第7章 习题课4 天体运动（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中物理必修第二册（人教版）

本讲义聚焦天体运动核心知识点，系统梳理赤道物体、同步卫星与近地卫星的比较，人造卫星变轨问题分析，以及双星、三星及拉格朗日点模型，构建从基础模型到复杂系统的递进学习支架。 资料通过对比辨析三类卫星的向心力来源与运动参量，结合变轨问题的动态推理和双星模型的定量论证，培养学生物理观念与科学思维。例题变式结合核心素养总结，课中辅助教师突破难点，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

习题课四　天体运动 [学业要求] 1．掌握解决天体运动问题的模型及思路。 2．掌握人造卫星的变轨问题的分析方法。 3．会分析双星问题。 [对应学生用书P69] 探究点一　赤道上的物体、同步卫星和近地卫星的比较 1．相同点 (1)都以地心为圆心做匀速圆周运动。 (2)同步卫星与赤道上的物体具有相同的周期和角速度。 2．不同点 (1)同步卫星、近地卫星均由万有引力提供向心力；而赤道上的物体是万有引力的一个分力提供向心力。 (2)三者的向心加速度各不相同。近地卫星的向心加速度a＝，同步卫星的向心加速度可用a＝或a＝rω2求解，而赤道上物体的向心加速度只可用a＝Rω2求解。 (3)三者的线速度大小也各不相同。近地卫星v＝ ＝，同步卫星v＝ ＝r·ω，而赤道上的物体v＝R·ω。 　有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道表面随地球一起转动，b在地面附近的轨道上正常运动，c是地球同步静止卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．b在相同时间内转过的弧长最长 B．c在4 h内转过的圆心角是 C．a的向心加速度等于重力加速度g D．d的运动周期有可能是20 h [解析]　根据G＝m得v＝，由于rb＜rc＜rd，则vb＞vc＞vd，a、c的角速度相等，根据v＝rω知，c的线速度大于a的线速度，所以b的线速度最大，则相同时间内转过的弧长最长，故A正确；c为同步卫星，周期为24 h，4 h内转过的圆心角θ＝×2π＝，故B错误；a受万有引力和支持力作用，由两个力的合力提供向心力，向心加速度小于重力加速度g，故C错误；根据G＝mr，可得T＝ ，d的轨道半径大于c的轨道半径，则d的周期大于c的周期，可知d的周期一定大于24 h，故D错误。 [答案]　A 　在例题中，下列关于四颗卫星的说法正确的是(　　) A．同一物体在卫星b中对支持物的压力比在卫星c中大 B．b卫星与地心连线在单位时间扫过的面积等于c卫星与地心连线在单位时间扫过的面积 C.b、c卫星轨道半径的三次方与运行周期平方之比相等 D．a卫星的运行周期等于d卫星的运行周期 解析　因为围绕地球做匀速圆周运动的卫星内的物体都处于完全失重状态，所以物体对支持物的压力都是0，A错误；根据牛顿第二定律得G＝m，v＝，卫星与地心连线单位时间扫过的面积为S＝vr，联立解得S＝，两卫星转动半径不同，所以在单位时间内扫过的面积不同，B错误；根据开普勒第三定律，b、c卫星轨道半径的三次方与周期平方之比相等，C正确；c为地球同步卫星，所以a卫星的运行周期与c卫星周期相同，根据周期与半径的关系T＝2π 可知，c卫星周期小于d卫星的运行周期，所以a卫星的运行周期小于d卫星的运行周期，D错误。 答案　C 1．(多选)关于近地卫星、同步卫星、赤道上的物体，以下说法正确的是(　　) A．都有万有引力等于向心力 B．赤道上的物体和同步卫星的周期、线速度、角速度都相等 C．赤道上的物体和近地卫星的轨道半径相同但线速度、周期不同 D．同步卫星的周期大于近地卫星的周期 解析　赤道上的物体是由万有引力的一个分力提供向心力，A项错误；赤道上的物体和同步卫星有相同周期和角速度，但线速度不同，B项错误；同步卫星和近地卫星有相同的中心天体，根据＝m＝mr得v＝ ，T＝2π，由于r同＞r近，故v同＜v近，T同＞T近，D项正确；赤道上物体、近地卫星、同步卫星三者间的周期关系为T赤＝T同＞T近，根据v＝ωr可知v赤＜v同，则速度关系为v赤＜v同＜v近，故C项正确。 答案　CD 探究点二　人造卫星的变轨问题 卫星变轨时，先是线速度v发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r发生变化。 (1)当卫星减速时，卫星所需的向心力Fn＝m减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做近心运动，向低轨道变迁。 (2)当卫星加速时，卫星所需的向心力Fn＝m增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变迁。 　如图为两颗人造卫星绕地球运动的轨道示意图，Ⅰ为圆轨道，Ⅱ为椭圆轨道，AB为椭圆的长轴，两轨道和地心都在同一平面内，C、D为两轨道交点，O点为地球球心。已知轨道Ⅱ上的卫星运动到C点时速度方向与AB平行(说明Ⅱ的半长轴和Ⅰ的半径相等)，则下列说法正确的是(　　) A．两个轨道上的卫星运动到C点时的加速度不相同 B．两个轨道上的卫星运动到C点时的向心加速度大小相等 C．若卫星在Ⅰ轨道的速率为v1，卫星在Ⅱ轨道B点的速率为v2，则v1＜v2 D．两颗卫星的运动周期相同 [解析]　两个轨道上的卫星运动到C点时，所受的万有引力相等，根据牛顿第二定律知，加速度相同，故A错误；两个轨道上C点的速度不等，根据a＝，可知向心加速度大小不等，故B错误；B为椭圆轨道的远地点，速度比较小，v1表示做匀速圆周运动的速度，所以v1>v2，故C错误；根据几何关系知，椭圆的半长轴与圆轨道的半径相同，根据开普勒第三定律知，两颗卫星的运动周期相等，故D正确。 [答案]　D 　(多选)在例题中，曲线Ⅰ是一颗绕地球做圆周运动卫星轨道的示意图，其半径为R；曲线Ⅱ是一颗绕地球椭圆运动卫星轨道的示意图，O点为地球球心，AB为椭圆的长轴，两轨道和地心都在同一平面内，已知在两轨道上运动的卫星的周期相等，万有引力常量为G，地球质量为M，下列说法正确的是(　　) A．卫星在Ⅱ轨道上由A点运动到B点的过程中，速率在不断增大 B．卫星在Ⅰ轨道的速率为v0，卫星在Ⅱ轨道A点的速率为vA，则v0＞vA C．若OA＝0.5R，则卫星在A点的速率vA＞ D．卫星在Ⅰ轨道上的加速度大小为a0，卫星在Ⅱ轨道上B点加速度大小为aB，则有a0>aB 解析　卫星在Ⅱ轨道上由A点运动到B点的过程中，万有引力做负功，动能不断减小，速率在不断减小，A错误；卫星在半径为r 的圆形轨道上线速度为v，G＝m 得v＝，卫星在Ⅰ轨道的速率为v0，设过A点某卫星圆形轨道上，卫星的速率为vA′，得vA′>v0，卫星在Ⅱ轨道A点的速率为vA，得vA>vA′，则vA>v0，B错误；若OA＝0.5R，则卫星在过A点的圆形轨道上速率vA′＝＝，在Ⅱ轨道上由A点做离心运动，得vA>vA′＝，C正确；由牛顿第二定律G＝ma 得a＝，因为卫星在Ⅱ轨道上B点到地心的距离大于Ⅰ轨道的半径，所以a0>aB，D正确。 答案　CD 　(多选)在例题中，曲线Ⅰ是一颗绕地球做圆周运动的同步卫星轨道示意图，曲线Ⅱ是一颗绕地球做椭圆运动卫星轨道的示意图，O点为地球球心，AB为椭圆的长轴，两轨道和地心都在同一平面内。已知在两轨道上运动的卫星的周期相等，设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，下列说法中正确的是(　　) A．同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转获得的速度的倍 B．同步卫星运行速度是第一宇宙速度的 倍 C．卫星在Ⅰ轨道的速率为v0，卫星在Ⅱ轨道B点的速率为vb，则v0＜vb D．卫星在Ⅰ轨道的加速度大小为a0，卫星在Ⅱ轨道A点加速度大小为aA，则a0＜aA 解析　同步卫星与地球赤道上的物体转动的角速度相同，因为地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，根据v＝ωr可知，同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转获得的速度的n倍，选项A错误；根据G＝m可得v＝，因为r＝nR，可知同步卫星运行速度是第一宇宙速度的 倍，选项B正确；若过B点做圆轨道Ⅲ，根据v＝可知在轨道Ⅰ上的速度v0大于在轨道Ⅲ上的速度v3，而在轨道Ⅱ上的B点进入轨道Ⅲ上的B点要加速，可知卫星在Ⅱ轨道B点的速率为vb<v0，选项C错误；根据G＝ma，可得 a＝，卫星在Ⅰ轨道的加速度大小为a0小于卫星在Ⅱ轨道A点加速度大小为aA，则选项D正确。 答案　BD ●核心素养·思维升华 判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路 (1)判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析。 (2)判断卫星的加速度大小时，可根据a＝＝G判断。 2．数千年以来，人类不断探索着未知而又神秘的宇宙。如果航天器登陆某星球(可视为质量分布均匀的球体)，着陆后用测力计测得质量为m的砝码重力为F，已知该星球的半径为R，引力常量为G。忽略星球自转的影响，由此推算的结果正确的是(　　) A．航天器在该星球表面附近做匀速圆周运动的周期为 B．该星球的第一宇宙速度为 C．该星球表面的重力加速度为 D．该星球的质量为 解析　由重力与质量的关系可知g＝，选项C错误；忽略星球自转的影响时G＝F，航天器做匀速圆周运动G＝m＝mR，联立解得T＝，M＝，v1＝，选项A、D错误，B正确。 答案　B 探究点三　双星或三星问题 1．双星模型 (1)如图所示，宇宙中相距较近的两个星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做匀速圆周运动，这种结构叫作“双星”。 (2)双星模型的特点 ①两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点。 ②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。对m1：G＝m1ω2r1；对m2：G＝m2ω2r2。 ③两星的运动周期、角速度都相同。 (3)两星的运动半径之和等于它们之间的距离，即r1＋r2＝L。 2．“三星”模型 (1)如图所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡。转动的行星由其余两颗行星的万有引力提供向心力：＋＝ma。两颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 (2)如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供。 ×2×cos 30°＝ma，其中L＝2rcos 30°。三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 　宇宙中两颗相距较近的天体称为双星，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因相互之间的引力作用吸引到一起。设两者相距为L，质量分别为m1和m2。 (1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比； (2)试写出它们角速度的表达式。 [解析]　双星之间相互作用的引力满足万有引力定律，即F＝G，双星依靠它们之间相互作用的引力提供向心力，又因为它们以二者连线上的某点为圆心，所以半径之和为L且保持不变，运动中角速度不变，如图所示。 (1)分别对m1、m2应用牛顿第二定律列方程， 对m1有G＝m1ω2r1① 对m2有G＝m2ω2r2② 由①②得＝。 由线速度与角速度的关系v＝ωr，得＝＝。 (2)由G＝m1ω2r1 得ω＝ ＝ ③ 又由G＝m2ω2r2 得r2＝G④ 由③④得ω＝。 [答案]　见解析 　在例题中，下列说法正确的是(　　) A．m1一定小于m2 B．轨道半径为r1的星球线速度更大 C．若双星的质量一定，双星间距离越大，其转动周期越大 D．只要测得双星之间的距离L和双星周期T，即可计算出某一颗星的质量 解析　根据G＝m1ω2r1＝m2ω2r2，因r1<r2，则m1>m2，选项A错误；根据v＝ωr可知轨道半径为r1的星球线速度更小，选项B错误；根据G＝m1r1＝m2r2，得T＝2π，可知若双星的质量一定，双星间距离越大，其转动周期越大，选项C正确；由T＝2π可知，只要测得双星之间的距离L和双星周期T，即可计算出两星的质量之和，选项D错误。 答案　C 　(多选)在例题中，可以想象如果不停将m2星球上的资源源源不断的运回m1星球，导致m2减少，m1增加。假设在一定时间内两星球总质量不变，两星球的间距也不变。则下列说法正确的是(　　) A．两星球间的万有引力不变 B．两星球圆周运动的周期不变 C．m2做匀速圆周运动的轨道半径变大 D．m1做匀速圆周运动的轨道半径变大 答案　BC ●核心素养·思维升华 解决双星问题的基本思路 (1)明确两星做匀速圆周运动的圆心、半径、向心力来源。 (2)由牛顿运动定律分别对两星列向心力方程。 (3)利用两星运动的特点，构建两星的角速度(或周期)、半径、向心力之间的关系方程。 (4)万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离L，而不是轨道半径(双星中两颗星的轨道半径一般不同)。 　(2024·重庆卷)在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体(图中未画出)质量为m(m≪M)，若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则(　　) A．c的线速度大小为a的倍 B．c的向心加速度大小为b的一半 C．c在一个周期内的路程为2πr D．c的角速度大小为 [解析]　a、b、c三个天体角速度相同，由于m≪M，则对a天体有G＝Mω2r，解得ω＝，故D错误；设c和a、b的连线与a、b连线中垂线的夹角为α，对c天体有2Gcos α＝mω2，解得α＝30°，则c的轨道半径为rc＝＝r，由v＝ωr，可知c的线速度大小为a的倍，故A正确；由a＝ω2r，可知c的向心加速度大小是b的倍，故B错误；c在一个周期内运动的路程为s＝2πr＝2πr，故C错误。 [答案]　A 3．(多选)根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　) A．质量之积 B．质量之和 C．速率之和 D．各自的自转角速度 解析　由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T＝ s，两中子星的角速度均为ω＝，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，速率分别为v1、v2，则有：G＝m1ω2r1、G＝m2ω2r2，又r1＋r2＝L＝400 km，解得m1＋m2＝，A错误，B正确；又由v1＝ωr1、v2＝ωr2，则v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωL，C正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D错误。 答案　BC 探究点四　拉格朗日点问题 　拉格朗日点是指在两个天体围绕公共的引力中心运动时，存在一些稳定的点，在这些点处，小物体在两个天体的引力作用下可以与两个天体基本保持相对静止。 　(2025·重庆期末)如图所示，航天器c位于日地系统中拉格朗日点L1处，与太阳a、地球b构成稳定的等边三角形，大圆为地球绕太阳中心做匀速圆周运动的轨迹。实际上，a、b、c是一个“三星”系统，由于航天器的质量远小于天体的质量，a、b、c绕着a、b构成的“双星”连线中的O点转动。忽略其他天体的影响，则(　　) A．c的周期大于b的周期 B．c的向心加速度等于b的向心加速度 C．c的向心力指向太阳中心 D．c的线速度大于b的线速度 [解析]　在“三星”系统中，由于航天器与太阳a、地球b构成稳定的等边三角形，则三者圆周运动的角速度大小ω相等。航天器质量远小于天体质量，在太阳与地球构成的“双星”系统中，二者之间的万有引力大小相等，因为地球质量小于太阳质量，则地球环绕半径小于太阳环绕半径，O点更靠近太阳，“三星”系统中，三者的半径分别为Oa、Ob、Oc，根据几何关系可知Oc>Ob>Oa；根据圆周运动规律可知周期T＝，三者角速度大小相等，所以周期也相等，故A错误；根据a＝ω2r，因为c的环绕半径大于b的环绕半径，所以c的向心加速度大于b的向心加速度，故B错误；三星系统中c的向心力指向圆周运动的中心O点，故C错误；线速度v＝ωr，因为c的环绕半径大于b的环绕半径，所以c的线速度大于b的向心加速度，故D正确。 [答案]　D 4．在两个大物体引力场空间中存在着一些点，在这些点处的小物体可相对于两个大物体基本保持静止，这些点称为拉格朗日点，比如图中的点L1、L2，卫星在这些点可以几乎不消粍燃料就能与月球同步绕地球做圆周运动。则关于处于拉格朗日点L1和L2上的两颗卫星，下列说法正确的是(　　) A.处于L2点的卫星绕地球做圆周运动的向心加速度较大 B．两卫星绕地球做圆周运动的线速度相等 C．处于L1点的卫星绕地球做圆周运动的角速度较大 D．两卫星绕地球做圆周运动的向心力相等 解析　由题意可知，卫星在这些点可以几乎不消耗燃料就能与月球同步绕地球做圆周运动，两卫星围绕地球运动的周期相同，由向心力公式F＝mr可知，运动半径越大，向心力越大，因为r2大于r1，由于两颗卫星的质量大小关系未知，故无法比较两颗卫星的向心力大小；卫星绕地球做圆周运动的向心加速度为a＝rω2，又因为r2大于r1，处于L2点的卫星绕地球做圆周运动的向心加速度较大，故A正确，D错误；两卫星围绕地球运动的周期相同，由v＝r，又因为r2大于r1，故处于L2点的卫星绕地球做圆周运动的线速度较大，故B错误；由题意可知，卫星在这些点可以几乎不消耗燃料与月球同步绕地球做圆周运动，两卫星围绕地球运动的周期相同，则两卫星围绕地球运动的角速度相同，故C错误。 答案　A [对应学生用书P73] 1．如图所示，同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 解析　地球同步卫星：轨道半径为r，运行速率为v1，加速度为a1；地球赤道上的物体：轨道半径为R，随地球自转的向心加速度为a2；以第一宇宙速度运行的卫星为近地卫星，其轨道半径为R。对于卫星，其共同特点是万有引力提供向心力，则G＝m，故＝。对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同特点是角速度相等，则a＝ω2r，故＝。 答案　A 2．截止到2023年，嫦娥五号探测器已取得多项科研成果。已知地球质量为月球质量的k倍，地球半径R为月球半径的p倍，地球表面的重力加速度为g，则嫦娥五号探测器在近月圆形轨道的线速度大小约为(　　) A. 　 B. C. 　 D. 解析　在地球表面飞行的卫星由万有引力提供向心力，有G＝，G＝mg，联立可得v＝＝。由上述分析可知，卫星在月球表面与地球表面运行时的线速度之比为＝＝，故v月＝v＝，故选项B正确。 答案　B 3．(2023·湖北卷)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出(　　) A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8 B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大 C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4 D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前 解析　火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为3∶2，根据开普勒第三定律有＝ 可得＝＝，故A错误； 火星和地球绕太阳匀速圆周运动，速度大小均不变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度方向相反，故此时两者相对速度最大，故B正确； 在星球表面根据万有引力定律有G＝mg 由于不知道火星和地球的质量比，故无法得出火星和地球表面的自由落体加速度，故C错误； 设经过时间t会再次出现“火星冲日”，地球比火星多运动一周，则－＝1，所以t＝年>2年，D错误。 答案　B 4．如图所示，两个星球A、B组成双星系统，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。已知A、B星球质量分别为mA、mB，引力常量为G，求(其中L为两星中心距离，T为两星的运动周期)。 解析　设A、B两个星球做圆周运动的半径分别为rA、rB，则rA＋rB＝L，对星球A：G＝mArA，对星球B：G＝mBrB，联立以上三式求得＝。 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $