5.4.2正余弦函数的性质2——单调性与最值课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦第五章三角函数5.4.2节，核心内容为正弦、余弦函数的单调性及最值。以复习回顾旧知（函数基本性质、复合函数周期）为支架，从周期区间探究单调性再扩展至定义域，构建新旧知识脉络。 其亮点在于通过表格对比单调区间、分层例题（最值、大小比较、复合函数单调区间），结合数学思维（逻辑推理）与数学语言（符号表达），培养学生抽象与推理能力。教师可高效教学，学生深化理解并提升应用能力。

复习回顾 函数 图像 定义域 值域 周期 奇偶性 对称轴 对称中心 奇函数 偶函数 直线 直线 LOGO 复习回顾 (1)函数y=Asin(ωx+)或y=Acos(ωx+)(其中A, ω,为常数,A≠0,ω≠0)的周期T= ; (2)函数y=|Asin(ωx+)|或y=|Acos(ωx+)|(其中A,ω,为常数,A≠0,ω≠0)的周期T= 。 LOGO 5.4 三角函数的图像和性质 第五章 三角函数 5.4.2 正弦、余弦函数的性质2 ——单调性、最值 学习目标 LOGO 2、探究新知 - - - - - - - - - 1 -1 由于正弦函数是周期函数 ， 我们可以先在它的一个周期的区间 ( 如 上讨论它的单调性 ， 再利用它的周期性 ， 将单调性扩展到整个定义域 ． LOGO 2、探究新知 的值的变化情况如表 5.4.2所示 ： ， 在区间上单调递增 上单调递减， 由正弦函数的周期性可得： LOGO 2、探究新知 类似地 ， 观察余弦函数在一个周期区间 （ 如 ） 上函数值的变化规律 ， 将看到的函数值的变化情况填入表5.4.3 , 在区间 上单调递增 ， 其值从-1 增大到1 ； 余弦函数在每一个闭区间 上都单调递增 ， 其值从-1 增大到 1； 　 　　　　　　　 在每一个闭区间 　 上都单调递减 ， 其值从 1减小到 -1． LOGO 2、探究新知 知识点三、单调性 函 数 名 递增区间 递减区间 y=sinx y=cosx LOGO 2、探究新知 知识点四、最大（小）值 正弦函数当且仅当 ＝　　　　　 　 时,取得最大值 １ ， 当且仅当 ＝　　 时,取得最小值 －１ ； 余弦函数当且仅当 ＝　　　　 　　 时,取得最大值 １ ， 当且仅当 ＝　　　　　 　 时,取得最小值 －１． LOGO 3、典例分析 例3. 下列函数有最大值 、 最小值吗？ 如果有 ， 请写出取最大值 、 最小值时自变量的集合 ， 并求出最大值 、 最小值 ． （ １ ） ， ∈R ； （ ２ ） ， ∈R． 题型一　正、余弦函数的最值 LOGO 3、典例分析 解 ： 容易知道 ， 这些函数都有最大值 、 最小值 ． （ １ ） 使函数 ， ∈R取得最大值 的集合 ， 就是使函数 , ∈R ，取得最大值的 的集合｛ ｜ ＝2kπ ， k ∈Z ｝； 使函数， ∈R ， 取得最小值的集合 ， 就是使函数 ∈R取得最小值的 的集合｛ ＝ (2k +1)π ,k∈Z ｝ ． 函数， ∈R 的最大值是 １＋１＝２ ； 最小值是 －１＋１＝０． （ １ ） ， ∈R ； LOGO 3、典例分析 (2)解 ： 令 z ＝2， 使函数 , z∈R 取得最大值的 z 的集合 ， 就是使 ，z∈R 取得最小值的 z 的集合｛ z｜ ＝- +2kπ ， k ∈Z ｝ 由 z ＝2＝ - +2kπ ，得＝ - +kπ ． 所以 ， 使函数 ， ∈R 取得最大值的 的集合是｛ ｜ ＝ - +kπ, k ∈Z ｝ ． 同理 ， 使函数 ， ∈R取得最小值的 的集合是 ｛ ｜ ＝ +kπ, k ∈Z ｝ ． 函数 ， ∈R的最大值是 ３ ， 最小值是 －３． （ ２ ） ， ∈R． LOGO 3、典例分析 解： 函数取得最大值 ． 此时函数为常数函数， 函数取得最大值 ① ② ③ 函数最大值 LOGO 3、典例分析 例4. 不通过求值，指出下列各式的大小： (1) ; (2) cos; cos 解 ：（ １ ） 因为- ， 所以 解：cos=cos=cos coscos=cos 因为 ， 所以coscos cos 小结：利用诱导公式化到一个单调区间，再借助单调性比较大小 题型二　利用单调性比较函数值大小 LOGO 3、典例分析 例5. 求函数, ∈［ －２π ，２π］ 的单调递增区间 ． 解 ： 令 = ， ∈［-２π ，２π］ ， 则 ∈ 因为 ， ∈ 的单调递增区间是∈ ， 且由 ，得 ． 所以 ， 函数, ， ∈［-２π ，２π］ 的单调递增区间是 复合函数：同增异减 题型三　正、余弦型函数的单调区间 LOGO 3、典例分析 例5（变1）. 求函数 的单调递增区间 、对称轴、对称中心． 思考——例5（变2）. 求函数 的单调递增区间． 复合函数：同增异减 LOGO 4、课堂小结 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 奇偶性 单调性（单调区间） 奇函数 偶函数 [ +2k, +2k],kZ 单调递增 [ +2k, +2k],kZ 单调递减 [ +2k, 2k],kZ 单调递增 [2k, 2k + ], kZ 单调递减 函数 余弦函数 正弦函数 求函数的单调区间： 1. 直接利用相关性质 2. 复合函数的单调性 3. 利用图象寻找单调区间 LOGO 1.掌握y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的单调性，并能利用单调性比较大小． 2.掌握y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的最值，并会求简单三角函数的值域和最值． 3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间及最值． $