精品解析：湖北省十堰市郧阳中学2024-2025学年高一上学期学科特长生招生考试数学试题B卷

2024年郧阳中学学科特长生招生考试 数学试题 注意事项 1.本卷共有6页，24小题，满分150分，考试时限120分钟. 2.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡指定的位置，并认真核对条形码上的准考证号和姓名，在答题卡规定的位置贴好条形码. 3.选择题必须使用2B铅笔在指定位置填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔答题，不得使用铅笔或圆珠笔等笔作答.要求字体工整，笔迹清晰.请按照题目序号在答题卡对应的各题目的答题区域内作答，超出答题卡区域的答案和在试卷､草稿纸上答题无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷､答题卡和草稿纸一并上交. 一､选择题（本题共10小题，每小题5分，共计50分） 1. 高一某班有人，老师对一次数学测试进行了统计分析.由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他人的平均分为分，方差.后来小亮进行了补考，成绩为分，关于该班成绩，下列说法正确的是（ ） A. 平均分不变，方差变大 B. 平均分不变，方差变小 C. 平均分和方差都不变 D. 平均分和方差都改变 2. 动物保护专家为了研究骆驼在沙漠中的生存状态，做出了骆驼体温随时间的变化趋势图（图1），小明同学根据图1绘制了图2，则图2中的变量有可能表示的是（ ） A. 骆驼在时刻的体温与0时体温的差的绝对值 B. 骆驼从0时到时刻之间的最高体温与当日最低体温的差 C. 骆驼在时刻的体温与当日平均体温的绝对差 D. 骆驼从0时到时刻之间的体温最大值与最小值的差 3. 在同一坐标系中，直线：和：位置可能是（ ） A. B. C. D. 4. 用三个不等式，，中两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 如图是函数的图象，直线轴且过点，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线下方的图象保持不变，得到一个新图象.若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于9，则下列中符合要求的是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 6. 已知，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为（ ） A B. C. D. 8. 如果三角形满足一个角是另一个角的倍，那么我们称这个三角形为“实验三角形”，下列各组数据中，能作为一个“实验三角形”三边长的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. 3，4，5 9. 已知实数m､n､p满足，，，则的值等于（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10. 如图，点是抛物线上第一象限内一动点，，，过点分别作轴､轴的平行线，分别交直线于，两点，过点作的垂线，垂足为.下列说法中正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为4 D. 周长的最大值为 二､填空题（本题共5小题，每小题5分，共计25分） 11. 小张同学看一本800页的数学书，看了200页后，为早日完成，后来每天比原计划增加40页，结果共用32天完成这一任务，请问小张原计划每天完成__________页. 12. 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=__________.度. 13. 如图，正方形，是上一点，，于，则的长为__________. 14. 已知的三边为a､b､c，且满足，则的形状为__________. 15. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解范围是__________. 三､解答题（本题共9小题，共计75分） 16 计算：. 17. 已知关于的一元二次方程. （1）求证：方程总有实数根； （2）若方程有一个根为负数，求的取值范围. 18. 化简： 19. 郧阳中学提出了“丰富阳光体育活动，增强学生身体素质”的口号，高一学生小李同学为了解郧阳中学学生参与体育锻炼的情况，从我校随机抽取了50名学生，获得了他们每周参与体育锻炼的时间（单位：时），并对数据进行整理､描述和分析.下面给出了部分信息. （1）学生每周参与体育锻炼时间的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）： （2）每周参与体育锻炼时间（单位：时）在这一组的是： 充分利用已有条件（1）（2），回答下列问题： （1）中位数为__________； （2）估计我校学生平均每人每周参与体育锻炼的时间为多少小时？ （3）已知我校共有4500名学生，小李同学每周参与体育锻炼时间为5小时，估计我校每周参与体育锻炼时间比小李长的学生有多少人？ 20. 在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点. （1）若点，求该一次函数和反比例函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求出实数的取值范围. 21. 如图，在中，，以上一定点为圆心，为半径作圆，与分别交于点D，E，连接，若，，求. 22. 如图，AB是的直径，点C是过点A的的切线上一点，连接OC，过点A作OC的垂线交OC于点D，交于点E，连接CE.连接BD并延长交AC于点F，若，，求AF的长. 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（在的左侧）. （1）求点的坐标及抛物线的对称轴； （2）已知点，若抛物线与线段有公共点，请结合函数图象，求的取值范围. 24. 在平面直角坐标系中，对于任意两点，，如果，则称与互为“距点”.例如：点，点，由，可得点与互为“距点”. （1）在点，，中，原点的“距点”是_____（填字母）； （2）已知点，点，过点作平行于轴的直线. ①当时，直线上点的“距点”的坐标为_____； ②若直线上存在点“距点”，求的取值范围. （3）已知点，，，的半径为，若在线段上存在点，在上存在点，使得点与点互为“距点”，直接写出的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年郧阳中学学科特长生招生考试 数学试题 注意事项 1.本卷共有6页，24小题，满分150分，考试时限120分钟. 2.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡指定的位置，并认真核对条形码上的准考证号和姓名，在答题卡规定的位置贴好条形码. 3.选择题必须使用2B铅笔在指定位置填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔答题，不得使用铅笔或圆珠笔等笔作答.要求字体工整，笔迹清晰.请按照题目序号在答题卡对应的各题目的答题区域内作答，超出答题卡区域的答案和在试卷､草稿纸上答题无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷､答题卡和草稿纸一并上交. 一､选择题（本题共10小题，每小题5分，共计50分） 1. 高一某班有人，老师对一次数学测试进行了统计分析.由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他人的平均分为分，方差.后来小亮进行了补考，成绩为分，关于该班成绩，下列说法正确的是（ ） A. 平均分不变，方差变大 B. 平均分不变，方差变小 C. 平均分和方差都不变 D. 平均分和方差都改变 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、方差的定义即可解答． 【详解】∵小亮的成绩和其他人的平均数相同，都是分， ∴该班人的测试成绩的平均分为分， 该班人的方差，即方差变小． 故选：B． 2. 动物保护专家为了研究骆驼在沙漠中的生存状态，做出了骆驼体温随时间的变化趋势图（图1），小明同学根据图1绘制了图2，则图2中的变量有可能表示的是（ ） A. 骆驼在时刻的体温与0时体温的差的绝对值 B. 骆驼从0时到时刻之间的最高体温与当日最低体温的差 C. 骆驼在时刻的体温与当日平均体温的绝对差 D. 骆驼从0时到时刻之间的体温最大值与最小值的差 【答案】D 【解析】 【分析】根据图1，分析0时到时刻之间的体温最大值与最小值的差可判断. 【详解】由图1可知，从0时到4时，温差随着时间的增大而增大，在4时达到最大，最大温差是； 再到8时，这段时间的最高体温是，最低体温是，温差不变； 从8时开始，最高体温变大，最低体温不变是，温差变大，到16时达到最大，最大温差是； 从16时开始，体温下降，但这段时间内的最高体温和最低体温不变，温差仍是； 所以图2中的变量有可能表示的是骆驼从0时到时刻之间的体温最大值与最小值的差. 故选：D. 3. 在同一坐标系中，直线：和：的位置可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直线和都是一次函数，通过讨论随着的增大而增大或随着的增大而减小，直线与轴的交点在轴的上方还是下方讨论排除选项得解. 【详解】①当时，即时，和都是一次函数，都是随着的增大而增大，选项中不存在； ②当时，即时，和都是一次函数，都是随着的增大而减小，与轴的交点的纵坐标为，，与轴的交点在轴的上方，选项中不存在； ③当时，即时，和都是一次函数，是随着的增大而增大，是随着的增大而减小，与轴的交点的纵坐标为，，与轴的交点在轴的上方，过原点，选项B符合题意； 综上可知，选项B正确. 故选：B. 4. 用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先由三个不等式组成三个命题，再分别对每一个命题运用不等式的性质判断其正确性，可得选项. 【详解】由题意知，一共有三种命题组合方式， ①如果，，那么； ②如果，，那么； ③如果，，那么. 对于命题①，如果，，那么. 因为，，所以，，可得，所以命题①为真命题. 对于命题②，如果，，那么. 因为，所以，又，所以， 所以，则，所以命题②真命题. 对于命题③，如果，，那么. 因为，所以，所以，所以命题③为真命题. 所以组成真命题的个数为3. 故选：D. 5. 如图是函数的图象，直线轴且过点，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线下方的图象保持不变，得到一个新图象.若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于9，则下列中符合要求的是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合二次函数的性质找到最大值和最小值差刚好等于9的值，即可求出. 【详解】由题可知，函数开口向上，对称轴为， 对称轴在区间内，故函数最小值为， 又函数沿直线翻折，且最大值与最小值之差不大于， 即，仅符合条件. 故选：D 6. 已知，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先利用平方差公式求出的值，再结合已知条件即可求出. 【详解】由题意得，， 又，， . 故选：A. 7. 如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由中点坐标公式可得. 【详解】因为绕点旋转得到，所以点A、关于点对称， 设，则由中点坐标公式得，解得， 即点的坐标为. 故选：D 8. 如果三角形满足一个角是另一个角的倍，那么我们称这个三角形为“实验三角形”，下列各组数据中，能作为一个“实验三角形”三边长的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. 3，4，5 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给边长，分别求出各个三角形的角度，结合题意，分析即可得答案. 【详解】选项A：因为，所以此三角形为等腰直角三角形， 三个角分别为，不符合题意，故A错误； 选项B：因为三边分别为，，，则此三角形为等腰三角形，作底边上的高，如图所示 则，， 所以，所以， 所以，则，符合题意，故B正确； 选项C：因为，所以此三角形为直角三角形， 最小角正弦值为，即三个角分别为，不符合题意，故C错误； 选项D：因为，所以此三角形为直角三角形， 最小角的正弦值为，则最小角大于，最大角为，不符合题意，故D错误. 故选：B 9. 已知实数m､n､p满足，，，则的值等于（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】将已知三式相加并整理可得，据此可得答案. 【详解】将已知三式相加可得， 则， 从而，据此可得. 则. 故选：D 10. 如图，点是抛物线上第一象限内一动点，，，过点分别作轴､轴的平行线，分别交直线于，两点，过点作的垂线，垂足为.下列说法中正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为4 D. 周长的最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的方程，由点是抛物线上第一象限内一动点，设出的坐标，由过点分别作轴､轴的平行线，分别交直线于，两点，及直线的方程为得到的坐标，求出，利用二次函数的图像求出的最大值，由及轴，轴得到，由得到的最大值，从而得到选项C的正误；由勾股定理得，从而得到，即可得到，由勾股定理得，即，进而求出的最大值，从而得到选项A和B的正误；求出的周长为，故当最大时的周长也最大，从而得解，故判断出选项D的正误. 【详解】设直线的方程为，，， ，，直线的方程为， 点是抛物线上第一象限内一动点， 设， 过点分别作轴､轴的平行线，分别交直线于，两点， 直线的方程为，， ， ，当时，有最大值，且最大值为， ，，， 轴，轴，， ，， ，，的最大值为，故选项C正确； 由勾股定理得，则，， 由勾股定理得，即， 则的最大值均为，故选项A和B错误； 的周长为， 当最大时，的周长也最大，且最大值为， 故选项D错误. 故选：C. 二､填空题（本题共5小题，每小题5分，共计25分） 11. 小张同学看一本800页的数学书，看了200页后，为早日完成，后来每天比原计划增加40页，结果共用32天完成这一任务，请问小张原计划每天完成__________页. 【答案】10 【解析】 分析】设原计划每天完成x页，由题意，列出方程，化简计算，即可得答案. 【详解】设原计划每天完成x页，由题意得， 整理得，解得或（舍）. 所以小张原计划每天完成10页. 故答案为：10 12. 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=__________.度. 【答案】540 【解析】 【分析】由三角形，四边形内角和结合图形可得答案. 【详解】如图，， ， 又注意到，， 则 ，从而 . 故答案为： 13. 如图，正方形，是上一点，，于，则的长为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】证明，由相似比求解. 【详解】因为，所以，则， 又，所以， 所以， 所以，又，，， . 故答案为：. 14. 已知的三边为a､b､c，且满足，则的形状为__________. 【答案】等腰三角形 【解析】 【分析】利用通分以及分解因式整理化简等式，可得答案. 【详解】由，移项可得， 通分可得，即， 由为的边长，则，可得， 去括号可得，移项可得， 因式分解可得，即， 解得或，所以为等腰三角形. 故答案为：等腰三角形. 15. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解范围是__________. 【答案】，或 【解析】 【详解】因为抛物线与直线交于，两点， 所以有且， 由， 所以点，两点也在抛物线的图象上， 由， 所以点，两点在直线的图象上，如图所示： 由， 所以由图象可知： 当，或时，抛物线在直线上方， 所以不等式的解的范围是，或， 故答案为：，或 三､解答题（本题共9小题，共计75分） 16. 计算：. 【答案】## 【解析】 【分析】根据运算法则直接计算即可. 【详解】 故答案为： 17. 已知关于的一元二次方程. （1）求证：方程总有实数根； （2）若方程有一个根为负数，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程的性质求解判别式证明即可. （2）先求出一元二次方程的根，再结合题意建立不等式，求解参数范围即可. 【小问1详解】 由题意得， 则方程总有实数根. 【小问2详解】 对于， 则，解得或， 因为方程有一个根为负数，所以，解得. 则的取值范围为. 18. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】利用多项式的运算性质求解即可. 【详解】由题意得 . 19. 郧阳中学提出了“丰富阳光体育活动，增强学生身体素质”的口号，高一学生小李同学为了解郧阳中学学生参与体育锻炼的情况，从我校随机抽取了50名学生，获得了他们每周参与体育锻炼的时间（单位：时），并对数据进行整理､描述和分析.下面给出了部分信息. （1）学生每周参与体育锻炼时间的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）： （2）每周参与体育锻炼时间（单位：时）在这一组的是： 充分利用已有条件（1）（2），回答下列问题： （1）中位数为__________； （2）估计我校学生平均每人每周参与体育锻炼的时间为多少小时？ （3）已知我校共有4500名学生，小李同学每周参与体育锻炼时间为5小时，估计我校每周参与体育锻炼时间比小李长的学生有多少人？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将第三组数据由小到大排列，结合频数直方图判断第25、26两个数据即可得解； （2）除第三组外，每组用矩形底边中点横坐标代替，结合平均数公式计算可得； （3）根据样本中锻炼时间比小李长的频率计算可得. 【小问1详解】 由频数直方图可知，第一组的频数为2，第二组的频数为12，第三组的频数为13， 因为， 所以将50名学生每周参加体育锻炼的时间由小到大排列，第25、26两个数据在第三组内， 将第三组数据由小到大排列：. 所以中位数为. 故答案为： 【小问2详解】 第三组数据之和为， 除第三组外，每组数据用矩形底边中点横坐标代替， 则其他组的数据之和为， 所以每周锻炼时间的平均数为， 故该校学生平均每人每周参与体育锻炼的时间为小时. 【小问3详解】 第三组锻炼时长超过5小时的有2人，第四、五、六组的频数之和为， 所以，锻炼时间比小李长的频率为， 所以，锻炼时间比小李长的学生大约有人. 20. 在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点. （1）若点，求该一次函数和反比例函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求出实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)本题主要利用待定系数法求解一次函数解析式与反比例函数解析式，直接代入点坐标就可求出相应解析式. (2)令函数，结合题意，建立不等式求解即可. 【小问1详解】 因为一次函数过点和点， 代入得方程组：，解得， 所以一次函数解析式为：. 因为反比例函数过点， 代入得：， 所以反比例函数解析式为：. 【小问2详解】 由（1）可知反比例函数为， 一次函数过点，得()， 设函数， 由题意可知，，有恒成立，即成立， 当时，一次函数在区间上单调递增，反比例函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上单调递减， 所以时，函数有最小值，即， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 21. 如图，在中，，以上一定点为圆心，为半径作圆，与分别交于点D，E，连接，若，，求. 【答案】 【解析】 【分析】根据直径所对圆周角为直角，证明线线平行，再由内错角相等得出，解直角三角形即可得解. 【详解】由题意，为圆的直径，所以， 又，所以， 所以， 因为，，， 所以， 又，所以, 所以, 又，所以， 所以, 所以. 22. 如图，AB是的直径，点C是过点A的的切线上一点，连接OC，过点A作OC的垂线交OC于点D，交于点E，连接CE.连接BD并延长交AC于点F，若，，求AF的长. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，结合锐角三角函数定义、相似三角形的判定定理、同角的余角相等进行求解即可. 【详解】过点作于点． 在中，，，， ， ，， ， ． ． ． ， ． ∴， ． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（在的左侧）. （1）求点的坐标及抛物线的对称轴； （2）已知点，若抛物线与线段有公共点，请结合函数图象，求的取值范围. 【答案】（1），； （2）或或 【解析】 【分析】（1）令，解方程求出点的坐标，再由对称轴公式求解； （2）根据抛物线开口方向，顶点与点位置关系，分类讨论，结合图象列出不等式求解即可. 【小问1详解】 ， 令，即，解得或， 故, 抛物线的对称轴为. 【小问2详解】 由可知， 顶点坐标为， 令，解得或， 不妨设直线与的交点为. ①当时，在顶点上方，在对称轴右侧，如图， 所以抛物线与线段有公共点时，，解得. ②当时，抛物线开口向下，顶点位于x轴上方，且位于点P或点P下方， 点位于对称轴的左侧，如图， 此时，即，则， 此时抛物线与线段有公共点， ③当时，顶点位于点P上方，点M位于点Q右侧时，如图， 因为抛物线与线段有公共点， 则，解得， 综上，的取值范围为或或. 24. 在平面直角坐标系中，对于任意两点，，如果，则称与互为“距点”.例如：点，点，由，可得点与互为“距点”. （1）在点，，中，原点的“距点”是_____（填字母）； （2）已知点，点，过点作平行于轴的直线. ①当时，直线上点的“距点”的坐标为_____； ②若直线上存在点的“距点”，求的取值范围. （3）已知点，，，的半径为，若在线段上存在点，在上存在点，使得点与点互为“距点”，直接写出的取值范围. 【答案】（1）； （2）①；②； （3）. 【解析】 【分析】（1）直接根据“距点”的定义判断各点即可； （2）①设直线上点的“距点”的坐标为，再根据点的“距点”定义求解即可； ②直线上点为点的“距点”，进而得，再根据分类讨论得求轨迹即可求得取值范围； （3）设点为点“距点”，进而得点的“距点对应的轨迹为如图的正方形，同理得点的“距点”的轨迹为正方形，再根据点从左向右运动时，得到线段上的点的“距点”所在的区域为图中的“环状”阴影区域，再转化为圆必然与上述所求的“环状”阴影区域有交点问题求解即可. 【小问1详解】 解：根据“距点”的定义， 与原点有，满足题意； 与原点有，不满足题意； 与原点有，满足题意； 所以点，，中，原点的“距点”是. 【小问2详解】 解：由题知：直线的方程为， ①当时，直线的方程为，设直线上点的“距点”的坐标为， 因为点，所以，即，解得 所以直线上点的“距点”的坐标为 ②设直线点为点的“距点” 则根据“距点”的定义有， 故去绝对值有：，，，四种情况， 对应的轨迹为如图的正方形 所以，根据图象可知，，即取值范围为 【小问3详解】 解：设点为点的“距点”，则根据“距点”的定义有， 故去绝对值有：，，，四种情况， 对应的轨迹为如图的正方形， 同理可知点的“距点”的轨迹为如图的正方形， 所以当线段上的点从左向右运动时，正方形也同时发生运动，直至与正方形重合， 所以线段上点的“距点”所在的区域为图中的“环状”阴影区域， 若圆上存在点是点的“距点”，则圆必然与上述所求的“环状”阴影区域有交点， 所以，当圆从左向右运动时，有四个临界位置，如图， 对于第一个临界位置，此时圆与直线相切，由于圆的半径为，直线的斜率为， 所以点到点的距离为，即此时的坐标为， 同理可得， 所以的取值范围为或，即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $