第一章数与式课件2026年中考数学一轮复习 （内蒙古）

该初中数学中考复习课件系统覆盖实数及其运算核心考点，严格对接中考说明，通过分析5年6地考点分布，明确科学记数法5年13考、实数运算5年23考等高频考点，按选择、填空、解答题归纳常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件特色在于中考真题训练与应试技巧结合，如解析2024赤峰科学记数法真题，指导绝对值去符号、平方根性质等技巧，培养运算能力和抽象能力。帮助学生掌握答题规律，教师可依此制定高效复习计划，助力中考冲刺。

第一章　数与式 第1讲　实数及其运算 【构建知识网络】 知识点1 实数的分类 知识点2 实数的相关概念及性质 相 反 数 性质 1.实数a的相反数为－a 2．两个实数a，b互为相反数⇔a＋b＝0 倒 数 性质 1.非零实数a的倒数为 2．0没有倒数，倒数等于本身的数是±1 3．实数a，b互为倒数⇔ab＝1 【满分技能】 |a－b|去绝对值符号时，要先确定（a－b）的符号，再根据绝对值的非负性去掉绝对值符号. 知识点3 实数的大小比较 数轴法 数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大 法则法 正数>0>负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小 作差法 1.a－b>0⇔a>b 2．a－b＝0⇔a＝b 3．a－b<0⇔a<b 知识点4 科学记数法、近似数与精确度 科学 记数 法 把一个数写成a×10n的形式(其中1≤|a|<10，n是整数)，这种记数方法叫科学记数法 近似 数 把一个数四舍五入后得到的数 精 确 度 一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位；如0.295 7精确到百分位是0.30，精确到0.001为0.296 【满分技能】 1.用科学记数法表示负数时仍需带上负号． 2．常用计数单位：1万＝104，1亿＝108. 3．常用计量单位：1 mm＝10－3 m，1 μm＝10－6 m， 1 nm＝10－9 m． 知识点5 算术平方根、平方根、立方根 算 术 平 方 根 定 义 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝ a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记 作“ ” 性 质 负数没有算术平方根．算术平方根等于本身的数是0和1 平 方 根 定 义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a， 则x叫做a的平方根，也叫a的二次方根，即x＝ ± (a≥0) 性 质 正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的 平方根是零；负数没有平方根；平方根等于本 身的数是0 立 方 根 定 义 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a， 那么这个数x就叫做a的立方根，也叫a的三次 方根，即x＝ 性 质 一个正数的立方根是正数，零的立方根是零， 负数的立方根是负数．立方根等于本身的数 是0和±1 【满分技能】 表示非负数的三种常见形式：a2，|b|， (c≥0)． 性质：几个非负数的和为零，则每个非负数的值均为0. 知识点6 实数的运算 1．先计算各小项的值，如特殊角的三角函数值、绝对值等． 2．再根据实数运算顺序计算，先乘方，后乘除，再加减，有括号时先计算括号里面的． 3．同级运算按照从左向右的顺序进行计算． 考点1 实数的意义及其分类(5年6地3考) 1．[2025·内蒙古]我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若盈利100元记作＋100元，则亏损200元应记作( ) A．＋200元 B．－200元 C．＋100元 D．－100元 4．[2024·赤峰]如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，a＋b，b，那么下列运算结果一定是正数的是( ) A．a＋b B．a－b C．ab D．|a|－b 3．[2021·包头]一个正数a的两个平方根是2b－1和b＋4，则 a＋b的立方根为__． 2 考点4 实数的大小比较(5年6地5考) 1．[2021·鄂尔多斯]在实数0，π，|－2|，－1中，最小的数是( ) A．|－2| B．0 C．－1 D．π 3．[2021·呼和浩特]几种气体的液化温度(标准大气压)如表： 其中液化温度最低的气体是( ) A．氦气 B．氮气 C．氢气 D．氧气 气体 氧气 氢气 氮气 氦气 液化温度/℃ －183 －253 －195.8 －268 考点5 科学记数法(5年6地13考) 1．[2024·赤峰]央视新闻2024年5月31日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超52 000 000 000度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据52 000 000 000用科学记数法表示为( ) A．5.2×109 B．0.52×1011 C．52×109 D．5.2×1010 2．[2021·包头]据交通运输部报道，截至2020年底，全国共有城市新能源公交车46.61万辆，位居全球第一．将46.61万用科学记数法表示为4.661×10n，则n等于( ) A．6 B．5 C．4 D．3 3．[2024·呼和浩特]2023年呼和浩特市政府工作报告中指出， 我市主要经济指标增速达到十年来最好水平．地区生产总值完 成3 802亿元．数据“3 802亿”用科学记数法表示为________ ____． 4．[2021·通辽]冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约 为0.000 000 12米，数据0.000 000 12用科学记数法表示为 __________． 3.802× 1011 1.2×10－7 考点6 近似数、精确度(5年6地3考) 1．[2021·呼伦贝尔]用四舍五入法把某数取近似值为5.2 ×10－2，精确度正确的是( ) A．精确到0.01 B．精确到0.1 C．精确到万分位 D．精确到千分位 2．[呼和浩特中考]用四舍五入法按要求对0.050 49分别取近似值，其中错误的是( ) A．0.1(精确到0.1) B．0.05(精确到百分位) C．0.05(精确到千分位) D．0.050(精确到0.001) 考点7 实数的运算(5年6地23考) 1．[2023·包头]定义新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a2－|b|，则(－2)⊗(－1)的运算结果为( ) A．－5 B．－3 C．5 D．3 1．[2025·新疆]－2的相反数是( ) 2．[2025·福建]下列实数中，最小的数是( ) A．－1 B．0 C. D．2 3．[2025·北京]2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为4×105 km，则该小行星与地球的最近距离约为( ) A．1.8×105 km B．1.8×106 km C．1.8×107 km D．1.8×1010 km 4．[2025·成都]如果某天中午的气温是5 ℃，傍晚比中午下降了7 ℃，那么傍晚的气温是( ) A．2 ℃ B．－2 ℃ C．－5 ℃ D．－7 ℃ 5．[2025·北京]实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( ) A．a>－1 B．a＋b＝0 C．a－b>0 D.|a|>|b| 7．[2025·南充]如图，把直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动一周，圆上点A到达点A′，点A′对应的数是2，则滚动前点A对应的数是( ) A．2－2π B．π－2 C．5－2π D．2－π 8．[2025·福建]为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自 己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加1.5 kg 记作＋1.5，那么体重减少1 kg应记作____． 9．[2025·眉山]－27的立方根是____． 10．[2025·青海]4的算术平方根是__． －1 －3 2 12．[2025·河北](1)一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程； eq \f(1,a) eq \r(a) eq \r(a) eq \r(3,a) eq \r(c) 2．[通辽中考]实数tan45°　eq \r(3,8)　0　－eq \f(3,5)π　eq \r(9) －eq \f(1,3)　sin60° 0.313 113 111 3…(相邻两个3之间依次多一个1)中，无理数的个 数是( ) A．4 B．2 C．1 D．3 考点2 实数的相关概念(5年6地17考) 1．[2024·呼和浩特]－2 024的相反数是( ) A．2 024 B．－2 024 C.eq \f(1,2 024) D．－eq \f(1,2 024) 2．[2024·呼伦贝尔]－eq \f(1,10)的绝对值是( ) A. eq \f(1,10) B．10 C．－eq \f(1,10) D．－10 3．[2024·包头]若m，n互为倒数，且满足m＋mn＝3，则n的值 为( ) A.eq \f(1,4) B．eq \f(1,2) C．2 D．4 考点3算术平方根、平方根、立方根(5年6地3考) 1．[通辽中考]eq \r(4)的算术平方根为( ) A．±eq \r(2) B．eq \r(2) C．±2 D．2 2．[呼伦贝尔中考]若|3－a|＋eq \r(2＋b)＝0，则a＋b的值是( ) A．2 B．1 C．0 D．－1 2．[2021·包头]下列运算结果中，绝对值最大的是( ) A．1＋(－4) B．(－1)4 C．(－5)－1 D．eq \r(4) 2．[2025·内蒙古]计算：|－5|＋eq \r(4)＋(－6)×eq \f(1,3). 解：原式＝5＋2＋(－2)＝5. 3．[2024·呼伦贝尔]计算：－(－eq \f(1,2))－3＋tan60°＋|eq \r(3)－2|＋ (π－2 024)0. 解：原式＝8＋eq \r(3)＋2－eq \r(3)＋1＝11. A．－2 B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D．2 eq \r(2) 6．[2025·凉山州]若(3x＋2y－19)2＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2x＋y－11))＝0，则x＋y的平方根是( ) A．8 B．±8 C．±2eq \r(2) D．2eq \r(2) 11．[2025·遂宁]计算：(－eq \f(1,2))－2－eq \r(9)＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－\r(3)))＋2sin60°. 解：原式＝4－3＋(2－eq \r(3))＋2×eq \f(\r(3),2) ＝4－3＋2－eq \r(3)＋eq \r(3)＝3. 计算：(－6)×(eq \f(1,2)＋eq \f(2,3)－eq \f(5,6))． 解：(－6)×(eq \f(1,2)＋eq \f(2,3)－eq \f(5,6)) ＝－6×eq \f(1,2)＋6×eq \f(2,3)－6×eq \f(5,6)第一步 ＝－3＋4－5第二步 ＝－4.第三步 (2)计算：|2－eq \r(2)|－(－2)2×(eq \f(1,2)－eq \f(1,4))． 解：(1)原计算第一步开始出错； (－6)×(eq \f(1,2)＋eq \f(2,3)－eq \f(5,6))＝－6×eq \f(1,2)－6×eq \f(2,3)＋6×eq \f(5,6)＝－3－4＋5 ＝－2； (2)|2－eq \r(2)|－(－2)2×(eq \f(1,2)－eq \f(1,4))＝2－eq \r(2)－4×eq \f(1,4)＝1－eq \r(2). $第2讲　整式与因式分解 【构建知识网络】 知识点1 代数式 代数式 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式，单独的一个数字或字母也是代数式，如2，a，π 列代数式 把数和数量关系用字母表示出来 代数式 的值 用具体数值代替代数式里的字母，按照代数式里指明的运算顺序计算出来的结果 【满分技能】 整体代入法 1．先观察已知代数式与所求代数式的关系． 2．将所求代数式变形，令其用已知代数式表示出来；常用提取公因式法、平方差公式或完全平方公式． 3．把已知代数式看成一个整体代入求值． 知识点2 整式的相关概念 单项式 由数字与字母的乘积表示的式子，叫做单项式．单独的一个数字或字母也是单项式 多项式 定义 几个单项式的和 项 多项式中的每一个单项式 次数 多项式中次数最高项的次数 常数项 不含字母的项 整式 单项式和多项式统称整式 同类项 定义 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项 合并 同类项 把同类项合并成一项叫做合并同类项 知识点3 整式的运算 1．整式加减运算 加减 运算 实质 合并同类项 去括号 法则 1.括号前是“＋”号，括号内各项不变号 2．括号前是“－”号，括号内每一项都变号 2.幂的运算 同底数幂 的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 即am·an＝am＋n(m，n为整数) 同底数幂 的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减． 即am÷an＝am－n(a≠0，m，n为整数) 幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 即(am)n＝amn(m，n为整数) 积的乘方 积的乘方，等于把积的每一个因式乘方，再把所得的幂相乘．即(ab)n＝an·bn(n为整数) 零指数幂 a0＝1(a≠0) 负整数 指数幂 a－p＝ (a≠0，p为正整数) 3.整式乘法 单项式乘 单项式 单项式与单项式相乘，将系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式 单项式乘 多项式 单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．即m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc 多项式乘 多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 即(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb 乘法公式 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2 4.整式除法 单项式除 以单项式 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 多项式除 以单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加 5．整式混合运算 整式混 合运算 1.整式混合运算的顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的 2．如果有同类项，就合并同类项，最后的结果必须是最简形式 知识点4 因式分解 定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式 方法 1.提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c) 2.公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)； a2±2ab＋b2＝(a±b)2 3.十字相乘法：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b) 4.分组分解法 一般 步骤 一提：当多项式的各项含有公因式时，通常先提公因式； 二套：再考虑应用公式法； 三检查：因式分解的结果要彻底，每个因式要分解到不能再分解为止 【满分技能】 1.因式分解和整式乘法互为逆过程． 2．判断整式变形是否为因式分解，关键看分解的对象是不是多项式，分解的结果是否为整式的乘积的形式． 3．如果多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数成为正数．在提出“－”号时，多项式的各项都要变号． 4．由于因式分解与整式乘法是互逆过程，所以可以用整式乘法检验因式分解的正误． 考点2 代数式(5年6地3考) 1．[呼和浩特中考]某商品先按批发价a元提高10%零售，后又按零售价降低10%出售，则最后的单价是( ) A．a元 B．0.99a元 C．1.21a元 D．0.81a元 2．[2025·内蒙古]冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦 每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿m根大串和 n根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为_______． 5m＋3n 考点3 代数式的值(5年6地7考) 1．[2022·包头]若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a＋3b－4c的值为( ) A．－8 B．－5 C．－1 D．16 2．[2023·赤峰]已知2a2－a－3＝0，则(2a＋3)(2a－3)＋(2a－1)2的值是( ) A．6 B．－5 C．－3 D．4 考点4 幂的运算(5年6地16考) 1．[2023·包头]下列各式计算结果为a5的是( ) A．(a3)2 B．a10÷a2 C．a4·a D．(－1)－1a5 2．[2022·包头]若24×22＝2m，则m的值为( ) A．8 B．6 C．5 D．2 考点5 整式的运算(5年6地15考) 1．[2024·呼和浩特]下列运算正确的是( ) A．(3x)3＝9x3 B．(x－2)2＝x2－4 C．(－2ab2)2＝4a2b4 D．3a＋4b＝7ab 2．[2024·赤峰]下列计算正确的是( ) A．a2＋a3＝a5 B．(a＋b)2＝a2＋b2 C．a6÷a3＝a2 D．(a3)2＝a6 3．[2024·赤峰]已知a2－a－3＝0，求代数式(a－2)2＋(a－1) (a＋3)的值． 解：∵a2－a－3＝0，∴a2－a＝3， ∴(a－2)2＋(a－1)(a＋3) ＝a2－4a＋4＋a2＋2a－3 ＝2a2－2a＋1 ＝2(a2－a)＋1 ＝2×3＋1＝7. 考点7 因式分解(5年6地13考) 1．[2024·通辽]因式分解3ax2－6axy＋3ay2＝_________． 2．[2024·呼伦贝尔]分解因式：a＋2ab＋ab2＝________． 3．[2023·赤峰]分解因式：x3－9x＝______________． 3a(x－y)2 a(1＋b)2 x(x＋3)(x－3) 考点8 规律探究(5年6地5考) 1．[2022·呼伦贝尔]观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2 401，75＝16 807……根据其中的规律可得70＋71＋…＋72 022的结果的个位数字是( ) A．0 B．1 C．7 D．8 2．[2021·鄂尔多斯]将一些相同的“ ”按如图所示的规律 依次摆放，观察每个“龟图”的“ ”的个数，则第30个“龟 图”中有____个“ ”． 875 1．[2025·绥化]下列计算中，结果正确的是( ) A．a3·a4＝a12 B．(－2m3)2＝4m6 D．(x＋3)(x－3)＝x2－3 2．[2025·南充]下列计算正确的是( ) A．2a＋a＝3 B．2a－a＝2 C．2a·a＝2a2 D．2a÷a＝2a 3．[2025·上海]用代数式表示a与b差的平方，正确的是( ) A．a2－b2 B．(a－b)2 C．a2－b D．a－b2 4．[2025·山西]近年来，我省依托乡村e镇建设， 打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户 通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来 的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则 他的利润增加了____元(用含a的代数式表示)． 5．[2025·北京]分解因式：7m2－28＝______________． 60a 7(m＋2)(m－2) 6．[2025·齐齐哈尔]若代数式 ＋(x－2 025)0有意义， 则实数x的取值范围是______________． 7．[2025·自贡]若2a＋b＝－1，则4a2＋2ab－b的值为__． 