精品解析：2025-2026学年北师大版数学八年级上册期末练习（3）

2025-2026北师大版数学八年级上册期末练习（3） 满分120分 时间120分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列数不是有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的定义；根据有理数的定义逐一判断选项即可. 【详解】解：有理数包括整数、有限小数和无限循环小数， A、π是无限不循环小数，不是有理数，故A符合题意； B、是分数，是有理数，故B不符合题意； C、是整数，是有理数，故C不符合题意； D、0.23是有限小数，是有理数，故D不符合题意； 故选：A. 2. 下列几组数，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理， 根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两较小边的平方和等于最大边的平方，则该三角形为直角三角形；否则不是. 【详解】对于每个选项，检查是否满足勾股定理： ∵ 选项A：最大边为13，能作为直角三角形三边长. ∵ 选项B：最大边为4，，不能作为直角三角形三边长. ∵ 选项C：最大边为5，，能作为直角三角形三边长. ∵ 选项D：最大边为25，，能作为直角三角形三边长. 因此，不能作为直角三角形三边长的是B． 故选：B． 3. 如果电影票上的“3排1号”记作，那么表示（ ） A. 3排5号 B. 5排3号 C. 4排3号 D. 3排4号 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了有序数对的实际应用，根据“3排1号”记作求解即可． 【详解】解：“3排1号”记作， 表示4排3号． 故选：C． 4. 如果是的立方根，那么的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，求一个数的算术平方根等知识点，牢记立方根和算术平方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义求出，再根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：是的立方根， ， 的算术平方根是， 故选：． 5. 已知方程组的解为，则直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点在平面直角坐标系中位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】要求两直线的交点，就是联立解析式构成的方程组的解． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点坐标为（3，﹣1）， ∵x＝3＞0，y＝﹣1＜0， ∴交点在第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查两直线交点坐标问题，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系，本题属于基础题型． 6. 如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b（　　） A. ∠2=∠4 B. ∠1+∠4=180° C. ∠5=∠4 D. ∠1=∠3 【答案】D 【解析】 【分析】根据同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行，进行判断即可． 【详解】由∠2=∠4或∠1+∠4=180°或∠5=∠4，可得a∥b； 由∠1=∠3，不能得到a∥b， 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟记平行线的判定方法是解题的关键．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角． 7. 南山区博物馆五位小讲解员的年龄分别为10，12，12，13，15（单位：岁），则三年后这五位小讲解员的年龄数据中一定不会改变的是（ ） A. 方差 B. 众数 C. 中位数 D. 平均数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数以及方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．众数是一组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：∵南山区博物馆五位小讲解员的年龄分别为10，12，12，13，15， ∴三年后这五位小讲解员的年龄为13，15，15，16，18， ∴会改变的是平均数、众数和中位数，不会改变的是方差． 故选：A． 8. 甲、乙二人分别从相距的，两地出发，相向而行．如图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组正确的是  （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据路程速度时间结合两次运动的情形，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设甲的速度是，乙的速度是， 根据题意所列的方程组为：， 故选：D． 9. 如图，从点发出一束光，经轴反射，过点，则这束光从点到点所经过的路径的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理求两点坐标；根据题意作关于轴的对称点，则这束光从点到点所经过的路径的长为，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，作关于轴的对称点，则， ∴这束光从点到点所经过的路径的长为 ∵，， ∴， 故选：C． 10. 甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶，并且甲车途中休息了，如图是甲、乙两车行驶的距离与时间的函数图象，有以下结论： ①； ②； ③甲车从A地到B地共用了7小时； ④当两车相距时，乙车用时为．其中正确结论的个数是（ ）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】①由函数图象中的信息求出m的值； ②根据“路程时间速度”求出甲的速度，并求出a的值； ③求出甲车行驶的路程y与时间x之间的解析式解答； ④根据甲、乙两车行驶的路程y与时间x之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求出其解即可． 【详解】解：由题意，得，故①结论正确； ，则，故②结论正确； 设甲车休息之后行驶路程与时间函数关系式为， 由题意，得：， 解得， 当时，， 解得：， 甲车从A地到B地共用了7小时，故③结论正确； 当时，． 设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为， 由题意得：， 解得， ． 当时， 解得：， 当时， 解得：， ，， 所以乙车行驶小时或小时，两车恰好相距，故④结论错误． 正确结论的个数是3个． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，分析出每段函数图像所代表的含义是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在数，，，，，， 中，无理数共有__________个． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开方开不尽才是无理数，无限不循环小数为无理数．根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：在数，，，，，， 中， 无理数有：，，共2个， 故答案为：2． 12. 已知一次函数的图象平行于，则k的值是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意可得，故可求解． 本题考查了两直线平行的问题，根据平行直线解析式的k值相等是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象平行于， ∴， ∴， 故答案为：8． 13. 对于两个实数，（其中），定义一种新运算：，如：，那么______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数运算，结合已知条件列出正确的算式是解题关键． 根据题意列式后利用二次根式运算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 14. 已知点M(m,n)与点N(－2,－3)关于x轴对称，则m＋n＝__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标变为相反数，据此求解． 【详解】由题意得，，， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查关于x轴对称的点的坐标，关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 15. 如图，在中，，，，点D在边上，把沿直线折叠，使得点B的对应点落在的延长线上，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的折叠问题，由勾股定理得，由折叠得，，可求出，设，则， 在中由勾股定理得，解得，即可求出． 【详解】解：在中，，，， ∴ 由折叠得，，， ∴ 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴． 故答案为：3． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16. （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则和解二元一次方程组的一般方法，是解题的关键． （1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式混合运算法则，绝对值意义，进行求解即可； （2）先将原方程组进行化简，然后用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： ；  （2）解：， 方程组整理得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 则方程组的解为． 17. 先化简，再求值：，其中 【答案】；． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键； 根据题意，先化简式子，再将代入求解即可； 【详解】解： 当时，原式 18. 如图所示，在平面直角坐标系中，，，． （1）画出关于轴的对称图形； （2）写出点，，的坐标； （3）计算的面积． 【答案】（1）见解析 （2），， （3）8 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中关于轴对称的图形．解题的关键是熟练掌握关于轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数，利用割补法求三角形的面积． （1）先在平面直角坐标系中描出点、、关于轴的对称点，，，再依次连接即可； （2）由图即可得，，的坐标； （3）利用割补法求面积即可． 【小问1详解】 解：如图所示：为所求； 小问2详解】 解：由图可知：，，； 【小问3详解】 解：． 19. 老师记录了全班名学生跳绳的次数： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． （1）求全班学生跳绳次数的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值． （2）老师绘制了如图所示的统计图，这种图称为          ，其中           ，           ，           ． （3）如图，中间的“箱子”被分成了两部分，其中“下半截箱子”比较短，这说明什么？ （4）请你估计一下，全班学生跳绳次数的平均数和中位数哪个大？你是怎么估计的？ （5）若将数据改为，则的值          ，的值          ，的值          填“不变”“变小”“变大”或“不确定” 【答案】（1）全班学生跳绳次数的最小值为，，，，最大值为 （2）箱线图；；； （3）答案不唯一，见解析 （4）答案不唯一，见解析 （5）不变；不变；不变 【解析】 【分析】本题考查四分位数，箱线图； （1）根据四分位数的定义求解即可； （2）根据箱线图的画法即可求解； （3）“下半截箱子”比较短，说明下四分位数到中位数之间的数据范围小，数据更集中，能说明的具体内容合理即可，答案不唯一； （4）平均数可看箱线图上下半截的长短和距离最大数据、最小数据的距离来估算，估算方法只要合理即可，答案不唯一； （5）四分位数是将有序数据分为四等份的三个分割点，其计算是基于数据的相对位置，只要改变的数据仍位于数据范围的同一四分位内（不包括分割点），四分位数会保持稳定. 【小问1详解】 解：∵原数据已经按从小到大排列好了， ∴最小值为，最大值为， ∵， 又∵第10个、第11个数据分别为，， ∴下四分位数， ∵， 又∵第20个、第21个数据分别为，， ∴中位数， ∵， 又∵第30个、第31个数据分别为，， ∴上四分位数， 故答案为：全班学生跳绳次数的最小值为，，，，最大值为. 【小问2详解】 解：这种图称为箱线图，其中，，分别对应上四分位数、中位数、下四分位数，即，，. 故答案为：箱线图；144；136；132. 【小问3详解】 解：“下半截箱子”比较短，说明下四分位数到中位数之间的数据范围小，数据更集中， ∴可以说明跳绳成绩在132到136之间的学生成绩差距较小（答案不唯一）. 【小问4详解】 解：∵“下半截箱子”比较短，箱子底部到最小值的距离比顶部到最大值的距离短，说明中位数后的数据多数值较大， ∴平均数中位数. 小问5详解】 解：∵，，分别对应上四分位数、中位数、下四分位数，四分位数是将有序数据分为四等份的三个分割点，其计算是基于数据的相对位置， ∴只要改变的数据仍位于数据范围的同一四分位内（不包括分割点），四分位数会保持稳定， ∵数据改为，其仍为最大值， ∴的值不变，的值不变，的值不变. 故答案为：不变；不变；不变. 20. 如图，已知，，.证明：. 【答案】见解析 【解析】 【分析】首先易证，得到，然后根据证明，最后由，即可证明. 【详解】∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，图形相对较复杂，但方法明确，即证明同位角、内错角相等或同旁内角互补． 21. 一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表： 第一次 第二次 甲种货车的辆数 乙种货车的辆数 累计运货的吨数 （1）现租用该公司辆甲种货车及辆乙种货车一次刚好运完这批货物，如果按每吨付运费元计算，货主应付运费多少元？ （2）能否租用这两种货车一次恰好运走吨货物(不超载也不少运)？若能，请说出有哪几种装运方案？若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）能租用这两种货车一次恰好运走吨货物，一共有种装运方案：租用甲种货车辆，乙种货车辆或租用甲种货车辆，乙种货车辆或租用甲种货车辆，乙种货车辆． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程和二元一次方程组的应用； （1）设甲种货车每辆运货吨，乙种货车每辆运货吨，根据表格列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设租用甲种货车辆，乙种货车辆恰好运走吨货物，可得，求出方程的正整数解即可． 【小问1详解】 解：设甲种货车每辆运货吨，乙种货车每辆运货吨， 根据表格可得：， 解得， 甲种货车每辆运货吨，乙种货车每辆运货吨， 现租用该公司辆甲种货车及辆乙种货车一次刚好运完这批货物， 这批货物有吨， 元， 货主应付运费元； 【小问2详解】 能租用这两种货车一次恰好运走吨货物，理由如下： 设租用甲种货车辆，乙种货车辆恰好运走吨货物， ， ， 当时，； 当时，； 当时，； 一共有种装运方案：租用甲种货车辆，乙种货车辆或租用甲种货车辆，乙种货车辆或租用甲种货车辆，乙种货车辆． 22. 如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线:与直线：交于点，与x轴分别交于点和点C．点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． （1）直线的函数表达式． （2）当点D在线段上，点E落在y轴上时，求点E的坐标． （3）若为直角三角形，求点D的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点A作轴于M，轴于N，则，由折叠得，利用勾股定理列得，代入计算即可得到的长，由此得到答案； （3）分两种情况：①当时，过A作轴于G，得到，从而得到答案；当时，由折叠得，，设，则，利用勾股定理得到，求出m，再求OD即可得到答案． 【小问1详解】 解：将代入直线中， 解得， ∴直线的解析式为， 将点A的坐标代入，得， ∴， 将点A的坐标代入直线中， 解得， ∴直线解析式为： 【小问2详解】 （3）过点A作轴于M，轴于N，则， 由折叠得， ∴， ∴， 解得（负值已舍去）， 又E在y轴负半轴， ∴； 【小问3详解】 分两种情况： ①当时，如图， 由折叠得， ， 过A作轴于G， ， ， ， ∴； ②当时，如图， 由折叠得，， ∴， 由A、B两点坐标可得：， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上，或． 【点睛】此题考查一次函数综合知识，待定系数法求函数解析式，折叠的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟记各知识点并综合运用是解题的关键． 23. 在中，，，是边所在直线上与点，不重合的两点． （1）如图，当，时，写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； （2）如图，当，时，已知，，求线段的长； （3）如图，当，时，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见解析 （2）7 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）将绕点逆时针旋转得到，连接，证明，得出，根据勾股定理，即可得出答案； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于点，根据旋转的性质得出，，，，证明，，再根据勾股定理求出结果即可； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转得出，，，，，证明，得出，根据勾股定理得出答案即可． 【小问1详解】 解：结论：．理由如下： 将绕点逆时针旋转得到，连接，如图所示： ，，，， ，， ∴， ， ， ，， ， ， 又，， ， ， ，  即． 【小问2详解】 解：将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于点，如图所示， ，， ， 根据旋转可得：，，，， ， ， ， 又，， ， ， 在中，，， ， ， ，  ， 在中，， ∴（负值舍去）， ． 【小问3详解】 解：结论：．理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ，， ∴， 根据旋转可得：，，，，， ， ， ， ∵，， ∴， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026北师大版数学八年级上册期末练习（3） 满分120分 时间120分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列数不是有理数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几组数，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如果电影票上的“3排1号”记作，那么表示（ ） A 3排5号 B. 5排3号 C. 4排3号 D. 3排4号 4. 如果是的立方根，那么的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 5. 已知方程组解为，则直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点在平面直角坐标系中位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b（　　） A. ∠2=∠4 B. ∠1+∠4=180° C. ∠5=∠4 D. ∠1=∠3 7. 南山区博物馆五位小讲解员的年龄分别为10，12，12，13，15（单位：岁），则三年后这五位小讲解员的年龄数据中一定不会改变的是（ ） A 方差 B. 众数 C. 中位数 D. 平均数 8. 甲、乙二人分别从相距的，两地出发，相向而行．如图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组正确的是  （ ） A. B. C. D. 9. 如图，从点发出一束光，经轴反射，过点，则这束光从点到点所经过的路径的长为（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶，并且甲车途中休息了，如图是甲、乙两车行驶的距离与时间的函数图象，有以下结论： ①； ②； ③甲车从A地到B地共用了7小时； ④当两车相距时，乙车用时为．其中正确结论的个数是（ ）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在数，，，，，， 中，无理数共有__________个． 12. 已知一次函数的图象平行于，则k的值是______． 13. 对于两个实数，（其中），定义一种新运算：，如：，那么______________． 14. 已知点M(m,n)与点N(－2,－3)关于x轴对称，则m＋n＝__________． 15. 如图，在中，，，，点D在边上，把沿直线折叠，使得点B的对应点落在的延长线上，则______． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16. （1）计算：； （2）解方程组：． 17. 先化简，再求值：，其中 18. 如图所示，在平面直角坐标系中，，，． （1）画出关于轴的对称图形； （2）写出点，，的坐标； （3）计算的面积． 19. 老师记录了全班名学生跳绳的次数： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． （1）求全班学生跳绳次数的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值． （2）老师绘制了如图所示的统计图，这种图称为          ，其中           ，           ，           ． （3）如图，中间的“箱子”被分成了两部分，其中“下半截箱子”比较短，这说明什么？ （4）请你估计一下，全班学生跳绳次数的平均数和中位数哪个大？你是怎么估计的？ （5）若将数据改为，则的值          ，的值          ，的值          填“不变”“变小”“变大”或“不确定” 20. 如图，已知，，.证明：. 21. 一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表： 第一次 第二次 甲种货车的辆数 乙种货车的辆数 累计运货的吨数 （1）现租用该公司辆甲种货车及辆乙种货车一次刚好运完这批货物，如果按每吨付运费元计算，货主应付运费多少元？ （2）能否租用这两种货车一次恰好运走吨货物(不超载也不少运)？若能，请说出有哪几种装运方案？若不能，请说明理由． 22. 如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线:与直线：交于点，与x轴分别交于点和点C．点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． （1）直线的函数表达式． （2）当点D在线段上，点E落在y轴上时，求点E坐标． （3）若为直角三角形，求点D的坐标． 23. 在中，，，是边所在直线上与点，不重合的两点． （1）如图，当，时，写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； （2）如图，当，时，已知，，求线段的长； （3）如图，当，时，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $