第六章 习题课 计数原理的综合应用-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦计数原理综合应用，系统梳理分类加法与分步乘法计数原理，通过组数、选取分配、涂色种植等实际问题，构建“例题—母题变式—触类旁通”的学习支架，帮助学生从原理理解到应用深化。 资料以电话号码编排、小球分配等现实情境为载体，培养用数学眼光观察问题的能力，通过分类讨论、分步推理强化数学思维，分层练习（基础到创新）助力课中互动教学与课后查漏补缺，有效落实逻辑推理、数学建模等核心素养。

习题课　计数原理的综合应用 学业标准 素养目标 1．进一步掌握和理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．(重点) 2．能利用两个计数原理解决数字组成、选取与分配、涂色(种植)等实际问题．(难点) 通过利用两个计数原理解决实际问题的方式，培养逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养． [对应学生用书P4] 题型一　组数问题　(一题多变) 　用0，1，2，3，4五个数字， (1)可以排成多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ [解析]　(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(种). (2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(种). (3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12种排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因为0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18种排法．因而有12＋18＝30种排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数． [母题变式] (变结论)由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？ 解析　完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用过的一个剩下的3个中任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理知共有2×3×3×2＝36(个). 对于组数问题，应掌握以下原则 (1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解． (2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位． [触类旁通] 1．用0，1，…，9这10个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　) A．243　　　　　　　 B．252 C．261 D．648 解析　0，1，2，…，9共能组成9×10×10＝900个三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648个，所以有重复数字的三位数有900－648＝252(个). 答案　B 题型二　选取与分配问题 　有一项活动，需在3名教师、8名男同学和5名女同学中选人参加． (1)若只需一人参加，有多少种不同选法？ (2)若需教师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？ (3)若需一名教师、一名学生参加，有多少种不同选法？ [解析]　(1)有三类选人的方法：3名教师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法．由分类加法计数原理知，共有3＋8＋5＝16种选法． (2)分三步选人：第一步选教师，有3种方法；第二步选男同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法．由分步乘法计数原理知，共有3×8×5＝120种选法． (3)可分两类，每一类又分两步．第一类：选一名教师再选一名男同学，有3×8＝24种选法；第二类：选一名教师再选一名女同学，共有3×5＝15种选法．由分类加法计数原理可知，共有24＋15＝39种选法． 解决抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法等． (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可． [触类旁通] 2．3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？ 解析　(以小球为研究对象)分三步来完成： 第一步：放第一个小球有5种选择； 第二步：放第二个小球有4种选择； 第三步：放第三个小球有3种选择， 由分步乘法计数原理得，总方法数N＝5×4×3＝60. 题型三　涂色与种植问题 　(1)如图，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂法种数为(　　) A．280 B．180 C．96 D．60 (2)将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，则不同的种植方法共有________种． [解析]　(1)按区域分四步：第一步A区域有5种颜色可选；第二步B区域有4种颜色可选；第三步C区域有3种颜色可选；第四步由于可重复使用区域A中已有过的颜色，故D区域也有3种颜色可选用．由分步乘法计数原理，共有5×4×3×3＝180种涂法． (2)分别用a，b，c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有两种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有2种方法a或c. ①若第三块田放c： a b c 第四、五块田分别有2种方法，共有2×2＝4种方法． ②若第三块田放a： a b a 第四块有b或c两种方法， Ⅰ若第四块放c： a b a c 第五块有2种方法； Ⅱ若第四块放b： a b a b 第五块只能种作物c，共1种方法． 综上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42种方法． [答案]　(1)B　(2)42 [素养聚焦]　在利用两个计数原理解决涂色与种植问题的过程中，有时需要分类讨论，在此过程中提升了数学建模、逻辑推理等核心素养． 1．涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，有几种常用方法： (1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析． (2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析． (3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题． 2．种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类，用分类加法计数原理计数． [触类旁通] 3．如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有________种不同的着色方法． 解析　先给地区Ⅰ染色有5种选择，再给地区Ⅱ染色有4种选择，然后给地区Ⅲ染色有3种选择，最后给地区Ⅳ染色也有3种选择，综上所述，满足题意的染色方法共有5×4×3×3＝180(种). 答案　180 知识落实 技法强化 1．两个计数原理的区别与联系． 2．两个计数原理的应用：组数问题、占位模型中标准的选择、涂色问题及种植问题． 解题过程中注意分类讨论及正难则反的方法，且分类标准不明确时会出现重复或遗漏问题． [必备知识·基础巩固] 1．已知x∈{1，2，3，4}，y∈{5，6，7，8}，则xy可表示不同值的个数为(　　) A．2　　　　　　　　 B．4 C．8 D．15 解析　完成xy这件事分两步， 第一步：从集合{1，2，3，4}选一个数，共有4种选法； 第二步：从集合{5，6，7，8}选一个数，共有4种选法： 共有4×4＝16种选法．其中3×8＝4×6，所以xy可表示的不同值的个数为15. 答案　D 2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　) A．144 B．120 C．72 D．24 解析　剩余的3个座位共有4个空隙供3人(不妨记为甲、乙、丙)选择就座，因此，可分三步：甲从4个空隙中任选一个空隙，有4种不同的选择；乙从余下的3个空隙中任选一个空隙，有3种不同的选择；丙从余下的2个空隙中任选一个空隙，有2种不同的选择．根据分步计数原理，任何两人不相邻的坐法种数为4×3×2＝24.故选D. 答案　D 3．一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有(　　) A．6种 B．8种 C．36种 D．48种 解析　如图所示，由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，选定一个区域后可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种结果，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种结果，参观完第二个区域，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48种不同的参观路线． 答案　D 4．(多选题)现有3名老师，8名男学生和5名女学生共16人，有一项活动需派人参加，则下列命题中正确的是(　　) A．只需1人参加，有16种不同选法 B．若需老师、男学生、女学生各1人参加，则有120种不同选法 C．若需1名老师和1名学生参加，则有39种不同选法 D．若需3名老师和1名学生参加，则有56种不同选法 解析　选项A，分三类：取老师有3种选法，取男学生有8种选法，取女学生有5种选法，故共有3＋8＋5＝16种选法，故A正确； 选项B，分三步：第一步选老师，第二步选男学生，第三步选女学生，故共有3×8×5＝120种选法，故B正确； 选项C，分两步：第一步选老师，第二步选学生，第二步，又分为两类：第一类选男学生，第二类选女学生，故共有3×(8＋5)＝39种选法，故C正确； 选项D，若需3名老师和1名学生参加，则有13种不同选法，故D错误． 故选ABC. 答案　ABC 5．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数，共有________个． 解析　根据题意个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9共8种情况，在每一类中满足题目要求的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个). 答案　36 6．某中学高二(1)班一学生由教学楼五层走到一层去做课间操，每层均有两个楼梯，则他的走法有______种． 解析　利用分步乘法计数原理即可求出结果． 共分4步：五层到四层2种，四层到三层2种，三层到二层2种，二层到一层2种， 一共24＝16种． 答案　16 7．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有______个． 解析　分析可得，共有三个1，三个2，三个3，三个4, 共4种情况，分别求得满足题意的“好数”的个数，根据分类加法计数原理，即可得答案． 当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4时共有4种情况． 当有三个1时：2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141，有9种结果， 当有三个2，3，4时：2221，3331，4441，有3种结果， 根据分类加法计数原理可知，共有12种结果． 答案　12 8．现有3名医生、5名护士、2名麻醉师． (1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？ (2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？ 解析　(1)分三类： 第一类，选出的是医生，有3种选法； 第二类，选出的是护士，有5种选法； 第三类，选出的是麻醉师，有2种选法． 根据分类加法计数原理，共有3＋5＋2＝10种选法． (2)分三步： 第一步，选1名医生，有3种选法； 第二步，选1名护士，有5种选法； 第三步，选1名麻醉师，有2种选法． 根据分步乘法计数原理知，共有3×5×2＝30种选法． [关键能力·综合提升] 9．满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　) A．14　　 B．13 C．12　　 D．10 解析　由已知得ab≤1. 若a＝－1时，b＝－1，0，1，2，有4种可能； 若a＝0时，b＝－1，0，1，2，有4种可能； 若a＝1时，b＝－1，0，1，有3种可能； 若a＝2时，b＝－1，0，有2种可能． ∴共有(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13. 答案　B 10．某公司新招聘进8名员工，平均分给甲、乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一个部门，另外3名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配方案种数是(　　) A．18 B．24 C．36 D．72 解析　由题意可得，分两类：①甲部门要2名电脑编程人员，则有3种方法；翻译人员的分配有2种方法；再从剩下的3个人中选1人，有3种方法，共3×2×3＝18(种)分配方案．②甲部门要1名电脑编程人员，则有3种方法；翻译人员的分配有2种方法；再从剩下的3个人中选2人，方法有3种，共3×2×3＝18(种)分配方案．由分类加法计数原理，可得不同的分配方案共有18＋18＝36(种). 答案　C 11．古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成______组． 解析　分两类：第一类：由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5×6＝30(组)不同的结果．第二类也有30组不同的结果，共可得到30＋30＝60(组). 答案　60 12．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为____________，奇数的个数为________． 解析　若要求组成的数字是偶数，分为两步，从0和2中任选一个数字放在个位，有2种选法，从1，3，5中选1个数字，放在百位有3种选法，再选1个数字放在十位，有2种选法，因此共有2×3×2＝12个偶数． 若是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况；奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种情况)，之后十位(2种情况)，最后百位(2种情况)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(1种情况)，共6种，因此奇数总共有12＋6＝18(个). 答案　12　18　 13．将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ ① ② ④ ③ 解析　依题意，可分两类情况：①④不同色；①④同色． 第一类：①④不同色，则①②③④所涂的颜色各不相同，我们可将这件事情分成4步来完成． 第一步涂①，从5种颜色中任选一种，有5种涂法； 第二步涂②，从余下的4种颜色中任选一种，有4种涂法； 第三步涂③与第四步涂④时，分别有3种涂法和2种涂法． 于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法为5×4×3×2＝120(种). 第二类：①④同色，则①②③不同色，我们可将涂色工作分成三步来完成． 第一步涂①④，有5种涂法；第二步涂②，有4种涂法；第三步涂③，有3种涂法． 于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法有5×4×3＝60(种). 综上可知，所求的涂色方法共有120＋60＝180(种) . [核心价值·探索创新] 14．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中 m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有(　　) A．18个 B．16个 C．14个 D．12个 解析　由题意必得a1＝0，a8＝1，具体情况如下： 00001111，00010111，00011011，00011101， 00100111，00101011，00101101，00110011，00110101， 01000111，01001011，01001101，01010011，01010101， 共14个． 答案　C 15．用n种不同的颜色为两块广告牌着色，如图，要求在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色． (1)若n＝6，为甲着色时共有多少种不同的方法？ (2)若为乙着色时共有120种不同的方法，求n的值． 解析　完成着色这件事，共分为四个步骤，可以依次考虑为①，②，③，④这四个区域着色时各自的方法数，再利用分步乘法计数原理确定出总的方法数． (1)为①区域着色时有6种方法，为②区域着色时有5种方法，为③区域着色时有4种方法，为④区域着色时有4种方法，依据分步乘法计数原理，不同的着色方法有6×5×4×4＝480(种). (2)由题意知，为①区域着色时有n种方法，为②区域着色时有(n－1)种方法，为③区域着色时有(n－2)种方法，为④区域着色时有(n－3)种方法，由分步乘法计数原理可得不同的着色方法数为n(n－1)(n－2)(n－3). ∴n(n－1)(n－2)(n－3)＝120， ∴(n2－3n)(n2－3n＋2)－120＝0， 即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－120＝0. ∴n2－3n－10＝0或n2－3n＋12＝0(舍去). ∴n＝5(负值舍去). 学科网（北京）股份有限公司 $