8．[2025·绥化]分解因式：2mx2－4mxy＋2my2＝_________． x>3且x≠2 025 1 2m(x－y)2 9．[2025·浙江]【文化欣赏】我国南宋时期数 学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书 中记载的二项和的乘方(a＋b)n展开式的系数规 律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4. 【应用体验】 已知(x＋2)4＝x4＋mx3＋24x2＋32x＋16，则m的值为__． 8 10．[2025·绥化]观察下图，图1有2个三角形，记作a1＝2； 图2有3个三角形，记作a2＝3；图3有6个三角形，记作a3＝6； 图4有11个三角形，记作a4＝11；按此方法继续下去，则an＝ _________(结果用含n的代数式表示)． n2－2n＋3 11．[2025·浙江]化简求值：x(5－x)＋x2＋3，其中x＝2. 解：x(5－x)＋x2＋3＝5x－x2＋x2＋3＝5x＋3，当x＝2时，原式＝5×2＋3＝13. eq \f(1,ap) 考点1 整式的相关概念(5年6地0考) 1．[通辽中考]下列说法中，正确的是( ) A．－eq \f(3,4)x2的系数是eq \f(3,4) B.eq \f(3,2)πa2的系数是eq \f(3,2) C．3ab2的系数是3a D.eq \f(2,5)xy2的系数是eq \f(2,5) 2．[包头中考]如果2xa＋1y与x2yb－1是同类项，那么eq \f(a,b)的值是( ) A.eq \f(1,2) B．eq \f(3,2) C．1 D．3 考点6 整式的化简求值(5年6地5考) 1．[2024·包头]先化简，再求值：(x＋1)2－2(x＋1)，其中x＝2eq \r(2). 解：(x＋1)2－2(x＋1)＝x2＋2x＋1－2x－2＝x2－1， 当x＝2eq \r(2)时，原式＝(2eq \r(2))2－1＝7. 2．[2024·通辽]先化简，再求值：(2a＋b)(2a－b)－(a＋b)(4a－b)，其中a＝－eq \r(2)，b＝2. 解：(2a＋b)(2a－b)－(a＋b)(4a－b)＝4a2－b2－4a2＋ab－4ab＋b2 ＝－3ab， 当a＝－eq \r(2)，b＝2时， 原式＝－3×(－eq \r(2))×2＝6eq \r(2). 3．[2022·鄂尔多斯]按一定规律排列的数据依次为eq \f(1,2)，eq \f(4,5)，eq \f(7,10)，eq \f(10,17)…… 按此规律排列，则第30个数是____． eq \f(88,901) C.eq \r(（－3）2)＝－3 eq \f(x,\r(x－3)) $第4讲　二次根式 【构建知识网络】 知识点1 二次根式的相关概念 定义 形如 (a≥0)的式子 有意义的条件 被开方式大于或等于0 最简二次根式 1.被开方式中不含分母 2.被开方式中不含能开得尽的因数或因式 同类二次根式 几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方式相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式 知识点2 二次根式的性质 知识点3 二次根式的运算 知识点4 二次根式的估算 二次根式的估算 1.先看被开方数在哪两个连续平方数之间 2.二次根式就在这两个数的算术平方根之间 3.对两个算术平方根的平均数进行平方，若所得结果小于被开方数，则二次根式靠近较大的算术平方根，反之，则靠近较小的算术平方根 2(答案不唯一) 1．[2025·福建]若 在实数范围内有意义，则实数x的值 可以是( ) A．－2 B．－1 C．0 D．2 2．[2025·扬州]如图，数轴上点A表示的数可能是( ) 0 5 x≥－1且x≠3 eq \r(a) ∵9＜15＜16， ∴3＜eq \r(15)＜4， ∴eq \r(15)的整数部分为3，小数部 分为eq \r(15)－3且eq \r(15)靠近4. ∵3＜eq \r(15)＜4， ∴6＜2eq \r(15)＜8(2eq \r(15)靠近8)， 1＜eq \r(15)－2＜2(eq \r(15)－2靠近2)， eq \f(1,2)<eq \f(\r(15)－2,2)<1 考点1二次根式有意义(5年6地8考) 1．[2023·呼和浩特]若代数式eq \f(1,\r(x－2))在实数范围内有意义，则x的取值范围是( ) A．x≤2 B．x>2 C．x≥2 D．x<2 2．[2023·通辽]二次根式eq \r(1－x)在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为( ) 3．[2022·呼伦贝尔]已知x，y是实数，且满足y＝eq \r(x－2)＋eq \r(2－x)＋eq \f(1,8)，则eq \r(x)·eq \r(y)的值是 ． eq \f(1,2) 考点2 最简二次根式与同类二次根式(5年6地0考) 1．下列式子中，属于最简二次根式的是( ) A.eq \r(\f(1,2)) B．eq \r(2) C．eq \r(0.2) D．eq \r(12) 2．下列二次根式，能与eq \r(3)合并的是( ) A.eq \r(8) B．eq \r(18) C．eq \r(27) D．eq \r(72) 考点3 二次根式的性质(5年6地4考) 1．[2024·包头]计算eq \r(92－62)所得结果是( ) A．3 B．eq \r(6) C．3eq \r(5) D．±3eq \r(5) 2．[2024·呼伦贝尔]实数a，b在数轴上的对应位置如图所示，则eq \r(（a－b）2)－(b－a－2)的化简结果是( ) A．2 B．2a－2 C．2－2b D．－2 考点4 二次根式的运算(5年6地6考) 1．[2024·通辽]下列运算结果正确的是( ) A．4xy－3xy＝1 B．(－a2)3＝－a6 C.eq \r(（－5）2)＝－5 D．eq \r(3)＋eq \r(12)＝eq \r(15) 2．[2022·通辽]计算：eq \r(2)·eq \r(6)＋4eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\r(3)))sin60°－(eq \f(1,2))－1. 解：原式＝2eq \r(3)＋4(eq \r(3)－1)×eq \f(\r(3),2)－2 ＝2eq \r(3)＋6－2eq \r(3)－2＝4. 3．[2021·呼和浩特]计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(－1)－(eq \r(80)－eq \r(20))÷eq \r(5)＋eq \r(3)tan30°. 解：原式＝3－2eq \r(5)÷eq \r(5)＋1＝3－2＋1＝2. 考点5二次根式的估算(5年6地6考) 1．[2023·包头]不等式x－1<eq \r(5)的正整数解的个数有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．[赤峰中考]估计(2eq \r(3)＋3eq \r(2))×eq \r(\f(1,3))的值应在 ( ) A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 3．[2024·赤峰]写出一个比eq \r(5)小的整数：_______________． eq \r(x－1) A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.eq \r(7) D.eq \r(10) 3．[2025·广东]计算eq \r(12)×eq \r(3)的结果是( ) A．3 B．6 C.eq \r(6) D．2eq \r(6) 4．[2025·河北]计算：(eq \r(10)＋eq \r(6))(eq \r(10)－eq \r(6))＝( ) A．2 B．4 C．6 D．8 5．[2025·徐州]下列运算错误的是( ) A.eq \r(2)＋eq \r(3)＝eq \r(5) B.eq \r(2)×eq \r(3)＝eq \r(6) C.eq \r(8)÷eq \r(2)＝2 D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)))2＝3 6．[2025·广州]下列运算正确的是( ) A．a2·a3＝a15 B．(－2ab)3＝8a3b3 C.eq \r(a)－eq \r(b)＝eq \r(a－b)(a≥b≥0) D．2eq \r(a)＋5eq \r(a)＝7eq \r(a)(a≥0) 7．[2024·甘南]已知x，y为实数，若满足y＝eq \r(x－3)＋eq \r(3－x)＋2，则xy的值为( ) A．5 B．6 C．8 D．9 8．[2025·湖南]化简eq \r(12)＝ ． 9．[2025·自贡]计算：eq \r(18)－3eq \r(2)＝ ． 10．[2025·重庆]若n为正整数，且满足n＜eq \r(26)＜n＋1，则n＝ ． 11．[2025·广州]要使代数式eq \f(\r(x＋1),x－3)有意义，则x的取值范围是 ． 2eq \r(3) 12．[2025·南通]我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S＝eq \r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2b2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋b2－c2,2)))2))).若a＝2eq \r(2)，b＝3，c＝1，则S的值为 ． eq \r(2) 13．[2025·青岛]计算：eq \f(\r(18)＋\r(50),\r(2))－(eq \r(3))0. 解：eq \f(\r(18)＋\r(50),\r(2))－(eq \r(3))0＝eq \f(3\r(2)＋5\r(2),\r(2))－1＝8－1＝7. 14．[2025·浙江]【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2近似计算算术平方根的方法． 例如求eq \r(67)的近似值． 因为64＜67＜81， 所以8＜eq \r(67)＜9， 则eq \r(67)可以设成以下两种形式： ①eq \r(67)＝8＋s，其中0＜s＜1； ②eq \r(67)＝9－t，其中0＜t＜1. 小明以①的形式求eq \r(67)的近似值的过程如图． 因为eq \r(67)＝8＋s， 所以67＝(8＋s)2， 即67＝64＋16s＋s2. 因为s2比较小， 将s2忽略不计， 所以67≈64＋16s， 即16s≈67－64， 得s≈eq \f(67－64,16)＝eq \f(3,16)， 故eq \r(67)≈8＋eq \f(3,16)≈8.19. 【尝试探究】 (1)请用②的形式求eq \r(67)的近似值(结果保留2位小数)； 【比较分析】 (2)你认为用哪一种形式得出的eq \r(67)的近似值的精确度更高，请说明理由． 解：(1)设eq \r(67)＝9－t，其中0<t<1， ∴(eq \r(67))2＝(9－t)2， ∴67＝81－18t＋t2. ∵t2比较小，将t2忽略不计， ∴67≈81－18t， ∴t≈eq \f(81－67,18)＝eq \f(7,9)， ∴eq \r(67)≈9－eq \f(7,9)≈8.22； (2)用①的形式得出的eq \r(67)的近似值的精确度更高，理由如下： ∵8.18×8.18＝66.912 4， 8．19×8.19＝67.076 1， eq \r(66.912 4)<eq \r(67)<eq \r(67.076 1)， ∴8.18<eq \r(67)<8.19<8.22， ∴用①的形式得出的eq \r(67)的近似值的精确度更高． $微专题1 规律探索问题(一) 类型1 数式规律(不循环型) 【方法点拨】 对于数式规律题中的不循环型，找出前一个数式与后一个数式的关系及每个数式与对应序数的关系，从而得出第n个数式． 1．[2024·徐州]观察下列各数：3，8，18，38……按此规律，第5～7个数可能为( ) A．48，58，68 B．58，78，98 C．76，156，316 D．78，158，318 2．[2023·常德]观察下列数表(横排为行，竖排为列)，按数表 中的规律，分数 若排在第a行b列，则a－b的值为( ) 　 　　 　　　 A．2 003 B．2 004 C．2 022 D．2 023 3．[2023·大庆]1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详 解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为 “杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律， (a＋b)7展开的多项式中各项系数之和为____． 128 4．[2024·潍坊]将连续的正整数排成如图所示的数表．记a(i，j) 为数表中第i行第j列位置的数字，如a(1，2)＝4，a(3，2)＝8， a(5，4)＝22.若a(m，n)＝2 024，则m＝___，n＝__． 45 2 5．[2025·河南]观察2x，4x2，6x3，8x4……根据这些式子的 变化规律，可得第n个式子为____． 6．[2024·宁夏]观察下列等式： 第1个：1×2－2＝22×0， 第2个：4×3－3＝32×1， 第3个：9×4－4＝42×2， 第4个：16×5－5＝52×3…… 按照以上规律，第n个等式为_______________________________． 2nxn n2(n＋1)－(n＋1)＝(n＋1)2(n－1) 7．[2024·遂宁]在等边△ABC三边上分别取点D，E，F，使得 AD＝BE＝CF，连接三点得到△DEF，易得△ADF≌△BED≌△CFE， 设S△ABC＝1，则S△DEF＝1－3S△ADF. 类型2 数式规律(循环型) 【方法点拨】 对于数式规律题中的循环型，先找出循环周期，然后用总循环次数除以周期，观察商和余数，即可得出结论． 8．[2024·扬州]1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5……这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和，则在这一列数的前2 024个数中，奇数的个数为( ) A．676 B．674 C．1 348 D．1 350 9．[2023·德阳]在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计 活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的 两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式串m，n，n－m； 第2次操作后得到整式串m，n，n－m，－m； 第3次操作后…… 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末 项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏． 则该“回头差”游戏第2 023次操作后得到的整式串各项之和是( ) A．m＋n B．m C．n－m D．2n 2 类型3 与分式有关的规律 【方法点拨】 求多个分数的和时，常用裂项相消法． 常用公式： 55 eq \f(20,2 023) eq \f(1,1) eq \f(1,2)　eq \f(2,1) eq \f(1,3)　eq \f(2,2)　eq \f(3,1) eq \f(1,4)　eq \f(2,3)　eq \f(3,2)　eq \f(4,1) …… 如图1，当eq \f(AD,AB)＝eq \f(1,2)时，S△DEF＝1－3×eq \f(1,4)＝eq \f(1,4)， 如图2，当eq \f(AD,AB)＝eq \f(1,3)时，S△DEF＝1－3×eq \f(2,9)＝eq \f(1,3)， 如图3，当eq \f(AD,AB)＝eq \f(1,4)时，S△DEF＝1－3×eq \f(3,16)＝eq \f(7,16)， …… 直接写出，当eq \f(AD,AB)＝eq \f(1,10)时，S△DEF＝ ． eq \f(73,100) 10．