第7章 2 万有引力定律（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中物理必修第二册（人教版）

本高中物理讲义聚焦万有引力定律，以行星运动简化模型为起点，梳理向心力来源分析、引力公式推导过程，通过月地检验验证天体与地面运动统一性，最终落脚于定律普适性及引力常量测定，构建完整知识脉络作为学习支架。 该资料以问题链引导科学推理（如行星引力推导中多步设问），采用挖补法建构球体模型，结合嫦娥六号等高考真题变式，培养科学思维与探究能力。课中助力教师引导学生推导，课后通过练习题与解析帮助学生查漏补缺，强化物理观念应用。

2　万有引力定律 [学业要求] 1．知道太阳与行星间存在引力作用及行星绕太阳运动的向心力是由太阳对它的引力提供。 2．了解万有引力定律的发现过程，理解万有引力定律的内容，会用万有引力定律公式解决有关问题，注意公式的适用条件。 3．知道地球上的重物下落运动与天体运动的统一性。 4．了解引力常量的测定在科学史上的重大意义。 [对应学生用书P54] 一、胡克、牛顿的观点 阅读教材，并回答： 1．胡克的观点是什么？ 答：行星的运动是太阳吸引的缘故，并且力的大小与到太阳距离的平方成反比。 2．牛顿的观点是什么？ 答：以任何方式改变速度(包括改变速度的方向)都需要力。行星沿圆或椭圆运动，需要指向圆心或椭圆焦点的力，这个力就是太阳的引力。 二、行星与太阳间的引力 阅读教材，并回答： 1．行星的实际运动是椭圆运动，能把它简化成什么运动呢？ 答：简化成匀速圆周运动。 2．行星绕太阳做匀速圆周运动需要的向心力由什么力来提供呢？ 这个力的方向怎样？ 答：行星绕太阳做匀速圆周运动需要的向心力由“太阳对行星的引力”来提供，这个力的方向“沿着二者的连线指向太阳”。 3．(1)行星绕太阳做匀速圆周运动需要的向心力由太阳对行星的引力提供的，计算式是什么？ (2)一般的，天文观测容易观测到行星运动的什么物理量？ (3)不同行星的公转周期是不同的，引力F 跟太阳与行星间的距离r 关系的表达式中不应出现周期T，为什么？ (4)在(3)问中，等号右边除了m、r 以外，其余都是常量，对任何行星来说都是相同的，则有F∝，该式有何意义？ 答：(1)F＝m。 (2)观测得到行星公转的周期T相对容易些。 (3)v＝，F＝，根据开普勒第三定律＝k，代入得F＝4π2k·。 (4)太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比。 4．根据牛顿第三定律，类比上式，如何写出行星对太阳的引力的表达式？要得到什么样的结论？ 答：根据牛顿第三定律，就行星对太阳的引力F′ 来说，太阳是受力星体，则有F′∝。 [概念·规律] 　太阳与行星间引力的大小与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比，即F＝G，G为比例系数，其大小与太阳和行星的质量无关，引力的方向沿着两者的__连线__。 三、月—地检验 阅读教材，并回答： 1．“月—地检验”的目的是什么？ 答：了解维持月球绕地球运动的力与地球上苹果下落的力是否为同一性质的力，是否同样遵从与距离的二次方成反比的规律。 2．完成检验采用了什么方法？ 答：假设法。 3．试表述“月—地检验”所得到的结论。 答：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。 四、万有引力定律 1．内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在__它们的连线__上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成__正比__、与它们之间距离r的二次方成__反比__。 2．公式 F＝G，式中r是指：当物体可以看作质点时，r就是这两个质点之间的距离；如果是两个球体，r是两个球心之间的距离。 五、引力常量 牛顿得出万有引力定律100多年后，英国物理学家__卡文迪什__测量得出引力常量G的值，其数值通常取G＝__6.67×10-11__N·m2/kg2。 (1)行星绕太阳运动的向心力来自太阳对行星的吸引力。(　　) (2)把行星绕太阳的运动看作匀速圆周运动时，匀速圆周运动的规律同样适用于行星运动。(　　) (3)太阳与行星间作用力的公式F＝G也适用于行星与它的卫星之间。(　　) (4)两个普通物体间感受不到万有引力，这说明万有引力只存在于天体之间。(　　) (5)万有引力不仅存在于天体之间，也存在于普通物体之间。(　　) (6)引力常量是牛顿首先测出的。(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√　(6)× [对应学生用书P56] 探究点一　对太阳与行星间引力的理解 1．将行星绕太阳的椭圆运动看成匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力。 2．将天体看成质点，且质量集中在球心上。如图所示。 　(多选)(教材本节练习与应用第4题变式)下列说法正确的是(　　) A．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式F＝，这个关系式实际上是牛顿第二定律，是可以在实验室中得到验证的 B．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式v＝，这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式，它是由速度的定义式得来的 C．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式＝k，这个关系式是开普勒第三定律，是可以在实验室中得到证明的 D.在探究太阳与行星间引力的时候，牛顿认为太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力 [解析]　开普勒的三大定律是通过对行星运动的观察而总结归纳出来的规律，每一条都是经验定律，故开普勒的三大定律都是在实验室无法验证的规律。太阳对行星的引力与行星对太阳的引力相等，故C、D错误。 [答案]　AB 1．(多选)根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动的知识：太阳对行星的引力F∝，行星对太阳的引力F′∝，其中M、m、r分别为太阳、行星质量和太阳与行星间的距离，下列说法正确的是(　　) A．由F′∝和F∝可知，F∶F′＝m∶M B．F和F′大小相等，是作用力与反作用力 C．F和F′大小相等，是同一个力 D．太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力 解析　F′和F大小相等、方向相反，是作用力和反作用力，太阳对行星的引力是行星绕太阳做圆周运动的向心力，故B、D正确。 答案　BD 探究点二　对万有引力定律的理解 [交流讨论] 1．根据F＝G是否可以得出当r趋近于0时，F＝∞？ 答：不能。当r趋近于0时万有引力定律不再适用。 2．万有引力定律指出，任何物体间都存在着引力。那么，为什么当两个人靠近时并没有吸引到一起？ 答：因为每个人还受到周围其他物体的引力，引力的合力为0。 [归纳总结] F＝G的适用条件 1．万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。 2．一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离。 3．对于非均匀球体，可采用割补法转化成均匀球体类计算。 　如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R，如果从球上挖去一个直径为R的球，放在相距为d的地方。那么挖去部分与剩余部分的万有引力为多大？(引力常量为G) [解析]　根据m＝ρ·πr3知，挖去部分的小球是整个实心球质量的，即挖去部分的质量m＝，设没挖去前，对小球的引力F＝G＝G 挖去部分对小球的引力为F′＝G＝ 则挖去部分与剩余部分的万有引力大小为F″＝F－F′＝。 [答案]　 　(多选)(教材本章复习与提高A组第3题变式)有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，现从中挖去半径为 的球体，如图所示，图中O1为球体球心，O2为球形空腔的球心，P为球形空腔与球体的切点，Q为O1O2连线上与P距离为R的点。若将质量为m的质点先后置于这四点，质点受到剩余球体的万有引力大小记为F，引力常量为G。(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)则(　　) A．若质点在Q位置，F＝ B．若质点在P位置，F＝ C．若质点在O1位置，F＝ D．若质点在O2位置，F＝0 解析　挖去半径为 的球体，根据公式V＝πR3，挖去小球的体积是原来大球体积的，故其质量为m1＝。若质点在Q位置，没有挖时原球体对质点的万有引力为F1＝G，挖去部分对质点的万有引力F1＝G，则剩余部分对质点的万有引力F＝F1－F2＝，A正确；若质点在P位置，没有挖时原球体对质点的万有引力为F1＝G，挖去部分对质点的万有引力F1＝G，则剩余部分对质点的万有引力F＝F1－F2＝，B错误；若质点在O1位置，没有挖时原球体对质点的万有引力为0，挖去部分对质点的万有引力F1＝G＝，则剩余部分受到质点的万有引力与挖去部分对质点的万有引力大小相等方向相反，即大小为，C正确；若质点在O2位置，先将球体腔填满，则可知剩余部分球体对质点的万有引力大小等于整个完整的球体对质点的万有引力大小与挖去部分的小球体对质点的万有引力大小之差，而挖去部分对质点的万有引力为零，则剩余部分球体对质点的万有引力大小等于整个完整球对质点的万有引力大小。以大球体的球心为球心，作半径为 的球，根据公式V＝πR3，挖去小球的体积是原来大球体积的，故其质量为，球壳部分对质点的万有引力为0，整个球对质点的万有引力等于中间部分半径为 的球体对质点的万有引力，则F＝G＝，则剩余部分对质点的万有引力，D错误。 答案　AC 2．如图，在一半径为R、质量分布均匀的大球内部挖去一个半径为的小球(两球相切于P点)，O1、O2分别为大球、小球的球心。另外有一个可视为质点、质量为m的物体N。已知质量分布均匀的球壳对球壳内部物体的万有引力为零，大球的密度为ρ，引力常量为G。 (1)若将物体N置于O1处，求大球剩余部分对物体N的万有引力大小； (2)若仅考虑大球剩余部分对物体N的万有引力的作用，将物体N从P处由静止释放，求物体N到达O2处的时间。 解析　(1)物体N受到的大球剩余部分的引力为大球对物体N的引力减去小球对物体N的引力。未挖去前，大球对物体N引力为零，所以大球剩余部分的引力等于小球对物体N的引力，方向沿O2指向O1，F＝G 解得F＝GρπRm。 (2)如图，假设物体N运动到了P、O2连线上的Q点 设O1、Q距离为x，未挖去前，大球对物体N引力 F1＝G＝Gρπxm 小球对物体N引力 F2＝G＝Gρπm 大球剩余部分的引力F＝F1－F2＝GρπRm 所以物体N的加速度a＝＝GρπR 物体N从P到达O2，＝at2 解得t＝。 答案　(1)GρπRm　(2) 探究点三　万有引力与重力的关系 [交流讨论] 1．如图所示，设地球的质量为M，半径为R，质量为m的物体分别放在A、B、C处。地球在不停地自转，自转的角速度为ω，地球上的物体随着地球自转而做圆周运动。 (1)在图中分别画出三处物体的受力示意图。 (2)写出地球极点(A处)重力与万有引力、支持力的关系。 (3)写出赤道上(C处)重力与万有引力的关系。 (4)定性分析其他位置(B处)重力与万有引力的关系。 答：(1)略　(2)相等 (3)重力和向心力的合力等于万有引力，三力沿一条直线，满足G－mg＝mω2r。 (4)重力是万有引力的一个分力。 2．在离地球表面一定高度处，万有引力与重力有何关系？ 答：相等。 [归纳总结] 1．万有引力和重力的关系 如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F＝G。引力F可分解为F1、F2两个分力，其中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力Fn，F2就是物体的重力mg。 2．重力与纬度的关系 地面上物体的重力随纬度的升高而变大。 (1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即G＝mrω2＋mg，所以mg＝G－mrω2。 (2)地球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝G。 3．重力与高度的关系 由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近：mg＝G，若距离地面的高度为h，则mg＝G(R为地球半径，g为离地面h高度处的重力加速度)。所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小。 　假设地球可视为质量均匀分布的球体，地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，地球的半径是(　　) A． B． C． D． [解析]　在赤道处有－mg＝mR，在两极处有＝mg0，联立可得地球半径R＝，故选C。 [答案]　C 　在例题中，若测量出地球两极处的重力加速度与赤道处的重力加速度之差为Δg，已知地球半径为R，则地球自转的周期T为(　　) A． B． C．2π D．π 解析　设地球的质量为M，物体的质量为m，地球两极处的重力加速度为g，赤道处的重力加速度为g′，在地球两极处有＝mg，在赤道处有＝mg′＋mR，又有g－g′＝Δg，联立解得T＝＝2π，故A、B、D错误，C正确。 答案　C 　在例题中，若地球表面上的质点与地心O的连线与赤道平面的夹角为60°。其他条件不变，则质点位置的向心加速度为(　　) A．(g0－g) B．(g0－g) C．(g0－g) D．(g0－g) 答案　A 　理论上已经证明，质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，将一个铁球分别放在地面以下深处和放在地面上方高度处，则物体在两处的重力加速度之比为(　　) A．32∶27 B．9∶8 C．81∶64 D．4∶3 [解析]　令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有mg＝m，由于地球的质量为M＝ρ·πR3，所以重力加速度的表达式可写成g＝＝＝πGRρ。根据题意有质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，则地面以下深处受到地球的万有引力即为半径等于的球体在其表面产生的万有引力，故地面以下深处的重力加速度g′＝πρG＝πρGR，在地面上方高度处的重力加速度g″＝＝＝πGRρ，所以有＝＝，故选A。 [答案]　A ●核心素养·思维升华 关于万有引力和重力关系的处理方法 (1)物体随地球自转时，由于地球自转角速度很小，物体转动需要的向心力很小，一般情况下，认为重力约等于万有引力，即mg＝G。 (2)对于地球的卫星，所受重力等于万有引力，即mg＝G。 3．(多选)假定地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。x为到地球中心的距离。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，地球表面的重力加速度为g，若不考虑地球自转的影响，则下列说法正确的是(　　) A．在地球中心处的重力加速度趋近于无穷大 B．若x＝R，则此处的重力加速度为g C．若x＝2R，则此处的重力加速度为g D．离地球中心越远的位置，重力加速度越小 解析　由万有引力等于重力得内部g＝＝，则g与r成正比；由表达式可知中心处的重力加速度趋近于0，则A错误；因在内部g与r成正比，则x＝R，则此处的重力加速度为g，则B正确；在外部g＝，x＝2R处的重力加速度为＝g，则C正确；在内部离地球中心越远的位置，重力加速度越大，则D错误。 答案　BC [对应学生用书P59] 1．(2024·广西卷)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在(　　) A．a处最大 B．b处最大 C．c处最大 D．a、c处相等，b处最小 解析　根据万有引力公式F＝G可知图中a处单位质量的海水受到月球的引力最大。 答案　A 2．(2024·全国甲卷)2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是(　　) A．在环月飞行时，样品所受合力为零 B．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零 C．样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同 D．样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小 解析　在环月飞行时，样品所受的合力提供向心力，不为零，A错误；若将样品放置在月球正面，根据牛顿第三定律可知，它对月球表面的压力等于月球对它的支持力，根据力的平衡条件可知，月球对它的支持力等于它在月球上的重力，不为零，故它对月球表面的压力不为零，B错误；质量是物体的固有属性，不会随受到的引力的变化而变化，C错误；由于月球表面重力加速度较地球表面的小，则样品在月球表面所受重力较在地球表面的小，结合B项分析可知，样品放置在月球背面时对月球的压力较其放在地球表面时对地球的压力小，D正确。 答案　D 3．嫦娥六号探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，下列能够描述F随h变化关系的图像是(　　) 解析　根据万有引力定律可得F＝，h越大，F越小，故选D。 答案　D 学科网（北京）股份有限公司 $