1.3空间直角坐标系及点线面的坐标表示导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间直角坐标系及空间点线面的坐标表示，通过“必备知识”梳理空间向量正交分解、坐标系建立、向量坐标运算及两点间距离公式，逐步过渡到直线方向向量和平面法向量的定义与应用，构建从基础到应用的学习支架。 资料以“导思议展评检”闭环设计为特色，例题分层涵盖证明、计算与建系实践，结合思考问题链引导学生用数学眼光抽象空间形式，通过逻辑推理（数学思维）探究法向量求法与建系原则，用向量语言描述几何对象，当堂检测强化应用，助力提升空间观念与运算能力。

空间直角坐标系及空间点线面的坐标表示 【学习目标】 1.掌握空间向量的正交分解，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性; 2.会用空间直角坐标系刻画点的位置，探索并得出空间两点间的距离公式; 3.掌握空间向量的坐标表示，掌握空间向量线性运算的坐标表示; 4.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量和平面的法向量，并会求平面法向量. 【命题方向】 1.空间两点间的距离公式 2.空间向量的坐标表示 3.线性运算的坐标表示 【导】必备知识 1.空间直角坐标系 （1）空间向量基本定理：任意一个空间向量 可表示 满足 （2）空间向量正交分解：作为空间向量基底中的三个基向量 ，且长度为1，空间任意向量，均可表示为.且有序实数组 (x，y，z) 唯一 （3）空间直角坐标系：建立以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度的轴、轴、轴的空间直角坐标系，空间任意向量，存在唯一的有序实数组 (x，y，z) ，使.有序数组 (x，y，z)叫在空间直角坐标系中的坐标，记作= (x，y，z) 2.（1）已知 ____________________，____________________， ______________________, ____________________, ⇔a1＝______，a2＝______，a3＝______(λ∈R，≠0) ⊥⇔0⇔_____________________＝0 ____________________________ ___________________________ （2） 空间直角坐标系中，设是空间中任意两点则 = ，= . 3.直线的方向向量和平面的法向量是如何定义的？ 思考：（1）直线的方向向量和平面的法向量唯一吗？ （2）若是直线的方向向量，则也是直线的方向向量吗？ （3）怎么求直线的方向向量和平面的法向量？ 4.如何用向量表示空间中一个点？一条直线？一个平面？ （1）取一定点作为基点，把向量称为点的位置向量， （2）取空间中任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使 可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定， （3）空间任意一点，知空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，使，可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定. 【思】 例1.（1）在四棱锥中，底面是正方形，若． ①证明：平面平面； ②建立适当坐标系，写出点的坐标，并求平面QBC的法向量 （2）如图，三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，PA=4，AB=BC=2，AC=，建立适当的空间直角坐标系，求点P，A，B，C的坐标及平面PBC的法向量.（你有几种建系方式？） （3）若在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC＝60°，平面A1ACC1⊥平面 ABC，AA1＝AC＝AB=2，建立适当的空间直角坐标系，写出A、B、C、A1、B1、C1的坐标并求平面A1BC的法向量. 例2、（1）已知，求 ， （2）已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若＝，则C的坐标是(　 ) A.　 B. C D. （3）已知点A(－3,0,－4)，点A关于原点的对称点为B，则|AB|等于(　 ) A．12 B．9 C．25 D．10 （4）在轴上求一点，使点到点与点的距离相等. 【议】核对答案，讨论疑难 1.　怎么求平面的法向量？2.建系的原则有哪些？ 【展】例1（1）（2）（3）例2（4） 例2（1）（2）（3）口答 【评】 根据“议”“展”情况进行精确点评 【检】（当堂检测） 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD垂直于底面ABCD，AD=PD=2，E、F分别为CD、PB的中点. 且AB=AD, 建立适当的空间坐标系, 求平面的法向量. 学科网（北京）股份有限公司 $