第7章 3 万有引力理论的成就（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中物理必修第二册（人教版）

本讲义聚焦万有引力理论的成就这一核心知识点，系统梳理从地球质量计算（基于地表重力与万有引力关系）到天体质量计算（环绕天体向心力由万有引力提供），再到天体密度计算及运动参量分析的递进式学习路径，构建完整知识脉络。 该资料以核心素养为导向，通过“概念·规律”模块帮助学生形成运动与相互作用观念，“探究点”设置问题链引导科学推理与模型建构，结合高考真题例题强化科学论证能力。课中辅助教师突破重难点，课后通过多样化题型助学生查漏补缺，提升知识应用能力。

3　万有引力理论的成就 [学业要求] 1．了解万有引力定律在天文学上的重要应用。 2．理解“计算天体质量”的基本思路。 3．掌握运用万有引力定律和圆周运动知识分析天体运动问题的思路。 [对应学生用书P60] 一、“称量”地球的质量 阅读教材，并回答： 推导出地球质量的表达式，说明卡文迪什为什么能把自己的实验说成是“称量地球的重量”？ 答：推导：mg＝G，M＝。因为他测出了引力常量的值。 [概念·规律] 1．思路 地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝__G__。 2．结论 m地＝____，地面的重力加速度g和地球半径R在卡文迪什之前就已知道，一旦测得__引力常量G__，就可以算出地球的质量m地。因此，卡文迪什把他自己的实验说成是“称量地球的重量”。 二、计算天体的质量 阅读教材，并回答： 1．行星绕太阳做什么运动？通常情况下可以建立怎样的运动模型？ 答：椭圆运动，匀速圆周运动。 2．行星绕太阳做圆周运动的向心力是由什么力提供的？ 答：万有引力。 3．应用万有引力定律求解天体质量的基本思路是什么？ 答：G 4．应用此方法能否求出环绕天体的质量？ 答：不能。 [概念·规律] 1．太阳质量的计算 (1)思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G＝__m__。 (2)结论：m太＝____，只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r就可以计算出太阳的质量。 2．行星质量的计算 同理，若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r，可计算行星的质量m行，m行＝____。 (1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力。(　　) (2)若只知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量。(　　) (3)牛顿被称作第一个称出地球质量的人。(　　) (4)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量。(　　) (5)海王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ [对应学生用书P61] 探究点一　天体质量和密度的计算 [交流讨论] 知道天体质量M后，若已知天体半径R，由M＝ρV 和球的体积公式V＝πR3 可求天体平均的密度。试推导出天体密度的几种表达式。 (1)由天体表面的重力加速度g和半径R，求此天体的密度。 答：由mg＝和M＝ρ·πR3，得ρ＝。 (2) 若天体的某个行星(或卫星)的轨道半径为r，运行周期为T，中心天体的半径为R，求此天体的密度。 答：由G＝mr和M＝ρ·πR3，得ρ＝。 (3)注意 R、r的意义不同，一般地R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径，若绕近地轨道运行，则有R＝r，此时求此天体的密度。 答：ρ＝。 [归纳总结] 1．借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下： 万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明 G＝m M＝ r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期 G＝mrω2 M＝ G＝mr M＝ 2．天体密度的计算 若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝，将M＝代入上式可得ρ＝。 特殊情况：当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝。 　若空间站绕地球的运动可视为匀速圆周运动，已知引力常量G，则由下列物理量可以计算出地球质量的是(　　) A．空间站的质量和绕地球运行的半径 B．空间站的质量和绕地球运行的周期 C．空间站绕地球运行的角速度和周期 D．空间站绕地球运行的线速度和角速度 [解析]　已知空间站绕地球运行的线速度v 和角速度ω，可得空间站绕地球运行的半径为r＝，空间站绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得G＝m，解得M＝＝＝，D正确；根据万有引力提供向心力G＝m＝mω2r，可得M＝＝，与空间站的质量无关，只知道空间站绕地球运行的半径或只知道周期，求不出地球的质量，A、B错误；根据角速度和周期的关系T＝，根据万有引力提供向心力G＝mω2r＝mr，可得M＝＝，不知道空间站绕地球运行的半径，求不出地球的质量，C错误。 [答案]　D 　在例题中，若设空间站在距地面高度为h的轨道做匀速圆周运动，环绕周期为T。忽略地球自转，地球视为质量均匀分布的球体，其半径为 R，引力常量为 G。下列说法正确的是(　　) A．根据已知条件无法计算地球的质量 B．地球的密度为ρ＝ C．空间站运行的角速度为ω＝ D．空间站的线速度为v＝ 解析　设地球的质量为M，空间站的质量为m，根据万有引力等于向心力有＝m(R＋h)，可得M＝，故A错误；根据题意可知，地球的体积为V＝πR3，地球的密度为ρ＝＝，故B错误；根据角速度和周期的关系可知，空间站运行的角速度为ω＝，故C正确；根据线速度与周期的关系可知，空间站的线速度为v＝，故D错误。 答案　C 　(多选)在例题中，若最终空间站顺利进入离地约400 km高的预定圆轨道，运行速率约为7.7 km/s，航天员24 h内可以看到16次日出日落。已知万有引力常量G，根据以上信息能估算出(　　) A．地球的半径 B．地球的质量 C．空间站的质量 D．空间站受到的地球引力 解析　空间站的周期为T，距地面的高度为h，质量为m，地球的半径为R，由题意可以求出空间站的运行周期为T＝ h＝1.5 h，由圆周运动线速度公式可得v＝，R＝－h，故A正确；由万有引力提供向心力可知＝m，M＝，故B正确；由题中信息无法求出空间站的质量，也无法求出空间站所受地球的引力，故C、D错误。 答案　AB ●核心素养·思维升华 求解天体质量和密度时的两种常见错误 (1)根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量。 (2)混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如ρ＝误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。 1．(2023·辽宁卷)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为(　　) A．k3 B．k32 C．2 D．2 解析　设月球绕地球运动的轨道半径为r1，地球绕太阳运动的轨道半径为r2，根据G＝mr 可得G＝m月r1 G＝m地r2 其中＝＝，ρ＝ 联立可得＝2 故选D。 答案　D 探究点二　天体运动的分析与计算 1．一个模型 一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动。 2．两条思路 (1)万有引力提供向心力： G＝man ＝m＝mω2r＝mr。 (2)物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力：mg＝G，得gR2＝GM，这表明gR2与GM可以相互替代。该公式通常被称为黄金代换式。 　如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径)。下列说法正确的是(　　) A．a、b的线速度大小之比是∶1 B．a、b的周期之比是1∶2 C．a、b的角速度大小之比是3∶4 D．a、b的向心加速度大小之比是9∶2 [解析]　两卫星均做匀速圆周运动，F万＝Fn，向心力选不同的表达式分别分析。 由＝m得＝＝＝，故A错误；由＝mr得＝＝ ，故B错误；由＝mrω2得＝＝，故C正确；由＝ma得＝＝，故D错误。 [答案]　C ●核心素养·思维升华 天体运动问题解决技巧 (1)比较围绕同一个中心天体做匀速圆周运动的行星或卫星的v、ω、T、an等物理量的大小时，可考虑口诀“越远越慢”(v、ω、T)、“越远越小”(an)。 (2)若已知量或待求量中涉及重力加速度g，则应考虑黄金代换式gR2＝GM的应用。 (3)若已知量或待求量中涉及v(或ω、T、an)，则应考虑从G＝man＝m＝mω2r＝mr中选择公式应用。 2．如图所示，在火星与木星轨道之间有一个小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　) A．太阳对各小行星的引力相同 B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年 C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值 D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值 答案　C [对应学生用书P63] 1．(2024·海南卷)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为(　　) A． B． C． D．(1＋k)3 解析　设月球半径为R，质量为M，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力G＝m·(k＋1)R，月球的体积V＝πR3，月球的平均密度ρ＝，联立可得ρ＝(1＋k)3，故选D。 答案　D 2．(2024·新课标卷)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的(　　) A．0.001倍 B．0.1倍 C．10倍 D．1000倍 解析　＝mr→M＝→＝＝≈0.1，B对。 答案　B 3．(2025·河南卷)2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese12b，它绕其母恒星的运动可视为匀速圆周运动。已知Gliese12b轨道半径约为日地距离的，其母恒星质量约为太阳质量的，则Gliese12b绕其母恒星的运动周期约为(　　) A．13天 B．27天 C．64天 D．128天 解析　地球绕太阳运行的周期约为365天，根据万有引力提供向心力得＝mr0 已知r＝r0，M＝M0， 同理得＝mr 整理得＝ 代入数据得T＝T0≈13天 故选A。 答案　A 4．假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为(　　) A． B． C． D． 解析　在地球两极处，G＝mg0， 在赤道处，G－mg＝mR， m(g0－g)＝m，解得R＝ M＝ ρ＝＝＝， B项正确。 答案　B 学科网（北京）股份有限公司 $