第三章函数 2026年中考数学一轮复习课件（内蒙古）
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普通
摘要：
该初中数学中考复习课件聚焦平面直角坐标系与函数基础核心考点，依据近5年中考真题分析考点分布，如点的坐标特征与变换5年6地7考，按“知识点梳理+题型分类”归纳象限点坐标、函数自变量取值范围等常考题型，对接中考要求，提升备考针对性。
课件亮点在于“真题精讲+素养提升”模式，通过2022赤峰抛物线对称点真题，示范坐标变换推理过程，培养几何直观与推理意识。设计动点函数图象分析专题，结合实际问题函数图象解读，帮助学生掌握数形结合技巧，教师可依此实施分层教学，助力学生中考冲刺。
内容正文：
综合与实践专题1
代数中的综合与实践
类型1 课题活动类
1．[2024·盐城]请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，
有“风”“雅”“正”三种样式
◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工
“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服
装1件
◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，
“正”服装总件数和“风”服装相等
制定加工方案
生产背景 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：
①“风”服装：24元/件；
②“正”服装：48元/件；
③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元
信息
整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：
服装种类 加工人数(人) 每人每天加工量(件) 平均每件获利(元)
风 y 2 24
雅 x 1
正 1 48
探
究
任
务 任务1 探寻变量关系 求x，y之间的数量关系
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式
任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案
解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，
∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，
∴加工“正”服装的有(70－x－y)人．
∵“正”服装总件数和“风”服装相等，
∴(70－x－y)×1＝2y，
任务2：根据题意，得“雅”服装每天获利为x[100－2(x－10)]，
∴w＝2y×24＋(70－x－y)×48＋x[100－2(x－10)]，
整理，得w＝－2x2＋72x＋3 360(10≤x≤70)；
任务3：由任务2得w＝－2x2＋72x＋3 360＝－2(x－18)2＋4 008，
∴当x＝18时，获得最大利润．
∴x≠18.
∵函数图象开口向下，
∴取x＝17或x＝19，
∴70－x－y＝34.
综上所述，安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．
类型2 解决真实问题类
2．[2025·山西]综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60 cm，起跳点与落地点的距离为160 cm.
数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M.以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
(1)请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．
(2)如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为(0，75)，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长；
(3)实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3 cm，才能安全通过．如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝57 cm，BC＝40 cm，CD＝48 cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧80 cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度(平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内)．
解：(1)由题意，得抛物线的对称轴为直线x＝80，顶点纵坐标为60，
∴顶点坐标为(80，60)．
设抛物线的函数表达式为y＝a(x－80)2＋60，
∵图象过原点，
(2)∵抛物线的形状不变，过点(0，75)，
故第二次的函数图象可以看作由(1)的抛物线向上平移75个单位长度得到的，
∴新的抛物线的表达式为
解得x1＝200，x2＝－40(舍去)，
故起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200 cm；
(3)设该平台的高度为k cm，由题意，
设新的函数表达式为y＝－ (x－80)2＋60＋k，
∵AB＝57 cm，BC＝40 cm，CD＝48 cm，
仿青蛙机器人从距离AB左侧80 cm处的地面起跳，仿青蛙机器人经过CD正上方3 cm处，
即抛物线经过点(80＋40，48＋3)，
即(120，51)，
∴把(120，51)代入y＝－ (x－80)2＋60＋k，得
51＝－ ×(120－80)2＋60＋k，
解得k＝6，
故该平台的高度为6 cm.
类型3 项目式学习类
3．[2025·安徽]综合与实践
【项目主题】
某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地．
【项目准备】
(1)密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺．
(2)密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为20 cm.
(3)密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”．
观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加40 cm，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为 (40x＋10)cm.
自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加①___个正六边形和②____个正三角形，长度增加③____cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④___cm.
【项目分析】
(1)项目条件：场地为长7.4 m，宽6 m的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元．
(2)基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用．
(3)方式确定：
(i)考虑成本因素，采用图1方式进行密铺；
(ii)每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束；
(iii)第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止．
(iv)方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案．
方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接(如图5)．
根据规律，令40x＋10≤600，解得x≤14.75，所以每行可以先拼14块拼接单元，即共用去14个正六边形和28个正三角形组件，由40×14＋10＝570知，所拼长度为570 cm，剩余30 cm恰好还可以摆放一个正六边形组件(如图5所示的阴影正六边形)．最终需用15个正六边形和28个正三角形组件，由5×15＋1×28＝103知，方案一每行的成本为103元．
由于每行宽度为20 cm(按 ≈1.73计算)，设拼成s行，则
20 s≤740，解得s≤ ≈21.34，故需铺21行．由103×21
＝2 163知，方案一所需的总成本为2 163元．
方案二：第一行沿着长度为7.4 m的墙自左向右拼接．
类似于方案一的成本计算，令40x＋10≤740…
方案二每行的成本为⑤____元，总成本为⑥____元．
【项目实施】
根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动(略)．
请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
①_____；②_____；③_____；④_____；⑤_____；⑥_____．
解：【项目准备】
观察图4可知，每增加一个图4所示的拼接单元，增加1个正六边形和6个正三角形；
由正六边形和正三角形组件的边长均为20 cm，观察图4可得增加的长度为3个边长，即3×20＝60(cm)，
计算y个拼接单元拼成一行的长度，第一个拼接单元有一个正六边形左边的10 cm，每增加一个拼接单元长度增加60 cm，所以y个这样的拼接单元拼成一行的长度为(60y＋10)cm.
【项目分析】
计算方案二每行可拼接的单元数量，
令40x＋10≤740，解得x≤18.25，
∴每行可以先拼18块拼接单元．
计算方案二每行所需的正六边形和正三角形组件数量，
∵拼18块拼接单元，
∴共用去18个正六边形和2×18＝36个正三角形组件．
由40×18＋10＝730知，所拼长度为730 cm，
剩余740－730＝10(cm)，无法再摆放组件．
由5×18＋1×36＝90＋36＝126(元)知，
方案二每行的成本为126元．
故需铺17行．
计算方案二的总成本为126×17＝2 142(元)，
∴方案二所需的总成本为2 142元．
【项目实施】
两种方案比较可知2 163>2 142.
∴选方案二完成实践活动．
故答案为：①1；②6；③60；④(60y＋10)；
⑤126；⑥2 142.
类型4 文化主题类
4．[2023·广西]【综合与实践】
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心．”某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：(m0＋m)·l＝M·(a＋y)．其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．
【方案设计】
目标：设计简易杆秤．设定m0＝10，M＝50，最大可称重物质量为1 000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(2)当秤盘放入质量为1 000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(3)根据(1)和(2)所列方程，求出l和a的值；
任务二：确定刻线的位置．
(4)根据任务一，求y关于m的函数解析式；
(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
解：(1)由题意，得m＝0，y＝0，
∴10l＝50a，
∴l＝5a；
(2)由题意，得m＝1 000，y＝50，
∴(10＋1 000)l＝50(a＋50)，
∴101l－5a＝250；
(5)由(4)可知y＝ m，
∴当m＝0时，则有y＝0；
当m＝100时，则有y＝5；
当m＝200时，则有y＝10；
当m＝300时，则有y＝15；
当m＝400时，则有y＝20；
当m＝500时，则有y＝25；
当m＝600时，则有y＝30；
当m＝700时，则有y＝35；
当m＝800时，则有y＝40；
当m＝900时，则有y＝45；
当m＝1 000时，则有y＝50；
∴相邻刻线间的距离为5厘米．
5．[2023·台州]【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀(控制水的流速大小)的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30 cm，开始放水后每隔10 min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水时间t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm(观察值) 30 29 28.1 27 25.8
任务1 分别计算表中每隔10 min水面高度观察值的变化量；
【建立模型】
小组讨论发现：“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
任务2 利用t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小．
任务3 (1)计算任务2得到的函数解析式的w值；
(2)请确定经过 (0，30)的一次函数解析式，使得w的值最小；
【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．
解：任务1：变化量分别为
29－30＝－1(cm)；
28．1－29＝－0.9(cm)；
27－28.1＝－1.1(cm)；
25．8－27＝－1.2(cm)；
任务2：设h＝kt＋b，
∵t＝0时，h＝30，t＝10时，h＝29，
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为h＝－0.1t＋30；
任务3：(1)当t＝0时，h＝－0.1t＋30＝30，
当t＝10时，h＝－0.1t＋30＝29，
当t＝20时，h＝－0.1t＋30＝28，
当t＝30时，h＝－0.1t＋30＝27，
当t＝40时，h＝－0.1t＋30＝26，
∴w＝(30－30)2＋(29－29)2＋(28－28.1)2＋(27－27)2＋(26－25.8)2＝0.05；
(2)设h＝k1t＋30，则
w＝(30－30)2＋(10k1＋30－29)2＋(20k1＋30－28.1)2＋(30k1＋
30－27)2＋(40k1＋30－25.8)2＝(10k1＋1)2＋(20k1＋1.9)2＋
(30k1＋3)2＋(40k1＋4.2)2＝3 000k12＋612k1＋12＋1.92＋32＋
4.22.
当k1＝－ ＝－0.102时，w最小．
∴优化后的函数解析式为h＝－0.102t＋30；
任务4：时间刻度方案要点：
①时间刻度的0刻度在水位最高处；
②刻度从上向下均匀变大；
③每0.102 cm表示1 min(1 cm表示时间约为9.8 min)．
整理，得y＝－eq \f(1,3)x＋eq \f(70,3)(10≤x≤70)；
∵y＝－eq \f(1,3)×18＋eq \f(70,3)＝eq \f(52,3)，
当x＝17时，y＝eq \f(53,3)，不符合题意；
当x＝19时，y＝eq \f(51,3)＝17，符合题意；
∴a(0－80)2＋60＝0，解得a＝－eq \f(3,320)，
∴y＝－eq \f(3,320)(x－80)2＋60；
y＝－eq \f(3,320)(x－80)2＋60＋75＝－eq \f(3,320)(x－80)2＋135，
当y＝0时，－eq \f(3,320)(x－80)2＋135＝0，
eq \f(3,320)
eq \f(3,320)
eq \f(3,320)
eq \r(3)
eq \r(3)
eq \r(3)
eq \f(37\r(3),3)
由于每行宽度为20eq \r(3) cm(按eq \r(3)≈1.73计算)，设拼成s行，
则20eq \r(3)s≤600，
∴s≤eq \f(600,20\r(3))＝10eq \r(3)≈17.3，
(3)由(1)(2)可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(l＝5a，,101l－5a＝250，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(l＝2.5，,a＝0.5；))
(4)由任务一可知，l＝2.5，a＝0.5，
∴2.5(10＋m)＝50(0.5＋y)，
∴y＝eq \f(1,20)m；
eq \f(1,20)
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝30，,10k＋b＝29，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－0.1，,b＝30，))
eq \f(612,2×3 000)
$微专题4 与自变量有关的二次函数的最值问题
类型1 在全体实数内求最值
【技巧点拨】
方法一：二次函数的一般式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，直接得到最值k；
方法二：先求出对称轴，再代入表达式求值．
1．[2023·陕西]在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋mx＋m2－m(m为常数)的图象经过点(0，6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有( )
A．最大值5 B．最大值
C．最小值5 D．最小值
2．[2023·杭州]设二次函数y＝a(x－m)· (x－m－k) (a>0，m，k是实数)，则( )
A．当k＝2时，函数y的最小值为－a
B．当k＝2时，函数y的最小值为－2a
C．当k＝4时，函数y的最小值为－a
D．当k＝4时，函数y的最小值为－2a
3．[2025·徐州]二次函数y＝x2＋x＋1的最小值为____．
4．[2022·南京]已知二次函数y＝ax2－2ax＋c(a，c为常数，
a≠0)的最大值为2，写出一组符合条件的a和c的值：_________
_________________．
a＝－2，
c＝0(答案不唯一)
类型2 在一定的自变量范围内求最值
【技巧点拨】
先判断二次函数的开口方向，画出函数的大致图象，①若自变量的取值范围包含对称轴，则在对称轴处取得最值；②若自变量的取值范围在对称轴的左侧或者右侧，则根据函数的增减性来判断函数的最值．
5．[2023·大连]已知抛物线y＝x2－2x－1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为( )
A．－2
B．－1
C．0
D．2
6．[2022·贺州]已知二次函数y＝2x2－4x－1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
7．已知二次函数y＝mx2－2mx＋3(m为常数，且m≠0)，
当－1≤x≤2时，函数有最小值2，则m的值是( )
8．[2025·广元]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数且a≠0)的自变量x与函数y的部分对应值如表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … m －4 n －4 s …
其中0＜m＜2.以下结论：①abc＜0 ②若抛物线经过点(－2，
y1)，(7，y2)则y2＞y1 ③关于x的方程 |ax2＋bx＋c|＋1－s＝0
有两个不相等的实数根 ④－ ＜s＋n＜－4 ⑤当m＝1，t≤x
≤t＋2时，y的最小值是1，则t＝2或4.其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
9．[2022·长春]已知二次函数y＝－x2－2x＋3，当a≤x≤ 时，
函数值y的最小值为1，则a的值为_______．
10．当二次函数y＝x2－2x－3的自变量x满足m≤x≤m＋2时，
此函数的最大值为p，最小值为q，且p－q＝2.求m的值．
解：①当m＋2≤1时，即m≤－1时，
x＝m时取最大值，x＝m＋2时取最小值，
∴m2－2m－3－[(m＋2)2－2(m＋2)－3]＝2，
解得m＝－ ，不符合题意；
②当m＋2＞1且m＜1，1－m＞m＋2－1时，
即－1＜m＜0时，
x＝m时取最大值，x＝1时取最小值，
∴m2－2m－3－(－4)＝2，
解得m＝1－ ，或m＝1＋ (舍去)；
③当m＋2＞1且m＜1，1－m＜m＋2－1时，即0＜m＜1时，
x＝m＋2时取最大值，x＝1时取最小值，
∴(m＋2)2－2(m＋2)－3－(－4)＝2，
解得m＝－1＋ ，m＝－1－ (舍去)；
④当m≥1时，
x＝m＋2时取最大值，x＝m时取最小值，
∴(m＋2)2－2(m＋2)－3－(m2－2m－3)＝2，
解得m＝ ，不符合题意；
⑤当m＝0时，
二次函数在0≤x≤2上最大值－3，
最小值－4，－3－(－4)＝1不符合题意；
综上所述，m＝1－ 或m＝－1＋ .
类型3 在对称轴不确定时求最值
【技巧点拨】
以开口向上为例，分三种情况：
如图1，当对称轴在m左侧时 ，y在x＝m时取最小值，
在x＝n时取最大值；
如图2，当对称轴在m，n之间时 ，y在x＝－ 时取
最小值(顶点纵坐标)；
如图3，当对称轴在n右侧时，y在x＝n时取最小值，在x＝m时取
最大值．
11．[潍坊中考]已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为( )
A．3或6 B．1或6
C．1或3 D．4或6
12．[自贡中考]y＝x2＋(1－a)x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是( )
A．a＝5 B．a≥5
C．a＝3 D．a≥3
13．[2023·嘉兴]在二次函数y＝x2－2tx＋3(t>0)中，
(1)若它的图象过点(2，1)，则t的值为多少？
(2)当0≤x≤3时，y的最小值为－2，求出t的值；
(3)如果A(m－2，a)，B(4，b)，C(m，a)都在这个二次函数的图象上，且a<b<3，求m的取值范围．
解：(1)将(2，1)代入y＝x2－2tx＋3中，
得1＝4－4t＋3，解得t＝ ；
(2)抛物线对称轴为x＝t.
①若0<t≤3，
当x＝t时，函数值最小，
∴t2－2t2＋3＝－2，解得t＝± .
∵t>0，
∴t＝ ；
②若t>3，当x＝3时，函数值最小，
∴－2＝9－6t＋3，
解得t＝ (不合题意，舍去)
综上所述，t＝ ；
(3)∵A(m－2，a)，C(m，a)关于对称轴对称，
∴ ＝t，m－1＝t，
且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，
∵抛物线与y轴交点为(0，3)，抛物线对称轴为直线x＝t，
∴此交点关于对称轴的对称点为(2m－2，3)，
∵a<b<3且t>0，
∴4<2m－2，解得m>3.
①当A，B都在对称轴左边时，
∵a<b，
∴4<m－2，解得m>6，
∴m>6；
②当A，B分别在对称轴两侧时，
∵a<b，
∴B到对称轴的距离大于A到对称轴的距离，
∴4－(m－1)>m－1－(m－2)，
解得m<4，
∴3<m<4，
综上所述，3<m<4或m>6.
14．[2025·河南]在二次函数y＝ax2＋bx－2中，x与y的几组对应值如表所示．
x … －2 0 1 …
y … －2 －2 1 …
(1)求二次函数的表达式；
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
(3)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值．
解：(1)把点(－2，－2)，(1，1)代入，得
∴二次函数的解析式为y＝x2＋2x－2；
(2)y＝x2＋2x－2＝(x＋1)2－3，
∴二次函数图象的顶点坐标为(－1，－3)，对称轴为直线x＝－1，
∴点(1，1)关于直线x＝－1的对称点为(－3，1)，
画出函数图象，如图，
(3)根据题意，得平移后的抛物线解析式为y＝(x＋1－n)2－3，
∴平移后的抛物线的对称轴为直线x＝n－1，
当x＝0时，y＝(1－n)2－3＝n2－2n－2，
当x＝3时，y＝(3＋1－n)2－3＝n2－8n＋13.
①当平移后抛物线的对称轴在直线x＝3右侧时，此时n－1≥3，
n≥4，当x＝0时，取到最大值，当x＝3时，取到最小值，
∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，
∴n2－2n－2－(n2－8n＋13)＝5，
解得n＝ (不合题意舍去)；
②当平移后抛物线的对称轴在直线x＝0左侧时，此时n－1
≤0，n≤1，当x＝0时，取到最小值，当x＝3时，取到最大值，
∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，
∴n2－8n＋13－(n2－2n－2)＝5，
解得n＝ (不合题意舍去)；
eq \f(15,4)
eq \f(15,4)
eq \f(3,4)
A．1
B.eq \f(1,3)
C．1或eq \f(1,3)
D．1或－eq \f(1,3)
eq \f(16,3)
eq \f(1,2)
－1－eq \r(3)
eq \f(1,2)
eq \r(2)
eq \r(2)
eq \r(2)
eq \r(2)
eq \f(1,2)
eq \r(2)
eq \r(2)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)＜m))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＜－\f(b,2a)＜n))
eq \f(b,2a)
eq \f(3,2)
eq \r(5)
eq \r(5)
eq \f(7,3)
eq \r(5)
eq \f(m－2＋m,2)
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b－2＝1，,4a－2b－2＝－2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2，))
eq \f(10,3)
eq \f(5,3)
③当平移后抛物线的对称轴在直线x＝0右侧，直线x＝eq \f(3,2)左侧时，0＜n－1＜eq \f(3,2)，即1＜n＜eq \f(5,2)，
此时最小值为－3，当x＝3时，取得最大值，
∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，
∴n2－8n＋13－(－3)＝5，
解得n＝4－eq \r(5)或4＋eq \r(5)(舍去)；
④当平移后抛物线对称轴在直线x＝eq \f(3,2)右侧，直线x＝3左侧时，
3＞n－1＞eq \f(3,2)，即eq \f(5,2)<n<4，
此时最小值为－3，
当x＝0时，取得最大值，∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，
∴n2－2n－2－(－3)＝5，
解得n＝1＋eq \r(5)或1－eq \r(5)(舍去)；
⑤当n－1＝eq \f(3,2)，n＝eq \f(5,2)时，此时最小值为－3，最大值为－eq \f(3,4)，不符合题意；
综上所述，n的值为1＋eq \r(5)或4－eq \r(5).
$第16讲 二次函数的综合题(1)
【构建知识网络】
考点1 线段、周长问题(5年16地19考)
【名师点拨】
线段最值 竖直方向
的线段长 特点：线段上所有点的横坐标相等，线段长＝上方点的纵坐标－下方点的纵坐标．通过二次函数的最值求解
水平方向
的线段长 特点：线段上所有点的纵坐标相等，线段长＝右侧点的横坐标－左侧点的横坐标．通过二次函数的最值求解
线段最值 斜线段的
线段长 化斜为直．步骤：①过动点作x轴或y轴的垂线，构造斜线段有关的直角三角形；②寻找与其相似的三角形(一般情况下，二次函数与坐标轴的交点构成的直角三角形与其相似)；③利用三角函数或相似列等量关系．通过二次函数的最值求解
线段和最值 a.利用三角函数或相似将两条线段转化为一条线段求最值
b.解决形如“kPA＋PB”最值问题：当k＝1时，用“将军饮马”模型；当0<k<1时，点P运动轨迹是直线时，用“胡不归”模型；点P运动轨迹是圆时，用“阿氏圆”模型
周长最值 转化为线段和最值问题求解
1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，作直线BC.
(1)求抛物线的函数表达式；
解：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，
∴y＝－(x＋1)(x－3)，
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3；
(2)如图2，点P是线段BC上方的抛物线上一动点(不与B，C重合)，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D.
①若点D恰好为线段PE的一个三等分点，求此时点P的坐标；
②求线段PD是否存在最大值，若存在，请求出最
大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
解：①∵y＝－x2＋2x＋3，∴当x＝0时，y＝3，∴C(0，3)，
∵B(3，0)，
设直线BC的函数表达式为y＝kx＋3，
把B(3，0)代入，得k＝－1，
∴y＝－x＋3，
设P(m，－m2＋2m＋3)，则D(m，－m＋3)，E(m，0)，
则PD＝－m2＋2m＋3＋m－3＝－m2＋3m，DE＝－m＋3，
③如图3，再过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求△PDQ周长的最大值及此时点P的坐标；
解：∵OC＝3＝OB，
∴∠OBC＝45°，
∵PQ⊥BC，
∴∠PQD＝90°＝∠PEB，
∵∠PDQ＝∠BDE，
∴∠DPQ＝∠OBC＝45°，
∴PQ＝PD·cos∠QPD，QD＝PD·sin∠QPD，
(3)点M为抛物线对称轴上一点．
①如图4，连接AC，MC，MA，是否存在点M，使得△ACM的周长最小？若存在，求出此时点M的坐标及周长的最小值，若不存在，请说明理由；
解：存在．
∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
设直线BC交对称轴于点M′，连接M′A，MB，如图4，由抛物线的对称性可知，AM′＋M′C＝M′B＋M′C＝BC，即当点M与M′重合时，MB＋MC最小为BC的长，此时△AMC的周长最小为AC＋BC.
②如图5，连接CM，BM，当|BM－CM|最大时，求点M的坐标．
解：连接AC并延长交对称轴于点M″，连接BM″，如图5，
由二次函数图象的对称性可知|BM″－CM″|＝|AM″－CM″|＝AC，
即当点M与点M″重合时，|BM－CM|最大．
设直线AC的表达式为y＝k1x＋3，代入A(－1，0)，
得0＝－k1＋3，解得k1＝3，
∴直线AC的表达式为y＝3x＋3，
令x＝1，则y＝3×1＋3＝6，∴点M″(1，6)，则点M的坐标为
(1，6)．
(1)求这条抛物线的函数解析式；
(2)P是抛物线上一动点(不与点A，B，C重合)，作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC.
①如图，若点P在第三象限，且tan∠CPD＝2，求点P的坐标；
②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，请直接写出四边形PECE′的周长．
当点P在第三象限时，如图2，过点E作EF⊥y轴于点F，
则四边形DEFO是矩形，
∴EF＝OD＝－m.
∵点E与点E′关于PC对称，
∴∠ECP＝∠E′CP，CE＝CE′.
∵PE∥y轴，∴∠EPC＝∠PCE′，
∴PE＝CE，∴PE＝CE′，
3．[2022·包头]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点B的坐标是(2，0)，顶点C的坐标是(0，4)，M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线AM与y轴交于点G.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM，记△AOG，△MOG的面积分别为S1，S2.当S1＝2S2，且直线CN∥AM时，求证：点N与点M关于y轴对称；
(3)如图2，直线BM与y轴交于点H，是否存在点M，使得2OH－OG＝7.若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)证明：如图．过点M作MD⊥y轴，垂足为点D.
当△AOG与△MOG都以OG为底时，
∵S1＝2S2，∴OA＝2MD.
当y＝0时，则－x2＋4＝0，
解得x1＝－2，x2＝2.
∵B(2，0)，∴A(－2，0)，∴OA＝2，MD＝1，
∴M(1，3)．
∴直线CN的解析式为y＝x＋4.
令x＋4＝－x2＋4，
解得x1＝0，x2＝－1.
∵点N在第二象限，
∴点N的横坐标为－1，
∴N(－1，3)．
∵M(1，3)，
∴点N与点M关于y轴对称；
(3)存在点M，使得2OH－OG＝7.理由如下：
如图，过点M作ME⊥x轴，垂足为E.
设M(m，－m2＋4)，
∴OE＝m，ME＝－m2＋4.
∵B(2，0)，
∴OB＝2，
∴BE＝2－m.
考点2 面积问题(5年16地13考)
【名师点拨】
1．如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中B(1，0)，C(0，3)，连接BC，AC.
(1)求抛物线的函数表达式；
解：将点B(1，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c，
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2－2x＋3；
(2)若点M是抛物线上一点，是否存在点M，使得S△MAB＝4？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
解：存在．
对于y＝－x2－2x＋3，
令y＝0，
则－x2－2x＋3＝0，
解得x1＝－3，x2＝1，
∴A(－3，0)，∴AB＝4.
设M(m，－m2－2m＋3)，
(3)在抛物线上是否存在一点N(不与点C重合)，使得S△NAB＝S△ABC？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
解：存在．
由(2)知AB＝4，∵C(0，3)，
∴S△ABC＝ ×4×3＝6，
设N(n，－n2－2n＋3)，则
S△NAB＝ ×4×|－n2－2n＋3|＝2|－n2－2n＋3|，
∵S△NAB＝S△ABC，
∴2|－n2－2n＋3|＝6，
(4)若Q是x轴下方二次函数图象上的一点，线段QC交x轴于点D，△QDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点Q的坐标；
(5)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△APC的面积最大？若存在，请直接写出点P坐标和△APC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
解：存在．
过点P作PF⊥x轴于点F，交AC于点E，如图5，
∵A(－3，0)，C(0，3)，
∴直线AC的函数表达式为y＝x＋3.
设P(x，－x2－2x＋3)，则E(x，x＋3)，F(x，0),
∴PE＝－x2－2x＋3－x－3＝－x2－3x，
(6)若点H为抛物线的顶点，求四边形ABCH的面积．
解：∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
∴抛物线的顶点为H(－1，4)，对称轴为直线x＝－1，
设对称轴与x轴交于点G，则G(－1，0)，
∵A(－3，0)，C(0，3)，B(1，0)，
∴AG＝2，HG＝4，GO＝1，CO＝3，OB＝1，
在Rt△AMN中，tan∠MAB＝2，
∴∠ACM＝∠BAM；
1．[2025·黑龙江]如图，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于点A，点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为 (3，－4).
(1)求b与c的值；
(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC
的面积与△ABC的面积相等．若存在，请直接写出
点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为(3，－4)，
∴y＝(x－3)2－4＝x2－6x＋5，
∴b＝－6，c＝5；
(2)存在，理由如下：
对于抛物线y＝x2－6x＋5，
当y＝0，x2－6x＋5＝0，
解得x1＝1，x2＝5，
当x＝0，y＝5，
∴OB＝OC＝5，AB＝5－1＝4，
∵∠COB＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°.
过点B作x轴的垂线，在x轴上方的垂线上截取BD＝BA＝4，
连接AD与BC交于点E，则D(5，4)，
∴∠DBC＝90°－∠OBC＝45°＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°.
∴BC⊥AD，ED＝EA.
过点D作BC的平行线与抛物线交点为点P，
∵S△BCA＝ BC·AE，S△BCP＝ BC·DE，
∴S△BCA＝S△BCP，
∴点P即为所求的点．
设直线BC：y＝mx＋n，
∴直线BC：y＝－x＋5，
∵BC∥PD，
∴设直线PD：y＝－x＋q，
代入D(5，4)，得－5＋q＝4，
解得q＝9，
2.[胡不归问题][2025·眉山]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c关于直线x＝－3对称，与x轴交于A (－1，0)，B两点，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线对称轴上一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时
针旋转90°，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P
的坐标；
(3)在线段OC上是否存在点Q，使2AQ＋ CQ存在最小值？若存在，
请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c关于直线x＝－3对称，与x轴交于A(－1，0)，B两点，
∴B(－5，0)，
∴抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x＋5)＝x2＋6x＋5；
(2)∵点P在对称轴上，设对称轴与x轴交于点E，
∴设P(－3，p)，E(－3，0)．
由旋转的性质可知，
PB＝PD，∠BPD＝90°，
当点P在x轴上方时，如图1，连接PA，
∵A，B关于对称轴对称，
∴PA＝PB，
∴当∠APB＝90°时，满足题意，
此时点D与点A重合，PE＝ AB，
∵A(－1，0)，B(－5，0)，
∴AB＝4，
∴PE＝2，
∴P(－3，2)；
当点P在x轴下方时，如图1，作DF⊥对称轴于点F，
则∠DFP＝90°＝∠BEP＝∠BPD，
∴∠BPE＝∠PDF＝90°－∠DPF，
又∵BP＝DP，
∴△BPE≌△PDF，
∴DF＝PE，PF＝BE.
∵B(－5，0)，E(－3，0)，P(－3，p)，
∴DF＝PE＝－p，PF＝BE＝2，
∴EF＝－p＋2，
∴D(p－3，p－2)，
把D(p－3，p－2)代入y＝x2＋6x＋5，
得p－2＝(p－3)2＋6(p－3)＋5，
解得p＝－1或p＝2(舍去)；
∴P(－3，－1)；
综上所述，P(－3，2)或P(－3，－1)；
(3)存在．
如图2，在x轴上取点M(5，0)，连接AC，CM，过点A作AH⊥CM于点H，交y轴于点Q′，
过点Q作QG⊥CM于点G，
则OM＝5，∠QGC＝90°.
∵y＝x2＋6x＋5，
∴当x＝0时，y＝5，
∴C(0，5)，
在Rt△AHM中，∠AMH＝45°，
∴∠MAH＝45°，
∴△OAQ′为等腰直角三角形，
∴OQ′＝OA＝1，
∴Q′(0，1)．
综上所述，Q(0，1)时，2AQ＋ CQ的最小值为6 .
i．当PD＝2DE时，即－m2＋3m＝2(－m＋3)，解得m1＝2或m2＝3(舍去)，
∴P(2，3)；
ii.当PD＝eq \f(1,2)DE时，即－m2＋3m＝eq \f(1,2)(－m＋3)，解得m1＝eq \f(1,2)或m2＝3(舍去)，
∴P(eq \f(1,2)，eq \f(15,4))．
综上所述，点P的坐标为P(2，3)或P(eq \f(1,2)，eq \f(15,4))；
②存在．
由①知PD＝－m2＋2m＋3＋m－3＝－m2＋3m＝－(m－eq \f(3,2))2＋eq \f(9,4)，
∵－1<0，
∴当m＝eq \f(3,2)时，PD取得最大值eq \f(9,4)，此时点P的坐标为P(eq \f(3,2)，eq \f(15,4))；
∵△PDQ的周长＝QD＋PD＋PQ＝PD(1＋cos∠QPD＋sin∠QPD)＝(1＋eq \r(2))PD，
∴当PD最大时，△PDQ的周长最大，
由②，得当m＝eq \f(3,2)时，PD的最大值为eq \f(9,4)，此时△PDQ的周长最大，为eq \f(9,4)(eq \r(2)＋1)，点P的坐标为P(eq \f(3,2)，eq \f(15,4))；
将x＝1代入y＝－x＋3，得y＝2，则点M′为(1，2)．
∵A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，
∴AC＝eq \r(12＋32)＝eq \r(10)，BC＝eq \r(32＋32)＝3eq \r(2)，
∴当点M的坐标为(1，2)时，△AMC的周长的最小值为eq \r(10)＋3eq \r(2)；
2．[2023·通辽]在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋eq \f(8,3)x＋c(a≠0) 与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，－4)．
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋eq \f(8,3)x＋c(a≠0) 与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，－4)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋\f(8,3)＋c＝0，,c＝－4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(4,3)，,c＝－4，))
∴抛物线的解析式为y＝eq \f(4,3)x2＋eq \f(8,3)x－4；
(2)①设P(m，eq \f(4,3)m2＋eq \f(8,3)m－4)，如图1，过点C作CM⊥PD于M，
∴∠PEC＝∠CED＝90°，
∵C(0，－4)，∴OC＝4.
∵PD⊥x轴，∴∠PDO＝90°.
∵∠DOC＝90°，∴四边形DOCM是矩形，
∴DM＝OC＝4，OD＝CM＝－m，
∴PM＝PD－DM＝－(eq \f(4,3)m2＋eq \f(8,3)m－4)－4＝－eq \f(4,3)m2－eq \f(8,3)m.
∵tan∠CPD＝eq \f(CM,PM)＝2，∴eq \f(－m,－\f(4,3)m2－\f(8,3)m)＝2，
∴m1＝－eq \f(13,8)，m2＝0(舍去)，
∴eq \f(4,3)m2＋eq \f(8,3)m－4＝－eq \f(77,16)，
∴P(－eq \f(13,8)，－eq \f(77,16))；
②对于y＝eq \f(4,3)x2＋eq \f(8,3)x－4，当y＝0时，eq \f(4,3)x2＋eq \f(8,3)x－4＝0，
解得x1＝1，x2＝－3，
∴B(－3，0)．
∵OC＝4，
∴BC＝eq \r(OB2＋OC2)＝5.
∴四边形PECE′是菱形．
∵EF∥OA，∴△CEF∽△CBO，∴eq \f(CE,BC)＝eq \f(EF,OB)，
∴eq \f(CE,5)＝eq \f(－m,3)，∴CE＝－eq \f(5,3)m.
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3k＋b＝0，,b＝－4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(4,3)，,b＝－4，))
∴直线BC的解析式为y＝－eq \f(4,3)x－4，
∴E(m，－eq \f(4,3)m－4)，
∴PE＝(－eq \f(4,3)m－4)－(eq \f(4,3)m2＋eq \f(8,3)m－4)＝－eq \f(4,3)m2－4m.
∵CE＝－eq \f(5,3)m，PE＝CE，
∴－eq \f(4,3)m2－4m＝－eq \f(5,3)m，
解得m1＝－eq \f(7,4)，m2＝0(舍去)，
∴CE＝－eq \f(5,3)×(－eq \f(7,4))＝eq \f(35,12)，
∴四边形PECE′的周长＝4CE＝4×eq \f(35,12)＝eq \f(35,3).
当点P在第二象限时，如图3，
同理可得eq \f(4,3)m2＋4m＝－eq \f(5,3)m，
解得m1＝－eq \f(17,4)，m2＝0(舍去)，
∴CE＝－eq \f(5,3)×(－eq \f(17,4))＝eq \f(85,12)，
∴四边形PECE′的周长＝4CE＝4×eq \f(85,12)＝eq \f(85,3)，
综上所述，四边形PECE′的周长为eq \f(35,3)或eq \f(85,3).
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋c与x轴交于点B(2，0)，顶点为
C(0，4)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋c＝0，,c＝4.))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,c＝4.))
∴该抛物线的解析式为y＝－x2＋4；
设直线AM的解析式为y＝k1x＋b1，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2k1＋b1＝0，,k1＋b1＝3.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝1，,b1＝2，))
∴直线AM的解析式为y＝x＋2.
设直线CN的解析式为y＝k2x＋b2，
∵直线CN∥AM，
∴k2＝k1＝1，∴y＝x＋b2.
∵C(0，4)，∴b2＝4，
在Rt△BEM和Rt△BOH中，
∵tan∠MBE＝tan∠HBO，
∴eq \f(EM,BE)＝eq \f(OH,BO)，
∴OH＝eq \f(EM·BO,BE)＝eq \f(2（－m2＋4）,2－m)＝2(2＋m)＝2m＋4.
∵OA＝2，
∴AE＝m＋2，
在Rt△AOG和Rt△AEM中，
∵tan∠GAO＝tan∠MAE，
∴eq \f(OG,AO)＝eq \f(EM,AE)，
∴OG＝eq \f(EM·AO,AE)＝eq \f(2（－m2＋4）,m＋2)＝2(2－m)＝4－2m.
∵2OH－OG＝7，∴2(2m＋4)－(4－2m)＝7，
∴m＝eq \f(1,2).
当m＝eq \f(1,2)时，－m2＋4＝eq \f(15,4)，
∴M(eq \f(1,2)，eq \f(15,4))．
∴存在点M(eq \f(1,2)，eq \f(15,4))，使得2OH－OG＝7.
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＋b＋c＝0，,c＝3，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－2，,c＝3，))
则S△MAB＝eq \f(1,2)×4×|－m2－2m＋3|＝2|－m2－2m＋3|，
又∵S△MAB＝4，
∴2|－m2－2m＋3|＝4，
∴－m2－2m＋3＝2或－m2－2m＋3＝－2，
解得m1＝－1＋eq \r(2)，m2＝－1－eq \r(2)，m3＝－1＋eq \r(6)，m4＝－1－eq \r(6)，
∴点M的坐标为(－1＋eq \r(2)，2)或(－1－eq \r(2)，2)或(－1＋eq \r(6)，－2)或(－1－eq \r(6)，－2)；
eq \f(1,2)
eq \f(1,2)
∴－n2－2n＋3＝3或－n2－2n＋3＝－3，
解得n1＝0(舍去)，n2＝－2，n3＝－1－eq \r(7)，n4＝－1＋eq \r(7)，
∴点N的坐标为(－2，3)或(－1－eq \r(7)，－3)或(－1＋eq \r(7)，－3)；
解：设Q(t，－t2－2t＋3)，
则S△QBD＝eq \f(1,2)BD·|－t2－2t＋3|，S△CBD＝eq \f(1,2)BD·CO，
∵CO＝3，
由题意，得eq \f(S△QDB,S△CDB)＝eq \f(|－t2－2t＋3|,3)＝2，
又∵Q是x轴下方二次函数图象上的一点，
∴－t2－2t＋3＝－6，
解得t1＝－1－eq \r(10)，t2＝－1＋eq \r(10)，
∴点Q的坐标为(－1－eq \r(10)，－6)或(－1＋eq \r(10)，－6)；
∴S△APC＝S△APE＋S△PEC＝eq \f(1,2)PE·AF＋eq \f(1,2)PE·OF＝eq \f(1,2)PE·(AF＋OF)＝eq \f(1,2)PE·OA＝eq \f(1,2)×3(－x2－3x)＝－eq \f(3,2)(x＋eq \f(3,2))2＋eq \f(27,8)，
∵－eq \f(3,2)＜0，
∴△APC的面积有最大值，
∴当x＝－eq \f(3,2)时，△APC的面积最大，最大值为eq \f(27,8)，此时点P的坐标为(－eq \f(3,2)，eq \f(15,4))；
∴S四边形ABCH＝S△AHG＋S△COB＋S梯形COGH＝eq \f(1,2)AG·HG＋eq \f(1,2)(CO＋HG)·OG＋eq \f(1,2)OC·OB
＝eq \f(1,2)×2×4＋eq \f(1,2)×(3＋4)×1＋eq \f(1,2)×3×1＝9.
2．[2024·通辽]如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－eq \f(3,2)x＋3与x轴，y轴分别交于点C，D，抛物线y＝－eq \f(1,4)(x－2)2＋k(k为常数)经过点D且交x轴于A，B两点．
(1)求抛物线表示的函数解析式；
(2)若点P为抛物线的顶点，连接AD，DP，CP.
求四边形ACPD的面积．
解：(1)在y＝－eq \f(3,2)x＋3中，令x＝0得y＝3，
∴D(0，3)．
∵抛物线y＝－eq \f(1,4)(x－2)2＋k经过点D，
∴3＝－eq \f(1,4)×(0－2)2＋k，解得k＝4，
∴y＝－eq \f(1,4)(x－2)2＋4＝－eq \f(1,4)x2＋x＋3；
∴抛物线表示的函数解析式为y＝－eq \f(1,4)x2＋x＋3；
(2)连接OP，如图．
在y＝－eq \f(3,2)x＋3中，令y＝0得x＝2，
∴C(2，0)，OC＝2，
在y＝－eq \f(1,4)x2＋x＋3中，令y＝0得
0＝－eq \f(1,4)x2＋x＋3，解得x＝6或x＝－2，
∴A(－2，0)，OA＝2，
由y＝－eq \f(1,4)(x－2)2＋4可得抛物线顶点P坐标为(2，4)，
∴S四边形ACPD＝S△AOD＋S△POD＋S△POC
＝eq \f(1,2)×2×3＋eq \f(1,2)×3×2＋eq \f(1,2)×2×4
＝3＋3＋4＝10.
∴四边形ACPD的面积为10.
3．[2024·包头]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－2x2＋bx＋c与x轴相交于A(1，0)，B两点(点A在点B左侧)，顶点为M(2，d)，连接AM.
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若C是y轴正半轴上一点，
连接AC，CM.当点C的坐标为(0，eq \f(1,2))时，
求证：∠ACM＝∠BAM；
(3)如图2，连接BM，将△ABM沿x轴折叠，折叠后点M落在第四象限的点M′处，过点B的直线与线段AM′相交于点D，与y轴负半轴相交于点E.当eq \f(BD,DE)＝eq \f(8,7)时，3S△ABD与2S△M′BD是否相等？请说明理由．
解：(1)∵顶点为M(2，d)，
∴－eq \f(b,－4)＝2，
∴b＝8，∴y＝－2x2＋8x＋c，
将点A(1，0)代入y＝－2x2＋8x＋c，
∴－2＋8＋c＝0，解得c＝－6，
∴抛物线的表达式为y＝－2x2＋8x－6；
(2)证明：∵y＝－2x2＋8x－6＝－2(x－2)2＋2，∴M(2，2)，
过点M作MN⊥x轴交于点N，
∵A(1，0)，C(0，eq \f(1,2))，
∴AC＝eq \f(\r(5),2)，AM＝eq \r(5)，CM＝eq \f(5,2)，
∵CM2＝AC2＋AM2，
∴△ACM是直角三角形，且∠CAM＝90°，
∴tan∠ACM＝2，
(3)3S△ABD＝2S△M′BD，理由如下：
∵M(2，2)，
∴M′(2，－2)．
过点D作DH⊥x轴于H点，
∵OE∥DH，∴eq \f(BH,OH)＝eq \f(BD,DE)＝eq \f(8,7)，
当y＝0时，－2x2＋8x－6＝0，
解得x＝1或x＝3，∴B(3，0)，
∴eq \f(3－xD,xD)＝eq \f(8,7)，解得xD＝eq \f(7,5)，
设直线AM′的表达式为y＝kx＋m，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋m＝0，,2k＋m＝－2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,m＝2，))
∴直线AM′的表达式为y＝－2x＋2，
∴D(eq \f(7,5)，－eq \f(4,5))，∴AD＝eq \f(2\r(5),5)，DM′＝eq \f(3\r(5),5).
设B点到AM′的距离为h，
∴3S△ABD＝eq \f(1,2)×3×eq \f(2\r(5),5)h＝eq \f(3\r(5),5)h，
2S△M′BD＝eq \f(1,2)×2×eq \f(3\r(5),5)h＝eq \f(3\r(5),5)h，
∴3S△ABD＝2S△M′BD.
eq \f(1,2)
eq \f(1,2)
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5m＋n＝0，,n＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝5，))
∴直线PD：y＝－x＋9，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋9，,y＝x2－6x＋5，))
整理，得x2－5x－4＝0，
解得x＝eq \f(5＋\r(41),2)或x＝eq \f(5－\r(41),2)，
∴点P的横坐标为eq \f(5＋\r(41),2)或eq \f(5－\r(41),2).
eq \r(2)
eq \f(1,2)
∴OC＝OM＝5，
∴CM＝eq \r(2)OC＝5eq \r(2)，∠OCM＝∠OMC＝45°，
∴△QGC为等腰直角三角形，
∴QG＝CG＝eq \f(\r(2),2)CQ，
∴2AQ＋eq \r(2)CQ＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(AQ＋\f(\r(2),2)CQ))＝2(AQ＋QG)≥2AH，
∴当点Q与点Q′重合时，2AQ＋eq \r(2)CQ的值最小为2AH的长．
∵A(－1，0)，
∴OA＝1，AM＝6，
∵S△ACM＝eq \f(1,2)AM·OC＝eq \f(1,2)CM·AH，
∴6×5＝5eq \r(2)AH，
∴AH＝3eq \r(2)，
∴2AQ＋eq \r(2)CQ的最小值为6eq \r(2).
eq \r(2)
eq \r(2)
$第12讲 二次函数的图象及其性质(1)
【构建知识网络】
知识点1 二次函数的概念及表达式的确定
定义 形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的函数，叫做x的二次函数
表达式的
三种形式 一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
顶点式：y＝a(x－h)2＋k，其中(h，k)为顶点坐标，h，k为常数，a≠0
交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中a≠0，x1，x2为函数图象与x轴交点的横坐标
待定系
数法求
解析式 1.设解析式：根据所给点(坐标)的特征选设适当的解析式
2．代入点的坐标：将已知点的坐标代入相应的解析式中，得到关于待定系数的方程(组)
3．求解：解方程(组)求出待定系数的值，从而得出函数的解析式
【满分技能】
一般式通过配方法可转化为顶点式，通过因式分解法可转化为交点式．
知识点2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
a的符号 a＞0 a＜0
图象 (示例)
(示例)
开口方向 向上 向下
对称轴
知识点3 二次函数图象的几何变换(平移、对称与旋转)
1．二次函数图象的平移
【满分技能】
在二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c平移过程中，先把二次函数的表达式化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，然后根据平移规律，左右平移给x加减平移的单位长度，上下平移给等号右边加减平移的单位长度．
2．二次函数图象的对称与旋转
考点1 二次函数的图象与性质(5年6地13考)
1．[2024·呼和浩特]在同一平面直角坐标系中，函
数y＝ax－b(a≠0)和 (c≠0)的图象大致如图
所示，则函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象大致为( )
3．[2023·包头]已知二次函数y＝－ax2＋2ax＋3(a>0)，若点
P(m，3)在该函数的图象上，且m≠0，则m的值为__．
2
4．[2024·通辽]关于抛物线y＝x2－2mx＋m2＋m－4(m是常数)，
下列结论正确的是_____(填序号)．
①当m＝0时，抛物线的对称轴是y轴
②若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m＝－4
③若点A(m－2，y1)，B(m＋1，y2)在抛物线上，则y1<y2
④无论m为何值，抛物线的顶点到直线y＝x的距离都等于
①④
解析：当m＝0时，y＝x2－4，此时抛物线的对称轴是y轴，故①正确；
∵此抛物线与x轴只有一个公共点，
∴方程x2－2mx＋m2＋m－4＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝(－2m)2－4(m2＋m－4)＝0，
解得m＝4，故②错误；
∵y＝x2－2mx＋m2＋m－4＝(x－m)2＋m－4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝m.
∵1>0，
∴离对称轴距离越远的点的纵坐标越大．
∵点A(m－2，y1)，B(m＋1，y2)在抛物线上，且|m－2－m|>|m＋1－m|，
∴y1>y2，故③错误；
∵y＝x2－2mx＋m2＋m－4＝(x－m)2＋m－4，
∴抛物线的顶点坐标为(m，m－4)，
∴抛物线的顶点坐标在直线y＝x－4上．
2．[2021·呼和浩特]已知抛物线y＝ax2＋kx＋h(a>0)．
(1)通过配方可以将其化成顶点式为 ，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在x轴
(填“上方”或“下方”)，即4ah－k2 0(填“大于”或“小于”)时，该抛物线与x轴必有两个交点；
(2)若抛物线上存在两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在x轴下方，请你结合A，B两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明；(为了便于说明，不妨设x1<x2且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图)
(3)利用二次函数(1)(2)结论，求证：当a>0，(a＋c)(a＋b＋c)<0时，(b－c)2>4a(a＋b＋c)．
(2)若设x1<x2且都不等于顶点横坐标，则A，B两点位置可能有以下三种情况：
①当A，B都在对称轴左侧时，由于在对称轴左侧，函数值随x的增大而减小，所以点A在x轴上方，点B在x轴
下方，顶点M在点B下方，所以抛物线顶点必在
x轴下方．如图1所示；
②当A，B都在对称轴右侧时，由于在对称轴右侧，函数值随x的增大而增大，所以点B在x轴上方，点A在x轴下方，顶点M在点A下方，所以抛物线顶点必在x轴下方．如图2所示；
③当A，B在对称轴两侧时，由于A，B分布在x轴两侧，所以不管A，B哪个点在x轴下方，都可以根据抛物线的对称性将其中一个点对称到对称轴另一侧的抛物线上，同①或②，可以说明抛物线顶点必在x轴下方．如图3所示；
(3)证明：令y＝ax2＋(b－c)x＋(a＋b＋c)，a>0，
当x1＝0时，y1＝a＋b＋c；
当x2＝－1时，y2＝2(a＋c)．
而(a＋c)(a＋b＋c)<0，
∴y1·y2<0，
∴y＝ax2＋(b－c)x＋(a＋b＋c)上存在两点(－1，2a＋2c)，(0，a＋b＋c)分别位于x轴两侧，
考点3 二次函数表达式的确定(5年6地17考)
1．[2021·赤峰]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x … －1 0 1 2 3 …
y … 3 0 －1 m 3 …
以下结论正确的是( )
A．抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下
B．当x<3时，y随x增大而增大
C．方程ax2＋bx＋c＝0的根为0和2
D．当y>0时，x的取值范围是0<x<2
考点4 二次函数图象的平移、对称与旋转(5年6地3考)
1．[2024·包头]将抛物线y＝x2＋2x向下平移2个单位长度后，所得新抛物线的顶点式为( )
A．y＝(x＋1)2－3 B．y＝(x＋1)2－2
C．y＝(x－1)2－3 D．y＝(x－1)2－2
2．[2022·通辽]在平面直角坐标系中，将二次函数y＝(x－1)2＋1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为( )
A．y＝(x－2)2－1
B．y＝(x－2)2＋3
C．y＝x2＋1
D．y＝x2－1
解析：如图，
当y＝0时，－x2＋4x＋5＝0，解得x1＝－1，x2＝5，
则A(－1，0)，B(5，0)，
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下
方的部分图象的解析式为y＝(x＋1)(x－5)，
即y＝x2－4x－5(－1≤x≤5)，
当直线y＝－x＋b经过点A(－1，0)时，1＋b＝0，
解得b＝－1；
4．已知抛物线C1：y＝2x2－8，把C1绕点(1，0)旋转180°，得
到抛物线C2，则C2的解析式为____________．
y＝－2x2＋8x
1．[2025·福建]已知点A(－2，y1)，B(1，y2)在抛物线y＝3x2＋
bx＋1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是( )
A．1＜y1＜y2
B．y1＜1＜y2
C．1＜y2＜y1
D．y2＜1＜y1
2．[2025·广州]在平面直角坐标系中，两点A(x1，y1)，B(x2，
y2)在抛物线y＝ax2－2ax(a＞0)上，则下列结论中正确的
是( )
A．当x1＜0且y1·y2＜0时，则0＜x2＜2
B．当x1＜x2＜1时，则y1＜y2
C．当x1＜0且y1·y2＞0时，则0＜x2＜2
D．当x1＞x2＞1时，则y1＜y2
4．[2025·南充]已知某函数图象关于y轴对称，当0≤x≤2时，
y＝x2－2x；当x>2时，y＝2x－4.若直线y＝x＋b与这个函数图
象有且仅有四个不同交点，则实数b的范围是( )
解析：∵函数图象关于y轴对称，当0≤x≤2时，y＝x2－2x，当x>2时，y＝2x－4，
∴当－2≤x＜0时，y＝x2＋2x；当x＜－2时，y＝－2x－4.
画出函数图象：
5．[2025·上海]将函数y＝3x2的图象向下平移2个单位后，得
到的新函数的解析式为_________.
6．[2025·广东]已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点(c，
0)，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是__________
________________．(写出一个即可)
y＝3x2－2
y＝－x2＋x
＋2(答案不唯一)
7．[2025·常州]如图，在平面直角坐标系xOy中，
一次函数y＝－ x＋3的图象分别与x轴，y轴交于
点A，B，点C是线段AB上一点，C与B不重合．二次
函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图象经过点B，
顶点是C.将该二次函数的图象平移后得到新抛物线，B′，C′
分别是B，C的对应点，且点B′落在x轴正半轴上，点C′的纵
坐标为－2.
(1)OB＝_______；
(2)求点C的坐标；
(3)已知新抛物线与y轴交于点
在新抛物线上，若对于满足m＜x2≤m＋1的任意实数x2，y2＞y1总成立，求实数m的取值范围．
解：(1)∵y＝－ x＋3，
∴当x＝0时，y＝3，
∴B(0，3)，
∴OB＝3；
故答案为：3；
(2)∵B(0，3)，点B的对应点B′落在x轴正半轴上，
∴点B向下平移3个单位，
∴点C向下平移3个单位后，与C′的纵坐标相同，
∵点C′的纵坐标为－2，
∴点C的纵坐标为－2＋3＝1；
∵点C在线段AB上，
∵平移后点B的对应点B′落在x轴正半轴上，
∴设抛物线向右平移h(h＞0)个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，
∴新的抛物线的解析式为
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，点D(3，y1)关于对称轴的对称点为D′(1，y1)，
∵对于满足m＜x2≤m＋1的任意实数x2，y2＞y1总成立，
∴m＋1＜1或m≥3，
∴m＜0或m≥3.
8．[2025·北京]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点O和点A(3，3a)．
(1)求c的值，并用含a的式子表示b；
(2)过点P(t，0)作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N.
①若a＝1，t＝4，求MN的长；
②已知在点P从点O运动到点B(2a，0)的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围．
解：(1)将点O(0，0)代入抛物线y＝ax2＋bx＋c，得c＝0，
∴该抛物线解析式为y＝ax2＋bx，
将点A(3，3a)代入抛物线y＝ax2＋bx，得3a＝9a＋3b，
解得b＝－2a；
(2)①若a＝1，则该抛物线及直线解析分别为y＝x2－2x，y＝x，
当t＝4时，可有点P(4，0)，
如图1所示，
∵PM⊥x轴，
∴xM＝xN＝4，
将x＝4代入y＝x2－2x，得y＝42－2×4＝8，即M(4，8)，
将x＝4代入y＝x，得y＝4，即N(4，4)，
∴MN＝8－4＝4；
②当点P从点O运动到点B(2a，0)的过程中，
∵PM⊥x轴，P(t，0)，∴xM＝xN＝t，
将x＝t代入y＝ax2－2ax，
得y＝at2－2at，即M(t，at2－2at)，
将x＝t代入y＝ax，可得y＝at，即N(t，at)，
令MN＝0，即at2－3at＝0，解得t＝0或t＝3，
若a>0，则2a>0，即点B在y轴右侧，如图2，
当0＜t≤3时，可有MN＝－at2＋3at，其图象开
口向下，对称轴为t＝ ，
若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，
则2a≤ ，解得a≤ ；
当t>3时，可有MN＝at2－3at，其图象开口向上，对称轴为t＝ ，
不符合题意；
若a＜0，则2a＜0，即点B在y轴左侧，如图3，
当t＜0时，可有MN＝－at2＋3at，其图象开口向上，对称轴为
t＝ ，
若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的减小而增大，
则2a≤ ，解得a≤ ，
∴a＜0.
综上所述，a的取值范围为a≤ 且a≠0.
直线x＝－eq \f(b,2a)
增
减
性
在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小
最
值
当x＝－eq \f(b,2a)时，y有最小值eq \f(4ac－b2,4a)
当x＝－eq \f(b,2a)时，y有最大值eq \f(4ac－b2,4a)
顶点
坐标
(－eq \f(b,2a)，eq \f(4ac－b2,4a))
开口
大小
|a|越大，图象的开口越小；|a|越小，图象的开口越大
y＝eq \f(－c,x)
2．[2024·赤峰]如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝－x2＋4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n(m>n>0)，下列结论正确的是( )
A．m＋n＝1
B．m－n＝1
C．mn＝1
D．eq \f(m,n)＝1
2eq \r(2)
如图，过点A作AB⊥直线y＝x于点B，
则点A(4，0)，∠AOB＝45°，OA＝4，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴AB＝eq \f(\r(2),2)OA＝2eq \r(2)，
即抛物线的顶点到直线y＝x的距离都等于2eq \r(2)，故④正确．
综上所述，正确的有①④.
考点2 二次函数图象的增减性(5年6地7考)
1．[2023·呼和浩特]关于x的二次函数y＝mx2－6mx－5(m≠0)的结论：
①对于任意实数a，都有x1＝3＋a对应的函数值与x2＝3－a对应的函数值相等
②若图象过点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，点C(2，－13)，则当x1>x2>eq \f(9,2)时，eq \f(y1－y2,x1－x2)<0
③若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，则－eq \f(4,9)<m≤－eq \f(1,3)或eq \f(1,3)≤m<eq \f(4,9)
④当m>0且n≤x≤3时，－14≤y≤n2＋1，则n＝1.
其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：①∵二次函数y＝mx2－6mx－5(m≠0)，
∴该函数的对称轴为直线x＝－eq \f(－6m,2m)＝3.
∵x1＝3＋a，x2＝3－a，∴eq \f(x1＋x2,2)＝3，
即(x1，y1)和(x2，y2)关于直线x＝3对称，
∴x1＝3＋a对应的函数值与x2＝3－a对应的函数值相等，故①正确；
②把C(2，－13)代入y＝mx2－6mx－5(m≠0)，得－13＝4m－12m－5，解得m＝1，
∴二次函数表达式为y＝x2－6x－5.
∵a＝1>0，该函数的对称轴为直线x＝3，
∴当x>3时，y随x的增大而增大．
∵x1>x2>eq \f(9,2)，∴y1>y2，∴x1－x2>0，y1－y2>0，
∴eq \f(y1－y2,x1－x2)>0，故②不正确；
③∵y＝mx2－6mx－5＝m(x－3)2－5－9m，
∴当x＝3时，y＝－5－9m，
当x＝6时，y＝－5，
当m>0时，∵3≤x≤6，
∴y随x的增大而增大．
∵3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，
∴四个整数解为－5，－6，－7，－8，
∴－9<－5－9m≤－8，解得eq \f(1,3)≤m<eq \f(4,9).
当m<0时，∵3≤x≤6，
∴y随x的增大而减小．
∵3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，
∴四个整数解为－5，－4，－3，－2，
∴－2≤－5－9m<－1，解得－eq \f(4,9)<m≤－eq \f(1,3)，
综上所述，－eq \f(4,9)<m≤－eq \f(1,3)或eq \f(1,3)≤m<eq \f(4,9)，故③正确；
④当m>0且n≤x≤3时，y随x的增大而减小，
∵－14≤y≤n2＋1，
∴当x＝3时，y＝－5－9m＝－14，解得m＝1，
∴y＝x2－6x－5.
当x＝n时，y＝n2－6n－5＝n2＋1，
解得n＝－1，故④不正确；
综上所述，正确的有①③，共2个．
解：(1)y＝ax2＋kx＋h＝a(x2＋eq \f(k,a)x)＋h＝a[x2＋eq \f(k,a)x＋(eq \f(k,2a))2－(eq \f(k,2a))2]＋h＝a(x＋eq \f(k,2a))2－eq \f(k2,4a)＋h＝a(x＋eq \f(k,2a))2＋eq \f(4ah－k2,4a)，
∴顶点式为y＝a(x＋eq \f(k,2a))2＋eq \f(4ah－k2,4a)，当顶点在x轴下方时，即4ah－k2<0时，该抛物线与x轴必有两个交点；
故答案为：y＝a(x＋eq \f(k,2a))2＋eq \f(4ah－k2,4a)，下方，小于；
∴由(1)(2)得y＝ax2＋(b－c)x＋(a＋b＋c)顶点在x轴下方，
即eq \f(4a（a＋b＋c）－（b－c）2,4a)<0，
又∵a>0，
∴4a(a＋b＋c)－(b－c)2<0，
即(b－c)2>4a(a＋b＋c)．
2．[2021·呼和浩特]已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点(m，0)，(n，0)，且过A(0，b)，B(3，a)两点(b，a是实数)，若0<m<n<2，则ab的取值范围是( )
A．0<ab<eq \f(41,8) B．0<ab<eq \f(19,8)
C．0<ab<eq \f(81,16) D．0<ab<eq \f(49,16)
解析：由题意，二次函数与x轴交于两点(m，0)，(n，0)，且二次项系数为1，
则y＝(x－m)(x－n)＝x2－(m＋n)x＋mn.
∵过A(0，b)，B(3，a)两点，
∴b＝mn，a＝(3－m)(3－n)，
∴ab＝mn(3－m)(3－n)＝(－m2＋3m)(－n2＋3n)
＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－（m－\f(3,2)）2＋\f(9,4)))
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－（n－\f(3,2)）2＋\f(9,4))).
∵0<m<n<2，
∴0<－m2＋3m≤eq \f(9,4)，0<－n2＋3n≤eq \f(9,4).
∵b＝mn>0，a>0，m<n，
∴0<ab<eq \f(81,16).
3．[2025·呼伦贝尔二模] 已知二次函数y＝－x2＋4x＋5及一次函数y＝－x＋b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象(如图所示)，当直线y＝－x＋b与新图象有4个交点时，b的取值范围是( )
A．－9<b<0
B．－eq \f(29,4)<b<－1
C．－eq \f(29,4)≤b≤－1
D．－7<b<－1
当直线y＝－x＋b与抛物线y＝x2－4x－5(－1≤x≤5)相切时，
方程x2－4x－5＝－x＋b有两个相等的实数解，由Δ＝0
解得b＝－eq \f(29,4)，
所以当直线y＝－x＋b与新图象有4个交点时，
b的取值范围为－eq \f(29,4)<b<－1.
3．[2025·南通]在平面直角坐标系xOy中，五个点的坐标分别为Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，5))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－1))，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，5)).若抛物线y＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))2＋keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＞0))经过上述五个点中的三个点，则满足题意的a的值不可能为( )
A.eq \f(3,8)
B.eq \f(4,9)
C.eq \f(2,3)
D.eq \f(3,4)
A．－eq \f(1,4)＜b＜0
B．－eq \f(9,4)＜b＜－eq \f(1,4)
C．－eq \f(1,4)≤b≤0
D．b≤－eq \f(1,4)或b>0
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x2＋2x，,y＝x＋b，))得x2＋x－b＝0，
当Δ＝1＋4b＝0，即b＝－eq \f(1,4)时，直线与y＝x2＋2x(－2≤x＜0)相切．
当直线过(0，0)时，b＝0.
结合图象可知，当－eq \f(1,4)＜b＜0时，直线y＝x＋b与这个函数图象有且仅有四个不同交点．
eq \f(3,2)
Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，y1))，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，y2))
eq \f(3,2)
即点C在直线y＝－eq \f(3,2)x＋3上，
∴当y＝－eq \f(3,2)x＋3＝1时，x＝eq \f(4,3)，
∴Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，1))；
(3)∵B(0，3)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，1))，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图象经过点B，顶点是C.
∴y＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3)))2＋1，把B(0，3)代入，得aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(4,3)))2＋1＝3，
∴a＝eq \f(9,8)，
∴y＝eq \f(9,8)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3)))2＋1，
y＝eq \f(9,8)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3)－h))2－2，把Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))代入，
得eq \f(9,8)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(4,3)－h))2－2＝eq \f(5,2)，解得h＝eq \f(2,3)或h＝－eq \f(10,3)(舍去)；
∴y＝eq \f(9,8)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3)－\f(2,3)))2－2＝eq \f(9,8)(x－2)2－2，
∴MN＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(at2－2at－at))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(at2－3at)).
eq \f(3,2)
eq \f(3,2)
eq \f(3,4)
eq \f(3,2)
eq \f(3,2)
eq \f(3,4)
eq \f(3,2)
eq \f(3,4)
$第14讲 二次函数的实际应用(1)
【构建知识网络】
知识点1 面积问题
解题
步骤 1.面积最值问题通常含两个变量，设其中一个为自变量，通过图形中存在的等量关系，用自变量表示另一个变量；
2．由图形面积公式等列二次函数表达式；
3．根据二次函数的性质求最值
公式 周长公式，面积公式，由相似得到的比例式，勾股定理，锐角三角函数等
知识点2 营销问题
问题
特点 销售价格变化，销售数量随之变化，销售利润也随之变化
公式 销售利润＝单个利润×销售数量＝(起始售价±变化价格－成本价)×(起始数量±变化数量)
【注意】
在实际问题中，最值不一定是抛物线顶点的纵坐标，需根据实际问题考虑自变量的取值范围．
考点1 几何图形面积问题(5年6地3考)
1．[包头中考]某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2 000元．设矩形一边长为x，面积为S平方米．
(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)设计费能达到24 000元吗？为什么？
(3)当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？
解：(1)∵矩形的一边为x米，周长为16米，
∴另一边长为(8－x)米，
∴S＝x(8－x)＝－x2＋8x，其中0＜x＜8，
即S＝－x2＋8x(0＜x＜8)；
(2)能，理由如下：
当设计费为24 000元时，面积为24 000÷2 000＝12(平方米)，
令－x2＋8x＝12，解得x＝2或x＝6，
∴设计费能达到24 000元；
(3)∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，
∴当x＝4时，S最大值＝16，
∴当x＝4米时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是32 000元．
2．[2022·赤峰]【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4 m，宽AB＝1 m的长方形水池ABCD进行加长改造(如图1，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1)，同时，再建造一个周长为12 m的矩形水池EFGH(如图2，以下简称水池2)．
【建立模型】
如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x(m)(x>0)，加长后水池
1的总面积为y1(m2)，则y1关于x的函数解析式为y1＝x＋4(x>0)；
设水池2的边EF的长为x(m)(0<x<6)，面积为
y2(m2)，则y2关于x的函数解析式为y2＝－x2
＋6x(0<x<6)，上述两个函数在同一平面直
角坐标系中的图象如图3.
【问题解决】
(1)若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是 (可省略单位)，水池2面积的最大值是 m2；
(2)在图3字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是 ，
此时的x(m)值是 ；
(3)当水池1的面积大于水池2的面积时，x(m)的取值范围是 ；
(4)在1<x<4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；
(5)假设水池ABCD的边AD的长度为b(m)，其他条件不变(这个加长
改造后的新水池简称水池3)，则水池3的总面积y3(m2)关于x(m)
(x>0)的函数解析式为y3＝x＋b(x>0)．若水池3与水池2的面积
相等时，x(m)有唯一值，求b的值．
解：(1)∵y2＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，
∴抛物线的顶点坐标为(3，9)，对称轴为直线x＝3.
∵水池2的面积随EF长度的增加而减小，
∴EF长度的取值范围是3<x<6；水池2面积的最大值是9 m2;
故答案为：3<x<6；9；
(2)由图象得两函数交于点C，E，
∴表示两个水池面积相等的点是C，E；
令x＋4＝－x2＋6x，解得x1＝1，x2＝4，
∴x的值为1或4，
故答案为：C，E；1或4；
(3)0<x<1或4<x<6；
考点2 营销问题(5年6地3考)
1．[2023·包头]随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化，设该产品2022年第x(x为整数)个月每台的销售价格为y(单位：元)，y与x的函数关系如图所示(图中ABC为折线)．
2．[2022·鄂尔多斯]某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6 600元，第二批花了8 000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．
(1)求第二批每个挂件的进价；
(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
(2)设每个售价定为y元，每周所获利润为w元，
根据题意得w＝(y－40)[40＋10(60－y)]＝－10(y－52)2＋1 440，
∵－10＞0，∴当x≥52时，y随x的增大而减小，
∵40＋10(60－y)≤90，∴y≥55，
∴当y＝55时，w取最大，
此时w＝－10×(55－52)2＋1 440＝1 350.
∴当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是
1 350元.
1．[2025·天津]四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝
8 cm，AD＝10 cm，BC＝16 cm.动点M从点B出发，以2 cm/s的
速度沿边BA，边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以
1 cm/s的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终
点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t s．当
t＝2 s时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：
①当t＝6 s时，CN＝DM
②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为26 cm2
③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39 cm2.
其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
2．[2025·南通]综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙(墙的长度不限)，其余部分用总长为60 m的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案：
(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；
(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？
解：(1)设与墙垂直的边的长度为x m，则与墙平行的边的长度为(60－2x)m，
根据题意，得x(60－2x)＝450，
解得x1＝x2＝15，
答：与墙垂直的边的长度为15米；
3．[2025·南充]学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题．
材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同.
材料二 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用
(3 200－50m)元/辆；
租用B型客车，租车费用打八折.
材料三 租车公司最多提供8辆A型客车；
学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆.
(1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？
(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？
解：(1)设A型客车每辆载客量为x人，
解得x＝60.
经检验，x＝60是方程的根，且符合题意，
答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人；
(2)设租A型客车m辆，B型客车(10－m)辆，租车总费用w，
由题意，得60m＋45(10－m)≥530.
解得m≥ .
w＝(3 200－50m)m＋3 000×0.8×(10－m)＝－50m2＋800m＋24 000.
∵－50<0，且对称轴为m＝－ ＝8，
∴m≤8时，w随着m的增大而增大．
∵m取正整数，且m≥ ，
∴当m＝6时，w取最小值，最小值为－50×62＋800×6＋
24 000＝27 000(元)．
∴本次研学活动学校的最少租车费用为27 000元．
(4)在1<x<4范围内，两个水池面积差
M＝(－x2＋6x)－(x＋4)＝－x2＋5x－4＝－(x－eq \f(5,2))2＋eq \f(9,4)，
∵－1<0, ∴函数有最大值，
∵1<x<4，
∴当x＝eq \f(5,2)时，函数有最大值，为eq \f(9,4)，
即当x＝eq \f(5,2)时，面积差的最大值为eq \f(9,4)；
(5)∵水池3与水池2的面积相等，
∴x＋b＝－x2＋6x，整理得x2－5x＋b＝0 .
∵x有唯一值，
∴Δ＝(－5)2－4b＝0，
解得b＝eq \f(25,4).
(1)当1≤x≤10时，求每台的销售价格y与x之间的函数关系式；
(2)设该产品2022年第x个月的销售数量为m(单位：万台)，m与x的关系可以用m＝eq \f(1,10)x＋1来描述，求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？(销售收入＝每台的销售价格×销售数量)
解：(1)当1≤x≤10时，设每台的销售价格y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．
∵图象过A(1，2 850)，B(10，1 500)两点，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋b＝2 850，,10k＋b＝1 500.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－150，,b＝3 000.))
∴当1≤x≤10时，每台的销售价格y与x之间的函数关系式为y＝－150x＋3 000；
(2)设销售收入为w万元，
①当1≤x≤10时，
w＝(－150x＋3 000)(eq \f(1,10)x＋1)＝－15(x－5)2＋3 375，
∵－15<0，当x＝5时，w最大＝3 375万元．
②当10<x≤12时，w＝1 500(eq \f(1,10)x＋1)＝150x＋1 500，
∵150>0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝12时，w最大＝3 300万元．
∵3 375>3 300，
∴第5个月的销售收入最多，最多为3 375万元．
解：(1)设第二批每个挂件的进价为x元，则第一批每个挂件的进价为1.1x元，
根据题意，得
eq \f(6 600,1.1x)＋50＝eq \f(8 000,x)，解得x＝40.
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合实际意义，
∴1.1x＝44.∴第二批每个挂件的进价为40元；
(2)设与墙平行的长度为t m，花圃的面积为S m2，
根据题意，得S＝eq \f(1,3)t(66－t)＝－eq \f(1,3)t2＋22t，
∴S＝－eq \f(1,3)(t－33)2＋363，
∵－eq \f(1,3)＜0，∴当t＝33时，S有最大值363，
答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大．
根据题意，得eq \f(600,x)＝eq \f(450,x－15)，
eq \f(16,3)
eq \f(800,－50×2)
eq \f(16,3)
$第15讲 二次函数的实际应用(2)
知识点1 抛物线形问题
此类问题一般涉及抛球、投篮、隧道、拱桥、喷泉水柱等．解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义，再根据抛物线的特征建构平面直角坐标系
两大
类型 1.运动轨迹型：判断球(水流)的运动轨迹所在抛物线与球网(球框，人的头顶)的位置关系
2.实物建模型：判断船(车)与拱桥(隧道口)所在抛物线与船(车)两个上方顶点的位置关系
知识点2 二次函数的实际应用
利用二次
函数解决
实际问题
的一般步骤 审 审清题意，理解问题
找 分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系
列 用函数表达式表示它们之间的关系(建立数学模型)
解 用数学方法求解
验 检验结果的合理性
答 写出问题的答案
考点1 抛物线形问题(5年6地3考)
1．[2025·内蒙古]【问题背景】
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1所示．
【外形参数】
如图2，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线L1，中间的矩形ABCD和下方的抛物线L2组成．抛物线L1的高度为8 cm，矩形ABCD的边AB＝8 cm，BC＝6 cm，抛物线L2的高度为4 cm.在装置内部安装矩形电子显示屏EFGH，点E，F在抛物线L2上，点H，G在抛物线L1上．
【问题解决】
如图3，该小组以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB边所在的直线为x轴，以AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：
(1)直接写出B，C，D三点的坐标；
(2)直接写出抛物线L1和L2的顶点坐标，并分别求出抛物线L1和L2的函数表达式；
(3)为满足矩形电子显示屏EFGH的空间要求，需要EH边的长为15 cm，求此时EF边的长．
解：(1)B(8，0)，C(8，6)，D(0，6)；
(2)∵装置整体图案为轴对称图形，
如图，作出对称轴，分别交抛物线L1于点M，
交抛物线L2于点Q，交矩形ABCD于点N，P，
结合矩形和抛物线的对称性，可得直线MQ是
抛物线L1和L2的对称轴，AP＝BP＝ AB＝4，
∠DNP＝∠APN＝90°，
∴四边形DAPN是矩形，∴NP＝AD＝6 cm.
∵抛物线L1的高度为8 cm，抛物线L2的高度为4 cm，直线MQ是抛物线L1和L2的对称轴，
∴MP＝MN＋NP＝8＋6＝14(cm)，QP＝4 cm，
∴抛物线L1和L2的顶点坐标分别为
M(4，14)，Q(4，－4)．
2．[2023·赤峰]乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75 cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为y(单位：cm)，乒乓球运行的水平距离记为x(单位：cm)．测得如下数据：
水平距离x/cm 0 10 50 90 130 170 230
竖直高度y/cm 28.75 33 45 49 45 33 0
(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点(x，y)，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；
(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 cm；
②求满足条件的抛物线解析式；
(3)技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图2，乒乓球台长OB为274 cm，球网高CD为15.25 cm.现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度OA的值约为1.27 cm.请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值(乒乓球大小忽略不计)．
解：(1)如图所示，
(2)①49；230；
②设抛物线解析式为y＝a(x－90)2＋49，将(230，0)代入，得
0＝a(230－90)2＋49，解得a＝－0.002 5，
∴抛物线解析式为y＝－0.002 5(x－90)2＋49；
(3)∵当OA＝28.75时，抛物线的解析式为y＝－0.002 5(x－90)2
＋49，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为h，
则平移距离为(h－28.75) cm，
∴平移后的抛物线的解析式为
y＝－0.002 5(x－90)2＋49＋h－28.75，
依题意，当x＝274时，y＝0，
即－0.002 5×(274－90)2＋49＋h－28.75＝0，解得h＝64.39.
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为64.39 cm.
考点2 其他应用问题(5年6地1考)
[2024·赤峰]如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．
(1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的
距离为 米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道ACB所在抛
物线的解析式为 ；
(2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE＝12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称．①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由(水面与地面之间的高度差忽略不计)；
(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM.现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度(结果保留根号)．
1．[2025·平凉]如图，一个圆形喷水池的中央
竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷
水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路
径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平
距离x(m)之间的关系式是y＝－x2＋2x＋ (x>0) ，则水流喷出的
最大高度是( )
A．3 m B．2.75 m C．2 m D．1.75 m
2．[2024·天津]从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6).有下列结论：
①小球从抛出到落地需要6 s
②小球运动中的高度可以是30 m
③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度．
其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．[2024·甘肃]如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以
看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y(单位：m)
与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系
y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6的图象，点B(6，2.68)在图象上．若
一辆厢式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4 m，
高DE＝1.8 m的矩形，则可判定货车___完全停到车棚内．(填
“能”或“不能”)
能
4．[2025·广东]如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km，
主塔高0.27 km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.178 5 km，主
缆最低处距离桥面0.001 5 km，桥面距离海平面约0.09 km.
请在示意图中建立合适的平面直
角坐标系，并求该抛物线的表达
式．
解：建立平面直角坐标系，如图所示：
则抛物线顶点坐标为(0，0.001 5)，
即(0.85，0.18)，
设该抛物线的表达式为y＝ax2＋0.001 5，
将(0.85，0.18)代入y＝ax2＋0.001 5，得
0．18＝0.852a＋0.001 5，
解得a＝ ，
∴该抛物线的表达式为y＝ x2＋0.001 5.
5．[2025·新疆]天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米(中心线宽度不计)．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
解：(1)由题意，得顶点为(6，8)，
设抛物线的解析式为y＝a(x－6)2＋8(a≠0)，
代入点(12，0)，得a(12－6)2＋8＝0，
解得a＝－ ，
∴抛物线解析式为y＝－ (x－6)2＋8(0≤x≤12)；
(2)能安全通过，理由如下：
如图，
eq \f(1,2)
分别设抛物线L1和L2的表达式为y＝a1(x－4)2＋14，y＝a2(x－4)2－4，
将D(0，6)代入y＝a1(x－4)2＋14，
解得a1＝－eq \f(1,2)，
则抛物线L1的表达式为y＝－eq \f(1,2)(x－4)2＋14＝－eq \f(1,2)x2＋4x＋6；
将A(0，0)代入y＝a2(x－4)2－4，解得a2＝eq \f(1,4).
则抛物线L2的表达式为y＝eq \f(1,4)(x－4)2－4＝eq \f(1,4)x2－2x；
(3)∵装置整体图案为轴对称图形，
∴EF⊥MQ，HG⊥MQ.
∵MQ⊥x轴，∴EF∥HG∥x轴．
∵EFGH是矩形，∴HE⊥EF，
∴HE⊥x轴，∴xE＝xH，
设xE＝xH＝n，∴yH＝－eq \f(1,2)n2＋4n＋6，yE＝eq \f(1,4)n2－2n，
∴EH＝yH－yE＝－eq \f(3,4)n2＋6n＋6＝15，
解得n＝2或6(在对称轴右侧，舍)，
∴xE＝2，
由抛物线对称性可得EF＝2(x对称轴－xE)＝4.
eq \f(7,8)
解：(1)根据题意得到水滑道ACB所在抛物线的顶点坐标为C(－3，eq \f(7,8))，且过点B(0，2)，
设水滑道ACB所在抛物线的解析式为y＝a(x＋3)2＋eq \f(7,8)，
将B(0，2)代入，得2＝a(0＋3)2＋eq \f(7,8)，
即9a＝eq \f(9,8)，∴a＝eq \f(1,8)，
∴水滑道ACB所在抛物线的解析式为
y＝eq \f(1,8)(x＋3)2＋eq \f(7,8)＝eq \f(1,8)x2＋eq \f(3,4)x＋2；
故答案为：y＝eq \f(1,8)x2＋eq \f(3,4)x＋2；
(2)①∵人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称，
则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为y＝－eq \f(1,8)(x－b)2＋c，
∴人腾空后的路径形成的抛物线BD的顶点坐标与抛物线ACB的顶点坐标C(－3，eq \f(7,8))关于点B(0，2)成中心对称，
∵0×2－(－3)＝3，2×2－eq \f(7,8)＝eq \f(25,8)，
∴人腾空后的路径形成的抛物线BD的顶点坐标为(3，eq \f(25,8))，
即b＝3，c＝eq \f(25,8)，
∴此人腾空后的最大高度是eq \f(25,8)米，人腾空后的路径形成的抛物线
BD的解析式为y＝－eq \f(1,8)(x－3)2＋eq \f(25,8)；
②由①知人腾空后的路径形成的抛物线BD的解析式为
y＝－eq \f(1,8)(x－3)2＋eq \f(25,8).
令y＝0，则－eq \f(1,8)(x－3)2＋eq \f(25,8)＝0，
解得x＝8或x＝－2(舍去，不符合题意)，
∴点D(8，0)，∴OD＝8.
∵OE＝12，∴DE＝OE－OD＝4＞3，
∴此人腾空飞出后的落点D在安全范围内；
(3)根据题意可得点M的纵坐标为4，
令y＝eq \f(1,8)(x＋3)2＋eq \f(7,8)＝4，即(x＋3)2＝25，
∴x＝2(舍去，不符合题意)或x＝－8，
∴M(－8，4)．
设BM所在直线的解析式为y＝kx＋b′，
将M(－8，4)，B(0，2)代入得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝b′，,4＝－8k＋b′，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b′＝2，,k＝－\f(1,4)，))
∴BM所在直线的解析式为y＝－eq \f(1,4)x＋2.
如图，设这条钢架为GH，与MN交于点G，与地面交于点H，
∵这条钢架与BM平行，
∴设该钢架GH所在直线的解析式为
y＝－eq \f(1,4)x＋n，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,4)x＋n，,y＝\f(1,8)（x＋3）2＋\f(7,8)，))
即－eq \f(1,4)x＋n＝eq \f(1,8)(x＋3)2＋eq \f(7,8)，
整理，得x2＋8x＋16－8n＝0.
∵该钢架GH与水滑道有唯一公共点，
∴Δ＝82－4×1×(16－8n)＝0，
∴n＝0，即该钢架所在直线的解析式为y＝－eq \f(1,4)x，
∴点H与点O重合．
∵GN＝－eq \f(1,4)×(－8)＝2，NO＝8，∠GNO＝90°，
∴GH＝eq \r(GN2＋NO2)＝2eq \r(17)，
∴这条钢架的长度为2eq \r(17)米．
eq \f(7,4)
过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1.7,2)，0.27－0.09))，
eq \f(21,85)
eq \f(21,85)
eq \f(2,9)
eq \f(2,9)
由题意，得xA＝eq \f(12,2)－eq \f(2,2)－3＝2，
将x＝2代入y＝－eq \f(2,9)(x－6)2＋8，
则y＝－eq \f(2,9)×(2－6)2＋8＝eq \f(40,9)，
∵eq \f(40,9)－3.5＝eq \f(17,18)>0.5，∴能安全通过．
$微专题3 规律探索问题(二)
类型1 图形累加变化
【方法技巧】
计算两个图形之间元素的差值，根据差值归纳一般规律．
1.[跨学科创新·化学][2025·乐山]醇是一类由碳、氢、氧元
素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结
构模型图，其中 代表碳原子， 代表氧原子， 代表氢原子．
第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图
3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子……按照这一规律，
第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是( )
A．18 B．20
C．22 D．24
2．[2025·徐州]如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，
第n个图形中黑色棋子的个数为______(用含n的代数式表示)．
3n＋1
3．[2024·攀枝花]如图是由棱长为1的小正方体堆积成的图
形．若按照这样的规律继续摆放，则第8层需要摆放___块小
正方体．
36
4．[2023·绥化]在求1＋2＋3＋…＋100的值时，发现1＋100＝101，
2＋99＝101……从而得到1＋2＋3＋…＋100＝101×50＝5 050.按此
方法可解决下面问题：图1有1个三角形，记作a1＝1；分别连接这个
三角形三边中点得到图2，有5个三角形，记作a2＝5；再分别连接图2
中间的小三角形三边中点得到图3，有9个三角形，记作a3＝9……按
此方法继续下去，则a1＋a2＋a3＋…＋an＝______．(结果用含n的代
数式表示)
2n2－n
类型2 图形周期性变化
【方法技巧】
解决图形的周期性变化规律问题，首先要观察所给图形，找出循环周期，记为n，然后用M÷n＝W……q(0≤q<n)，则第M次变化后的图形就是第一个循环中第q次变换后的图形，或存在一定的倍数关系，根据题意求出第q次变换后对应图形，即可得出相关结论．
5．如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF的顶点A处．两枚跳棋的跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳个1顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2 040秒钟后，两枚跳棋之间的距离是( )
A．4 B．2
C．2 D．0
7．[2024·齐齐哈尔]如图，数学活动小组
在用几何画板绘制几何图形时，发现了如
“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，
点O的坐标为(0，0)，点B的坐标为(1，0)，点C在第一象限，∠OBC＝
120°.将△OBC沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，
第一次滚动后，点O的对应点为O′，点C的对应点为C′，OC与O′C′的
交点为A1，称点A1为第一个“花朵”的花心，点A2为第二个“花朵”的
花心……按此规律，△OBC滚动2 024次后停止滚动，则最后一个“花
朵”的花心的坐标为__________________．
类型3 图形成倍变化
【方法技巧】
找出前后两次变化的比值，由特殊到一般，总结规律．
8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，
且AC＝6，BD＝4，A1，B1，C1，D1为各边中点，
顺次连接A1，B1，C1，D1，得到四边形A1B1C1D1，
再取四边形A1B1C1D1各边中点A2，B2，C2，D2，顺次连接得到四
边形A2B2C2D2……依此类推，这样得到四边形AnBnCnDn，则四边
形AnBnCnDn的面积为( )
10．[2023·齐齐哈尔]如图，在平面直角坐标
系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA＝OB＝4，
连接AB，过点O作OA1⊥AB于点A1，过点A1作A1B1
⊥x轴于点B1；过点B1作B1A2⊥AB于点A2，过点A2
作A2B2⊥x轴于点B2；过点B2作B2A3⊥AB于点A3，过点A3作A3B3⊥
x轴于点B3……按照如此规律操作下去，则点A2 023的坐标为
_______________．
11．[2022·聊城]如图，线段AB＝2，以AB为直径画半圆，圆
心为A1，以AA1为直径画半圆①；取A1B的中点A2，以A1A2为直径
画半圆②；取A2B的中点A3，以A2A3为直径画半圆③……按照这
样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之
和为_____．
12．[2021·黔西南州]如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝
OB，AB＝1，作正方形A1B1C1D1，使顶点A1，B1分别在OA，OB上，
边C1D1在AB上；类似地，在Rt△OA1B1中，作正方形A2B2C2D2；在
Rt△OA2B2中，作正方形A3B3C3D3……依次作下去，则第n个正方
形AnBnCnDn的边长是____．
13．[2024·东营]如图，在平面直角坐标系中，已
知直线l的表达式为y＝x，点A1的坐标为( ，0)，
以O为圆心，OA1为半径画弧，交直线l于点B1，过点
B1作直线l的垂线交x轴于点A2；以O为圆心，OA2为半径画弧，交
直线l于点B2，过点B2作直线l的垂线交x轴于点A3；以O为圆心，
OA3为半径画弧，交直线l于点B3，过点B3作直线l的垂线交x轴于
点A4……按照这样的规律进行下去，点A2 024的横坐标是_____．
21 012
类型4 其他规律
14．[2024·济宁]如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为( )
A．90 B．91
C．92 D．93
15．[2024·青岛]如图，点A1，A2，A3，…，An，An＋1为反比例
函数y＝ (k>0)图象上的点，其横坐标依次为1，2，3，…，
n，n＋1.过点A1，A2，A3，…，An作x轴的垂线，垂足分别为点
H1，H2，H3，…，Hn；过点A2作A2B1⊥A1H1于点B1，过点A3作A3B2
⊥A2H2于点B2，…，过点An＋1作An＋1Bn⊥AnHn于点Bn.记△A1B1A2的
面积为S1，△A2B2A3的面积为S2，…，△AnBnAn＋1的面积为Sn.
(1，1)
eq \r(3)
6．[2024·绥化]如图，已知A1(1，－eq \r(3))，A2(3，－eq \r(3))，A3(4，
0)，A4(6，0)，A5(7，eq \r(3))，A6(9，eq \r(3))，A7(10，0)，A8(11，
－eq \r(3))……依此规律，则点A2 024的坐标为 ．
(2 891，－eq \r(3))
(1 349＋674eq \r(3)，eq \f(\r(3),3))
A.eq \f(24,2n)
B.eq \f(12,2n)
C.eq \f(6,2n)
D.eq \f(3,2n)
9．[2023·黑龙江]如图，在平面直角坐标系中，
△ABC的顶点A在直线l1：y＝eq \f(\r(3),3)x上，顶点B在x轴
上，AB垂直x轴，且OB＝2eq \r(2)，顶点C在直线l2：y＝eq \r(3)x上，BC⊥l2；
过点A作直线l2的垂线，垂足为C1，交x轴于点B1，过点B1作A1B1垂直x
轴，交l1于点A1，连接A1C1，得到第一个△A1B1C1；过点A1作直线l2的
垂线，垂足为C2，交x轴于B2，过点B2作A2B2垂直x轴，交l1于点A2，连
接A2C2，得到第二个△A2B2C2……则△A2 023B2 023C2 023的面积是______.
24 046eq \r(3)
(4－eq \f(1,22 021)，eq \f(1,22 021))
eq \f(255π,256)
eq \f(1,3n)
eq \r(2)
eq \f(k,x)
eq \f(3n,2n＋2)
(1)当k＝2时，点B1的坐标为 ，S1＋S2＝ ，S1＋S2＋S3＝ ，
S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝ ；(用含n的代数式表示)
(2)当k＝3时，S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝ .(用含n的代数式表示)
eq \f(2,3)
eq \f(3,4)
eq \f(n,n＋1)
16．[2025·潍坊]如图1，点A1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1))是函数y＝eq \f(1,x)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＞0))图象上任意一点，过A1向y轴作垂线交y轴于点B1，向x轴作垂线交x轴于点C1，矩形A1B1OC1的周长L1＝2(A1B1＋A1C1)＝2(x1＋y1)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(1,x1)))，当x1＝eq \f(1,x1)时，L1有最小值4；如图2，点A2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，y2))是函数y＝eq \f(2,x)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＞0))图象上任意一点，同样作矩形A2B2OC2，它的周长L2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x2)))，同理得L2的最小值为4eq \r(2)；…；点Aneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xn，yn))是函数y＝eq \f(n,x)(x＞0，n为正整数)图象上任意一点，作矩形AnBnOCn，它的周长为Ln，则Ln的最小值为 ．
4eq \r(n)
$第11讲 反比例函数
【构建知识网络】
知识点1 反比例函数的定义、图象与性质
定义与
表达式 一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成
y＝ (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比
例函数．变形：y＝kx－1(k≠0)或xy＝k(k≠0)
k的符号(决
定函数图象
所在象限) k＞0 k＜0
图象
无限趋近于x轴、y轴的双曲线．它有两个分支，关于原点对称，坐标轴是渐近线
所在象限 第一、三象限 第二、四象限
图象上点的
坐标特征 横、纵坐标之积恒等于k
x，y的
取值范围 x≠0，y≠0
增减性 在每一象限内，y随x的增大而减小 在每一象限内，y随x的增大而增大
对称性 关于直线y＝x或y＝－x成轴对称；关于原点成中心对称
【注意】
反比例函数的增减性是中考的高频考点.在叙述函数的增减性时，应分x>0与x<0两种情况，千万不能笼统地说成“k>0时，y随x的增大而减小”或“k<0时，y随x的增大而增大”.
知识点2 反比例函数表达式的确定
待定系数法 1.设反比例函数表达式y＝
2.找出反比例函数图象上的点P(a，b)
3.将P(a，b)代入表达式得k＝ab
利用反比例
函数中k的
几何意义确
定解析式 若已知图象上某点到坐标轴的垂线与坐标轴所围成的面积，根据函数图象所在象限确定k的符号，求出k的值，从而确定过该点的反比例函数表达式
知识点3 反比例函数系数k的几何意义
知识点4 反比例函数的应用
反比例函
数的实
际应用 1.从实际问题中抽象出反比例函数关系
2．根据特定条件确定反比例函数表达式
3．利用反比例函数解决实际问题
反比例函
数与几
何综合 1.当求点的坐标时，可以利用几何图形性质把图形边长转化为点坐标
2．若题干中已知线段数量关系，通常向坐标轴作垂线，构造全等或相似三角形，利用比例关系，表示出函数图象上两个点的坐标求解
知识点5 反比例函数与一次函数
求两函数图
象的交点
问题 列方程组求解
判断两函数
图象在坐标
系中的位置 先由两者中的某一个图象确定出字母系数的取值情况，再与另一图象相对照
比较两个
函数值的
大小，求
自变量的
取值范围 1.找交点
2.分区：过两函数图象的交点分别作y轴的平行线，连同y轴将平面分成四部分，在每部分中分别对比，如图，即①②③④
3.观察函数图象找答案：
①③区域内 >ax＋b，自变量的取值范围为x<xB或0<x<xA；
②④区域内 <ax＋b，自变量的取值范围为xB<x<0或x>xA
3．[2024·呼和浩特改编]△ABC为平面直角坐标系中的等腰直
角三角形且∠ABC＝90°，点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为
(0，5)，点C是反比例函数y＝ (k≠0)的图象上一点，则k＝
_________．
30或－20
考点3 反比例函数的系数k的几何意义(5年6地6考)
1．[2024·呼伦贝尔]如图，在平面直角坐标系中，点A，B的
坐标分别为(5，0)，(2，6)，过点B作BC∥x轴交y轴于点C，点
D为线段AB上的一点，且BD＝2AD.反比例函数
y＝ (x>0)的图象经过点D交线段BC于点E，
则四边形ODBE的面积是___．
12
10
3．[2024·赤峰]在平面直角坐标系中，对于点M(x1，y1)，给出如下定义：当点N(x2，y2)，满足x1＋x2＝y1＋y2时，称点N是点M的等和点．
(1)已知点M(1，3)，在N1(4，2)，N2(3，－1)，N3(0，－2)中，是点M等和点的有 ；
解：(1)N1(4，2)和N3(0，－2)；
(2)设点N的横坐标为a，
∵点N是点M(3，－2)的等和点，
∴点N的纵坐标为3＋a－(－2)＝a＋5，
∴点N的坐标为(a，a＋5)．
∵点N在直线y＝x＋b上，
∴a＋5＝a＋b，∴b＝5；
题型二 反比例函数与一次函数相关的综合题
1．[2024·呼和浩特]如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于 A(－2，0)，B(0，1)两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)已知变量x，y2的对应关系如表中已知值呈现的对应规律：
写出y2与x的函数解析式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数y2的大致图象；
(3)一次函数y1的图象与函数y2的图象相交于C，D两点(点C在点D的左侧)，点C关于坐标原点的对称点为点E，点P是第一象限内函数y2图象上的一点，且点P位于点D的左侧，连接PC，PE，CE.若△PCE的面积为15，求点P的坐标．
2．[2022·赤峰]阅读下列材料
定义运算：min|a，b|，当a≥b时，min|a，b|＝b；当a<b时，min|a，b|＝a.
例如：min|－1，3|＝－1；min|－1，
－2|＝－2.
完成下列任务
考点5 反比例函数的实际应用(5年6地0考)
1.[跨学科·物理][2025·通辽三模]二胡是我国一种传统拉弦
乐器，演奏二胡时，在同一张力下，它的振动弦的共振频率f
(单位：赫兹)与长度l(单位：米)近似成反比例关系，即
(k为常数，k≠0)．若某一振动弦的共振频率f为240赫兹，长
度l为0.5米，如果f为400赫兹，则长度l是____米．
0.3
2．[鄂尔多斯中考]教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10 ℃，加热到100 ℃停止加热，水温开始下降，此时水温y(℃)与开机后用时x(min)成反比例关系，直至水温降至30 ℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水
温为30 ℃时接通电源，水温y(℃)与时
间x(min)的关系如图所示．
(1)分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；
(2)怡萱同学想喝高于50 ℃的水，请问她最多需要等待多长时间？
1．[2025·湖南]对于反比例函数y＝ ，下列结论正确的
是( )
A．点(2，2)在该函数的图象上
B．该函数的图象分别位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．当x>0时，y随x的增大而减小
2．[2025·长春]在功W(J)一定的条件下，功率P(W)与做功时间t(s)成反比例，P(W)与t(s)之间的函数关系如图所示．当25≤t≤40时，P的值可以为( )
A．24
B．27
C．45
D．50
3．[2025·天津]若点A(－3，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)都在反
比例函数y＝－ 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1＜y2＜y3
B．y3＜y2＜y1
C．y1＜y3＜y2
D．y2＜y3＜y1
4．[2025·连云港]如图，正比例函数y1＝k1x(k1＜0)的图象与
反比例函数y2＝ (k2＜0)的图象交于A，B两点，点A的横坐标
为－1.当y1＜y2时，x的取值范围是( )
A．x＜－1或x>1
B．x＜－1或0＜x＜1
C．－1＜x＜0或x>1
D．－1＜x＜0或0＜x＜1
5．[2024·大庆]在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx－k(k≠0)
与y＝ 的大致图象为( )
6．[2025·绥化]如图，反比例函数y＝ 经过A，C两点，过点
A作AB⊥y轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，连接OA，OC，AC.
若S△ACO＝4，CD∶OB＝1∶3，则k的值是( )
A．－12
B．－9
C．－6
D．－3
7．[2025·福建]若反比例函数y＝ 的图象过点(－2，1)，则
常数k＝____．
8．[2025·深圳]如图，同一平面直角坐标系下的
正比例函数y＝ax与反比例函数y＝ 相交于点A
和点B.若A的横坐标为1，则B的坐标为___________．
－2
(－1，－1)
9．[2025·新疆]如图，在平面直角坐标系中，直线y＝k1x＋b
(k1≠0)与双曲线y＝ (k2≠0)交于A(1，4)，B(－4，n)两点，
过点A作直线AC⊥AB交x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积是___．
20
10．[2025·内江]如图，在平面直角坐标系中，反比例函数
y＝ 的图象与一次函数y＝k2x＋b的图象相交于A(a，6)，
B(－6，1)两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)当x＜0时，请根据函数图象，直接写出关于x
的不等式k2x＋b－ ≥0的解集；
(3)过直线AB上的点C作CD∥x轴，交反比例函数的图象于点D.若
点C的横坐标为－4，求△BOD的面积．
(3)∵点C的横坐标为－4，代入y＝x＋7，
得y＝－4＋7＝3，
∴C(－4，3)．
当y＝3时，代入y＝－ ，得3＝－ ，
解得x＝－2，
∴D(－2，3)．
如图，过点B，D分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，
∵B(－6，1)，D(－2，3)，
∴DE＝3，BF＝1，EF＝－2－(－6)＝4.
∵S△BOD＋S△BFO＝S梯形BFED＋S△DEO，S△BFO＝S△DEO＝3，
∴S△BOD＝S梯形BFED＝ (DE＋BF)·EF
＝ ×(3＋1)×4＝8.
eq \f(k,x)
eq \f(k,x)
eq \f(k,x)
eq \f(k,x)
考点1 反比例函数的图象与性质(5年6地18考)
1．[2025·内蒙古]已知点A(m，y1)，B(m＋1，y2)都在反比例函数y＝－eq \f(3,x)的图象上，则下列结论一定正确的是( )
A．y1>y2
B．y1<y2
C．当m<0时，y1<y2
D．当m<－1时，y1<y2
2．[2023·呼和浩特]在同一直角坐标系中，函数y＝－kx＋k与y＝eq \f(k,x)(k≠0)的大致图象可能为( )
3．[2024·包头]若反比例函数y1＝eq \f(2,x)，y2＝－eq \f(3,x)，当1≤x≤3时，函数
y1的最大值是a，函数y2的最大值是b，则ab＝ ．
eq \f(1,2)
考点2 求反比例函数的表达式或k的值(5年6地11考)
1．[2024·通辽]如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴，点E在双曲线y＝eq \f(k,x)(k为常数，k>0)上，将正六边形ABCDEF向上平移eq \r(3)个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为( )
A．4eq \r(3) B．3eq \r(3)
C．2eq \r(3) D．3
2．[2023·包头]如图，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(2eq \r(3)，0)，B(eq \r(3)，1)，△OA′B与△OAB关于直线OB对称，反比例函数y＝eq \f(k,x)(k>0，x>0)的图象与A′B交于点C.若A′C＝BC，则k的值为( )
A．2eq \r(3)
B．eq \f(3\r(3),2)
C．eq \r(3)
D．eq \f(\r(3),2)
eq \f(k,x)
eq \f(k,x)
解析：如图，作BM⊥x轴于M，作DN⊥x轴于N，则DN∥BM，
∵点A，B的坐标分别为(5，0)，(2，6)，
∴BC＝OM＝2，BM＝OC＝6，AM＝3.
∵DN∥BM，
∴△ADN∽△ABM，
∴eq \f(DN,BM)＝eq \f(AN,AM)＝eq \f(AD,AB).
∵BD＝2AD，∴eq \f(DN,6)＝eq \f(AN,3)＝eq \f(1,3)，
∴DN＝2，AN＝1，∴ON＝OA－AN＝4，
∴D点坐标为(4，2)，代入y＝eq \f(k,x)得，k＝2×4＝8，
∴反比例函数解析式为y＝eq \f(8,x)，
∴S四边形ODBE＝S梯形OABC－S△OCE－S△OAD＝eq \f(1,2)×(2＋5)×6－eq \f(8,2)－eq \f(1,2)×5×2＝12.
2．[2022·呼伦贝尔]如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点O与原点重合，点A在第一象限，反比例函数y＝eq \f(k,x)(x>0)的图象经过OA的中点C，交AB于点D，连接CD.若△ACD的面积是1，则k的值是 ．
eq \f(4,3)
3．[2022·鄂尔多斯]如图，正方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，E，F分别是边AB，OA上的点，且∠ECF＝45°，将△ECF沿着CF翻折，点E落在x轴上的点D处．已知反比例函数y1＝eq \f(k1,x)和y2＝eq \f(k2,x)分别经过点B，点E，若S△COD＝5，则k1－k2＝ ．
考点4 反比例函数的综合(5年6地15考)
题型一 反比例函数图象与一次函数图象的交点问题
1．[2023·包头]如图，直线y＝ax＋b(a≠0)与双曲线y＝eq \f(k,x)(k≠0)交于点A(－2，4)和点B(m，－2)，则不等式0<ax＋b<eq \f(k,x)的解集是( )
A．－2<x<4
B．－2<x<0
C．x<－2或0<x<4
D．－2<x<0或x>4
2．[2021·通辽]定义：一次函数y＝ax＋b的特征数为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，b))，若一次函数y＝－2x＋m的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y＝－eq \f(3,x)的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则一次函数y＝－2x＋m的特征数是( )
A．[2，3]
B．[2，－3]
C．[－2，3]
D．[－2，－3]
(2)若点M(3，－2)的等和点N在直线y＝x＋b上，求b的值；
(3)已知，双曲线y1＝eq \f(k,x)和直线y2＝x－2，满足y1<y2的x取值范围是x>4或－2<x<0.若点P在双曲线y1＝eq \f(k,x)上，点P的等和点Q在直线y2＝x－2上，求点P的坐标．
(3)把x＝4代入y2＝x－2，得y2＝4－2＝2，
∴y1和y2的函数图象其中一个交点坐标为(4，2)，
把点(4，2)代入y1＝eq \f(k,x)得，2＝eq \f(k,4)，
∴k＝8，
∴反比例函数解析式为y1＝eq \f(8,x).
设P(m，eq \f(8,m))，点Q的横坐标为n，
∵点Q是点P的等和点，
∴点Q的纵坐标为m＋n－eq \f(8,m)，
∴Q(n，m＋n－eq \f(8,m))．
∵点Q在直线y2＝x－2上，
∴m＋n－eq \f(8,m)＝n－2，
整理，得m－eq \f(8,m)＋2＝0，
去分母，得m2＋2m－8＝0，
解得m1＝－4，m2＝2，
经检验，m＝－4，m＝2是原方程的解，
∴点P的坐标为(－4，－2)或(2，4)．
解：(1)将点A(－2，0)，B(0，1)代入y1＝kx＋b(k≠0)，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2k＋b＝0，,b＝1，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2)，,b＝1，))
则一次函数的解析式为y1＝eq \f(1,2)x＋1；
(2)由表格得y2＝eq \f(4,x)，
画出函数图象如图1：
(3)联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x＋1，,y＝\f(4,x)，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，))
∵一次函数y1的图象与函数y2的图象相交于C，D两点(点C在点D的左侧)，
∴C(－4，－1)，D(2，2)．
∵点C关于坐标原点的对称点为点E，
∴E(4，1)．
设直线CE的解析式为y＝k0x＋b0，
将点C(－4，－1)，E(4，1)代入，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4k0＋b0＝－1，,4k0＋b0＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k0＝\f(1,4)，,b0＝0，))
则直线CE的解析式为y＝eq \f(1,4)x.
设点P的坐标为P(m，eq \f(4,m))(0＜m＜2)，
如图2，过点P作x轴的垂线，交直线CE于点F，则F(m，eq \f(1,4)m)，
∴PF＝eq \f(4,m)－eq \f(1,4)m，点C到PF的距离与点E到PF的距离之和为4－(－4)＝8.
∵△PCE的面积为15，
∴eq \f(1,2)×8(eq \f(4,m)－eq \f(1,4)m)＝15，
即m2＋15m－16＝0，
解得m＝1或m＝－16＜0(不符合题意，舍去)，
经检验，m＝1是所列分式方程的解，
则eq \f(4,m)＝eq \f(4,1)＝4，
所以点P的坐标为(1，4)．
(1)①min|(－3)0，2|＝ ；
②min|－eq \r(14)，－4|＝ ；
(2)如图，已知反比例函数y1＝eq \f(k,x)和一次函数y2＝－2x＋b的图象交于A，B两点．当－2<x<0时，mineq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(k,x)，－2x＋b))＝(x＋1)(x－3)－x2.求这两个函数的解析式．
解：(1)①1；②－4；
(2)由函数图象可知当－2<x<0时，－2x＋b<eq \f(k,x)，
∴mineq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(k,x)，－2x＋b))＝－2x＋b.
又∵mineq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(k,x)，－2x＋b))＝(x＋1)(x－3)－x2，
∴－2x＋b＝(x＋1)(x－3)－x2，∴b＝－3，
∴一次函数y2＝－2x－3.
当x＝－2时，y2＝1，∴A(－2，1)，
将A(－2，1)代入y1＝eq \f(k,x)得k＝－2×1＝－2，
∴反比例函数y1＝－eq \f(2,x).
3．[2022·呼和浩特]如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx＋b的图象与反比例函数y2＝eq \f(m,x)的图象交于A，B两点，且A点的横坐标为1，过点B作BE∥x轴，AD⊥BE于点D，点C(eq \f(7,2)，－eq \f(1,2))是直线BE上一点，且AC＝eq \r(2)CD.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)根据图象，请直接写出不等式kx＋b－eq \f(m,x)<0的解集．
解：(1)∵C(eq \f(7,2)，－eq \f(1,2))，且A点的横坐标为1，
∴CD＝xC－xA＝eq \f(7,2)－1＝eq \f(5,2)，且yB＝－eq \f(1,2)，
∴AC＝eq \r(2)CD＝eq \f(5\r(2),2)，
∴在Rt△ADC中，AD＝eq \r(AC2－CD2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(2),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2)＝eq \f(5,2)，
∴yA＝eq \f(5,2)－eq \f(1,2)＝2，
∴点A的坐标为(1，2)，且点A在反比例函数y2＝eq \f(m,x)的图象上，
∴2＝eq \f(m,1)，解得m＝2，
∴反比例函数的解析式为y2＝eq \f(2,x).
当y＝－eq \f(1,2)时，－eq \f(1,2)＝eq \f(2,x)，解得x＝－4，
∴点B的坐标为(－4，－eq \f(1,2))，
将A(1，2)和B(－4，－eq \f(1,2))代入一次函数y1＝kx＋b得，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝k＋b，,－\f(1,2)＝－4k＋b，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2)，,b＝\f(3,2)，))
∴一次函数的解析式为y1＝eq \f(1,2)x＋eq \f(3,2)；
(2)由题意得kx＋b－eq \f(m,x)<0，即kx＋b<eq \f(m,x)，即y1<y2，
只需反比例函数图象在一次函数图象上方即可，
由图象得当x<－4或0<x<1时，y1<y2，
∴不等式的解集为x<－4或0<x<1.
f＝eq \f(k,l)
解：(1)当0≤x≤7时，设y关于x的函数关系式为y＝kx＋b，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝30，,7k＋b＝100，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝10，,b＝30，))
即当0≤x≤7时，y关于x的函数关系式为y＝10x＋30.
当x>7时，设y＝eq \f(a,x)，100＝eq \f(a,7)，得a＝700，
即当x>7时，y关于x的函数关系式为y＝eq \f(700,x)，
当y＝30时，x＝eq \f(70,3)，
∴y与x的函数关系式为
y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10x＋30，0≤x≤7，,\f(700,x)，7<x≤\f(70,3)，))
y与x的函数关系式每eq \f(70,3)分钟重复出现一次；
(2)将y＝50代入y＝10x＋30，得x＝2，
将y＝50代入y＝eq \f(700,x)，得x＝14，
∵14－2＝12，eq \f(70,3)－12＝eq \f(34,3)，
∴怡萱同学想喝高于50 ℃的水，她最多需要等待eq \f(34,3)分钟．
eq \f(2,x)
eq \f(9,x)
eq \f(k2,x)
eq \f(k,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x)))
eq \f(k,x)
eq \f(k,x)
eq \f(2－a,x)
eq \f(k2,x)
eq \f(k1,x)
eq \f(k1,x)
解：(1)∵反比例函数y＝eq \f(k1,x)的图象过点B(－6，1)，
∴k1＝－6×1＝－6，
故反比例函数的表达式为y＝－eq \f(6,x).
把点A(a，6)代入反比例函数y＝－eq \f(6,x)，得6＝－eq \f(6,a)，解得a＝－1，
∴点A的坐标为(－1，6)．
∵一次函数的图象经过A(－1，6)，B(－6，1)两点，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－k2＋b＝6，,－6k2＋b＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝1，,b＝7，))
故一次函数的表达式为y＝x＋7；
(2)∵k2x＋b－eq \f(k1,x)≥0，
∴k2x＋b≥eq \f(k1,x)，即一次函数图象在反比例函数图象的上方
∴－6≤x≤－1；
eq \f(6,x)
eq \f(6,x)
eq \f(1,2)
eq \f(1,2)
$第三章 函数
第9讲 平面直角坐标系与函数基础
【构建知识网络】
知识点1 平面直角坐标系
1．平面直角坐标系与点的坐标特征
平面
直角
坐标
系 在平面内，具有公共原点的两条互相垂直的数轴组成平面直角坐标系，两条数轴分别称为横轴、纵轴或x轴、y轴，这两条数轴把一个坐标平面分成的四个部分，我们称作是四个象限
点的
坐标
特征 各象限
内的点 1.第一象限：x＞0，y＞0
2．第二象限：x＜0，y＞0
3．第三象限：x＜0，y＜0
4．第四象限：x＞0，y＜0
坐标轴
上的点 1.点在x轴上：y＝0
2．点在y轴上：x＝0
3．原点的坐标：(0，0)
点的
坐标
特征 各象限
角平分
线上的
点 1.第一、三象限角平分线上：y＝x
2．第二、四象限角平分线上：y＝－x
与坐标
轴平行
的直线
上的点 1.平行于x轴的直线上的点纵坐标相同
2．平行于y轴的直线上的点横坐标相同
2.点的距离特征
点到坐
标轴的
距离 点P(x，y)到x轴的距离为|y|
点P(x，y)到y轴的距离为|x|
点P(x，y)到原点的距离为
平行于
坐标轴
的直线
上两点
的距离 P1(x1，y)，P2(x2，y)为平行于x轴的直线l1上的两点，P1P2＝|x1－x2|
Q1(x，y1)，Q2(x，y2)为平行于y轴的直线l2上的两点，Q1Q2＝|y1－y2|
任意两
点的
距离 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)为坐标系中任意
两点，P1P2＝
3.点的坐标变换
点的
平移 P(x，y)向左平移a个单位长度 P′(x－a，y)⇒左减
P(x，y)向右平移a个单位长度 P′(x＋a，y)⇒右加
P(x，y)向上平移b个单位长度 P′(x，y＋b)⇒上加
P(x，y)向下平移b个单位长度 P′(x，y－b)⇒下减
点的
对称 P(a，b)关于x轴对称 P′(a，－b)⇒横坐标不变，纵坐标互为相反数
P(a，b)关于y轴对称 P′(－a，b)⇒横坐标互为相反数，纵坐标不变
P(a，b)关于原点对称(绕原点旋转180°) P′(－a，－b)⇒横、纵坐标都互为相反数
P(a，b)关于直线y＝x对称 P′(b，a)⇒横、纵坐标互换
P(a，b)关于直线y＝－x对称 P′(－b，－a)⇒横、纵坐标互换且变号
【拓展】
1.任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为
2．P(a，b)关于直线x＝m对称的点P′(2m－a，b)；
3．P(a，b)关于直线y＝m对称的点P′(a，2m－b)．
知识点2 函数
概念 一般地，如果在某变化过程中有两个变量x，y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就称y是x的函数．其中x是自变量，y是因变量
表示
方法 1.列表法 2.关系式法 3.图象法
自变量
的取值
范围 含有整式 全体实数
含有分式 使分母不为零的实数
含有二次根式 使被开方式大于或等于零的实数
自变量
的取值范围 含有分式＋
二次根式 使分母不为零，且被开方式大于或等于零的实数
零指数或
负指数 使底数不为零的实数
函数的
有关
应用 1.结合函数图象解决实际问题应注意以下几点：
(1)横轴和纵轴表示变量的实际意义；
(2)各个变量的取值范围；
(3)函数图象拐点的意义；
(4)函数图象变化趋势的实际意义
2.根据函数图象解决有关问题时，运用数形结合的思想是解题的关键
2．[2025·包头三模]如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如
图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为
(－2，2)，则“炮”所在位置的坐标为( )
A．(3，1) B．(1，3)
C．(4，1) D．(3，2)
考点2 点的坐标特征与坐标变换(5年6地7考)
1．[2024·通辽] 剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪
纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点
A(－4，2)关于对称轴对称的点的坐标为( )
A．(－4，－2) B．(4，－2)
C．(4，2) D．(－2，－4)
2．[2022·赤峰]如图，抛物线y＝－x2－6x－5交x轴于A，B两
点，交y轴于点C，点D(m，m＋1)是抛物线上的点，则点D关于直
线AC的对称点的坐标为___________________．
(－5，－4)或(0，1)
解析：∵抛物线y＝－x2－6x－5交x轴于A，B两点，
交y轴于点C，
∴当y＝－x2－6x－5＝0时，x1＝－1，xs2＝－5，
当x＝0时，y＝－5，
∴A(－5，0)，B(－1，0)，C(0，－5)，
∴OA＝OC＝5，
∴∠ACO＝∠OAC＝45°.
∵D(m，m＋1)是抛物线上的点，
∴m＋1＝－m2－6m－5，
解得m1＝－1，m2＝－6，
∴当m＝－1时，D(－1，0)，当m＝－6时，D(－6，－5)．
①当D(－1，0)时，此时点D与点B重合，
如图1，设点D关于直线AC对称点为D′，连接AD′.
∵点D与点D′关于直线AC对称，
∴AC是BD′的垂直平分线，
∴AB＝AD′＝－1－(－5)＝4，
且∠OAC＝∠CAD′＝45°，
∴∠OAD′＝90°，
∴D′(－5，－4)；
②当D(－6，－5)时，连接CD，CD∥x轴，
∴∠ACD＝∠OAC＝45°，
如图2，设点D关于直线AC的对称点为D″，
∵点D关于直线AC的对称点为D″，
∴AC是DD″的垂直平分线，
∴∠ACD＝∠ACD″＝45°，DC＝CD″，
∴D″在y轴上，且△DCD″是等腰直角三角形，
∴DC＝CD″＝6，∴OD″＝CD″－OC＝6－5＝1，∴D″(0，1)．
综上所述，点D关于直线AC的对称点的坐标为(－5，－4)或(0，1)．
3．在平面直角坐标系中，点A(3，2)关于x轴的对称点为A1，将
点A1向左平移3个单位长度得到点A2，则A2的坐标为_________．
(0，－2)
考点3 函数概念及其自变量的取值范围(5年6地3考)
1．[呼和浩特中考]如果两个变量x，y之间的函数关系如图所示，则函数值y的取值范围是( )
A．－3≤y≤3
B．0≤y≤2
C．1≤y≤3
D．0≤y≤3
x≥0
考点4 与实际问题结合的函数图象(5年6地3考)
1．[2024·呼伦贝尔]已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：
①体育场离该同学家2.5千米
②该同学在体育场锻炼了15分钟
③该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍
④若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则a的值是3.75.
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．[2021·赤峰]甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点，同终点，同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离y(米)与乙出发的时间x(秒)之间的函数关系如图所示，正确的个数为( )
①乙的速度为5米/秒
②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米
③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44<x<89
④乙到达终点时，甲距离终点还有68米
A．4 B．3
C．2 D．1
考点5 与动点有关的函数图象(5年6地4考)
1．[2023·包头]将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图
1所示，动点P从点A出发，沿路径A→B→C→D→E→F匀速运动，
速度为1 cm/s，点P到达终点F后停止运动，△APF的面积S(cm2)
(S≠0)与点P运动的时间t(s)的关系如图2所示，根据图象获取
了以下的信息：
①AF＝5 cm ②a＝6
③点P从点E运动到点F需要10 s
④矩形纸板裁剪前后周长均为34 cm.
其中正确信息的个数有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
3．[2021·通辽]如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点
P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→
C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到达点C时，点Q
也随之停止运动，连接PQ.设点P的运动路程为x，PQ2为y，则y
关于x的函数图象大致是( )
3．[赤峰中考]在平面直角坐标系中，点P(x，y)经过某种变换
后得到点P′(－y＋1，x＋2)，我们把点P′(－y＋1，x＋2)叫
做点P(x，y)的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点
为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1，P2，P3，…，Pn，
若点P1的坐标为(2，0)，则点P2 017的坐标为_______．
(2，0)
1．[2025·成都]在平面直角坐标系xOy中，点P(－2，a2＋1)所在的象限是( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．[2024·雅安]在平面直角坐标系中，将点P(1，－1)向右平移2个单位后，得到的点P1关于x轴的对称点坐标是( )
A．(1，1)
B．(3，1)
C．(3，－1)
D．(1，－1)
3．[2024·扬州]在平面直角坐标系中，点P(1，2)关于原点的对称点P′的坐标是( )
A．(1，2)
B．(－1，2)
C．(1，－2)
D．(－1，－2)
4．[2025·广东]在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量y(W·h)与骑行里程x(km)之间的关系如图．当电池剩余能量小于100 W·h时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是( )
A．电池能量最多可充400 W·h
B．摩托车每行驶10 km消耗能量300W·h
C．一次性充满电后，摩托车最多行驶25 km
D．摩托车充满电后，行驶18 km将自动报警
5．[2025·浙江]为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点
与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q
从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x(单位：km)(0
≤x≤n)，PQ2为y(单位：km2)．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于
点C，最低点D(m，81)，且经过E(1，225)和F(n，225)两点．下列选
项正确的是( )
A．m＝12
B．n＝24
C．点C的纵坐标为240
D．点(15，85)在该函数图象上
6．[2025·齐齐哈尔]如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点E从点A出发沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止，过点E作AD的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形(即阴影部分)的面积为y，点E运动的路程为x(x>0)．下列图象能反映y与x之间函数关系的是( )
7．[2025·青海]在平面直角坐标系中，点P(a－2，1＋a)在第
三象限，则a的取值范围是_______.
8．[2025·大庆]函数y＝ 的自变量x的取值范围是_____．
9．[2025·德阳]△ABC在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B
(3，0)，如果△ABC的面积为1，那么点C的坐标可以是_______
__________________________________．(只需写出一个即可)
a＜－1
x≥1
(2，1)
(答案不唯一，纵坐标绝对值为1即可)
10．[2024·甘南州]如图，在平面直角坐标系中，一动点从原
点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每
移动一个单位，得到点A1(0，1)，A2(1，1)，A3(1，0)，A4(2，
0)……那么点A2 020的坐标为___________．
(1 010，0)
11．[2025·黑龙江]一条公路上依次有A，B，C三地，一辆轿
车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一
辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地(卸货
时间忽略不计)．两车同时出发，轿车比货车晚 h到达终点，
两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地
的距离y(单位：km)与轿车的行驶时间x(单位：h)之间的函数
图象，结合图象回答下列问题：
(1)图中a的值是______，b的值是______；
(2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y(单位：km)与行驶时间x(单位：h)之间的函数解析式；
(3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40 km.
解：(1)由图象得B，C两地的距离为120 km，A，B两地的距离为180 km，
∴a＝180＋120＝300.
