专题1.2 空间向量的坐标表示导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间向量的坐标表示及基本运算，梳理了向量加减、数乘、数量积的坐标运算规则，平行垂直的判定条件及长度、夹角公式。通过衔接空间向量基本概念，搭建从几何直观到代数运算的桥梁，为空间几何问题解决提供基础支架。 资料以必备知识系统整合为基础，经典例题、变式训练、巩固练习分层递进，强化运算能力与空间观念。通过坐标运算将抽象向量转化为具体代数问题，培养学生用数学思维分析空间关系，用数学语言表达几何规律，提升逻辑推理与应用意识。

专题1.2 空间向量的坐标表示及基本运算 高中数学辅导资料 专题1.2 空间向量的坐标表示及基本运算 一、必备知识： 1.空间向量运算的坐标表示：设，则 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 2.两个向量的平行与垂直： 平行（） 垂直（） （均非零向量） 3.向量长度：若，则. 4.两个向量夹角：设，则 二、考点专练： 经典例题： 1.若，，则___________． 【答案】 【详解】因为，，所以，. 2．已知空间中三点，，，则（   ） A．7 B． C．9 D． 【答案】B 【详解】因为，，，所以，则.故选：B 3．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知可得，，所以向量在向量上的投影向量是，故选：D 变式训练： 1．在空间直角坐标系中，已知点、，则线段的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点、，则线段的中点坐标为，即.故选B. 2．已知点，，向量，则点的坐标为 . 【答案】 【详解】设，，，因为，所以，得，，，所以点的坐标.故答案为： 3．已知向量，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为向量，所以.故选：D. 4．在空间直角坐标系中，已知，，若点与点关于平面对称，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点与点关于平面对称，得，所以.故选：A. 5．已知点是点在坐标平面内的射影，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【详解】由题意可得，故，，故选：A 6．已知向量，，则（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】D 【详解】∵，，∴.故选：D 7．在空间直角坐标系Oxyz中，，，点M关于平面xOy的对称点坐标为，则（   ） A．-5 B．-2 C．2 D．5 【答案】D 【详解】因，则点M关于平面xOy的对称点坐标为，因点M关于平面xOy的对称点坐标为，则，则，，故.故选：D 8.若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于空间向量，，则向量在向量上的投影向量为.故选：B 9．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令和的夹角为，则，则向量在向量上的投影向量为.故选：C 10．已知，，且与夹角为锐角，则实数x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，当时，有，解得，此时，与夹角为，所以与夹角不可能为，当与夹角为锐角时，有，解得，则实数x的取值范围是．故选：D. 巩固练习： 1．已知三角形的三个顶点分别为，，，则的中点坐标为 . 【答案】 【详解】由点，点，可知的中点坐标为，即. 2．已知是空间直角坐标系中的一点，则点关于平面对称的点和点关于点的对称点分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【详解】设点关于平面对称的点为，易知两个点的横坐标与竖坐标相同，纵坐标相反，故点；设点关于点对称的点为，则点为线段的中点，故有：，解得，即.故选：A. 3．（多选）如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，，，F是棱的中点，则（   ）   A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，，，F是棱的中点，所以，，，，所以A，D正确，B，C错误.故选：AD 4．在空间直角坐标系中，已知点，，则 . 【答案】 【详解】.故答案为：. 5．空间直角坐标系中，已知点关于坐标平面对称的点为，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】点关于坐标平面对称的点为，所以.故选：D 6．已知点，点与点关于平面对称，点与点关于轴对称，则线段BC的长为 【答案】 【详解】因为点，点与点关于平面对称，所以，又点与点关于轴对称，所以，所以.故答案为： 7．已知空间点和，且，则实数x的值是（    ） A． B． C．或6 D．或2 【答案】C 【详解】由，可得，所以，故或. 故选：C 8．已知，则 . 【答案】 【详解】因为，所以.故答案为. 9．已知向量，，则（    ） A． B．0 C．2 D．10 【答案】B 【详解】由题设，则，所以 .故选：B 10．已知空间向量，，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得.故选：A. 试卷第1页，共3页 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $专题1.2 空间向量的坐标表示及基本运算 高中数学辅导资料 专题1.2 空间向量的坐标表示及基本运算 一、必备知识： 1.空间向量运算的坐标表示：设，则 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 2.两个向量的平行与垂直： 平行（） 垂直（） （均非零向量） 3.向量长度：若，则. 4.两个向量夹角：设，则 二、考点专练： 经典例题： 1.若，，则___________． 2．已知空间中三点，，，则（   ） A．7 B． C．9 D． 3．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 变式训练： 1．在空间直角坐标系中，已知点、，则线段的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．已知点，，向量，则点的坐标为 . 3．已知向量，则（　　） A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系中，已知，，若点与点关于平面对称，则（  ） A． B． C． D． 5．已知点是点在坐标平面内的射影，则（    ） A． B． C． D．5 6．已知向量，，则（   ） A． B． C．1 D．5 7．在空间直角坐标系Oxyz中，，，点M关于平面xOy的对称点坐标为，则（   ） A．-5 B．-2 C．2 D．5 8.若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 9．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 10．已知，，且与夹角为锐角，则实数x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 巩固练习： 1．已知三角形的三个顶点分别为，，，则的中点坐标为 . 2．已知是空间直角坐标系中的一点，则点关于平面对称的点和点关于点的对称点分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（多选）如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，，，F是棱的中点，则（   ）   A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系中，已知点，，则 . 5．空间直角坐标系中，已知点关于坐标平面对称的点为，则（   ） A．1 B． C． D．2 6．已知点，点与点关于平面对称，点与点关于轴对称，则线段BC的长为 7．已知空间点和，且，则实数x的值是（    ） A． B． C．或6 D．或2 8．已知，则 . 9．已知向量，，则（    ） A． B．0 C．2 D．10 10．已知空间向量，，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $