13.3.2 三角形的外角 课件 2025-2026学年人教版 八年级数学上册

该初中数学课件聚焦三角形外角的定义、特征、性质及应用，通过复习三角形内角和定理引入外角概念，构建“旧知—新知”学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于结合几何直观与动手操作，如剪拼法验证外角等于不相邻两内角和，培养学生数学眼光和推理意识，通过分层例题、错误辨析及互动练习，助力学生掌握性质应用，教师可直接利用结构化内容提升教学效率。

幻灯片 1：封面 标题：13.3.2 三角形的外角 副标题：探索三角形外部角的特性 背景图：展示一个标注了内角和外角的三角形，用不同颜色区分，外角用醒目的红色标注，背景有几何网格和动态线条，凸显外角的特征。 幻灯片 2：目录 三角形外角的定义与特征 三角形外角的性质推导 三角形外角性质的应用 外角与内角的区别与联系 幻灯片 3：三角形外角的定义与图形展示 图片：展示△ABC，延长 BC 至点 D，标注∠ACD 为△ABC 的外角，用箭头指示延长线和外角的位置，区分内角（∠A、∠B、∠ACB）和外角（∠ACD）。 文字阐述：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。如图，在△ABC 中，延长边 BC 到点 D，那么∠ACD 就是△ABC 的一个外角。每个三角形都有 6 个外角，且两两相等。 幻灯片 4：三角形外角的特征分析 图片：从不同角度展示三角形外角的特征，标注外角的顶点与三角形顶点重合，一边是三角形的一边，另一边是三角形另一边的延长线，与相邻内角组成平角。 文字：三角形外角具有三大特征：①顶点是三角形的一个顶点（如∠ACD 的顶点是 C）；②一边是三角形的一条边（如∠ACD 的边 AC）；③另一边是三角形另一条边的延长线（如∠ACD 的边 CD 是 BC 的延长线）；④与相邻的内角互补（∠ACB + ∠ACD = 180°）。 幻灯片 5：三角形外角的数量与关系 图片：展示一个三角形的 6 个外角，标注每一组对顶角的外角相等（如∠ACD 与∠BCE 相等），每个顶点处有两个外角。 文字：一个三角形有 3 个顶点，每个顶点处有 2 个外角，因此共有 6 个外角；每个顶点处的两个外角是对顶角，度数相等；每个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角。 幻灯片 6：三角形外角性质的推导 —— 基于内角和定理 图片：在△ABC 中，延长 BC 至 D，标注∠ACD 为外角，∠A 和∠B 为不相邻内角，通过∠ACB + ∠ACD = 180° 和∠A + ∠B + ∠ACB = 180°，推导∠ACD = ∠A + ∠B。 文字：推导过程：∵∠ACB + ∠ACD = 180°（平角定义），且∠A + ∠B + ∠ACB = 180°（三角形内角和定理），∴∠ACD = 180° - ∠ACB，∠A + ∠B = 180° - ∠ACB，∴∠ACD = ∠A + ∠B。由此得出外角性质。 幻灯片 7：三角形外角的性质总结 图片：左侧用文字表述性质，右侧在三角形中标注性质对应的角度关系，如 “外角等于不相邻两内角和”“外角大于不相邻内角”。 文字：三角形外角的性质：①三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和（∠ACD = ∠A + ∠B）；②三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角（∠ACD > ∠A，∠ACD > ∠B）；③三角形的外角与相邻的内角互补（∠ACD + ∠ACB = 180°）。 幻灯片 8：性质的直观验证 —— 剪拼法 图片：分步展示剪拼过程，①剪出△ABC 的外角∠ACD；②剪出不相邻内角∠A 和∠B；③将∠A 和∠B 拼在一起，与∠ACD 比较，显示度数相等。 文字：通过剪拼法直观验证性质①：将△ABC 中与外角∠ACD 不相邻的两个内角∠A 和∠B 剪下，拼在一起后发现，它们的和与外角∠ACD 的度数完全相等，进一步证明了外角等于不相邻两内角和的性质。 幻灯片 9：应用场景一 —— 已知内角求外角 图片：展示例题：在△ABC 中，∠A=50°，∠B=60°，求与∠C 相邻的外角的度数，标注解题过程（外角 = 50°+60°=110°）。 文字：已知三角形两个不相邻的内角，求外角的度数，可直接应用 “外角等于不相邻两内角和” 计算：外角度数 = 不相邻内角 1 度数 + 不相邻内角 2 度数。这种应用无需先求相邻内角，更加便捷。 幻灯片 10：应用场景二 —— 已知外角求内角 图片：展示例题：在△ABC 中，一个外角为 120°，与它不相邻的一个内角为 40°，求另一个不相邻内角的度数，标注解题过程（另一个内角 = 120°-40°=80°）。 文字：已知三角形的一个外角和其中一个不相邻的内角，求另一个不相邻内角的度数，可根据性质推导：另一个不相邻内角度数 = 外角度数 - 已知不相邻内角度数。 幻灯片 11：应用场景三 —— 比较角的大小 图片：展示一个三角形及其外角，标注相关角度，通过外角性质比较∠ACD 与∠A 的大小，标注 “∠ACD> ∠A（外角大于不相邻内角）”。 文字：利用 “三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角” 的性质，可以直接比较角的大小，无需计算具体度数。例如在△ABC 中，∠ACD 是外角，则∠ACD > ∠A，∠ACD > ∠B。 幻灯片 12：外角与内角的区别 图片：用对比表格展示外角与内角的区别，从位置、数量、度数范围等方面进行对比，配有对应的图形标注。 文字：| 类型 | 位置 | 数量（每个三角形） | 度数范围 | 与相邻角关系 | |------|------|------------------|----------|--------------| | 内角 | 三角形内部 | 3 个 | 大于 0° 小于 180° | 三个内角和为 180° | | 外角 | 三角形外部 | 6 个（两两相等） | 大于 0° 小于 180° | 与相邻内角互补 | 幻灯片 13：外角与内角的联系 图片：展示三角形中内角与外角的关联示意图，标注外角与相邻内角互补、与不相邻内角和相等的关系。 文字：外角与内角的联系十分紧密：①外角与相邻的内角互为补角（和为 180°）；②外角等于与它不相邻的两个内角的和；③外角是内角的一种延伸，可通过外角研究内角的性质；④三角形的外角和为 360°（三个顶点处各取一个外角）。 幻灯片 14：常见错误辨析 图片：展示错误案例，如将内角的邻补角误认为不是外角、错误认为 “外角大于所有内角”，标注错误原因和正确结论。 文字：常见错误辨析：①错误：三角形的外角一定是钝角。纠正：外角可以是锐角、直角或钝角，取决于不相邻内角的和。②错误：外角大于三角形的所有内角。纠正：外角只大于与它不相邻的内角，可能小于或等于相邻的内角（如钝角三角形中钝角的外角是锐角）。 幻灯片 15：课堂小结 文字总结：本节课学习了三角形外角的定义（一边与另一边延长线组成的角）、特征（6 个外角，两两相等），重点掌握了外角的三大性质（等于不相邻两内角和、大于不相邻内角、与相邻内角互补）及其在求角度、比较角大小时的应用，明确了外角与内角的区别与联系。 核心观点：三角形的外角是内角的重要补充，其性质建立了内角与外角之间的数量关系，为解决三角形角度问题提供了新的思路和方法。 幻灯片 16：互动练习 活动设计：开展 “外角性质应用小竞赛”，给出不同类型的角度计算题目，如 “在△ABC 中，∠A=30°，∠B=40°，求∠ACB 的外角度数”“一个三角形的外角为 100°，与它相邻的内角是多少度” 等，学生抢答。 解答题：设置综合题，如 “在△ABC 中，∠C 的外角是 115°，∠A=50°，求∠B 和∠C 的度数”，要求写出完整解题过程。 幻灯片 17：结束页 寄语：愿每一位同学都能深刻理解三角形外角的性质，灵活运用它解决几何问题，在探索三角形的奥秘中不断提升逻辑推理能力！ 拓展任务：回家后画一个三角形，分别画出它的 6 个外角，测量每个外角的度数，验证 “三角形外角和为 360°”（每个顶点取一个外角相加），记录你的发现。 2024人教版数学八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 13.3.2 三角形的外角 第十三章 三角形 理解三角形的外角的概念. 经历由特殊到一般的数学思维过程，掌握三角形的内角和定理的推论，体会数学推理的严谨性. 学习目标 在证明三角形的内角和定理时，我们用过这种方法： B B C A A l l 1 2 3 4 5 A B C D 想一想：∠ACD 这样的角可以怎样描述？它具有什么性质？ 情景导入 知识点 三角形的外角 D 如图，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD. ∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③角的另一边是三角形某边的延长线. A B C 像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 探究新知 A B C 想一想：△ABC 有多少个外角？ 1 2 4 3 5 6 一共有 6 个外角： ∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6. 每个顶点处都有两个外角，它们是_______. 对顶角 研究时，通常只在每个顶点处取一个外角进行讨论. 探究新知 如图，下列各角是△ABC 的外角的是（ ） A. ∠4 B. ∠3 C. ∠2 D. ∠1 1 A B C 3 2 4 B 针对训练 探究新知 D A B C 外角 相邻的内角 对于外角∠ACD 来说， ∠ACB 是与它相邻的内角， 不相邻的内角 ∠A，∠B是与它不相邻的内角. 探究新知 思 考 如图，在△ABC 中，∠A = 70°，∠B = 60°，∠ACD 是△ABC 的一个外角，你能求出∠ACD 的度数吗？∠ACD 与∠A，∠B 的大小有什么关系？ D A B C 70° 60° ∠ACD = 180° – ∠ACB =∠A +∠B = 60° + 70° = 130° 任意一个三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角是否都有这种关系？ 探究新知 猜想：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 已知：____________________________________ 求证：____________________________ △ABC中，∠ACD 是△ABC 的一个外角. ∠A +∠B =∠ACD. ∠A +∠B +∠ACB = 180°. 又∵ ∠ACD +∠ACB = 180°， ∴∠A +∠B =∠ACD (等量代换). 证明：由三角形的内角和等于180°，得 D A B C 探究新知 过 C 作 CE 平行于 AB， ∴∠2 = ∠B (两直线平行，同位角相等)， ∠1 = ∠A (两直线平行，内错角相等)， ∴∠ACD = ∠1 + ∠2 = ∠A + ∠B. 知识点 三角形的外角 已知：____________________________________ 求证：____________________________ △ABC中，∠ACD 是△ABC 的一个外角. ∠A +∠B =∠ACD. D A B C E 1 2 证法二： 探究新知 知识点 三角形的外角 推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形的外角.几何画板 D A B C 外角 符号语言： ∵∠ACD是△ABC 的一个外角，∴∠ACD =∠A +∠B. 推论是由定理直接推出的结论. 和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据. 探究新知 ∠ACD ______∠A ∠ACD ______∠B 判断： ∠ACD = ∠A +∠B ＞ ＞ 推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角. D A B C 外角 探究新知 针对训练 ∠1 = 40° ∠2 = 140° ∠1 = 110° ∠2 = 70° ∠1 = 50° ∠2 = 140° 说出下列各图形中∠1 和∠2 的度数. 教材P16练习 （1） （2） （3） 探究新知 针对训练 教材P16练习 （4） （5） （6） ∠1 = 55° ∠2 = 70° ∠1 = 80° ∠2 = 40° ∠1 = 60° ∠2 = 30° 探究新知 教材P15例题 第4题 例 4 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是 △ABC 的三个外角，它们的和是多少？ A B C E F D 1 2 3 探究新知 教材P15例题 第4题 解： 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE =∠2 + ∠3， ∠CBF =∠1 +∠3，∠ACD =∠1 +∠2. 所以∠BAE +∠CBF +∠ACD = 2(∠1 +∠2 +∠3). 由∠1 +∠2 +∠3 = 180°，得 ∠BAE +∠CBF +∠ACD = 2×180° = 360°. A B C E F D 1 2 3 探究新知 解法二：如图，∠BAE +∠1 = 180° ① ， ∠CBF +∠2 = 180° ②， ∠ACD +∠3 = 180° ③， 又知∠1 +∠2 +∠3 = 180°， ① + ② + ③ 得 ∠BAE +∠CBF +∠ACD + (∠1+∠2+∠3) = 540°， 所以∠BAE +∠CBF +∠ACD = 540° – 180° = 360°. A B C E F D 1 2 3 探究新知 A B C E F D 1 2 3 解法三：过 A 作 AM 平行于 BC， 所以∠ACD = ∠EAM， ∠CBF = ∠BAM， 所以 ∠BAE +∠CBF +∠ACD = ∠BAE +∠BAM +∠EAM = 360°. M 探究新知 知识点 三角形的外角 推论：三角形的外角和等于 360°. A B C E F D 1 2 3 探究新知 复习巩固 1. 求出下列各图形中的 x 的值： 【教材P16习题13.3 第1题】 （1） （2） 解:（1）∵x° = 180° – 39° – 108° = 33°，∴x = 33. （2）∵x° + x° + x° = 180° ，∴x = 60. 课堂练习 20 （3） （4） （3）∵x° + x° + 72° = 180° ， ∴2x = 180 – 72 = 108. ∴x = 54. （4）∵x° + (x – 36)° + (x + 36)° = 180° ， ∴x = 60. 课堂练习 2.（1）一个三角形最多有几个直角？为什么？ （2）一个三角形最多有几个钝角？为什么？ （3）直角三角形的外角可以是锐角吗？为什么？ 【教材P16习题13.3 第2题】 课堂练习 解:（1）一个三角形最多有一个直角. 若一个三角形有两个直角，则不能满足三角形的内角和定理. （2）一个三角形最多有一个钝角. 若一个三角形有两个钝角，则不能满足三角形的内角和定理. （3）不可以. 若一个直角三角形的外角是锐角，则在一个三角形中有一个直角和一个钝角，则不能满足三角形的内角和定理. 课堂练习 3. 在△ABC 中，∠B 比∠A 大 10°，∠C 比∠B 大 10°. 求△ABC 各内角的度数. 【教材P16习题13.3 第3题】 解：由题意可知∠B =∠A + 10°， ∠C =∠B + 10° =∠A + 20°， 又∠A +∠B +∠C = 180°， ∴∠A +∠A + 10° +∠A + 20°= 180°， 即 3∠A + 30°= 180°. ∴∠A = 50°， ∠B =∠A + 10° = 60°，∠C =∠B + 10° =70°. 课堂练习 4. 如图，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D，∠1 =∠2，∠C = 65°. 求∠BAC 的度数. 【教材P16习题13.3 第4题】 课堂练习 解：∵ AD ⊥ BC，∴∠ADB =∠ADC = 90°. ∵∠1 =∠2， ∴∠2 =∠1 = ×(180° −∠ADB) = × 90° = 45°. ∴∠BAC = 180° − (∠2 +∠C) = 180° − (45° + 65°) = 70°. 课堂练习 综合运用 5. 如图，AB // CD，∠A = 40°，∠D = 45°. 求∠1 和∠2 的度数. 【教材P17习题13.3 第5题】 解：∵ AB // CD， ∴ ∠1 = ∠A = 40°. ∴∠2 =∠1 +∠D = 40° + 45° = 85°. 课堂练习 6. 如图，AB // CD，AE 与 CD 相交于点 O，∠A = 45°，∠C =∠E. 求∠C 的度数. 【教材P17习题13.3 第6题】 解：∵ AB // CD，∴ ∠DOE =∠A = 45°. 又∠DOE =∠C +∠E，且∠C =∠E， ∴∠C = ∠DOE = ×45°= 22.5°. 课堂练习 7. 如图，B 处在 A 处的南偏西 45°方向，C 处在 A 处的南偏东 15°方向，C 处在 B 处的北偏东 80°方向. 求∠ACB 的度数. 【教材P17习题13.3 第7题】 课堂练习 解：如图，设点 B 的正北方向的射线为 BD，点 A 的正南方向的射线为 AE. 由题意可知 ∠BAE = 45°，∠EAC = 15°，∠DBC = 80°， ∴∠BAC = 45° + 15° = 60°. 由 DB // AE 可得∠DBA =∠BAE = 45°， ∴∠ABC =∠DBC −∠DBA = 80° − 45° = 35°. 在 △ABC 中，∠ACB = 180° −∠BAC −∠ABC = 180° − 60° − 35° = 85°. D E 课堂练习 8. 如图，在△ABC 中，D 是边 AB 上一点，E 是边 AC 上一点， BE，CD 相交于点 F，∠A = 62°，∠ACD = 35°，∠ABE = 20°. 求∠BDC 和 ∠BFD 的度数. 【教材P17习题13.3 第8题】 解： ∠BDC = 97°， ∠BFD = 63°. 课堂练习 9. 如图，在△ABC 中，∠A = 100°，∠1 =∠2，∠3 =∠4. 求 x 的值。 【教材P17习题13.3 第9题】 解：∵∠1 =∠2，∠3 =∠4，∠A = 100°， ∴∠A +∠ABC +∠ACB = 100° + 2∠2 + 2∠4 = 180°. ∴∠2 + ∠4 = 40°. ∴x° = 180° − (∠2 +∠4) = 180° − 40° = 140° . ∴x = 140. 课堂练习 拓广探索 10. 如图，AB // CD，∠BAE =∠DCE = 45°. 填空： ∵AB // CD， ∴∠1 + 45°+∠ 2 + 45°=_____. ∴∠1 +∠2 =______. ∴∠E =_______. 180° 90° 90° 【教材P17习题13.3 第10题】 课堂练习 11. 如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，且 CE 交 BA 的延长线于点 E. 求证∠BAC =∠B + 2∠E. 【教材P17习题13.3 第11题】 证明：∵CE 是 ∠ACD 的平分线， ∴∠ACE =∠ECD =∠B +∠E. ∴∠BAC =∠ACE +∠E = ∠B +∠E +∠E = ∠B + 2∠E. 课堂练习 三角形的外角 定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 性质 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的外角和 三角形的外角和等于360°. 课堂小结 谢谢观看！ $