∵轿车的速度为 ＝120(km/h)，
∴轿车从B地开往C地所需的时间为 ＝1(h)，
∴b＝3－1＝2；
故答案为：300，2；
eq \r(x2＋y2)
eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))；
考点1 点的位置与坐标(5年6地4考)
1．如图，矩形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是(0，0)，(3，0)，(0，2)，▱OADE与矩形OABC周长相等，▱OADE的面积是矩形OABC面积的一半，则点D的坐标为( )
A．(3＋eq \r(3)，1)
B．(3＋eq \r(2)，eq \r(2))
C．(5，1)
D．(3＋eq \r(3)，eq \r(3))
2．[包头中考]在函数y＝eq \f(3,x－2)－eq \r(x＋1)中，自变量x的取值范围
是( )
A．x>－1
B．x≥－1
C．x>－1且x≠2
D．x≥－1且x≠2
3．[巴彦淖尔中考]函数y＝eq \f(\r(x),x＋2)的自变量x的取值范围是 ．
2．[2022·鄂尔多斯]如图1，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN＋MN＝y，已知y与x之间的函数图象如图2所示，点E(a，2eq \r(5))是图象的最低点，那么a的值为( )
A. eq \f(8\r(2),3)
B．2eq \r(2)
C．eq \f(4\r(2),3)
D．eq \f(4\r(5),3)
考点6 图形中点的坐标规律(5年6地2考)
1．[2021·呼伦贝尔]如图，点B1在直线l：y＝eq \f(1,2)x上，点B1的横坐标为1，过点B1作B1A1⊥x轴，垂足为A1，以A1B1为边向右作正方形A1B1C1A2，延长A2C1交直线l于点B2；以A2B2为边向右作正方形A2B2C2A3，延长A3C2交直线l于点B3……按照这个规律进行下去，
点B2 021的坐标为 ．
(eq \f(32 020,22 020)，eq \f(32 020,22 021))
2．[2021·通辽]如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△An－1AnBn都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1，A2，A3，…，An都在x轴上，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝eq \f(1,x)(x>0)的图象上，则点Bn的坐标为_________________________．(用含有正整数n的式子表示)
(eq \r(n)＋eq \r(n－1)，eq \r(n)－eq \r(n－1))
eq \r(x－1)
eq \f(1,3)
eq \f(180,1.5)
eq \f(120,120)
(2)∵轿车比货车晚eq \f(1,3)h到达终点，
∴货车到达C地所用时间为3－eq \f(1,3)＝eq \f(8,3)(h)，∴N(eq \f(8,3)，0)，
∵货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地，
∴M(eq \f(4,3)，120)，
设y＝kx＋b1(k≠0)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)k＋b1＝0，,\f(4,3)k＋b1＝120，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－90，,b1＝240，))
∴y＝－90x＋240(eq \f(4,3)≤x≤eq \f(8,3))；
(3)由(2)可知，货车的速度为：
120÷eq \f(4,3)＝90(km/h)，
∴①轿车、货车到达B地之前，即0≤x<eq \f(4,3)时，120x＋90x＋40＝300，解得x＝eq \f(26,21)；
②eq \f(4,3)≤x<1.5时，两车间距小于40 km；
③轿车停留在B地，即1.5≤x<2时，货车离B地40 km时，40÷90＝eq \f(4,9) h，则x＝eq \f(4,3)＋eq \f(4,9)＝eq \f(16,9)＜2符合题意；
④当2≤x≤eq \f(8,3)时，90eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3)))－120(x－2)＝40，解得x＝eq \f(8,3)，符合题意；
⑤当eq \f(8,3)<x≤3时，两车之间的距离小于40 km.综上所述，轿车出发eq \f(26,21)h或eq \f(16,9)h或eq \f(8,3)h时与货车相距40 km.
$第13讲 二次函数的图象
及其性质(2)
知识点1 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与系数之间的关系
a的符号决定抛
物线的开口方向，
|a|决定开口大小 开口向上⇔a＞0
开口向下⇔a＜0
|a|大抛物线的开口小，|a|小抛物线的开口大
a，b的符号决定
对称轴与y轴的
位置关系 对称轴在y轴左侧⇔a与b同号
对称轴在y轴右侧⇔a与b异号
对称轴是y轴⇔b＝0
c的符号决定
抛物线与y轴
交点的位置 交点在y轴的正半轴⇔c＞0
交点在y轴的负半轴⇔c＜0
交点为原点⇔c＝0
【拓展】
常见代数式的判别方法：
知识点2 二次函数与一元二次方程
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根就是抛物线与x轴交点的横坐标
函数的图象
(a>0) 根的判别式
b2－4ac 方程根
的情况 图象与x轴的交点
b2－4ac＞0 有两个不相等的实数根，分别为x1，x2 有两个交点，坐标分别为(x1，0)，
(x2，0)
函数的图象
(a>0) 根的判别式
b2－4ac 方程根
的情况 图象与x轴的交点
b2－4ac＝0 有两个相等的
实数根，为
x1＝x2＝－ 有一个交点，坐标为
b2－4ac＜0 没有实数根 没有交点
知识点3 二次函数与不等式的关系
考点1 二次函数图象与系数a，b，c的关系(5年6地3考)
1．[2023·通辽]如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于
点(x1，0)，(2，0)，其中0<x1<1，下列四个结论：①abc<0
②a＋b＋c>0 ③2b＋3c<0 ④不等式ax2＋bx＋c<－ x＋c的
解集为0<x<2.其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．[2022·呼伦贝尔]如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，下列结论：①abc<0 ②3a＋c＝0 ③当y>0时，x的取值范围是－1≤x<3 ④点(－2，y1)，(2，y2)都在抛物线上，则有y1<0<y2.其中结论正确的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．[2024·呼和浩特]二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象经过(2，1)，(－4，1)两点，m，n是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－k＝0(0<k<1)的两个实数根，且m<n，则下列成立的是( )
A．－2<m<n<4 B．2<m<n<4
C．－4<m<n<2 D．－4<m<n<－2
3．[2022·呼和浩特]在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分
别为(－1，－1)和(4，－1)，抛物线y＝mx2－2mx＋2(m≠0)与
线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是________________．
③④
考点3 二次函数的最值问题(5年6地1考)
1．[2022·包头]已知实数a，b满足b－a＝1，则代数式a2＋2b－6a＋7的最小值等于( )
A．5 B．4
C．3 D．2
3．[2025·内蒙古二模]已知二次函数y＝ax2＋4ax－a2＋3(a是
常数，且a≠0)，当x<－3时，y随x的增大而减小，当－1≤x≤1
时，y的最小值是－1，则a的值为( )
A．4 B．－4或1
C．－4 D．1
4．[2025·赤峰一模]已知二次函数y＝－(x－h)2＋2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤4的情况下，与其对应的函数值y的最大值为－2，则h的值为( )
A．0或4 B．2或6
C．0或6 D．2或4
1．[2025·安徽]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则( )
A．abc<0
B．2a＋b<0
C．2b－c<0
D．a－b＋c<0
3．[2024·乐山]已知二次函数y＝x2－2x ，当
x＝－1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，
则t的取值范围是( )
A．0<t≤2
B．0<t≤4
C．2≤t≤4
D．t≥2
4．[2025·泸州]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点位于x轴下方，且x＝－1时，y>0，下列结论正确的是( )
A．2a＝b
B．b2－4ac<0
C．a－2b＋4c<0
D．8a＋c>0
5．[2025·齐齐哈尔]如图，二次函数y＝ax2＋bx
＋c(a≠0)的图象与x轴交于两点(－1，0)，(x1，
0)，且2<x1<3.下列结论：①abc>0 ②2a＋c<0
③4a－b＋2c<0 ④若m和n是关于x的一元二次方程a(x＋1)(x－
x1)＋c＝0(a≠0)的两根，且m<n，则m<－1，n>2 ⑤关于x的不
等式ax2＋bx＋c>－ x＋c(a≠0)的解集为0<x<x1.其中正确结论
的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：∵抛物线开口向上，∴a>0，
∵对称轴在y轴的右侧，∴x＝－ >0，∴b<0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0，
∴abc>0，故①正确；
∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过(－1，0)，
∴a－b＋c＝0，
∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于两点(－1，0)，
(x1，0)，且2<x1<3.
∴a<－b<2a，
∴0＝a－b＋c>a＋a＋c＝2a＋c，
∴2a＋c<0，故②正确；
∵a－b＋c＝0，－b<2a，
∴4a－b＋2c＝4a－b＋2(b－a)＝2a＋b>0，
∴4a－b＋2c>0，故③错误；
如图，关于x的一元二次方程a(x＋1)(x－x1)＋c＝0(a≠0)的两个根m，n，
即函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y＝－c的交点的横坐标，
∴m<－1<2<n，
即m<－1，n>2；故④正确；
如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与y＝－ x＋c的
图象交于(0，c)和(x1，0)两点，
由图象可知，
关于x的不等式ax2＋bx＋c>－ x＋c(a≠0)的解集为x<0或x>x1
不是0<x<x1故⑤错误；
故正确的有①②④，共3个．
6．[2025·连云港]已知二次函数y＝x2＋2(a+1)x＋3a2－2a＋3，a为常数．
(1)若该二次函数的图象与直线y＝2a2有两个交点，求a的取值范围；
(2)若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值；
(3)求证：该二次函数的图象不经过原点．
解：(1)∵二次函数y＝x2＋2(a＋1)x＋3a2－2a＋3的图象开口向上，且与直线y＝2a2有两个交点，
∴函数的最小值小于2a2，
(2)∵二次函数的图象与x轴有交点，
∴Δ＝4(a＋1)2－4×1×(3a2－2a＋3)
＝－8a2＋16a－8
＝－8(a－1)2≥0，
∴8(a－1)2≤0，
又∵8(a－1)2≥0，
∴8(a－1)2＝0，
解得a＝1；
7．[2025·浙江]已知抛物线y＝x2－ax＋5(a为常数)经过点(1,0).
(1)求a的值；
(2)过点A(0,t)x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值；
(3)设m<3<n，抛物线的一段y＝x2－ax＋5(m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n－m的最大值．
解：(1)把(1，0)代入y＝x2－ax＋5，
得1－a＋5＝0，解得a＝6；
(2)由(1)得y＝x2－6x＋5，
∴对称轴为直线x＝－ ＝3，
∵点A(0，t)在y轴上，过点A(0，t)与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，
∴B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t.
又∵点B为线段AC的中点，
∴xC＝2xB，
∴xB＝2，
∴x＝2代入y＝x2－6x＋5，得y＝22－6×2＋5＝－3，
∴t＝－3；
(3)∵y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，
∴抛物线的顶点坐标(3，－4)．
当抛物线的一段y＝x2－ax＋5(m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间时，
要使n－m最大，
则m，n为其中一条直线与抛物线的交点的横坐标，
x＝m和x＝n关于对称轴对称，
又∵直线l1，l2之间的距离为16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点(3，－4)，
即其中一条直线为y＝－4时，n－m最大，
此时另一条直线为直线y＝16－4＝12，如图：
∴当x2－6x＋5＝12时，
解得x1＝7，x2＝－1，
即n＝7，m＝－1，
∴n－m的最大值为7－(－1)＝8.
eq \f(b,2a)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，0))
eq \f(c,2)
考点2 二次函数与方程、不等式的关系(5年6地3考)
1．[2020·呼和浩特]已知二次函数y＝(a－2)x2－(a＋2)x＋1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程(a－2)x2－(a＋2)x＋1＝0的两根之积为( )
A．0 B．－1
C．－eq \f(1,2) D．－eq \f(1,4)
m＝3或－1<m≤－eq \f(3,8)
解析：抛物线的对称轴为x＝－eq \f(－2m,2m)＝1，当x＝0时，y＝2，故抛物线与y轴的交点坐标为(0，2)，顶点坐标为(1，2－m)，直线CD的表达式为y＝－1，
当m>0，且抛物线过点D(4，－1)时，16m－8m＋2＝－1，解得m＝－eq \f(3,8)(舍去)，
当m>0，且顶点在直线CD上时，则2－m＝－1，解得m＝3，
当m<0，且抛物线过点D(4，－1)时，16m－8m＋2＝－1，解得m＝－eq \f(3,8)，
当m<0，且抛物线过点(－1，－1)时，m＋2m＋2＝－1，解得m＝－1.
由抛物线的性质可知，当eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m))越大，则抛物线的开口越小，且抛物线与线段CD只有一个公共点，－1<m≤－eq \f(3,8)，
综上所述，m的取值范围为m＝3或－1<m≤－eq \f(3,8).
4．[2025·内蒙古二模]已知关于x的函数y＝(x－1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（k－1）x＋（k－2）)) (k是常数)．设k分别取0，1，2时，所对应的函数为y0，y1，y2，某学习小组通过画图、探索，得到以下结论：①函数y0，y1，y2都是二次函数
②满足y1>y2的x取值范围是0<x<1 ③不论k取何实数，y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－2)]的图象都经过点(1，0)和点(－1，2) ④当x<－1时满足y2>y1>y0.其中正确的有 ．(填序号)
2．[2020·呼和浩特]关于二次函数y＝eq \f(1,4)x2－6x＋a＋27，下列说法错误的是( )
A．若将图象向上平移10个单位长度，再向左平移2个单位长度后过点(4，5)，则a＝－5
B．当x＝12时，y有最小值a－9
C．x＝2对应的函数值比最小值大7
D．当a<0时，图象与x轴有两个不同的交点
2．[2025·绥化]如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，0))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0))，与y轴交于点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，m))，其中－4<m<－3.则下列结论：
①a－c>0 ②方程ax2＋bx＋c－5＝0没有实数根 ③－eq \f(8,3)<b<－2 ④eq \f(a＋b＋c,b－a)>0.
其中错误的个数有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤t－1))
eq \f(c,x1)
eq \f(b,2a)
∴对称轴eq \f(－1＋2,2)<x<eq \f(－1＋3,2)，即eq \f(1,2)<－eq \f(b,2a)<1，
eq \f(c,x1)
eq \f(c,x1)
则eq \f(4（3a2－2a＋3）－4（a＋1）2,4)＝2a2－4a＋2，
即2a2－4a＋2<2a2，
解得a>eq \f(1,2)；
(3)证明：当x＝0时，y＝3a2－2a＋3＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,3)))2＋eq \f(8,3)>0，
∴二次函数的图象不经过原点．
eq \f(－6,2×1)
∴eq \f(xB＋xC,2)＝eq \f(3,2)xB＝3，
$微专题2 反比例函数中的面积问题
模型1 一点一垂直→S＝ |k|
基本模型：
变式1：
S△AOB＝S△PAB＝ |k|
变式2：
当|xC|＝|xA|时，S△AOC＝ |k|
1．[2024·西宁]如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCO的
顶点O是坐标原点，顶点A在反比例函数y＝ (k≠0，x＜0)的
图象上，对角线OB在x轴上．若菱形ABCO的面积是8 ，则k的值
为( )
2．如图，点A，C为函数y＝ (x＜0)图象上的两点，过A，C分
别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，
线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为
时，k的值为____．
－2
模型2 两点一垂直→S＝|k|
S△ABC＝S△AOC＋S△BOC＝ |k|＋ |k|＝|k|
3．[2024·杭州三模]如图，正比例函数y＝mx(m≠0，m为常数)
图象与反比例函数y＝ (k≠0，k为常数)图象交于A，B两点，
AH⊥x轴于点H，连接BH交y轴于点G，若S△OGB＝3，则k的值
为( )
A．－3 B．－6
C．－9 D．－12
4．[2024·新疆]如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx(x>0)
与双曲线y＝ 交于A，B两点，AC⊥x轴于点C，连接BC交y轴于
点D，结合图象判断下列结论：①点A与点B关于原点对称
②点D是BC的中点 ③在y＝ 的图象上任取点P(x1，y1)和点Q(x2，
y2)，如果y1>y2，那么x1＞x2 ④S△BOD＝ .
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
模型3 一点两垂直→S＝|k|
基本模型：
S矩形ABOC＝OB·OC＝|xA|·|yA|＝|k|
变式：
S▱ABCO＝|xA|·|yB|＝|k|
5．[2024·温州模拟]如图，在反比例函数
y＝ (x＞0)的图象上有点A，B，C，图中所
构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，
S2，S3，已知点A，B，C的横坐标分别为2，
3，4，S1＋S2＋S3＝8，则k的值为( )
A．10 B．12
C．14 D．16
6．[2024·齐齐哈尔]如图，反比例函数y＝ (x＜0)的图象经
过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B(－1，3)，
S▱ABCO＝3，则实数k的值为____．
－6
7．[2023·衢州]如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，
在x轴上方作正方形OACD，ABEF.反比例函数y＝ (k>0)的图象
分别交边CD，BE于点P，Q.作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N.若
OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为___．
24
模型4 两点两垂直→S＝2|k|
反比例函数与一次函数的交点关于原点对称，此时xA＝－xB，yA＝－yB.
S△ABP＝ AP·BP
＝ ×2|xA|·2|yA|
＝2|xA|·|yA|
＝2|k|
S▱ACBD＝2S△ACD
＝2× CD·AC
＝2× ×2|xA|·|yA|
＝2|k|
8．[2023·黑龙江]如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，
底边BC∥x轴，双曲线y＝ 过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双
曲线于点D，若S△BCD＝12，则k的值是( )
A．－6
B．－12
C．－
D．－9
9．[2023·朔州三模]如图，在平面直角坐标系中，平行四边
形ABCD的对角线交于原点O，顶点A，C在反比例函数y＝ 的图
象上，若CD垂直x轴于点D，平行四边形的面积为8，则k＝____．
－4
10．[2024·南京一模]如图，正比例函数y＝ax与反比例函数
y＝ 的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，若S△ABC＝12，
则b＝__．
6
模型5 两点与原点型
类型一 两交点在反比例函数图象同一支上
方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD.
方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，
BF⊥x轴于点F，易证S△OAM＝S四边形MEFB，
则S△AOB＝S直角梯形AEFB.
类型二 两交点分别在反比例函数图象两支上
方法一：S△AOB＝ OD·|xB－xA|＝ OC·|yA－yB|.
方法二：S△AOB＝S△AOC＋S△OCD＋S△OBD.
方法三：作AE⊥y轴，BF⊥x轴，AE与BF相交于
点N，则S△AOB＝S△ABN－S△AOE－S△OBF－S矩形OENF.
11．[2023·张家界]如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴，
x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD＝ AB，反比例函数y＝
(k＞0)的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，
DM.若△ODM的面积为3，则k的值为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
12．[2024·合肥模拟]如图，反比例函数y＝ 的图象与正比
例函数y＝x的图象交于A，B两点，点C在反比例函数第一象限
的图象上，且坐标为(m，4m)，若△BOC的面积为12，则k的值
为___．
16
模型6 两曲一平行
S△AOB＝ |k1|；S△OAD＝ |k2|；
S阴影＝S△AOB－S△AOD＝ |k1|－ |k2|.
S阴影＝S矩形OABC－S△OCD－S△OAE＝|k1|－|k2|
S阴影＝ |k1|＋ |k2| S▱ABCD＝|k1|＋|k2|
13．[2022·黑龙江]如图，在平面直角坐标系
中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B
在反比例函数y＝ 的图象上，顶点A在反比例
函数y＝ 的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形
OBAD的面积是5，则k的值是( )
A．2 B．1
C．－1 D．－2
14．[黔东南中考]如图，点A是反比例函数y＝ (x＞0)上的一
点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y＝ 的图
象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
15．[2023·湘西]如图，点A在函数y＝ (x>0)的图象上，点B
在函数y＝ (x>0)的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四
边形ABCO的面积为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
16．[2022·日照]如图，矩形OABC与反比例函数y1＝ (k1是非
零常数，x>0)的图象交于点M，N，与反比例函数y2＝ (k2是非
零常数，x>0)的图象交于点B，连接OM，ON.若四边形OMBN的面
积为3，则k1－k2＝( )
17．[2021·齐齐哈尔]如图，点A是反比例函数y＝ (x＜0)图
象上一点，AC⊥x轴于点C且与反比例函数y＝ (x＜0)的图象
交于点B，AB＝3BC，连接OA，OB，若△OAB的面积为6，则k1＋
k2＝_____．
－20
18．[2021·潍坊]如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，y＝
与y＝ (a＞b＞0)在第一象限的图象分别为曲线C1，C2，点P
为曲线C1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C2于点A，作x轴
的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB＝_______．(结果
用含a，b的式子表示)
eq \f(1,2)
S△AOB＝eq \f(1,2)OB·AB＝eq \f(1,2)|xA|·|yA|＝eq \f(1,2)|k|
eq \f(1,2)
eq \f(1,2)
eq \f(k,x)
eq \r(2)
A．4eq \r(2)
B．－4eq \r(2)
C．2eq \r(2)
D．－2eq \r(2)
eq \f(k,x)
eq \f(3,4)
eq \f(1,2)
eq \f(1,2)
eq \f(k,x)
eq \f(2,x)
eq \f(2,x)
eq \f(1,2)
eq \f(k,x)
eq \f(k,x)
eq \f(k,x)
eq \f(1,2)
eq \f(1,2)
eq \f(1,2)
eq \f(1,2)
eq \f(k,x)
eq \f(9,2)
eq \f(k,x)
eq \f(b,x)
eq \f(1,2)
eq \f(1,2)
eq \f(1,4)
eq \f(k,x)
eq \f(k,x)
eq \f(1,2)
eq \f(1,2)
eq \f(1,2)
eq \f(1,2)
eq \f(1,2)
eq \f(1,2)
eq \f(k,x)
eq \f(3,x)
eq \f(6,x)
eq \f(2,x)
eq \f(2,x)
eq \f(3,x)
eq \f(k1,x)
eq \f(k2,x)
A．3
B．－3
C.eq \f(3,2)
D．－eq \f(3,2)
eq \f(k1,x)
eq \f(k2,x)
eq \f(a,x)
eq \f(b,x)
eq \f(1,2)a－eq \f(b2,2a)
$第17讲 二次函数的综合题(2)
考点1 特殊三角形的存在性(包含相似)(5年16地10考)
题型一 等腰三角形的存在性
【名师点拨】
提出问题 已知点A，B和直线l，在直线l上找出点P，使△PAB为等腰三角形
思路
导析 1.若AB为底，作线段AB的垂直平分线，与直线l的交点P1即为所求
2.若AB为腰，分别以点A，B为圆心，AB长为半径画圆，与直线l的交点P2，P3，P4，P5即为所求
解法提示 对于等腰三角形的腰与底不确定的问题，需按照三条边两两相等分三种情况进行讨论，通常先设点坐标，再利用两点间的距离公式，分别表示出三条边的长度，然后列方程求解；当定线段为底边时，还可以根据动点在垂直平分线上求解；如果题目还有已知角相等，也可以通过全等或相似来求解
1．如图，抛物线 与x轴交于A，
B两点，与y轴交于点C，顶点为M，对称轴与x轴
交于点N.
(1)在抛物线上是否存在一点P，使得△PCO是以OC为底边的等腰三角形？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；
解：(解题思路参考名师点拨)
存在．点P的横坐标是 ；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△BMP是以BP为腰的等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得△ACP是等腰三角形？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
(1)将该抛物线向上平移2个单位长度，分别交x轴于A，B两点，交y轴于点C，则平移后的解析式为 ；
(2)判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A，C，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
题型二 直角三角形的存在性
【名师点拨】
1．如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交
于点C，连接AC，BC，对称轴为直线l，顶点为M.
(1)若点P是y轴上一点，且∠PAC＝90°，求点P的坐标；
(2)若点P是抛物线上一点，是否存在点P，使
△PBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在，
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点P是对称轴l上一点，是否存在点P使得△PBC是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．[2022·呼和浩特]如图，抛物线y＝－ x2＋bx＋c经过点
B(4，0)和点C(0，2)，与x轴的另一个交点为A，连接AC，BC.
(1)求抛物线的解析式及点A的坐标；
(2)如图1，若点D是线段AC的中点，连接BD，在y轴上是否存在
点E，使得△BDE是以BD为斜边的直角三角形？
若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说
明理由；
(3)如图2，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴，分别交BC，x轴于点M，N，当△PMC中有某个角的度数等于∠OBC度数的2倍时，请求出满足条件的点P的横坐标．
①当∠PCM＝2∠OBC时，
过点C作CF⊥PM于点F，如图2，
∵CF⊥PM，PM∥y轴，
∴CF∥OB，
∴∠FCM＝∠OBC，F(m，2)．
又∵∠PCM＝2∠OBC，∴∠PCF＝∠FCM＝∠OBC，
∴F是线段PM的中点，
题型三 相似三角形的存在性
【名师点拨】
解决步骤 1.找等角：直角三角形找对应的直角，一般三角形找可能会存在的隐含的等角
2.表示边长：直接或间接设出所求的点的坐标，然后表示出线段长
3.建立关系式并计算：对于对应关系不确定的三角形相似，需要按照等角的两边分别对应成比例列比例式，分情况讨论，然后进行计算求解
1．[2024·呼伦贝尔]如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点和点A(4，0)．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B(1，3)，与y轴交于点C.
(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m.
①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
②存在，理由如下：
∵PE∥OC，
∴∠BDP＝∠ACO.
