专题1.3 共线向量定理导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦共线向量定理，涵盖共线向量定义、零向量规定、定理表达式及空间三点共线判定等必备知识。课堂导入可衔接平面向量内容，延伸至空间情境，作为空间向量应用的基础支架，帮助学生构建从平面到空间的认知脉络。 资料通过经典例题、变式训练、巩固练习分层设计，题型包含选择、多选、填空，覆盖基础参数求解到空间坐标应用。分层训练助力学生通过推理（数学思维）构建逻辑联系，结合空间情境问题培养用数学语言表达几何关系的能力，提升运算与推理素养。

专题1.3 共线向量定理 高中数学辅导资料 专题1.3 共线向量定理 一、必备知识： 1. 共线向量或平行向量：若表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量； 2. 规定：零向量与任意向量平行．即对任意向量，都有. 3. 若，则. 4. 空间三点P，A，B共线＝λ对空间任一点O，恒有＝x＋(1－x). 二、考点专练： 经典例题： 1.已知向量与共线，则（   ） A． B．0 C．2 D．6 2．在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C．10 D．13 3．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 变式训练： 1．已知向量，，若，则z＝（    ） A． B．4 C． D． 2．已知向量，若，则（    ） A．7 B．5 C． D． 3．已知向量，，若，共线，则（   ） A． B．6 C． D．8 4．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 5．在空间直角坐标系中，，点在直线AB上，则（   ） A．， B．， C．， D．， 6.设向量不共面，已知，若三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（ ） A． B． C． D． 8．已知点，且四边形是平行四边形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）如图，在三棱柱中，P为空间中一点，且满足，则下列说法正确的是（   ） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 10．（多选）已知向量，，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 巩固练习： 1．已知，，若，则实数等于（    ） A． B． C． D．2 2．已知向量，，且，则（    ） A．4 B． C． D．2 3．已知空间向量，若，则（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 4．已知向量，，且，则实数k的值为 ． 5．若，，三点共线，则 . 6．（多选）已知向量，，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C． D．向量在向量上的投影向量为 7．已知是空间一个基底，向量，，，若，则的值是（   ） A． B．2 C． D． 8．已知空间四点，，，，且，则满足条件点的坐标是（ ） A． B． C． D． 9．已知，，，为坐标原点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．已知空间中三点与不重合，则使三点共线一个点的坐标可以是 ． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $专题1.3 共线向量定理 高中数学辅导资料 专题1.3 共线向量定理 一、必备知识： 1. 共线向量或平行向量：若表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量； 2. 规定：零向量与任意向量平行．即对任意向量，都有. 3. 若，则. 4. 空间三点P，A，B共线＝λ对空间任一点O，恒有＝x＋(1－x). 二、考点专练： 经典例题： 1.已知向量与共线，则（   ） A． B．0 C．2 D．6 【答案】D 【详解】因为向量与共线，显然：,所以，所以，故．故选：D 2．在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C．10 D．13 【答案】B 【详解】因为，且三点共线，所以存在实数，使得，解得．故选：B. 3．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为.因为、、三点共线，所以.所以.故选：D 变式训练： 1．已知向量，，若，则z＝（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以.故选:A. 2．已知向量，若，则（    ） A．7 B．5 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，即.故选D 3．已知向量，，若，共线，则（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】C 【详解】由，共线，，，所以，解得，得. 故选：C. 4．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以，，因为，所以，解得.故选：B． 5．在空间直角坐标系中，，点在直线AB上，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】因为，点在直线AB上，所以， 所以，所以，解得.故选：C 6.设向量不共面，已知，若三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为三点共线，且向量不共面，所以，又故向量表达式中的系数对应成比例，即，解得． 故选：C. 7．已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，，不共线，即三点不共线，故A错误；对于B，，，不共线，即三点不共线，故B错误；对于C，，，则共线，即三点共线，故C正确；对于D，，，不共线，即三点不共线，故D错误；故选：C． 8．已知点，且四边形是平行四边形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设设点D的坐标为，由题意得，，因为四边形是平行四边形，所以， 所以，解得，故选：A 9．（多选）如图，在三棱柱中，P为空间中一点，且满足，则下列说法正确的是（   ） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【答案】ACD 【详解】对于A，当时，，，所以，则点在棱上，故A正确； 对于B，当时，，，连接，即，即，所以点在线段上，故B错误； 对于C，当时，，，所以，所以，即，所以点在棱上，故C正确；对于D，当时，，，由三点共线结论知,三点共线，所以点在线段上，故D正确．故选：ACD. 10．（多选）已知向量，，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，，，所以，，解得，，故A正确；对于B，由得，即，，于是，故B正确；对于C，由A知此时，，于是，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：ABD. 巩固练习： 1．已知，，若，则实数等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】∵，则一定存在实数使得，，即，即，解得.故选C. 2．已知向量，，且，则（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为，所以，即，所以，解得，所以.故选：A. 3．已知空间向量，若，则（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【答案】A 【详解】因为，所以存在实数，使得，即，所以，所以.故选：A. 4．已知向量，，且，则实数k的值为 ． 【答案】/ 【详解】由，，则，因为，所以，解得，故答案为： 5．若，，三点共线，则 . 【答案】 【详解】，，若，，三点共线，则向量与共线，所以存在实数使得，所以，解得，故答案为：. 6．（多选）已知向量，，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C． D．向量在向量上的投影向量为 【答案】ABD 【详解】对于A：由模长公式得，，A正确； 对于B：由题意得，因为，则存在实数，使得，即，，B正确； 对于C：由题知，C错误； 对于D：向量在向量上的投影向量为，D正确. 故选：ABD 7．已知是空间一个基底，向量，，，若，则的值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，即，，所以.故选：D. 8．已知空间四点，，，，且，则满足条件点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，，，且设， 所以得，故，逐项检验后A正确.故选：A. 9．已知，，，为坐标原点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点C坐标为，因为，，所以，，又因为，所以，，，即，，，所以C坐标为. 10．已知空间中三点与不重合，则使三点共线一个点的坐标可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为所以，，当三点共线时，（）所以，即，因为与不重合，所以且，假设，则，所以使三点共线一个点的坐标可以是.故答案为（答案不唯一）. 试卷第1页，共3页 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $