精品解析：湖北省十堰市郧阳中学2023-2024学年高一上学期学科特长生招生考试数学试题

湖北省十堰市郧阳中学2023-2024学年高一上学期学科特长生招生考试数学试题 注意事项： 1.本卷共有4页，22小题，满分150分，考试时限120分钟. 2.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定的位置，并认真核对条形码上的准考证号和姓名，在答题卡规定的位置贴好条形码. 3.选择题必须使用2B铅笔在指定位置填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔答题，不得使用铅笔或圆珠笔等笔作答.要求字体工整，笔迹清晰.请按照题目序号在答题卡对应的各题目的答题区域内作答，超出答题卡区域的答案和在试卷、草稿纸上答题无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并上交. 一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共计50分） 1. 如图，对于以下结论：①②③，其中正确的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴，得到，再通过不等式性质逐个命题判断. 【详解】由数轴可知：， 所以，所以，故①正确. 因为，所以，所以，故②错误. 因为，所以，所以， 所以，所以，故③正确. 综上，正确的个数为2. 故选：B 2. 甲、乙、丙、丁各有一个不同的号码，赵同学说：乙是2号，丁是4号；钱同学说：乙是1号，丙是4号；孙同学说：甲是4号，丁是3号；李同学说：甲是1号，丙是3号，他们每个人都说对了一半，则丁是（ ）号. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】假设丁的号码，推导是否有矛盾进行排除即可； 【详解】若丁是1号，钱同学说“丙是4号”为真，则李同学说的全错； 若丁是2号，则赵同学说的全错； 若丁是4号，则孙同学说的全错； 若丁是3号，赵同学说的“乙是2号”为真，钱同学说的“丙是4号”为真，李同学说的“甲是1号”为真，符合题意； 故选：C. 3. 一组数据为5、3、7、2、4、3，则这组数据的中位数与方差分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出平均数，代入方差公式求解方差，将数据从小到大排列，然后利用中位数的概念求解中位数. 【详解】由题意， 则方差 数据从小到大排列为2、3、3、4、5、7，其中位数为. 故选：D 4. 如果四个互不相等的正整数m、n、p、q满足，则的最大值为（ ） A. 40 B. 48 C. 50 D. 52 【答案】C 【解析】 【分析】通过9的整数因子有，确定构成的集合，即可求解. 【详解】因为9的整数因子有， 由题意互不相等， 所以构成的集合只能是， 即构成的集合是， 要使得取得最大值， 则， 此时， 故选：C 5. 如图，线段，射线BM与AB垂直，点是AB上的一个动点，点在射线BM上，且，作并取，连接AF并延长交射线BM于点.设，则关于的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作于，利用全等三角形性质及平行线分线段成比例定理列式求解. 【详解】作于，由，得， 在与中，， 则≌，于是，， 由，，得，因此，即， 所以. 故选：A 6. 若对于任意实数，方程恒成立，则m，n的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对原方程进行化简，根据方程恒成立的条件，列出方程组，求出结果. 【详解】由题意可得， 当方程恒成立时，可得，解得. 故选：B. 7. 下面图形能够验证勾股定理的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】根据不同图形中的面积的等量关系验证勾股定理. 【详解】对于第一个图形，根据直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和得， ，整理得，可以验证勾股定理； 对于第二个图形，由图形可知，割补前后的两个小直角三角形全等， 则原图形面积等于正方形的面积，即， 化简得，可以验证勾股定理； 对于第三个图形，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形面积， 即，整理得，可以验证勾股定理； 对于第四个图形，右上角正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上正方形的面积， 即，整理得， 可以验证勾股定理.所以四个图形都能够验证勾股定理. 所以能够验证勾股定理的图形有4个. 故选：A 8. 若关于的不等式组最多有2个整数解，且关于的一元一次方程的解为负数，则符合条件的所有整数的和为（ ） A. 13 B. 18 C. 21 D. 26 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式组最多有两个整数解和方程的解为负数列出不等式组，解不等式组结合为整数即可求解. 【详解】由关于的不等式组可得，因为该不等式组最多有两个整数解，所以，解得； 由关于的一元一次方程可得，因为该方程的解为负数，所以，解得； 综上，的取值范围为，又因为为整数，所以或，则符合条件的所有整数的和为. 故选：A 9. 如图所示，将“”按照一定规律摆成下列4个图形，第1幅图形中“”的个数为，第2幅图形中“”的个数为，第3幅图形中“”的个数为，以此类推，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，，利用裂项相消法求和即可求解. 【详解】由题意可得， 则， 所以 . 故选：C 10. 如图，半圆的半径为1，A，B在半圆上，且相交于点.现将从OA与OC重合的位置开始，绕点顺时针旋转.给出以下结论： ①的长与的长之和为定值 ②使得的的值恰有一个 ③点运动的路径长为. 则下列说法正确的是（ ） A. ①对②对 B. ②错③对 C. ①对③错 D. ①错③对 【答案】B 【解析】 【分析】求出即可判断①；先根据圆周角定理求得，从而可得，由此即可判断②；取点的运动轨迹所在圆上一点，先根据圆内接四边形的性质可得，根据圆周角定理可得，再利用弧长公式求解可判断③. 【详解】因为是等边三角形，所以， 所以， 所以的长与的长之和为定值，故①正确； 由圆周角定理得， 所以， 所以为定值. 使得的的值有无数个，故②错误； 所以点的运动轨迹是一段圆弧，如图，取点的运动轨迹所在圆上一点， 则，所以， 如图，连接，则，（等腰三角形的三线合一）， 因为圆的半径为1，所以，所以， 所以点运动的路径长为，故③正确. 故选：B. 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共计30分） 11. 如图，，点是内任意一点，分别是射线OA、OB上的动点，则周长的最小值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】分别作点关于的对称点，根据全等推出当四点共线时，周长有最小值以及为等腰直角三角形，进而计算即可. 【详解】分别作点关于的对称点，连接， 易得，，则周长为， 显然，当四点共线时，周长有最小值，最小值为， 因为，所以， 因为，所以， 故，故周长的最小值为. 故答案为： 12. 若时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】令，由题可得，即可求解. 【详解】令，由题知当时，恒成立， 所以，解得，所以实数的取值范围是， 故答案为：. 13. 对于实数，规定表示不大于的最大整数，例如，若，则_____________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据条件得，令，则，从而可求出，即可求解. 【详解】由，得到，令，则， 所以，则，解得，即， 由，得到，所以， 故答案为：. 14. 对于函数（其中为正整数），当时取得最小值，则函数的最小值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】将函数整理成的形式，利用结论“对于函数（其中为正整数），当时取得最小值”求解. 【详解】函数 即函数可看作个绝对值项之和，其中包含1个，2个，3个，4个，5个， 因为， 所以当时，函数取最小值， 最小值为. 故答案为： 15. 抛物线的部分图象如图所示，其顶点坐标为，与轴的一个交点在点和之间.给出以下结论： ①；②；③当时，； ④对于任意实数，不等式恒成立； ⑤一元二次方程的两根为，则. 则正确的结论是_____________.（填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①根据顶点坐标判断；②根据当时，以及对称性判断；③根据时判断；④利用判断；⑤先将一元二次方程化简，再结合韦达定理以及判断. 【详解】因为顶点坐标为，所以，即，故①正确； 因为对称轴为，所以当，时函数值相等， 又抛物线与轴的一个交点在点和之间，所以当时，， 故当时，，故②错误； 因为，所以当时，， 又时，故，得，故③正确； 因为， 所以关于的一元二次方程满足， 又，所以对于任意实数，不等式恒成立，故④正确； 因为，所以， 所以可化为， 因为一元二次方程的两根为， 所以，，， 则 故的值由共同决定，故⑤错误. 故答案为：①③④ 16. 已知点是抛物线上一动点． （1）当点到轴的距离不大于2时，的取值范围是_____________； （2）当点到直线的距离不大于时，的取值范围是，则的值为_____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由解析式得到抛物线开口向上，对称轴为直线，求得点到轴的距离为2时的函数值，即可根据二次函数的性质求得符合题意的的取值； （2）由点到直线的距离不大于即可得到，解得，根据的取值范围是得到或，即可求得的值为或2． 【详解】（1）， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为， 函数有最小值2， 点是抛物线上，且点到轴的距离不大于2， ， 时，；时，， ． 故答案为：； （2）当时，则，解得或； 当时，则，解得或； 的取值范围是， 或， 点到直线的距离不大于， ， ， ， 当在对称轴左边时：， 当在对称轴右边时：， 的值为或2． 故答案为：． 三、解答题（本题共6小题，共计70分） 17. （1）计算：； （2）若实数满足，求的值. 【答案】（1）（2）2024 【解析】 【分析】（1）由特殊角的三角函数值、绝对值的定义及分式分母有理化化简求值； （2）由根式、指数幂的运算法则化简求值. 【详解】（1） =； （2）因为，所以， 所以， 即，即， 所以， 所以. 18. 已知关于的方程 （1）若方程有实根，求实数的取值范围； （2）若方程有两个正实根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分，两类情况讨论求解即可； （2）由判别式和韦达定理列出不等式求解即可. 【小问1详解】 当时，方程为，解得，符合题意； 当时，若方程有实根，需满足， 即，解得，且， 综上，若方程有实根，求实数的取值范围是； 【小问2详解】 由题意结合根与系数的关系可得： ，且， 即，且， 解得：，且， 即， 故方程有两个正实根，实数的取值范围是. 19. 给出以下等式： ...... （1）观察以上各式的规律，可以得到：_____________（直接写结果，其中为正整数） （2）利用以上等式，完成下列两题： ①对任意的实数，试比较与1的大小关系； ②求值： 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）观察给定等式，利用规律写出答案. （2）①利用（1）中结论变形计算，结合实数的偶次方为非负数即得；②利用（1）中结论变形计算即得. 【小问1详解】 根据规律可得. 【小问2详解】 ① ， 因为对任意的实数，，则， 所以. ②依题意，， 因为 所以. 20. 如图，四边形是边长为的菱形，为的中点，与交于点.若边固定，当变动时， （1）证明：动点在定圆上； （2）设（1）中的定圆的圆心为，当时，与圆的另一个交点为，试求的面积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)结合菱形的性质，相似三角形的比例关系和圆的定义证明即可； (2)建立平面直角坐标系，确定各个定点坐标，得到直线的交点，并求出另一个交点，计算出的长度和三角形的高点到直线的距离，最后运用三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 因为菱形，，且，是中点， 所以. 由，可得，即， 由此可得，即是线段上靠近的三等分点. 取上一定点，且靠近的三等分点，连接， 则，所以， 因此， 故的长度为定值，且是定点. 所以动点在定圆上. 【小问2详解】 当时，菱形为正方形，边长为， 以为原点，所在直线方向为轴，建立平面直角坐标系. 则， 由(1)可得圆的圆心为，半径为， 则圆方程为， 直线的斜率，方程为， 直线的斜率，方程为， 所以联立直线与直线的方程，得到交点， 同时将直线的方程代入圆的方程中得， ，整理得， 解得，即. 又因为， 点到直线的距离， 所以的面积为. 21. 已知函数 （1）当时，若函数图象与轴有三个不同的交点，求实数的取值范围； （2）当时，若对任意的均有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由时，令，转化为，令，利用数形结合法求解； （2）由得到，再分，和，由求解.. 【小问1详解】 当时，令， 得，令， 其图象如图所示： 因为函数图像与轴有三个不同的交点， 所以由图象知：； 【小问2详解】 当时，， 当时，在上递增， 所以在时，，由题意需，解得； 当时，开口向下，则在或处取得最小值， 由题意需，解得； 当时，在上递减，在上递增， 所以当时，，不符合题意， 综上：实数的取值范围是或. 22. 已知二次函数的图像经过点，且顶点到轴的距离为. （1）求此二次函数的解析式； （2）当二次函数的图像开口向上时，如图所示，设图像与轴的交点为，与轴的交点为C，直线与轴交于点D，与BC交于点F，与抛物线的一个交点为E（E在BC的下方）.记的面积为的面积为，当取最大值时，求； （3）在（2）的条件下，过点E作对称轴的垂线，垂足为点G，则在抛物线上是否存在点P，使得的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）或 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由已知设出二次函数的顶点式，代入已知点求解； （2）将表示为的函数，求其取最值时的，利用直线与抛物线联立所得方程反求值； （3）由线段与抛物线不相交，判断点坐标，验证求解. 【小问1详解】 由已知，二次函数的顶点坐标为或， 若顶点坐标为，设二次函数解析式为，则， 解得，即二次函数的解析式为； 若顶点坐标为，设二次函数解析式为，则， 解得，即二次函数的解析式为， 综上，二次函数的解析式为或. 【小问2详解】 由（1），当二次函数的图象开口向上时，解析式为. 则，又直线与轴交于点，所以， 所以直线，即， 由得， 由得， 因为在下方，所以，即， 因为，所以. 因为，所以， 又，所以， 所以，由得， 所以，当时，取得最大值， 此时，即取得最大值时. 【小问3详解】 由（2）可知，由二次函数对称轴为，所以， 要使最小，因为线段与抛物线不相交，如图， 所以当点与点横坐标相同或点与点纵坐标相同时，最小， 又当点与点横坐标相同时，，此时， 当点与点纵坐标相同时，由图，此时， 所以存在，使得最小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省十堰市郧阳中学2023-2024学年高一上学期学科特长生招生考试数学试题 注意事项： 1.本卷共有4页，22小题，满分150分，考试时限120分钟. 2.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定的位置，并认真核对条形码上的准考证号和姓名，在答题卡规定的位置贴好条形码. 3.选择题必须使用2B铅笔在指定位置填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔答题，不得使用铅笔或圆珠笔等笔作答.要求字体工整，笔迹清晰.请按照题目序号在答题卡对应的各题目的答题区域内作答，超出答题卡区域的答案和在试卷、草稿纸上答题无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并上交. 一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共计50分） 1. 如图，对于以下结论：①②③，其中正确的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2. 甲、乙、丙、丁各有一个不同的号码，赵同学说：乙是2号，丁是4号；钱同学说：乙是1号，丙是4号；孙同学说：甲是4号，丁是3号；李同学说：甲是1号，丙是3号，他们每个人都说对了一半，则丁是（ ）号. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 一组数据为5、3、7、2、4、3，则这组数据的中位数与方差分别是（ ） A. B. C. D. 4. 如果四个互不相等的正整数m、n、p、q满足，则的最大值为（ ） A. 40 B. 48 C. 50 D. 52 5. 如图，线段，射线BM与AB垂直，点是AB上的一个动点，点在射线BM上，且，作并取，连接AF并延长交射线BM于点.设，则关于的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 若对于任意实数，方程恒成立，则m，n的值是（ ） A. B. C. D. 7. 下面图形能够验证勾股定理的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 8. 若关于的不等式组最多有2个整数解，且关于的一元一次方程的解为负数，则符合条件的所有整数的和为（ ） A. 13 B. 18 C. 21 D. 26 9. 如图所示，将“”按照一定规律摆成下列4个图形，第1幅图形中“”的个数为，第2幅图形中“”的个数为，第3幅图形中“”的个数为，以此类推，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，半圆的半径为1，A，B在半圆上，且相交于点.现将从OA与OC重合的位置开始，绕点顺时针旋转.给出以下结论： ①的长与的长之和为定值 ②使得的的值恰有一个 ③点运动的路径长为. 则下列说法正确的是（ ） A. ①对②对 B. ②错③对 C. ①对③错 D. ①错③对 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共计30分） 11. 如图，，点是内任意一点，分别是射线OA、OB上的动点，则周长的最小值为_____________. 12. 若时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________. 13. 对于实数，规定表示不大于的最大整数，例如，若，则_____________. 14. 对于函数（其中为正整数），当时取得最小值，则函数的最小值为_____________. 15. 抛物线的部分图象如图所示，其顶点坐标为，与轴的一个交点在点和之间.给出以下结论： ①；②；③当时，； ④对于任意实数，不等式恒成立； ⑤一元二次方程的两根为，则. 则正确的结论是_____________.（填序号） 16. 已知点是抛物线上一动点． （1）当点到轴的距离不大于2时，的取值范围是_____________； （2）当点到直线的距离不大于时，的取值范围是，则的值为_____________． 三、解答题（本题共6小题，共计70分） 17. （1）计算：； （2）若实数满足，求的值. 18. 已知关于的方程 （1）若方程有实根，求实数的取值范围； （2）若方程有两个正实根，求实数的取值范围. 19. 给出以下等式： ...... （1）观察以上各式的规律，可以得到：_____________（直接写结果，其中为正整数） （2）利用以上等式，完成下列两题： ①对任意的实数，试比较与1的大小关系； ②求值： 20. 如图，四边形是边长为的菱形，为的中点，与交于点.若边固定，当变动时， （1）证明：动点在定圆上； （2）设（1）中的定圆的圆心为，当时，与圆的另一个交点为，试求的面积. 21. 已知函数 （1）当时，若函数图象与轴有三个不同的交点，求实数的取值范围； （2）当时，若对任意的均有成立，求实数的取值范围. 22. 已知二次函数的图像经过点，且顶点到轴的距离为. （1）求此二次函数的解析式； （2）当二次函数的图像开口向上时，如图所示，设图像与轴的交点为，与轴的交点为C，直线与轴交于点D，与BC交于点F，与抛物线的一个交点为E（E在BC的下方）.记的面积为的面积为，当取最大值时，求； （3）在（2）的条件下，过点E作对称轴的垂线，垂足为点G，则在抛物线上是否存在点P，使得的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $