精品解析：山东省青岛市胶州市实验初级中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

九上数学第一次阶段检测试题（12.22） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. “斗”是古代常用的粮食度量用具，如图是它的几何示意图，则下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，，则的面积为（ ） A. 24 B. 30 C. 40 D. 48 3. 若点，，都是反比例函数图象上的点，且，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压与气体体积之间的函数关系如图所示.当气球的体积是，气球内的气压是（ ）. A. 96 B. 150 C. 120 D. 64 5. 关于x的函数y＝k(x＋1)和y＝ (k≠0)在同一坐标系中的图象大致是(　 　) A. B. C. D. 6. 如图，在▱ABCD中，E为CD边上的中点，AE交BD于点O，若S△DOE=2，则▱ABCD的面积为（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 7. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 8. 一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图与主视图如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多有（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（　　） A. ﹣3＜x＜2 B. x＜﹣3或x＞2 C. ﹣3＜x＜0或x＞2 D. 0＜x＜2 10. 如图，在中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，记所得的图象是．设点的对应点的横坐标是，则点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 已知正比例函数与反比例函数的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为______． 12. 在中，，，，则AC的长是______． 13. 如图，在△ABC中，点D、E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，AD＝2BD，S△ABC＝36，则四边形BCED的面积为_____． 14. 已知为锐角，且，则______度． 15. 如图，点是反比例函数图象上的两点，轴于点，轴于点，作轴于点，轴于点，连结，记的面积为，的面积为，则___________（填“>”或“<”或“=”） 16. 如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处，若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 17. 如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为________． 18. 如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接．若四边形的面积为3，则__________． 三、解答题（66分） 19. 计算题 （1）计算：． （2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标． 20. 如图，花丛中有一路灯杆AB，在灯光下，大华在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时大华的影长GH=5米．如果大华的身高为2米，求路灯杆AB的高度． 21. 某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶测得路灯顶端处的俯角是．试求大楼的高度． （参考数据：，，，，，） 22. 已知二次函数． （1）请把下面的表格补充完整： … 0 1 2 3 … … ______ 2 ______ 2 －1 … （2）根据上表，在图中画出这个二次函数的图像． （3）根据图像，回答下列问题： ①当时，随的增大而______； ②当时，的取值范围是______． ③当______时，有最大值为______． 23. 如图，一次函数的图象与轴交于，与反比例函数的图象交于，． （1）求、两点的坐标和反比例函数的表达式； （2）连接、，求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． （4）在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标． 24. （1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 25. 已知：如图，在矩形中，，，点为边的中点，连接，交于点，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿AB方向匀速运动，速度为．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为．解答下列问题： （1）当为何值时，； （2）连接，设的面积为，求与的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九上数学第一次阶段检测试题（12.22） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. “斗”是古代常用的粮食度量用具，如图是它的几何示意图，则下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据简单几何体的三视图解答即可． 【详解】解：由俯视图的定义可知，“斗”的俯视图，如下图所示： 2. 如图，在中，，，，则的面积为（ ） A. 24 B. 30 C. 40 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】先解直角三角形，求出的长，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，正确根据正弦的定义求出的长是解题的关键． 3. 若点，，都是反比例函数图象上的点，且，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数中，可知反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，根据即可判断结果． 【详解】解：反比例函数中， 反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大， ， 点在第四象限， ， ， 点，都在第二象限内， ， ． 故选：B． 4. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压与气体体积之间的函数关系如图所示.当气球的体积是，气球内的气压是（ ）. A. 96 B. 150 C. 120 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，且过点（0.8，120），代入解析式即可得到结论． 【详解】设球内气体的气压p（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为， ∵图象过点（0.8，120） ∴k=96， 即气压p（kPa）与气体体积V（m3）之间的函数关系为， ∴当V=1时，p=96． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式． 5. 关于x的函数y＝k(x＋1)和y＝ (k≠0)在同一坐标系中的图象大致是(　 　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：当k＞0时，函数y=的图像在一三象限，函数y=k（x+1）=kx+k的图像经过一二三象限，所以选项A、C错误；当k＜0时，函数y=的图像在二四象限，函数y=k（x+1）=kx+k的图像经过二三四象限，所以选项B错误，选项D正确，故选D. 考点：1.一次函数图像；2.反比例函数的图像. 6. 如图，在▱ABCD中，E为CD边上的中点，AE交BD于点O，若S△DOE=2，则▱ABCD的面积为（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥BC，证明△DOE∽△BOA，根据相似三角形的性质、平行四边形的性质计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，E为CD边上的中点， ∴AB∥BC，DE=DC=AB， ∴△DOE∽△BOA， ∴=，=（）2，即， ∴S△BOA=8，S△AOD=4， ∴S△BAD=12， ∴▱ABCD的面积=24， 故选D． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 7. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形， 先根据勾股定理逆定理说明，再根据可得答案. 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意可知， ∴， ∴. 在中，. 故选：D. 8. 一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图与主视图如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多有（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】易得这个几何体共有3层，2行，2列，先看第一层小正方体的个数，再看第二层小正方体的可能的最多个数，第3层小正方体的个数，相加即可． 【详解】解：综合俯视图和主视图，这个几何体的右边一列有3个小正方体，左边一列最多有4个小正方体， 所以组成这个几何体的小正方块最多有7块． 故选：C． 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，俯视图小正方形的个数即为最底层的小正方体的个数，难点是得到第二层小正方体的最多个数． 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（　　） A. ﹣3＜x＜2 B. x＜﹣3或x＞2 C. ﹣3＜x＜0或x＞2 D. 0＜x＜2 【答案】C 【解析】 【分析】一次函数y1=kx+b落在与反比例函数y2= 图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求． 【详解】∵一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2= （c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点， ∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2， 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键． 10. 如图，在中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，记所得的图象是．设点的对应点的横坐标是，则点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，关键是把点的坐标问题转化为线段的长的问题；由可得，进而得到点的横坐标. 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得：， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 已知正比例函数与反比例函数的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为______． 【答案】(1，-2) 【解析】 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，即反比例函数图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：∵正比例函数y=k1x与反比例函数y=的两个交点关于原点对称， ∴另一个交点的坐标与点(-1，2)关于原点对称， ∴另一个交点的坐标为(1，-2)． 故答案是：(1，-2)． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，熟练掌握反比例函数的对称性是解题的关键． 12. 在中，，，，则AC的长是______． 【答案】9 【解析】 【分析】首先根据锐角三角函数得出，再将AB的值代入计算即可. 【详解】在Rt△ABC中，. ∵AB=15， ∴， 解得AC=9. 故答案为：9. 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的知识，正确的选择锐角三角函数是解题的关键. 13. 如图，在△ABC中，点D、E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，AD＝2BD，S△ABC＝36，则四边形BCED的面积为_____． 【答案】20 【解析】 【分析】先求出 ，再求出△ADE和△ABC相似，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ADE的面积，再求解即可． 【详解】解：∵AD＝2BD， ∴ ∴， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ∵S△ABC＝36， ∴△ADE的面积＝36× ＝16． ∴四边形BCED的面积＝36﹣16＝20 故答案为：20． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟悉相似三角形的性质:相似三角形的面积比是相似比的平方. 14. 已知为锐角，且，则______度． 【答案】50 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值，即可求得． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：50． 【点睛】本题考查了特殊角的三角形函数值，熟记特殊角的三角形函数值是解决本题的关键． 15. 如图，点是反比例函数图象上的两点，轴于点，轴于点，作轴于点，轴于点，连结，记的面积为，的面积为，则___________（填“>”或“<”或“=”） 【答案】= 【解析】 【分析】连接OP、OQ，根据反比例函数的几何意义，得到，由OM=AP，OB=NQ，得到，即可得到. 【详解】解：如图，连接OP、OQ，则 ∵点P、点Q在反比例函数的图像上， ∴， ∵四边形OMPA、ONQB是矩形， ∴OM=AP，OB=NQ， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：=. 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数的几何意义判断面积相等. 16. 如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处，若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影．作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可． 【详解】解：作，，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 17. 如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查由三视图判断几何体，掌握柱体的侧面都是长方形是解决问题的关键．根据主视图和左视图是长方形，俯视图是圆环，可得到此几何体为空心圆柱；再用圆环的面积乘高，即为体积． 【详解】解：由三视图可知这个立体图形为空心圆柱， 所以该几何体的体积， 故答案为∶ ． 18. 如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接．若四边形的面积为3，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查反比例函数中的几何意义的应用，读懂题意，数形结合，将所求代数式准确用的几何意义对应的图形面积表示出来是解决问题的关键． 根据反比例函数中的几何意义：反比例函数图象上点向坐标轴作垂线，与原点构成的直角三角形面积等于，数形结合可以得到，根据图象均在第一象限可知，再由四边形的面积为3，得到，即可得到答案． 【详解】解：矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点， 由反比例函数中的几何意义知，， 矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点， 由反比例函数中的几何意义知，， 四边形的面积为3， 由图可知，， 即，解得， ， 故答案为：6． 三、解答题（66分） 19. 计算题 （1）计算：． （2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标． 【答案】（1）3 （2）对称轴为直线 ，顶点坐标为 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，二次函数的对称轴和顶点坐标，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先计算算术平方根，零次幂，负指数幂，特殊角的三角函数，然后再进行加减运算； （2）将二次函数进行配方，即得它的对称轴和顶点坐标． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 对称轴为直线 ，顶点坐标为． 20. 如图，花丛中有一路灯杆AB，在灯光下，大华在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时大华的影长GH=5米．如果大华的身高为2米，求路灯杆AB的高度． 【答案】路灯杆AB的高度为7m． 【解析】 【分析】找出图中的相似三角形，利用三角形相似的性质解决即可． 【详解】∵CD∥AB， ∴△EAB∽△ECD， ∴=，即=①， ∵FG∥AB， ∴△HFG∽△HAB， ∴=，即=②， 由①②得，=， 解得，BD=7.5， ∴=， 解得，AB=7． 答：路灯杆AB的高度为7m． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用．在本题中关键是两组相似三角形中的公共边和身高，这两个量的性质，人的身高不变，AB是公共边，这样就可以解决了． 21. 某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶测得路灯顶端处的俯角是．试求大楼的高度． （参考数据：，，，，，） 【答案】96米 【解析】 【分析】延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，则四边形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由锐角三角函数定义求出EM、DM的长，得出AN的长，然后由锐角三角函数求出BN的长，即可求解． 【详解】延长交于点， 过点作，交于点， 由题意得，， ∴四边形为矩形， ∴，. 在中，， ∴，， ∴，， ∴， ∴. 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴. 答：大楼的高度约为96米. 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 22. 已知二次函数． （1）请把下面的表格补充完整： … 0 1 2 3 … … ______ 2 ______ 2 －1 … （2）根据上表，在图中画出这个二次函数的图像． （3）根据图像，回答下列问题： ①当时，随的增大而______； ②当时，的取值范围是______． ③当______时，有最大值为______． 【答案】（1），3 （2） 画出二次函数的图象如下： （3）①减小②③1，3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，画二次函数图象，正确画出函数图象是解题的关键． （1）分别求出当，时对应的值，即可补全表格； （2）描点，连线画出二次函数图象即可； （3）①观察二次函数的图象，当时，随的增大而减小；②观察二次函数的图象，找到范围内的函数最大值和最小值即可；③找到二次函数图象的顶点坐标即可． 【小问1详解】 解：分别求出当，，时对应的值可得： 当时，； 当时，； 补全表格如下： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 2 3 2 ．．． 故答案为：，3； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①观察图象可知，当时，随的增大而减小； 故答案为：减小； ②观察图象可知，当时，的取值范围是， 故答案为：； ③观察图象可知，当时，取最大值3． 故答案为：1，3． 23. 如图，一次函数的图象与轴交于，与反比例函数的图象交于，． （1）求、两点的坐标和反比例函数的表达式； （2）连接、，求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． （4）在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标． 【答案】（1），， （2）4 （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）把、两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出、的值，再把的坐标代入反比例函数的解析式即可求出的值； （2）求得的坐标，然后根据求得即可； （3）即求反比例函数在一次函数上方的自变量的取值范围； （4）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出直线与轴的交点坐标即可得到点坐标． 【小问1详解】 解：把、两点的坐标代入， 得，，， 则、． 把代入，得， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：一次函数的图象与轴交于点， ，， 、， ； 【小问3详解】 解：根据图象，不等式的解集为或； 【小问4详解】 解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则， ， 此时的值最小， 设直线的解析式为， 把点，的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为， 【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数与不等式，最短路径问题，三角形面积，掌握相关知识是解决问题的关键． 24. （1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）成立；理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）5 【解析】 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）, , , 是等腰直角三角形 是等腰直角三角形 又 即 解得． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 25. 已知：如图，在矩形中，，，点为边的中点，连接，交于点，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿AB方向匀速运动，速度为．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为．解答下列问题： （1）当为何值时，； （2）连接，设的面积为，求与的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）存在；的值为或或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出，解直角三角形得出，根据，得出，根据，得出，求出t的值即可； （2）过作于，根据，得出，根据三角形面积公式求出结果即可； （3）分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，点为边的中点， ∴， 在中，根据勾股定理，得， ∴， ∵在矩形中， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴， 根据题意可得：，， ∴， 解得：； ∴当时，； 【小问2详解】 解：过作于，如图所示： 则， 根据解析（1）可得：， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴y与t的函数式为：； 【小问3详解】 解：存在； 当时，， 解得：； 当时，过点P作于点G，如图所示： ∴，， 根据解析（1）可知：， 在中，， ∴， 解得：； 当时，过点Q作于点H，如图所示： ∴，， 根据解析（1）可得：， 在中，， ∴， 解得：； 综上，的值为或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形的相关计算、求函数解析式，平行线的性质，等腰三角形的性质，解题关键是用速度时间表示线段长，根据题意列出方程或比例式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $