专题1.1 空间向量线性运算运算辅导讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量的线性运算核心知识点，系统梳理空间向量的位置、加法（首尾相接）、减法（共起点）、运算律（交换律、结合律）及数乘运算（方向与模的关系），搭建从平面向量到空间向量的学习支架，帮助学生构建完整的空间向量运算体系。 该资料通过经典例题（如四面体中点问题）和变式训练，结合平行六面体等模型，培养学生空间观念（数学眼光）和推理能力（数学思维），题型多样助力学生用数学语言表达空间关系，课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固提升，查漏补缺。

专题1.1 空间向量的线性运算 高中数学辅导资料 专题1.1 空间向量的线性运算 一、必备知识： 1..空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量，. 2.空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即. 3.空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4.空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 5.空间向量的数乘运算:与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 二、考点专练： 经典例题： 1.点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 2．(多选)如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．在四面体中,点E满足，F为的中点，且，则实数  （      ） A． B． C． D． 变式训练： 1．（多选）若为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是（    ） A． B． C． D． 2．在空间四边形PABC中，（    ） A． B． C． D． 3．在正四面体中，N是面的中心，设，，，则用、、的线性组合可表示为 ． 4．在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知平行六面体，则（   ） A． B． C． D． 6.（多选）已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，在正四面体中，，是的重心，则（   ） A． B． C． D． 8．（多选）如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，设为平行四边形所在平面外任意一点，为的中点，若，则的值是（ ） A． B．0 C． D． 三、巩固练习： 1．在空间四边形中，等于（    ） A． B． C． D． 2．在长方体中，设，，，若用向量、、表示向量，则____________． 3．如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 4．在平行六面体中，点E，F分别为棱，的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．在三棱锥中，若是正三角形，为其重心，则化简的结果为 ． 6．在三棱柱中，，分别是线段，上靠近，的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 7.在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则 . 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $专题1.1 空间向量的线性运算 高中数学辅导资料 专题1.1 空间向量的线性运算 一、必备知识： 1..空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量，. 2.空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即. 3.空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4.空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 5.空间向量的数乘运算:与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 二、考点专练： 经典例题： 1.点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意点是的中点，所以.故选：B. 2．(多选)如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，故A正确；因为，故B错误；因为，故C正确；因为，故D错误.故选：AC 3．在四面体中,点E满足，F为的中点，且，则实数  （      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于F为BE的中点，所以，结合，整理得，①，由，得，即，②， 根据①②的对应关系，可得 故选：D 变式训练： 1．（多选）若为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，，结果不一定为零向量，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确．故选：BCD. 2．在空间四边形PABC中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】.故选：C. 3．在正四面体中，N是面的中心，设，，，则用、、的线性组合可表示为 ． 【答案】 【详解】因为N是面的中心，所以延长交于，是中点，且，.故答案为：. 4．在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为底面是平行四边形，，所以是、的中点.由向量的平行四边形法则可得，，，所以.故选：D. 5．如图，已知平行六面体，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为平行六面体，所以，，所以.故选：C. 6.（多选）已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D， ，D错误.故选：AC 7．如图，在正四面体中，，是的重心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接,延长交于，因为是的重心，所以是的中点，.故选：A 8．（多选）如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，四边形是平行四边形，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D正确．故选：ACD． 9．如图，设为平行四边形所在平面外任意一点，为的中点，若，则的值是（ ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【详解】为的中点，，四边形为平行四边形，，.，，，，故选：B. 三、巩固练习： 1．在空间四边形中，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由向量的加减运算法则可得：.故选：C 2．在长方体中，设，，，若用向量、、表示向量，则____________． 【答案】 【详解】由题意，.故答案为： 3．如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】.故选：C 4．在平行六面体中，点E，F分别为棱，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为点E，F分别为棱，的中点，所以.故选：A.    5．在三棱锥中，若是正三角形，为其重心，则化简的结果为 ． 【答案】 【详解】延长交边于点，则，则有，， 故．故答案为：. 6．在三棱柱中，，分别是线段，上靠近，的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，分别是线段，上靠近，的三等分点，，，，，又，，，即，故A正确．故选：A． 7.在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则 . 【答案】 【详解】在四面体中，棱，的中点分别为，，取的中点，所以，，所以，又因为，所以.故答案为：. 试卷第1页，共3页 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $