考虑分开角，75°＝30°＋45°，105°＝45°＋60°. 知识点5 解直角三角形的实际应用俯角、仰角如图所示，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角方向角如图所示，在平面上过观测点O，画一条水平线(向右为东)和一条铅垂线(向上为北)，则从点O发出的视线与铅垂线(南、北方向线)的夹角，叫做方向角坡度、坡角如图所示，通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l的比叫做坡度(或坡比)，用字母i表示，坡面与水平线的夹角叫坡角，用字母α表示．斜坡的坡度和坡角的正切值有如下关系： i＝tanα＝ 3．[2022·通辽]如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE＝AB， BE＝DE，则tan∠BDE＝______. 2.[胡不归模型][2022·鄂尔多斯]如图，在△ABC中，AB＝AC ＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB，PC.则PA＋2PB的最小值为_____. 4 3.[分类讨论][2022·通辽]在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB上(不与点A，B重合)，且 ∠PCB＝30°，则AP的长为________．考点5 解直角三角形的实际应用(5年6地22考) 1．[2025·内蒙古]如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面90 m的点C处，从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°(A，B，C三点在同一竖直平面内)，则湖泊两端A，B的距离为______m(结果保留根号)． 2．[2024·通辽]在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是30°， BC长6米，在距离C点4米处的D点测得杨树顶端A点的仰角为45°，求杨树AB的高度(精确到0.1米，AB，BC，CD在同一平面内，点 C，D在同一水平线上．参考数据： ≈1.73)． (1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数； (2)求检查点B和C之间的距离(结果保留根号)．解：(1)由题意，得∠NAC＝80°，∠BAS＝25°， ∴∠CAB＝180°－∠NAC－∠BAS＝75°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠ABC＝60°， ∴行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60°； 4．[2024·包头]如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼AB的高度”的实践活动．教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪(皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小)． (1)请你设计测量教学楼AB的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上(测出的距离用m，n等表示，测出的角用α，β等表示)，并对设计进行说明； (2)根据你测量的数据，计算教学楼AB的高度(用字母表示)．解：(1)如图1，将测角仪放在D处，用皮尺测量出D到AB的距离为m，用测角仪测出A的仰角为α，测出B的俯角为β； (3)如图，过C作CE⊥AB于E，则四边形CDBE是矩形， ∠ACE＝α，∠BCE＝β， ∴CE＝BD＝m，BE＝CD，在Rt△BCE中， BE＝CE·tan∠ECB＝m·tanβ，在Rt△ACE中， AE＝CE·tan∠ECA＝m·tanα， ∴AB＝AE＋BE＝m(tanα＋tanβ)，答：教学楼AB的高度为m(tanα＋tanβ). 2．[2025·深圳]如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为( ) 3．[2025·广东]如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等分点，连接DE，AF相交于点G，连接CG.若AB＝8，BC＝12，则tan∠GCF的值是( ) 4．[2025·宁夏]老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为EF，点A，B是水平地面上两点，且与点E，F均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是( ) A．CH的长，∠EDH的度数 B．AB的长，∠ECH的度数 C．CH的长，∠ECH，∠EDH的度数 D．AB的长，∠ECH，∠EDH的度数 5．[2024·达州]如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，∠ABD＝120°，其中点A，B，C都在格点上，则tan∠BCD的值为( ) 6．[2025·绥化]如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i＝1∶ (斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比)，堤坝高BC＝15 m，则迎水坡面AB的长度是． 7．[2025·苏州]如图，∠MON＝60°，以O为圆心，2为半径画弧，分别交OM，ON于A，B两点，再分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧在∠MON内部相交于点C，作射线OC，连接AC，BC，则tan∠BCO＝_____．(结果保留根号) 8．[2025·常州]如图，在△ABC中，tanC＝，D是边BC上一点，将△ACD沿AD翻折得到△AED，使线段AE，BC相交于点F，若CF＝5，EF＝2，则AC＝_____． 9．[2025·长沙]如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D.经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上．已知AB＝800 m. (1)求∠ACB的度数； (2)求景点C与景点D之间的距离．(结果保留根号) 解：(1)如图，由题意可得∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM. ∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°， ∴∠ACB＝∠BCM－∠ACM＝60°－30°＝30°； (2)∵∠CBE＝60°， ∴∠CBM＝90°－∠CBE＝90°－60°＝30°. 由(1)得∠ACB＝30°， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°. 又∵AB＝800 m，∴AB＝AC＝800 m. ∴BM＝BA＋AM＝800＋400＝1 200(m)， ∵∠BDM＝45°，BM⊥DM， ∴DM＝BM＝1 200 m， ∴DC＝DM－CM＝(1 200－400 )m. ∴景点C与景点D之间的距离为(1 200－400 )m. 10．[2025·新疆]某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下：实验主题测量校徽的高度工具准备测角仪、卷尺等实验过程 1.站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树CD的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处(此时F，C，E三点在同一直线上) 2．测量A，D两点和B，D两点间的距离 3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角∠EFG 4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处(此时 N，C，M三点在同一直线上)，测量B，H两点间的距离 5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角∠MNG 实验图示测量数据 1.AD＝4 m 2．BD＝10 m 3．BH＝13.5 m 4．∠EFG＝43° 5．∠MNG＝21.8° 备注 1.图上所有点均在同一平面内 2．AE，CD，FB，NH均与地面垂直参考数据：sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40；sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度EM的值．解：由题意，得四边形FGAB，四边形NHAG为矩形， ∴FG＝AB＝AD＋BD＝10＋4＝14(m)， NG＝AH＝AD＋DB＋BH＝4＋10＋13.5＝27.5(m)． ∵在Rt△EFG中，tan∠EFG＝， ∴tan43°＝ ≈0.93， ∴EG＝14×0.93＝13.02(m)．在Rt△MNG中，tan∠MNG＝， ∴tan21.8°＝ ≈0.40， ∴MG＝27.5×0.40＝11(m)， ∴EM＝EG－MG＝13.02－11＝2.02(m)，答：校徽的高度为2.02 m. sinA＝cosB＝eq \f(a,c)， cosA＝sinB＝eq \f(b,c)，tanA＝eq \f(a,b)， tanB＝eq \f(b,a) eq \f(h,l) 考点1 锐角三角函数(5年6地10考) 1．[2024·包头]如图，在矩形ABCD中，E，F是边BC上两点，且BE＝EF＝FC，连接DE，AF，DE与AF相交于点G，连接BG.若AB＝4，BC＝6，则sin∠GBF的值为( ) A.eq \f(\r(10),10) B．eq \f(3\r(10),10) C.eq \f(1,3) D．eq \f(2,3) 2．[2023·包头]如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则cosα的值为( ) A.eq \f(3,4) B．eq \f(4,3) C．eq \f(3,5) D．eq \f(4,5) eq \r(2)－1 考点2 特殊角的锐角三角函数值(5年6地22考) 1．[2021·通辽]计算：(eq \f(1,2))－1＋(π－3)0－2cos30°＋|3－eq \r(12)|. 解：(eq \f(1,2))－1＋(π－3)0－2cos30°＋|3－eq \r(12)| ＝2＋1－2×eq \f(\r(3),2)＋2eq \r(3)－3＝eq \r(3). 2．[2023·通辽]计算：(eq \f(1,3))－2＋tan45°－eq \r(（－10）2). 解：(eq \f(1,3))－2＋tan45°－eq \r(（－10）2)＝9＋1－10＝0. 3．计算：tan60°·sin30°＋eq \f(\r(2),2sin45°)－2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos60°－1)). 解：tan60°·sin30°＋eq \f(\r(2),2sin45°)－2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos60°－1)) ＝eq \r(3)×eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),2×\f(\r(2),2))－2×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1))＝eq \f(\r(3),2)＋1－2×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(3),2)＋1－1＝eq \f(\r(3),2). 考点3 解直角三角形(5年6地19考) 1．[2022·包头]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点．若点B′恰好落在AB边上，则点A到直线A′C的距离等于( ) A．3eq \r(3) 　 B．2eq \r(3) 　 C．3 D．2 eq \r(2) 解析：如图，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA＋2PB最小， ∴∠AFB＝90°， ∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝eq \f(1,2)∠BAC＝eq \f(1,2)×30°＝15°， ∴∠EAD＝∠CAE＋∠CAD＝30°， ∴PF＝eq \f(1,2)PA， ∴PA＋2PB＝2(eq \f(1,2)PA＋PB)＝2(PF＋PB)＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC＋∠CAE＝45°， ∴BF＝AB·sin45°＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)， ∴(PA＋2PB)最大＝2BF＝4eq \r(2). eq \f(9,2)或9或3 解析：当∠ABC＝60°时，则∠BAC＝30°， ∴BC＝eq \f(1,2)AB＝3， ∴AC＝eq \r(AB2－BC2)＝3eq \r(3). 当点P在线段AB上时，如图1， ∵∠PCB＝30°，∴∠BPC＝90°，即PC⊥AB， ∴AP＝AC·cos∠BAC＝3eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(9,2)；当点P在AB的延长线上时，如图1， ∵∠P1CB＝30°，∠ABC＝∠P1CB＋∠CP1B， ∴∠CP1B＝30°， ∴∠CP1B＝∠P1CB， ∴P1B＝BC＝3，∴AP1＝AB＋P1B＝9；当∠ABC＝30°时，则∠BAC＝60°，如图2， ∴AC＝eq \f(1,2)AB＝3， ∵∠PCB＝30°，∴∠APC＝60°，∠ACP＝60°， ∴∠APC＝∠PAC＝∠ACP，∴△APC为等边三角形， ∴PA＝AC＝3. 综上所述，AP的长为eq \f(9,2)或9或3. 考点4 解斜三角形(5年6地0考) 1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝eq \f(4,5)，则BC的长是( ) A．3 B．6 C．8 D．9 2．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE＝30°，tan∠EAC＝eq \f(1,3)，则BD＝ . 3－eq \r(3) 120eq \r(3) eq \r(3) 解：过点B作BE⊥DC于点E，在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BC＝6米， ∴BE＝eq \f(1,2)BC＝3米， CE＝BC·cos∠BCE＝3eq \r(3)(米)， ∵DC＝4米， ∴DE＝DC＋CE＝(4＋3eq \r(3))米，在Rt△AED中，∠ADE＝45°， ∴AE＝DE＝(4＋3eq \r(3))米， ∴AB＝AE－BE＝4＋3eq \r(3)－3＝(1＋3eq \r(3))米， ∵eq \r(3)≈1.73， ∴AB＝1＋3×1.73≈6.2(米)．答：杨树AB的高度约为6.2米． 3．[2023·包头]为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A.B点在A点的南偏东25°方向3eq \r(2) km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°. (2)过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，AB＝3eq \r(2) km，∠ABC＝45°， ∴AD＝AB·sin45°＝3eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝3(km)， BD＝AB·cos45°＝3eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝3(km)，在Rt△ADC中，∠ACB＝60°， ∴CD＝eq \f(AD,tan60°)＝eq \f(3,\r(3))＝eq \r(3)(km)， ∴BC＝BD＋CD＝(3＋eq \r(3)) km， ∴检查点B和C之间的距离为(3＋eq \r(3)) km. 1．[2025·天津]tan45°－eq \r(2)cos45°的值等于( ) A．0 B．1 C．1－eq \f(\r(2),2) D．1－eq \r(2) A.eq \f(2\r(2),3) B．3 C.eq \f(\r(2),4) D.eq \f(1,3) A.eq \f(\r(10),10) B.eq \f(1,3) C.eq \f(3\r(10),10) D.eq \f(2,3) A．2 B．2eq \r(3) C.eq \f(3,2) D．3 15eq \r(3) m eq \r(2) eq \f(\r(5),5) eq \r(6) eq \f(21,2) eq \f(4,3) 在Rt△ACM中，sin∠ACM＝eq \f(AM,AC)，cos∠ACM＝eq \f(CM,AC)， ∴AM＝AC·sin∠ACM＝800×sin30°＝800×eq \f(1,2)＝400(m)， CM＝AC·cos∠ACM＝800×cos30°＝800×eq \f(\r(3),2)＝400eq \r(3)(m)， eq \r(3) eq \r(3) eq \f(EG,FG) eq \f(EG,14) eq \f(MG,NG) eq \f(MG,27.5) $第五章　三角形第21讲　三角形与全等三角形【构建知识网络】知识点1 三角形的概念和分类知识点2 三角形的边、角关系三边关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边内角和定理三角形的三个内角和为180° 外角和三角形的外角和等于360° 内外角关系 1.三角形任意一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 2.三角形的任意一个外角大于任何一个与它不相邻的内角边角关系同一个三角形中，等角对等边、大角对大边知识点3 三角形中的重要线段角平分线定义三角形一个角的平分线和对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线性质三角形的角平分线都在三角形的内部且交于一点，这点是三角形的内心中线定义连接三角形的一个顶点和对边中点的线段叫三角形的中线性质三角形的三条中线都在三角形内部且交于一点，这个点是三角形的重心高线定义自三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，这个角的顶点和垂足间的线段叫三角形的高线，简称三角形的高性质三角形的三条高线交于一点，这个点是三角形的垂心．不同三角形三条高线交点的位置不同，锐角三角形的三条高线交于三角形内部，直角三角形的三条高线交于直角顶点，钝角三角形的三条高线所在直线交于三角形的外部中位线定义连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线性质三角形中位线平行于第三边，且等于第三边长度的一半知识点4 全等三角形的概念、性质和判定定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形性质全等三角形的对应边相等，对应角相等全等三角形的周长相等，面积相等全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等判定 SSS (边边边) 三条边分别相等的两个三角形全等 SAS (边角边) 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ASA (角边角) 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等判定 AAS (角角边) 两角分别相等且其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等 HL(斜边直角边) 斜边和一条直角边相等的两个直角三角形全等【满分技能】根据已知条件找判定思路考点1 三角形的内外角关系(5年6地14考) 1．[2022·呼伦贝尔]如图，直线a∥b，截线c，d相交成30°角，∠1＝146°33′，则∠2的度数是( ) A．63°27′ B．64°27′ C．64°33′ D．63°33′ 2．[呼和浩特中考]如图，在△ABC中，∠B＝47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝_______． 66.5° 考点2 三角形的三边关系(5年6地2考) 1．[2024·赤峰]等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋21＝0的两个根，则这个三角形的周长为( ) A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 2．[包头中考]长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有( ) A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．[2025·呼伦贝尔二模]如图，∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心，∠EOF的两边与△ABC的边交于点E，F，∠EOF ＝120°，则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是____．考点4 全等三角形的性质和判定(5年6地22考) 1.[倍长中线法][2022·鄂尔多斯]如图，AB⊥BC于点B，AB⊥ AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是___． 12 2．[2022·呼和浩特]下面是八年级教科书中的一道题：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证AE＝EF.(提示：取AB的中点G，连接EG.) 解：(1)∵E是BC的中点， ∴BE＝CE. ∵点G是AB的中点， ∴BG＝AG， ∴AG＝CE. 故答案为：AG＝CE； (2)取AG＝EC，连接EG. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝90°. ∵AG＝CE， ∴BG＝BE， ∴△BGE是等腰直角三角形， ∴∠BGE＝∠BEG＝45°， ∴∠AGE＝135°. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°. ∵CF是正方形ABCD外角的平分线， ∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝90°＋45°＝135°， ∴∠AGE＝∠ECF. ∵AE⊥EF，∴∠AEB＋∠FEC＝90°. ∵∠BAE＋∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△GAE≌△CEF(ASA)，∴AE＝EF； 3.[截长补短][2024·通辽]【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．【模型建立】 (1)如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．AM＝AN，DM＝DN.求证：∠AMD＝∠AND；【模型应用】 (2)如图2，△AMC中，∠MAC的平分线AD交MC于点D.请你从以下两个条件： ①∠AMD＝2∠C；②AC＝AM＋MD中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程； (注：只需选择一种情况作答) 【拓展提升】 (3)如图3，AC为⊙O的直径，AB＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于点E，交⊙O于点D，连接CD.求证：AE＝2CD. 解：(1)证明：在△ADM和△ADN中， ∵AM＝AN，DM＝DN，AD＝AD， ∴△ADM≌△ADN(SSS)， ∴∠AMD＝∠AND； (2)选择②为条件，①为结论．如图1，在AC取点N，使AN＝AM，连接DN， ∵AD平分∠MAC， ∴∠DAM＝∠DAN，在△ADM和△ADN中， ∵AM＝AN，∠DAM＝∠DAN，AD＝AD， ∴△ADM≌△ADN(SAS)， ∴DM＝DN，∠AMD＝∠AND， ∵AC＝AM＋MD，AC＝AN＋NC， ∴DM＝CN， ∴DN＝CN， ∴∠C＝∠CDN， ∴∠AMD＝∠AND＝∠CDN＋∠C＝2∠C；选择①为条件，②为结论，如图2，在AC取点N，使AN＝AM，连接DN， ∵AD平分∠MAC， ∴∠DAM＝∠DAN，在△ADM和△ADN中， ∵AM＝AN，∠DAM＝∠DAN，AD＝AD， ∴△ADM≌△ADN(SAS)， ∴DM＝DN，∠AMD＝∠AND， ∵∠AMD＝2∠C， ∴∠AND＝2∠C＝∠CDN＋∠C， ∴∠CDN＝∠C， ∴DN＝CN， ∴DM＝CN， ∵AC＝AN＋NC， ∴AC＝AM＋MD； (3)证明：如图3，连接BD，取AE的中点F，连接BF， ∵AD平分∠BAC， ∴ ， ∴CD＝BD， ∴∠BCD＝∠CBD， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∴AE＝2BF＝2AF，∴∠ABF＝∠BAF， ∵∠BAF＝∠BCD， ∴∠ABF＝∠CBD， ∵ ， ∴AB＝BC， ∴△ABF≌△CBD(ASA)， ∴BF＝BD＝CD， ∴AE＝2CD. 1．[2025·连云港]下列长度(单位：cm)的3根小木棒能搭成三角形的是( ) A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 2．[2025·山西]如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO＝CO，BO＝DO.测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．图中△AOB与△COD全等的依据是( ) A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 3．[2025·凉山州]如图，AB＝AC，AE＝AD，点E在BD上， ∠EAD＝∠BAC，∠BDC＝56°，则∠ABC的度数为( ) A．56° B．60° C．62° D．64° 4．[2024·遂宁]如图1，△ABC与△A1B1C1满足∠A＝∠A1，AC＝A1C1，BC＝B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在线段BC上，且BE＝CD，则图中共有“伪全等三角形”( ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 5．[2025·福建]如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上， ∠CBE＝∠CDF，∠ACB＝∠ACD.求证：AB＝AD. 证明：∵∠CBE＝∠CDF，∠ABC＋∠CBE＝180°，∠ADC＋∠CDF＝180°， ∴∠ABC＝∠ADC. 在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC(AAS)， ∴AB＝AD. 6．[2025·陕西]如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点， BD＝AB，DE∥AB，DE＝BC.求证：BE＝AC. 证明：∵DE∥AB， ∴∠BDE＝∠ABC. ∵BD＝AB，DE＝BC， ∴△BDE≌△ABC(SAS)， ∴BE＝AC. 7．[2025·苏州]如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB，CD∥BE. (1)求证：△DAC≌△ECB； (2)连接DE，若AB＝16，求DE的长．解：(1)证明：∵C是线段AB的中点， ∴AC＝CB＝ AB. ∵CD∥BE， ∴∠DCA＝∠B. 在△DAC和△ECB中， ∴△DAC≌△ECB(ASA)； (2)∵AB＝16，C是线段AB的中点， ∴BC＝ AB＝8. ∵△DAC≌△ECB， ∴CD＝BE. 又∵CD∥BE， ∴四边形BCDE是平行四边形， ∴DE＝BC＝8. 8．[2025·重庆]学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：第一步：构造角平分线．小红在∠AOB的边OA上任取一点E，并过点E作了OA的垂线(如图)．请你利用尺规作图，在OB边上截取OF＝OE，过点F作OB的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线OP，OP即为∠AOB的平分线(不写作法，保留作图痕迹)；第二步：利用三角形全等证明她的猜想．证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB， ∴∠OEP＝∠OFP＝90°. 在Rt△OEP和Rt△OFP中， ∴Rt△OEP≌Rt△OFP(HL)，解：第一步：作图如下：第二步：证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB， ∴∠OEP＝∠OFP＝90°. 在Rt△OEP和Rt△OFP中， ∴Rt△OEP≌Rt△OFP(HL)， ∴∠EOP＝∠FOP， ∴OP平分∠AOB. 故答案为：PO＝PO；OE＝OF；∠EOP＝∠FOP. 定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形分类按边分三角形eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(三条边都不相等的三角形,等腰三角形)) 按角分三角形eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(锐角三角形,直角三角形,钝角三角形)) 考点3三角形中的重要线段(5年6地2考) 1. 如图，△ABC的中线BE，CD交于点F，连接DE.下列结论错误的是( ) A．S△DEF＝eq \f(1,4)S△BCF B．S△ADE＝eq \f(1,2)S四边形BCED C．S△DBF＝eq \f(1,2)S△BCF D．S△ADC＝S△AEB eq \f(\r(3),3) eq \f(13,2) (1)请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：； (2)如图，若点E是BC边上任意一点(不与B，C重合)，其他条件不变．求证：AE＝EF； (3)在(2)的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P.设eq \f(BE,BC)＝k，求当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明． (3)如图，当k＝eq \f(1,3)时，四边形PECF是平行四边形．由(2)得△GAE≌△CEF， ∴CF＝EG. 设BC＝x，则BE＝kx， ∴GE＝eq \r(2)kx，EC＝(1－k)x. ∵EP⊥AC， ∴△PEC是等腰直角三角形，∴∠PEC＝45°， ∴∠PEC＋∠ECF＝180°，PE＝eq \f(\r(2),2)(1－k)x. ∴PE∥CF ，当PE＝CF时，四边形PECF是平行四边形， ∴eq \f(\r(2),2)(1－k)x＝eq \r(2)kx，解得k＝eq \f(1,3). eq \o(DC,\s\up15(︵))＝eq \o(BD,\s\up15(︵)) eq \o( AB,\s\up15(︵))＝eq \o(BC,\s\up15(︵)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABC＝∠ADC，,∠ACB＝∠ACD，,AC＝AC，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠ECB，,AC＝CB，,∠DCA＝∠B，)) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(　　　，,　　　，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(PO＝PO，,OE＝OF，)) $

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