∵△AOC是直角三角形，
∴要使△BPD与△AOC相似，只要保证△BPD是直角三角形就可以．
Ⅰ.当△BPD∽△AOC时，如图2，
∵∠AOC＝90°，
∴∠BPD＝90°，
此时BP∥x轴，B，P关于对称轴对称，
∴P(3，3)；
2．[2020·赤峰]如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的
图象与x轴交于A(1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，直线
y＝－ x＋2经过B，C两点．
(1)直接写出二次函数的解析式 ；
(2)平移直线BC，当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标；
(3)过(2)中的点Q作QE∥y轴，交x轴于点E.若点M是抛物线上一个动点，点N是x轴上一个动点，是否存在以E，M，N三点为顶点的直角三角形(其中M为直角顶点)与△BOC相似？如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和其中一个符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
考点2 特殊四边形的存在性(5年16地9考)
【名师点拨】
平行
四边
形的
存在
性 1.三定顶点，一动顶点：如图1，
分别过三个定点A，B，C作对边的
平行线，所作三条直线的交点P1，
P2，P3即为所求
图1
平行
四边
形的
存在
性 2.两定顶点，两动顶点：①线段AB为平行四边形的
边，如图2，平移AB，确定另外两点的位置
2.两定顶点，两动顶点：①线段AB为平行四边形的
边，如图2，平移AB，确定另外两点的位置
图2
图3
矩形
(正方
形)的
存在性 1.已知两定顶点A，B，在直线l上确定点C：①若AB为边，如图4，分别过点A，B作AC1⊥AB，BC2⊥AB，分别交直线l于点C1，C2；
②若AB为对角线，如图5，以AB为直径作圆，分别交直线l于点C3，C4
2.再利用矩形(或正方形)的性质确定点D即可
图4
图5
菱形的存在性 1.已知两定顶点A，B，在直线l上确定点C：①若AB
为边，如图6、图7，分别以点A，点B为圆心，AB长
为半径作圆，分别交直线l于点C1，C2，C3；
图6 图7
菱形的存在性 ②若AB为对角线，如图8，作线段AB的垂直平分线，交直线l于点C4
2.再利用菱形的性质确定点D即可
图8
1．[2022·呼伦贝尔]如图，抛物线y＝ax2＋x＋c经过B(3，0)，
D(－2，－ )两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C.
(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；
(2)若点M在直线BC上方的抛物线上运动(与点B，C不重合)，求
使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；(请在图1中探
索)
(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶
点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．(请
在图2中探索)
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P，D，O，C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
(3)抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)存在．①如图1，当Q在BC下方时，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，
∴∠BHC＝∠CMH＝∠HNB＝90°，
∴∠CHM＋∠BHN＝∠HBN＋∠BHN＝90°，
∴∠CHM＝∠HBN.
∵∠QCB＝45°，∴△BHC是等腰直角三角形，
∴CH＝HB，∴△CHM≌△HBN(AAS)，
∴CM＝HN，MH＝BN.
3．[2023·呼伦贝尔]如图，在平面直角坐标系中，抛物线
y＝－x2＋bx＋c与x轴的交点分别为A和B(1，0)(点A在点B的
左侧)，与y轴交于点C(0，3)，点P是直线AC上方抛物线上一
动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点P做x轴平行线交AC于点E，过点P做y轴平行线交x轴于点D，求PE＋PD的最大值及点P的坐标；
(3)如图2，设点M为抛物线对称轴上一动点，当点P，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形PMCN为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标．
(2)在y＝－x2－2x＋3中，令y＝0得0＝－x2－2x＋3，
解得x＝－3或x＝1，
∴A(－3，0)，
由A(－3，0)，C(0，3)得直线AC解析式为y＝x＋3，
①当t＝－1时，此时PM∥y轴，
∵四边形PMCN是矩形，
∴PM⊥MC，
∴M(－1，3)，
∴N(0，4)；
4．[2021·通辽]如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3交x轴于A(3，0)，
B(－1，0)两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；
(3)若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)在y＝－x2＋2x＋3中，令x＝0，得y＝3，
∴C(0，3)，
∵△PBC的周长＝PB＋PC＋BC，BC是定值，
∴当PB＋PC最小时，△PBC的周长最小．
如图1，点A，B关于对称轴对称，
连接AC交对称轴于点P，则点P为所求的点．
∵AP＝BP，
∴△PBC周长的最小值是AC＋BC.
(3)存在．
设P(1，t)，Q(m，n)，∵A(3，0)，C(0，3)，
则AC2＝32＋32＝18，AP2＝(1－3)2＋t2＝t2＋4，
PC2＝12＋(t－3)2＝t2－6t＋10，
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，
∴分三种情况：以AP为对角线或以AC为对角线或以CP为对角线，
1．[2025·广安]如图，二次函数y＝ x2＋bx＋c(b，c为常数)
的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为(9，0)，
点C的坐标为 (0，－3)，连接AC，BC.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为抛物线上的一个动点，连接PC，当∠PCB＝∠OBC时，
求点P的坐标；
(3)将抛物线沿射线CA的方向平移2 个单位长度后得到新抛
物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若
以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点
E的坐标．
(2)如图1所示，当点P在BC下方时，
∵∠PCB＝∠OBC，
∴PC∥OB，
∴点P与点C关于抛物线对称轴对称．
∵抛物线对称轴为直线x＝－ ＝4，
∴点P的坐标为(8，－3)；
如图2所示，当点P在BC上方时，设直线PC交x轴于H，
∵∠PCB＝∠OBC，
∴CH＝BH，
∴CH2＝BH2.
设H(m，0)，
∴(0－m)2＋(－3－0)2＝(9－m)2，
解得m＝4，
∴H(4，0)．
(3)由(2)可得原抛物线对称轴为直线x＝4，
∵B(9，0)，
∴由对称性可得A(－1，0)，
∴OA＝1.
∵C(0，－3)，
∴OC＝3，
∵将抛物线沿射线CA的方向平移2 个单位长度后得到新抛物线，
∴将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个单位长度得到
新抛物线，
∴新抛物线解析式为
2．[2025·绥化]综合与探究
如图，抛物线y＝ax2＋bx－5交x轴于A，B两点，交y轴于点C.直线y＝kx－5经过B，C两点，若点A(1，0)，B(－5，0)，点P是抛物线上的一个动点(不与点A，B重合)．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，当PE＝3ED时，求P点坐标；
(3)若点F是直线BC上的一个动点．请判断在点B右侧的抛物线上是否存在点P，使△AFP是以PF为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)∵B(－5，0)，
∴－5k－5＝0，
∴k＝－1，
∴y＝－x－5.
设P(x，x2＋4x－5)，
则E(x，－x－5)，
①当x<－5时，如图1，
PE＝x2＋4x－5－(－x－5)＝x2＋5x，
DE＝－x－5.
∵PE＝3ED，
∴x2＋5x＝3(－x－5)，
解得x＝－3(舍去)，或x＝－5(舍去)，
∴点P不存在；
②当－5<x<0时，如图2，
PE＝－x－5－(x2＋4x－5)＝－x2－5x，DE＝x＋5，
∴－x2－5x＝3(x＋5)，
解得x＝－3，或x＝－5(舍去)，
∴x2＋4x－5＝－8，
∴P1(－3，－8)；
③当0<x<1时，如图3，PE<ED，点P不存在；
④当x>1时，如图4，
PE＝x2＋4x－5－(－x－5)＝x2＋5x，
DE＝x＋5，
∴x2＋5x＝3(x＋5)，
解得x＝3，或x＝－5(舍去)，
∴x2＋4x－5＝16，
∴P2(3，16)．
综上所述，P点坐标为P1(－3，－8)，P2(3，16)；
(3)过点F，P作FG⊥x轴于G，PH⊥x轴于H，
则∠AGF＝∠AHP＝90°.
∵△AFP是以PF为斜边的等腰直角三角形，
∴AF＝AP，∠PAF＝90°，
∴∠FAG＋∠PAH＝∠APH＋∠PAH＝90°，
∴∠FAG＝∠APH，
∴△AFG≌△PAH(AAS)，
∴AH＝FG，PH＝AG.
设P(m，m2＋4m－5)，
当－5<m<1时，如图5，AH＝1－m，PH＝－m2－4m＋5，
∴FG＝1－m，∴－x－5＝1－m，
∴x＝m－6，
∴F(m－6，1－m)，
∴AG＝1－(m－6)＝7－m，
∴－m2－4m＋5＝7－m，
解得m＝－1，m＝－2，
∴点P的坐标为(－1，－8)或(－2，－9)；
当m>1时，如图6，AH＝m－1，PH＝m2＋4m－5，
∴FG＝m－1，∴－x－5＝m－1，∴x＝－m－4，
∴F(－m－4，m－1)，∴AG＝1－(－m－4)＝m＋5，
∴m2＋4m－5＝m＋5，解得m＝2，m＝－5(舍去)，
∴点P的坐标为(2，7)；
故点P的坐标为(－1，－8)，或(－2，－9)，或(2，7)．
y＝－eq \f(2,3)x2＋eq \f(4,3)x＋2
eq \f(2±\r(10),2)
解：存在．点P的坐标为(1，eq \f(7,12))或(1，－eq \f(8,3))；
解：存在．点P的横坐标为eq \r(5)－1或－eq \r(5)－1或1或eq \f(3,2).
2．[赤峰中考]已知抛物线y＝－eq \f(1,2)x2－eq \f(3,2)x的图象如图所示．
解：(1)y＝－eq \f(1,2)x2－eq \f(3,2)x＋2；
(2)当y＝0时，－eq \f(1,2)x2－eq \f(3,2)x＋2＝0，
解得x1＝－4，x2＝1，即B(－4，0)，A(1，0)．
当x＝0时，y＝2，即C(0，2)．
AB＝1－(－4)＝5，AB2＝25，AC2＝(1－0)2＋(0－2)2＝5，
BC2＝(－4－0)2＋(0－2)2＝20，
∵AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形；
(3)存在．y＝－eq \f(1,2)x2－eq \f(3,2)x＋2的对称轴是直线x＝－eq \f(3,2)，设P(－eq \f(3,2)，n)，
AP2＝(1＋eq \f(3,2))2＋n2＝eq \f(25,4)＋n2，CP2＝eq \f(9,4)＋(2－n)2，AC2＝12＋22＝5.
当AP＝AC时，AP2＝AC2，eq \f(25,4)＋n2＝5，方程无解；
当AP＝CP时，AP2＝CP2，eq \f(25,4)＋n2＝eq \f(9,4)＋(2－n)2，
解得n＝0，即P1(－eq \f(3,2)，0)，
当AC＝CP时，AC2＝CP2，eq \f(9,4)＋(2－n)2＝5，
解得n1＝2＋eq \f(\r(11),2)，n2＝2－eq \f(\r(11),2)，P2(－eq \f(3,2)，2＋eq \f(\r(11),2))，P3(－eq \f(3,2)，2－eq \f(\r(11),2))．
综上所述，点P的坐标(－eq \f(3,2)，0)，(－eq \f(3,2)，2＋eq \f(\r(11),2))，(－eq \f(3,2)，2－eq \f(\r(11),2))．
y＝eq \f(1,2)x2－eq \f(3,2)x－2
解：(解题思路参考名师点拨)
(1)点P的坐标为(0，eq \f(1,2))；
(2)存在．点P的坐标为(－5，18)或(－1，0)；
(3)存在．点P的坐标为(eq \f(3,2)，－5)或(eq \f(3,2)，5)或(eq \f(3,2)，eq \f(－2＋\r(19),2))或(eq \f(3,2)，eq \f(－2－\r(19),2))．
eq \f(1,2)
解：(1)将点B(4，0)和点C(0，2)代入抛物线y＝－eq \f(1,2)x2＋bx＋c中，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)×42＋4b＋c＝0，,c＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝\f(3,2)，,c＝2，))
∴抛物线的解析式为y＝－eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x＋2，
在y＝－eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x＋2中，令y＝0得－eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x＋2＝0，
解得x1＝－1，x2＝4，∴A(－1，0)；
(2)存在y轴上一点E，使得△BDE是以BD为斜边的直角三角形，理由如下：
如图1，
∵点D是线段AC的中点，A(－1，0)，C(0，2)，
∴D(－eq \f(1,2)，1)，
设E(0，t)，B(4，0)，
∵∠BED＝90°，∴BE2＋DE2＝BD2，
即[(4－0)2＋(0－t)2]＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－\f(1,2)－0）2＋（1－t）2))＝(4＋eq \f(1,2))2＋(0－1)2，
化简得t2－t－2＝0，解得t1＝－1，t2＝2，
∴E的坐标为(0，－1)或(0，2)；
(3)∵B(4，0)，C(0，2)，∴设直线BC的解析式为y＝kx＋2(k≠0)，
把点B(4，0)代入解析式，得4k＋2＝0，解得k＝－eq \f(1,2)，
∴直线BC的解析式为y＝－eq \f(1,2)x＋2，
设点P(m，－eq \f(1,2)m2＋eq \f(3,2)m＋2)，则M(m，－eq \f(1,2)m＋2)．
∴eq \f(－\f(1,2)m2＋\f(3,2)m＋2＋（－\f(1,2)m＋2）,2)＝2，
整理，得m2－2m＝0，解得m＝2或m＝0，
∵点P是第一象限内抛物线上的动点，
∴m＝2；
②当∠CMP＝2∠OBC时，
∵∠CMP＝∠BMN，∴∠BMN＝2∠OBC，即∠BMN＝2∠NBM.
∵PN⊥x轴，∴∠BMN＋∠NBM＝90°，
即3∠NBM＝90°，
∴∠NBM＝30°，∴OC＝eq \f(1,2)BC.
∵BC＝eq \r(OC2＋OB2)＝eq \r(4＋16)＝2eq \r(5)≠4，
∴此种情况不存在；
③当∠CPM＝2∠OBC时，
∵∠CMP＝∠NMB＝90°－∠OBC，
∴∠PCM＝180°－∠CPM－∠CMP＝180°－2∠OBC－(90°－∠OBC)＝90°－∠OBC，
∴∠PCM＝∠CMP，∴PC＝PM，
∴(m－0)2＋(－eq \f(1,2)m2＋eq \f(3,2)m＋2－2)2
＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－\f(1,2)m2＋\f(3,2)m＋2）－（－\f(1,2)m＋2）))2，
整理，得m2＋eq \f(1,4)m4－eq \f(3,2)m3＋eq \f(9,4)m2＝eq \f(1,4)m4－2m3＋4m2，
解得m＝eq \f(3,2)或m＝0(舍去)；
综上所述，满足条件的点P的横坐标为2或eq \f(3,2).
解：(1)∵二次函数经过O(0，0)，A(4，0)，B(1，3)，
∴将三点坐标代入解析式，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝c，,0＝16a＋4b＋c，,3＝a＋b＋c，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝4，,c＝0，))
∴二次函数的解析式为y＝－x2＋4x.
∵直线经过A，B两点，设直线AB的解析式为y＝kx＋n，
∴将A，B两点代入，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(0＝4k＋n，,3＝k＋n，)))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,n＝4，))
∴直线AB的解析式为y＝－x＋4.
∵点C是直线与y轴的交点，
∴令x＝0，则y＝4，∴C(0，4)；
(2)①如图1，∵点P在直线AB上方，
∴1＜m＜4，
由题知P(m，－m2＋4m)，D(m，－m＋4)，
∴PD＝yP－yD＝－m2＋4m＋m－4＝－m2＋5m－4
＝－(m－eq \f(5,2))2＋eq \f(9,4)，
∵－1＜0，
∴当m＝eq \f(5,2)时，PD＝eq \f(9,4)是最大值；
Ⅱ.当△PBD∽△AOC时，
∴∠PBD＝∠AOC＝90°.
∵OC＝OA＝4，
∴∠BDP＝∠ADE＝∠OAC＝45°，
∴△BDP为等腰直角三角形，
∴PD＝eq \r(2)BD.
由①知PD＝－m2＋5m－4，
∵B(1，3)，D(m，－m＋4)，
∴BD＝eq \r(（m－1）2＋（－m＋4－3）2)＝eq \r(2)(m－1)．
∵PD＝eq \r(2)BD，
∴－m2＋5m－4＝2(m－1)，
解得m1＝2，m2＝1(舍)，
∴P(2，4)．
综上所述，存在点P使△BPD与△AOC相似，此时点P的坐标
为(3，3)或(2，4)．
eq \f(1,2)
解：(1)∵直线y＝－eq \f(1,2)x＋2经过B，C两点，
∴点C(0，2)．
∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点A(1，0)，B(4，0)，C(0，2)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝a＋b＋c，,0＝16a＋4b＋c，,c＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝－\f(5,2)，,c＝2，))
∴抛物线解析式为y＝eq \f(1,2)x2－eq \f(5,2)x＋2，
故答案为：y＝eq \f(1,2)x2－eq \f(5,2)x＋2；
(2)设平移后的解析式为y＝－eq \f(1,2)x＋2＋m，
∵平移后直线BC与抛物线有唯一公共点Q，
令eq \f(1,2)x2－eq \f(5,2)x＋2＝－eq \f(1,2)x＋2＋m，
∴Δ＝4－4×eq \f(1,2)×(－m)＝0，∴m＝－2，
∴平移后的解析式为y＝－eq \f(1,2)x，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x，,y＝\f(1,2)x2－\f(5,2)x＋2，))
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1，))∴点Q(2，－1)；
(3)存在．设点M的坐标为(m，eq \f(1,2)m2－eq \f(5,2)m＋2)，
∵以E，M，N三点为顶点的直角三角形(其中M为直角顶点)与△BOC相似，
∴△MEN∽△OBC或△MEN∽△OCB，
∴∠MEN＝∠OBC或∠MEN＝∠OCB，
过点M作MH⊥x轴于H，
∴∠EHM＝90°＝∠BOC，
∴△EHM∽△BOC时，eq \f(EH,MH)＝eq \f(OB,OC)，
△EGM∽△COB时，eq \f(EH,MH)＝eq \f(CO,QB)，
∵MH＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)m2－\f(5,2)m＋2))，EH＝|m－2|，OB＝4，OC＝2.
∴eq \f(|m－2|,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)m2－\f(5,2)m＋2)))＝2或eq \f(1,2)，
∴m＝3±eq \r(3)或m＝2±eq \r(2)或m＝eq \f(9±\r(33),2)或m＝eq \f(1±\r(17),2)，
当m＝3＋eq \r(3)时，eq \f(1,2)m2－eq \f(5,2)m＋2＝eq \f(\r(3)＋1,2)，
∴M(3＋eq \r(3)，eq \f(\r(3)＋1,2))，
当m＝3－eq \r(3)时，eq \f(1,2)m2－eq \f(5,2)m＋2＝eq \f(1－\r(3),2)，
∴M(3－eq \r(3)，eq \f(1－\r(3),2))，
当m＝2＋eq \r(2)时，eq \f(1,2)m2－eq \f(5,2)m＋2＝－eq \f(\r(2),2)，
∴M(2＋eq \r(2)，－eq \f(\r(2),2))，
当m＝2－eq \r(2)时，eq \f(1,2)m2－eq \f(5,2)m＋2＝eq \f(\r(2),2)，
∴M(2－eq \r(2)，eq \f(\r(2),2))，
当m＝eq \f(9＋\r(33),2)时，eq \f(1,2)m2－eq \f(5,2)m＋2＝5＋eq \r(33)，
∴M(eq \f(9＋\r(33),2)，5＋eq \r(33))，
当m＝eq \f(9－\r(33),2)时，eq \f(1,2)m2－eq \f(5,2)m＋2＝5－eq \r(33)，
∴M(eq \f(9－\r(33),2)，5－eq \r(33))，
当m＝eq \f(1＋\r(17),2)时，eq \f(1,2)m2－eq \f(5,2)m＋2＝3－eq \r(17)，
∴M(eq \f(1＋\r(17),2)，3－eq \r(17))，
当m＝eq \f(1－\r(17),2)时，eq \f(1,2)m2－eq \f(5,2)m＋2＝3＋eq \r(17)，
∴M(eq \f(1－\r(17),2)，3＋eq \r(17))，
即满足条件的点M共有8个，其点的坐标为(3＋eq \r(3)，eq \f(\r(3)＋1,2))或(3－eq \r(3)，eq \f(1－\r(3),2))或(2＋eq \r(2)，－eq \f(\r(2),2))或(2－eq \r(2)，eq \f(\r(2),2))或(eq \f(9＋\r(33),2)，5＋eq \r(33))或(eq \f(9－\r(33),2)，5－eq \r(33))或(eq \f(1＋\r(17),2)，3－eq \r(17))或(eq \f(1－\r(17),2)，3＋eq \r(17))．
eq \f(5,2)
解：(1)将B(3，0)，D(－2，－eq \f(5,2))代入y＝ax2＋x＋c，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9a＋3＋c＝0，,4a－2＋c＝－\f(5,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,2)，,c＝\f(3,2)，))
∴y＝－eq \f(1,2)x2＋x＋eq \f(3,2)，
令x＝0，则y＝eq \f(3,2)，∴C(0，eq \f(3,2))；
(2)作直线BC，过M点作MN∥y轴交BC于点N，
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3k＋b＝0，,b＝\f(3,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,2)，,b＝\f(3,2)，))
∴y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(3,2)，
设M(m，－eq \f(1,2)m2＋m＋eq \f(3,2))，则N(m，－eq \f(1,2)m＋eq \f(3,2))，
∴MN＝－eq \f(1,2)m2＋eq \f(3,2)m，
∴S△MBC＝eq \f(1,2)MN·OB＝－eq \f(3,4)(m－eq \f(3,2))2＋eq \f(27,16)，
当m＝eq \f(3,2)时，△MBC的面积有最大值eq \f(27,16)，此时M(eq \f(3,2)，eq \f(15,8))；
(3)令y＝0，则－eq \f(1,2)x2＋x＋eq \f(3,2)＝0，
解得x＝3或x＝－1，∴A(－1，0)，
设Q(0，n)，P(t，－eq \f(1,2)t2＋t＋eq \f(3,2))，
①当AB为平行四边形的对角线时，t＝3－1＝2，∴P(2，eq \f(3,2))；
②当AQ为平行四边形的对角线时，3＋t＝－1，
解得t＝－4，∴P(－4，－eq \f(21,2))；
③当AP为平行四边形的对角线时，t－1＝3，
解得t＝4，
∴P(4，－eq \f(5,2))；
综上所述，P点坐标为(2，eq \f(3,2))或(－4，－eq \f(21,2))或(4，－eq \f(5,2))．
2．[2022·鄂尔多斯]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过A(－eq \f(1,2)，0)，B(3，eq \f(7,2))两点，与y轴交于点C.
解：(1)将点A(－eq \f(1,2)，0)，B(3，eq \f(7,2))代入y＝ax2＋bx＋2，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a－\f(1,2)b＋2＝0，,9a＋3b＋2＝\f(7,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝\f(7,2)，))
则抛物线的解析式为y＝－x2＋eq \f(7,2)x＋2；
(2)设点P(m，－m2＋eq \f(7,2)m＋2)，
对于二次函数y＝－x2＋eq \f(7,2)x＋2，
当x＝0时，y＝2，即C(0，2)，CO＝2，
设直线BC的解析式为y＝kx＋c，
将点B(3，eq \f(7,2))，C(0，2)代入，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3k＋c＝\f(7,2)，,c＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2)，,c＝2，))
则直线BC的解析式为y＝eq \f(1,2)x＋2，
∴D(m，eq \f(1,2)m＋2)，
∴PD＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－m2＋\f(7,2)m＋2－（\f(1,2)m＋2）))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m2－3m)).
∵PD⊥x轴，OC⊥x轴，∴PD∥CO，
∴当PD＝CO时，以P，D，O，C为顶点的四边形是平行四边形，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m2－3m))＝2，
解得m＝1或m＝2或m＝eq \f(3＋\r(17),2)或m＝eq \f(3－\r(17),2)，
则点P的横坐标为1或2或eq \f(3＋\r(17),2)或eq \f(3－\r(17),2)；
设点H的坐标为H(s，t)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－t＝3－s，,s＝\f(7,2)－t，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(s＝\f(9,4)，,t＝\f(5,4)，))即H(eq \f(9,4)，eq \f(5,4))．
设直线CH的解析式为y＝px＋q，
将点C(0，2)，H(eq \f(9,4)，eq \f(5,4))代入，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)p＋q＝\f(5,4)，,q＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p＝－\f(1,3)，,q＝2，))
则直线CH的解析式为y＝－eq \f(1,3)x＋2，
联立直线CH与抛物线解析式得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x2＋\f(7,2)x＋2，,y＝－\f(1,3)x＋2，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(23,6)，,y＝\f(13,18)，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2))(即为点C)，
则此时点Q的坐标为(eq \f(23,6)，eq \f(13,18))；
②如图2，当Q在BC上方时，过B作BH⊥CQ于H，
过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，
同理可得此时点Q的坐标为(eq \f(1,2)，eq \f(7,2))，
综上所述，存在这样的点Q，
点Q的坐标为(eq \f(23,6)，eq \f(13,18))或(eq \f(1,2)，eq \f(7,2))．
解：(1)把B(1，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＋b＋c＝0，,c＝3，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－2，,c＝3，))
∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3；
设P(t，－t2－2t＋3)，则D(t，0)，E(－t2－2t，－t2－2t＋3)，
∴PD＋PE＝－t2－2t＋3＋(－t2－2t)－t
＝－2t2－5t＋3＝－2(t＋eq \f(5,4))2＋eq \f(49,8)，
∵－2<0，
∴当t＝－eq \f(5,4)时，PD＋PE取最大值eq \f(49,8)，此时P(－eq \f(5,4)，eq \f(63,16))；
(3)设M(－1，m)，P(t，－t2－2t＋3)，
设PC的中点为K(eq \f(1,2)t，－eq \f(1,2)t2－t＋3)，
∵N点，M点的中点为K，
∴N(t＋1，－t2－2t＋6－m)，
∵N点在坐标轴上，∴t＋1＝0或－t2－2t＋6－m＝0，
②当－t2－2t＋6－m＝0时，N点在x轴上，
如图，过点P作PH⊥x轴于H，
∵∠PNC＝90°，∴∠PNH＋∠CNO＝90°，
∠PNH＋∠HPN＝90°，
∴∠CNO＝∠HPN，∴△PHN∽△NOC，
∴eq \f(PH,NO)＝eq \f(HN,CO)，即eq \f(－t2－2t＋3,－t－1)＝eq \f(1,3)，
解得t＝eq \f(－5－\r(145),6)或t＝eq \f(－5＋\r(145),6)，
∵P点在直线AC上方，
∴－3<t<0，
∴t＝eq \f(－5－\r(145),6)，
∴N(eq \f(1－\r(145),6)，0)；
综上所述，N点坐标为(0，4)或(eq \f(1－\r(145),6)，0)．
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3交x轴于A(3，0)，B(－1，0)两点，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9a＋3b＋3＝0，,a－b＋3＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝2，))
∴该抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；
∵A(3，0)，B(－1，0)，C(0，3)，
∴AC＝3eq \r(2)，BC＝eq \r(10).
∴△PBC周长的最小值是为3eq \r(2)＋eq \r(10).
抛物线对称轴为直线x＝－eq \f(2,2×（－1）)＝1，
设直线AC的解析式为y＝kx＋c，将A(3，0)，C(0，3)代入，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3k＋c＝0，,c＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,c＝3，))
∴直线AC的解析式为y＝－x＋3，∴P(1，2)；
①当以AP为对角线时，则CP＝CA，如图2，
∴t2－6t＋10＝18，
解得t＝3±eq \r(17)，
∴P1(1，3－eq \r(17))，P2(1，3＋eq \r(17))．
∵四边形ACPQ是菱形，
∴AP与CQ互相垂直平分，即AP与CQ的中点重合，
当P1(1，3－eq \r(17))时，
∴eq \f(m＋0,2)＝eq \f(3＋1,2)，eq \f(n＋3,2)＝eq \f(0＋3－\r(17),2)，
解得m＝4，n＝－eq \r(17)，∴Q1(4，－eq \r(17))．
当P2(1，3＋eq \r(17))时，
∴eq \f(m＋0,2)＝eq \f(3＋1,2)，eq \f(n＋3,2)＝eq \f(0＋3＋\r(17),2)，
解得m＝4，n＝eq \r(17)，∴Q2(4，eq \r(17))；
②以AC为对角线时，则PC＝AP，如图3，
∴t2－6t＋10＝t2＋4，解得t＝1，
∴P3(1，1)．
∵四边形APCQ是菱形，
∴AC与PQ互相垂直平分，即AC与PQ中点重合，
∴eq \f(m＋1,2)＝eq \f(3＋0,2)，eq \f(n＋1,2)＝eq \f(0＋3,2)，
解得m＝2，n＝2，∴Q3(2，2)；
③当以CP为对角线时，则AP＝AC，如图4，
∴t2＋4＝18，解得t＝±eq \r(14)，
∴P4(1，eq \r(14))，P5(1，－eq \r(14))．
∵四边形ACQP是菱形，
∴AQ与CP互相垂直平分，即AQ与CP的中点重合，
∴eq \f(3＋m,2)＝eq \f(0＋1,2)，eq \f(n＋0,2)＝eq \f(3±\r(14),2)，
解得m＝－2，n＝3±eq \r(14)，
∴Q4(－2，3＋eq \r(14))，Q5(－2，3－eq \r(14))，
综上所述，符合条件的点Q的坐标为Q1(4，－eq \r(17))，Q2(4，eq \r(17))，Q3(2，2)，Q4(－2，3＋eq \r(14))，Q5(－2，3－eq \r(14)).
eq \f(1,3)
eq \r(10)
解：(1)把B(9，0)，C(0，－3)代入y＝eq \f(1,3)x2＋bx＋c中，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×92＋9b＋c＝0，,c＝－3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－\f(8,3)，,c＝－3，))
∴抛物线的解析式为y＝eq \f(1,3)x2－eq \f(8,3)x－3；
eq \f(－\f(8,3),2×\f(1,3))
设直线PC解析式为y＝k1x＋b1(k1≠0)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k1＋b1＝0，,b1＝－3，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝\f(3,4)，,b1＝－3，))
∴直线PC解析式为y＝eq \f(3,4)x－3，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,4)x－3，,y＝\f(1,3)x2－\f(8,3)x－3，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(41,4)，,y＝\f(75,16)，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－3))(舍去)，
∴点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,4)，\f(75,16)))；
综上所述，点P的坐标为(8，－3)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,4)，\f(75,16)))；
∴AC＝eq \r(OA2＋OC2)＝eq \r(10).
eq \r(10)
y＝eq \f(1,3)(x＋2)2－eq \f(8,3)(x＋2)－3＋6＝eq \f(1,3)x2－eq \f(4,3)x－1.
①当BE为对角线时，
∵平行四边形对角线互相平分，
∴BE，CF的中点坐标相同，
∴eq \f(xE＋9,2)＝eq \f(0＋4,2)，
∴xE＝－5，
∴yE＝eq \f(1,3)×(－5)2－eq \f(4,3)×(－5)－1＝14，
∴此时点E的坐标为(－5，14)；
②当BF为对角线时，
∵平行四边形对角线互相平分，
∴BF，CE的中点坐标相同，
∴eq \f(xE＋0,2)＝eq \f(9＋4,2)，
∴xE＝13，
∴yE＝eq \f(1,3)×132－eq \f(4,3)×13－1＝38，
∴此时点E的坐标为(13，38)；
③当BC为对角线时，
∵平行四边形对角线互相平分，∴BC，EF的中点坐标相同，
∴eq \f(xE＋4,2)＝eq \f(9＋0,2)，∴xE＝5，
∴yE＝eq \f(1,3)×52－eq \f(4,3)×5－1＝eq \f(2,3)，
∴此时点E的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(2,3)))；
综上所述，点E的坐标为(－5，14)或(13，38)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(2,3))).
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－5交x轴于A(1，0)，B(－5，0)两点，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b－5＝0，,25a－5b－5＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝4，))
∴y＝x2＋4x－5；
$第10讲 一次函数
【构建知识网络】
知识点1 一次函数的定义、图象与性质
一次函数
的概念 一般地，如果y＝kx＋b(k≠0，k，b是常数)，那么y叫做x的一次函数．当b＝0时，一次函数y＝kx (k≠0，k是常数)叫做正比例函数
一次函数
的图象 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象是过点(0，b)的一条直线．正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过原点的一条直线
k决定图象
的倾斜方向
和增减性 k>0⇔图象从左向右呈上升趋势，y随x的增大而增大 k<0⇔图象从左向右呈下降趋势，y随x的增大而减小
【满分技能】
1．正比例函数图象是过(0，0)和(1，k)的一条直线，且关于
坐标原点成中心对称．
2．对于直线y1＝k1x＋b1和y2＝k2x＋b2，当k1＝k2且b1≠b2时，
两直线平行；当k1·k2＝－1时，两直线互相垂直．
3．某些特殊一次函数的图象与x轴所成的锐角的度数：y＝±x
与x轴成45°角，y＝± x与x轴成30°角，y＝± x与x轴
成60°角．
知识点2 一次函数图象的平移
平移前表达式 平移方式 平移后表达式 口诀
y＝kx＋b(k≠0) 向左平移a个单位长度 y＝k(x＋a)＋b(k≠0) 左右平移变x，左加右减；上下平移变b，上加下减
向右平移a个单位长度 y＝k(x－a)＋b(k≠0)
向上平移a个单位长度 y＝kx＋b＋a(k≠0)
向下平移a个单位长度 y＝kx＋b－a(k≠0)
知识点3 一次函数表达式的确定(待定系数法)
一设 设一次函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0)
二列 将图象上的两个点的坐标或已知两个条件代入表达式y＝kx＋b中，得到含有待定系数的方程组
三解 解方程组，求待定系数k，b的值
四还原 将所求待定系数的值代入y＝kx＋b中，从而写出函数表达式
知识点4 与方程(组)、不等式之间的关系
与一次方
程(组)的关系 1.一次函数的表达式就是一个二元一次方程
2.方程kx＋b＝0的解⇔一次函数y＝kx＋b与x轴交点的横坐标
3.方程组 的解⇔一
次函数y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2的
图象交点的坐标
与一次不等式
的关系 1.不等式kx＋b＞0的解集⇔一次函数y＝kx＋b位于x轴上方的图象所对应的自变量的取值范围
2.不等式kx＋b＜0的解集⇔一次函数y＝kx＋b位于x轴下方的图象所对应的自变量的取值范围
与一次不等式
的关系 3.不等式kx＋b＜k1x＋b1的解集⇔一次函数y＝kx＋b位于一次函数y＝k1x＋b1下方的图象所对应的自变量的取值范围
4.不等式kx＋b＞k1x＋b1的解集⇔一次函数y＝kx＋b位于一次函数y＝k1x＋b1上方的图象所对应的自变量的取值范围
【满分技能】
解决一次函数与方程(组)、不等式的关系的问题，多与图象联系起来，利用数形结合思想，从横、纵两个方向分析图象的位置、变化趋势等．对于多个函数的图象，一定要注意从交点入手．
知识点5 利用一次函数解决实际问题
利用一次函数
解决实际问题 1.建立函数模型
2.根据等量关系求出相应的函数解析式
3.根据一次函数的性质解决问题
注意：实际问题中自变量的取值范围
考点1 一次函数的图象与性质(5年6地19考)
1．[2024·通辽]如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数
y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2(其中k1k2≠0，k1，k2，b1，b2为常数)
的图象分别为直线l1，l2.下列结论正确的是( )
A．b1＋b2＞0 B．b1b2＞0
C．k1＋k2＜0 D．k1k2＜0
2．[2023·通辽]在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x－3的图象是( )
3．[2022·包头]在一次函数y＝－5ax＋b(a≠0)中，y的值随x值的增大而增大，且ab>0，则点A(a，b)在( )
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
考点2 一次函数的表达式的确定(5年6地16考)
1．[2023·包头]在平面直角坐标系中，将正比例函数y＝－2x的图象向右平移3个单位长度得到一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象，则该一次函数的解析式为( )
A．y＝－2x＋3 B．y＝－2x＋6
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－6
4．[2024·包头]在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经
过第一，二，三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表
达式____________________．
y＝x＋1(答案不唯一)
考点3 一次函数与方程(组)、不等式(组)(5年6地5考)
1．[通辽中考]如图，直线y＝kx＋b(k≠0)经过点(－1，3)，则不等式kx＋b≥3的解集为( )
A．x>－1 B．x<－1
C．x≥3 D．x≥－1
考点4 一次函数的实际应用(5年6地18考)
1．[2025·内蒙古]在闭合电路中，通过定值电阻的电流I(单位：A)是它两端的电压U(单位：V)的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为15 V时，通过它的电流为( )
A．12 A B．8 A
C．6 A D．4 A
2．[2024·呼伦贝尔]某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元；购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元．
水果种类 进价(元/千克) 售价(元/千克)
甲 a 22
乙 b 25
(1)求a，b的值；
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润y(元)与购进甲种水果的数量x(千克)之间的函数关系式(写出自变量x的取值范围)，并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润．
(2)当50≤x≤80时，
根据题意，得y＝(22－14)x＋(25－19)(150－x)＝2x＋900，
∵2>0，∴y随x的增大而增大，
∴当x＝80时，y有最大值，最大值为2×80＋900＝1 060，
即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1 060元；
当80<x≤120时，
3．[2024·包头]如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y(单位：cm)随着碗的数量x(单位：个)的变化规律．如表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据：
x/个 1 2 3 4
y/cm 6 8.4 10.8 13.2
(1)依据小亮测量的数据，写出y与x之间的函数表达式，并说
明理由；
(2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8 cm，
求此时碗的数量最多为多少个？
解：(1)由表格可知，每增加一个碗，高度增加2.4 cm，
∴y＝6＋2.4(x－1)＝2.4x＋3.6，
检验：当x＝1时，y＝6；
当x＝2时，y＝8.4；
当x＝3时，y＝10.8；
当x＝4时，y＝13.2；
∴y＝2.4x＋3.6；
(2)根据题意，得2.4x＋3.6≤28.8，
解得x≤10.5，
∴碗的数量最多为10个．
4．[2023·呼伦贝尔]端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2 500元购进的肉粽和用2 000元购进的豆沙粽盒数相同．
(1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价；
(2)商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，B两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案：A厂家：一律打8折出售．
B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折．
该商家计划购买豆沙粽礼盒x盒，设去A厂家
购买应付y1元，去B厂家购买应付y2元，其函
数图象如图所示：
①分别求出y1，y2与x之间的函数关系；
②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？
②当x>25且x为整数，
y1＝y2时，32x＝28x＋300，x＝75.
由图象，得购买粽子礼盒少于75盒，去A厂家购买划算；购买粽子礼盒等于75盒，去A厂家或B厂家购买一样划算；购买粽子礼盒多于75盒，去B厂家购买划算．
1．[2025·上海]下列函数中，为正比例函数的是( )
A．y＝3x＋1
B．y＝3x2
2．[2025·长春]已知点A(－3，y1)，B(3，y2)在同一正比例函数y＝kx(k＜0)的图象上，则下列结论正确的是( )
A．y1＝－y2
B．y1＝y2
C．y2>0
D．y1＜0
3．[2025·陕西]在平面直角坐标系中，过点(1，0)，(0，2)的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是( )
A．(1，－3)
B．(1，3)
C．(－3，2)
D．(3，2)
4．[2025·安徽]已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点M(1，2)，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是( )
A．(－2，2)
B．(2，1)
C．(－1，3)
D．(3，4)
5．[2025·苏州]声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v(m/s)与温度t(℃)部分对应数值如表所示：
温度t(℃) －10 0 10 30
声音传播的速度v(m/s) 324 330 336 348
研究发现v，t满足公式v＝at＋b(a，b为常数，且a≠0)．当温度t为15 ℃时，声音传播的速度v为( )
A．333 m/s
B．339 m/s
C．341 m/s
D．342 m/s
6．[2025·淮安]如图，直线l1：y＝－x＋6经过点A(1，a)，将
l1绕A点顺时针旋转，旋转角为α(45°<α<135°)，得到直线l2.
点B(m，n)在l2上，若m>1，则n的值可以是______________．
(填写一个值即可)
6(答案不唯一)
7．[2024·扬州]如图，已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象
分别与x，y轴交于A，B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方
程kx＋b＝0的解为_______．
x＝－2
8．[2025·德阳]如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，
2 )，点C在直线m：y＝ 上，且AC＝3，连接AB，BC，
将△ABC绕点C顺时针旋转到△A1B1C1，点B的对应点B1落在直线m
上，再将△A1B1C1绕点B1顺时针旋转到△A2B2C2，点A1的对应点A2
也落在直线m上……如此下去，则A1 001的纵坐标是______．
2 004
解析：如图，设直线m与y轴交于点D，分别过A2，A5作A2E⊥x轴，A5F⊥x轴，垂足分别为点E，F，
由旋转得CB1＝BC＝5，B1A2＝AB＝4，
∴AA2＝AC＋CB1＋B1A2＝12，
∴A2E＝ AA2＝6，即A2(A3)的纵坐标为6，
同理，A5(A6)的纵坐标为12，
∵A1 001＝A3×333＋2，A1 002＝A3×334，
∴A1 001(A1 002)在直线m上，
∴A1 001(A1 002)的纵坐标为334×6＝2 004.
9．[2025·长春]随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后停工保养，保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量y(件)与乙机器人工作时间x(分钟)之间的函数关系如图所示．
(1)甲机器人停工保养的时间为______分钟，m＝______；
(2)求AB所在直线对应的函数表达式；
(3)若该快递公司当天分拣快递的总数量为5 450件，则乙机器人工作时间为______分钟．
解：(1)由图象，得甲机器人停工保养的时间为60－40＝20(分钟)；
∵2 200÷40＝55，
∴m＝2 700＋(80－60)×55＝3 800．
故答案为：20，3 800；
(2)∵甲、乙机器人的效率为每分钟55件，
∴AB所在直线对应的函数表达式为y＝2 700＋55(x－60)＝55x－600；
(3)当y＝5 450时，
∴55x－600＝5 450，解得x＝110，
∴该快递公司当天分拣快递的总数量为5 450件，则乙机器人工作时间为110分钟．
故答案为：110.
10．[2025·北京]在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(1，3)和(2，5)．
(1)求k，b的值；
(2)当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值既小于函数y＝kx＋b的值，也小于函数y＝x＋k的值，直接写出m的取值范围．
(2)由(1)可得函数y＝kx＋b(k≠0)的解析式为y＝2x＋1，函数y＝x＋k的解析式为y＝x＋2，
当mx＜2x＋1时，则(m－2)x＜1，
当mx＜x＋2时，则(m－1)x＜2，
∵当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值既小于函数y＝kx＋b的值，也小于函数y＝x＋k的值，
∴m－2≥0，且m－1≥0，
∴m≥2，
eq \f(\r(3),3)
eq \r(3)
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k1x＋b1，,y＝k2x＋b2))
2．[2023·通辽]如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，1)，点A(4，1)，以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转60°得到点B，在M1(－1，－eq \r(3))，M2(－eq \f(\r(3),3)，0)，M3(1，eq \r(3)－1)，M4(2，2eq \r(3))四个点中，直线PB经过的点是( )
A．M1 B．M2
C．M3 D．M4
解析：∵点A(4，1)，点P(0，1)，
∴PA⊥y轴，PA＝4，
由旋转得∠APB＝60°，AP＝PB＝4，
如图，过点B作BC⊥y轴于C，
∴∠BPC＝30°，
∴BC＝2，PC＝2eq \r(3)，
∴B(2，1＋2eq \r(3))，
设直线PB的解析式为y＝kx＋b，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k＋b＝1＋2\r(3)，,b＝1，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\r(3)，,b＝1，))
∴直线PB的解析式为y＝eq \r(3)x＋1.
当x＝－1时，y＝－eq \r(3)＋1，
∴M1(－1，－eq \r(3))不在直线PB上．
当x＝－eq \f(\r(3),3)时，y＝eq \r(3)×(－eq \f(\r(3),3))＋1＝0，
∴M2(－eq \f(\r(3),3)，0)在直线PB上．
当x＝1时，y＝eq \r(3)＋1，
∴M3(1，eq \r(3)－1)不在直线PB上．
当x＝2时，y＝2eq \r(3)＋1，
∴M4(2，2eq \r(3))不在直线PB上．
3．[2021·呼和浩特]在平面直角坐标系中，点A(3，0)，B(0，4)．
以AB为一边在第一象限作正方形ABCD，则对角线BD所在直线的解析式为( )
A．y＝－eq \f(1,7)x＋4 B．y＝－eq \f(1,4)x＋4
C．y＝－eq \f(1,2)x＋4 D．y＝4
2．[2024·呼伦贝尔]点P(x，y)在直线y＝－eq \f(3,4)x＋4上，坐标(x，y)是二元一次方程5x－6y＝33的解，则点P的位置在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解：(1)根据题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(18a＋6b＝366，,30a＋15b＝705，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝14，,b＝19；))
根据题意，得y＝(22－14)×80＋(22－14－5)×(x－80)＋(25－19)
(150－x)＝－3x＋1 300，
∵－3<0，∴y随x的增大而减小，
∴x＝80时，y有最大值，最大值为－3×80＋1 300＝1 060，
即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1 060元；
综上所述，y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋900（50≤x≤80），,－3x＋1 300（80<x≤120），))
购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1 060元．
解：(1)设每盒豆沙粽的进价为a元，则每盒肉粽的进价为(a＋10)元，
eq \f(2 000,a)＝eq \f(2 500,a＋10)，
解得a＝40，检验：当a＝40时，a(a＋10)≠0，
∴a＝40是原方程的解且符合题意，a＋10＝50，
答：每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元和40元；
(2)①y1＝40×80%x＝32x(x≥0且x为整数)；
当0≤x≤25且x为整数时，y2＝40x，
当x>25且x为整数时，y2＝1 000＋(40x－1 000)×70%＝28x＋300.
∴y2＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(40x（0≤x≤25且x为整数），,28x＋300（x>25且x为整数）；))
C．y＝eq \f(3,x)
D．y＝eq \f(x,3)
eq \f(\r(3),3)x－eq \f(2\r(3),3)
eq \r(3)
由直线m∶y＝eq \f(\r(3),3)x－eq \f(2\r(3),3)得，
当x＝0时，y＝－eq \f(2\r(3),3)，
∴点D(0，－eq \f(2\r(3),3))，∴OD＝eq \f(2\r(3),3).
∵A(2，0)，B(0，2eq \r(3))，
∴OA＝2，OB＝2eq \r(3)，由勾股定理，得AB＝eq \r(OB2＋OA2)＝4，
∴tan∠OAD＝eq \f(OD,OA)＝eq \f(\f(2\r(3),3),2)＝eq \f(\r(3),3)，
tan∠OAB＝eq \f(OB,OA)＝eq \f(2\r(3),2)＝eq \r(3)，
∴∠OAD＝∠CAE＝30°，∠OAB＝60°，
∴∠BAC＝90°，
∴BC＝eq \r(AB2＋AC2)＝eq \r(42＋32)＝5，
eq \f(1,2)
解：(1)∵在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(1，3)和(2，5)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋b＝3，,2k＋b＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝2，,b＝1；))
①当m＝2，x＜1时，2x＜2x＋1和2x＜x＋2恒成立，故m＝2符合题意；
②当m>2时，则x＜eq \f(1,m－2)且x＜eq \f(2,m－1)，
当eq \f(1,m－2)≥eq \f(2,m－1)时，则eq \f(2,m－1)≥1，解不等式eq \f(1,m－2)≥eq \f(2,m－1)，得m≤3，
∴2＜m≤3；
当eq \f(1,m－2)＜eq \f(2,m－1)时，则eq \f(1,m－2)≥1，解不等式eq \f(1,m－2)＜eq \f(2,m－1)，得m>3，
解不等式eq \f(1,m－2)≥1，得m≤3，此时不符合题意；
综上所述，2≤m≤3.
$第18讲二次函数的综合题(3)
内蒙古中考突破
考点1角度问题(5年6地8考)
【名师点拨】
常运用角平分线的性质、等腰三角形的两底角相等、
等角
等角的余角（补角）相等、全等（相似）三角形的对应
角相等及两角的锐角三角函数值相等解决问题
常构造辅助圆，运用角平分线的性质或圆周角定理，
二倍角
或作垂直平分线构造等腰三角形，或利用等腰三角形
的内外角关系解决
和差角
常利用旋转、平移、翻折构造角
1.运用三角函数值
2.遇45°构造等腰直角三角形
特殊角
遇30°，60°构造等边三角形或直角三角
形
.遇90°构造直角三角形
1.[2023·赤峰]如图，抛物线y=x2一6x+5与x轴交于点
A,B,
与y轴交于点C,点D(2,m)在抛物线上，点E在直线BC上，若
∠DEB=2∠DCB,则点E
B
2.如图，抛物线y=一x2十bx十4与x轴交于A(一
3,0),
B两点，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的函数表
丙点坐标；
B
A
衣
图1
。
(2)该抛物线对称轴上是否存在点E,使得∠ACE=45°？若
存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
B
A
图2
解：存在.
如图1所示，作AG⊥CE交于点G,F为AC的中点，连接
G0,GF,以AC为直径作⊙F.
:LACE=45°，∴△AGC是等腰直角三角形，
A,0,C,G在⊙F上.
B
A(-3,0),C(0,4),
图1
。
。
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