[2024·眉山]已知a1＝x＋1(x≠0且x≠－1)，a2＝eq \f(1,1－a1)，a3＝eq \f(1,1－a2)，…，an＝eq \f(1,1－an－1)，则a2 024的值为 ． －eq \f(1,x) 11．[2023·甘孜州]有一列数，记第n个数为an，已知a1＝2，当n＞1时，an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－1)，n为偶数，,\f(1,1－an－1)，n为奇数，))则a2 023的值为 ． eq \f(1,n（n＋1）)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)；eq \f(k,n（n＋k）)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋k)；eq \f(1,n（n＋k）)＝eq \f(1,k)(eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋k))． 12．[2023·内江]对于正数x，规定f(x)＝eq \f(2x,x＋1)，例如：f(2)＝eq \f(2×2,2＋1)＝eq \f(4,3)，f(eq \f(1,2))＝eq \f(2×\f(1,2),\f(1,2)＋1)＝eq \f(2,3)，f(3)＝eq \f(2×3,3＋1)＝eq \f(3,2)，f(eq \f(1,3))＝eq \f(2×\f(1,3),\f(1,3)＋1)＝eq \f(1,2)，计算：f(eq \f(1,101))＋f(eq \f(1,100))＋f(eq \f(1,99))＋…＋f(eq \f(1,3))＋f(eq \f(1,2))＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(99)＋f(100)＋f(101)＝( ) A．199 B．200 C．201 D．202 13．[2023·呼伦贝尔]观察下列各式： S1＝eq \r(1＋\f(1,12)＋\f(1,22))＝1＋eq \f(1,1×2)， S2＝eq \r(1＋\f(1,22)＋\f(1,32))＝1＋eq \f(1,2×3)， S3＝eq \r(1＋\f(1,32)＋\f(1,42))＝1＋eq \f(1,3×4)…… 请利用你所发现的规律，计算：S1＋S2＋…＋S50＝ ． 50eq \f(50,51) 14．人们把eq \f(\r(5)－1,2)这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618就应用了黄金分割数．设a＝eq \f(\r(5)＋1,2)，b＝eq \f(\r(5)－1,2)，记s1＝eq \f(1,1＋a1)＋eq \f(1,1＋b1)，s2＝eq \f(2,1＋a2)＋eq \f(2,1＋b2)，…，s10＝eq \f(10,1＋a10)＋eq \f(10,1＋b10)，则s1＋s2＋…＋s10的值为____． $第3讲分式 。 【构建知识网络】 分式的概念 分式的运算 分式 分式的基本性质 分式的化简求值 教材 知识梳理 知识点1.分式的概念 般地，用A,B表示两个整式，A÷B可 定义 以表示成 的形式如果B中合有字每， 那么称会为分式 有意义台B≠0 无意义台B=0 与分 值为0台A=0,B≠0 式有 A0,A<0, 关的 分号 值为负A,B异号，即 或 案件 B<0B-0 A0, A<0, 值为正A,B同号，即 或 B-0 B<0 知识点2 分式的基本性质及应用 分式的分子和分母同乘（或除以）同一个 分式 不等于零的整式，分式的值不变，即会 性质 A·MAA÷M B·M'B B÷M (M≠0且M为整式)》 分式的分子、分母及分式本身的符号任意 符号 两符号同时改变，分式的值不变即会 法则 -A A -B B 一B 最简 分式 分子、分母没有公因式的分式 根据分式的基本性质，将分子、分母同时除 约分 以二者的公因式叫做分式的约分，约分的结 果必须是最简分式或整式 1.定义：根据分式的基本性质， 把异分母 分式化为同分母分式的过程叫通分 通分 2.确定最简公分母 3.如果分母是多项式，可以先把各个分母 因式分解，再判断最简公分母 知识点3分式的运算 分母不变，分子相加减，即a士 同分母 a±b b 加减 运算 先通分，变为同分母分式，再加 异分母 减，即后±行以c bd 把分子相乘的积作为积的分子， 乘法 把分母相乘的积作为积的分母， ac 乘除 运算 把除式的分子和分母颠倒位置 除法 后再与被除式相乘，即分÷行- a d ad C bc 乘方 等于把分子分母分别乘方，即 b' 运算 (n为整数) 混合 应先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括 运算 号的先算括号里面的 知识点4. 分式的化简求值 1.先化简，再求值 2.分式化简的结果必须是最简分式或整式 分式的化 3,通分时若有常数项或整式，要将常数项或整 简求值 式看作分母为1的分数或分式，然后分子和分母 同乘最简公分母 4.求值时若所求的值是开放性选值或多值时， 应注意分式的分母不为零或除式不为零 内蒙古 中考突破