上海市洋泾中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷

洋泾中学高一月考数学试卷（2025.12） 一. 填空题 1. 若，则的终边在第______象限 【答案】二 【解析】由，得，此区间对应第二象限，故的终边在第二象限. 2. 若，，则______（填“”或“”或“”） 【答案】= 【解析】中取偶数时，，取奇数时，故. 3. 已知幂函数的图像不经过原点，则实数______ 【答案】1 【解析】幂函数要求系数为1，即，解得或. 当时，，定义域为，不经过原点，符合； 当时，，但此时，过原点，不符合； 4. 已知，且满足，则______ 【答案】 【解析】，在时，，故，解得. 5. 已知，是第三象限的角，则______ 【答案】 【解析】由同角三角比的关系可知，是第三象限角，故. 6. 函数的定义域为______ 【答案】 【解析】，且解得或，且，因此定义域为. 7. 函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的单调增区间为______ 【答案】和 【解析】当时，，单调减区间为，增区间为；由偶函数的对称性，时，，单调增区间为. 故整体增区间为和. 8. 已知一元二次方程的两根有且只有一个在中，则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】设，由零点存在定理，，即，化简得，解得或； 再验证端点： 当时，，方程根为和，均不在，舍去； 当时，，方程根为和，只有，符合； 故取值范围为. 9. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】值域为等价于能取遍所有正实数： 当时，能取遍所有正实数，符合； 当时，需，解得； 当时，开口向下，无法取遍所有正实数，不符合； 故. 10. 对于函数，若存在实数使得，则称实数为的“不动点”.已知函数，若对任意的，函数恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】不动点满足，即. 需此方程恒有两个相异实根，即对恒成立. 整理为： 当时，对恒成立，故，解得； 当时，对恒成立，故，解得； 故. 二. 选择题 11. 已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】计算，； 第一次二分：取中点，，故零点在； 第二次二分：取中点，，故零点在 12. 若扇形圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设半径为，扇形面积，解得，；弧长. 13. 已知函数，若恰有3个零点，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】结合图像：时，，对应一个零点； 时，，即，得，，故； 由有3个零点，得，故，则. 14. 已知函数，对于任意的实数，恒有，若函数的最小值为，则的最大值为（ ） A．1 B．3 C．5 D． 【答案】A 【解析】令，得；令，得，即. 设，则（奇函数），故. 由，得，即的最大值为1. 三. 解答题 15. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，为角终边上的一点． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）由，得. 原式 ； （2）由诱导公式： ，，，. 代入得： 16. 设是定义在上的奇函数，且对于任意的实数，恒有．当时，． （1）求证：是周期函数，并指出其最小正周期； （2）求方程在区间上解的个数． 【答案】（1）最小正周期为6；（2）8个 【解析】 （1）由，得，故是周期为6的周期函数. （2）当时，，解得或； 由奇函数，时，，解得或； 一个周期内有4个解，包含4个周期，故解的个数为. 17. 某企业为紧抓新能源发展带来的历史机遇，决定开发一款锂电池生产设备.生产此设备的年固定成本280万元，每生产台（且）需另投入成本（万元），当年产量不足40台时，（万元）；当年产量不少于40台时，（万元）．现该企业将每台设备的售价定为60万元，且生产的锂电池设备能全部售完． （1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式； （2）年产量为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大?最大利润是多少万元? 【答案】（1）；（2）时，最大利润402万元 【解析】 （1）年利润： 当时，； 当时，. （2）当时，，但实际的最大值在时为， 当时，，等号当且仅当，即时成立 故最大利润为402万元（）. 18. 已知函数． （1）求的定义域并证明是奇函数； （2）解不等式． 【答案】（1）定义域为，是奇函数；（2） 【解析】 （1）恒成立，故定义域为. 证明奇函数：，故为奇函数. （2）在上单调递增，不等式化为，故，即，解得. 19. 已知函数，具有以下性质： ①定义域均为；②在上严格增；③两函数中一个是奇函数，另外一个是偶函数；④． （1）求函数与的表达式； （2）设，求解下列问题： （i）的值；（ii）在上的最小值． 【答案】（1），； （2）（i）；（ii） 【解析】 （1）由，得. 若奇、偶，则，联立解得，，不符合是增函数， 因此， （2）（i）. （ii）已知，结合（i）的结论，代入得： 令，当时，，于是. 将转化为关于的二次函数：. 根据对称轴与的位置关系，分3种情况讨论： 当时： 对称轴，在上单调递增，最小值为 当时： 对称轴在区间内，最小值为顶点处的值 当时： 对称轴，在上单调递减，最小值为 学科网（北京）股份有限公司 $ 洋泾中学高一月考数学试卷（2025.12） 一. 填空题 1. 若，则的终边在第______象限 2. 若，，则______（填“”或“”或“”） 3. 已知幂函数的图像不经过原点，则实数______ 4. 已知，且满足，则______ 5. 已知，是第三象限的角，则______ 6. 函数的定义域为______ 7. 函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的单调增区间为______ 8. 已知一元二次方程的两根有且只有一个在中，则实数的取值范围是______ 9. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是______ 10. 对于函数，若存在实数使得，则称实数为的“不动点”.已知函数，若对任意的，函数恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围为______. 二. 选择题 11. 已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 12. 若扇形圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（ ） A． B． C． D． 13. 已知函数，若恰有3个零点，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 14. 已知函数，对于任意的实数，恒有，若函数的最小值为，则的最大值为（ ） A．1 B．3 C．5 D． 三. 解答题 15. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，为角终边上的一点． （1）求的值； （2）求的值． 16. 设是定义在上的奇函数，且对于任意的实数，恒有．当时，． （1）求证：是周期函数，并指出其最小正周期； （2）求方程在区间上解的个数． 17. 某企业为紧抓新能源发展带来的历史机遇，决定开发一款锂电池生产设备.生产此设备的年固定成本280万元，每生产台（且）需另投入成本（万元），当年产量不足40台时，（万元）；当年产量不少于40台时，（万元）．现该企业将每台设备的售价定为60万元，且生产的锂电池设备能全部售完． （1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式； （2）年产量为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大?最大利润是多少万元? 18. 已知函数． （1）求的定义域并证明是奇函数； （2）解不等式． 19. 已知函数，具有以下性质： ①定义域均为；②在上严格增；③两函数中一个是奇函数，另外一个是偶函数；④． （1）求函数与的表达式； （2）设，求解下列问题： （i）的值；（ii）在上的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $