第六章 高考新风向（一）导数与二项式定理的创新融合-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦导数与二项式定理的融合应用，系统梳理二项展开式基础上，通过导数工具处理系数和、特定项系数求解及组合恒等式证明等核心问题，搭建从二项式定理到导数应用的学习支架。 资料通过典例剖析（如二项式系数和的导数求解）与进阶训练（不等式证明），引导学生用数学思维（推理能力）构建连续与离散的联系，以数学语言（赋值法、求导运算）表达问题，培养创新意识。课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固方法，弥补知识盲点。

[对应学生用书P26] [类型解读] 从高考命题角度看，导数与二项式定理的融合主要体现在利用导数工具处理二项展开式相关问题，常作为中档题或压轴小题出现，核心考查点如下： 1．求系数和与组合恒等式：对二项式展开式(1＋x)n＝Cxk两边直接求导，再给x赋特定值(常为x＝1)，可快速求得系数乘以项数的和，例如： n(1＋x)n-1＝kCxk-1，令x＝1得kC＝n·2n-1. 高阶导数可求更高次系数和． 2．求特定项系数：构造函数f(x)＝(1＋x)n，其k阶导数在x＝0处的值f(k)(0)即k! ·C，提供另一种求特定项系数的途径． 3．证明组合恒等式：通过求导建立二项展开式不同形式间的联系，为证明复杂组合恒等式(如含k，k(k－1)的求和)提供简洁工具． 考查学生综合运用两大核心知识的能力，洞察函数思想(导数)与离散数学(组合数)的内在联系，体现“用连续工具处理离散问题”的数学思想，区分度高．要求考生熟练掌握求导运算和赋值技巧． [典例剖析]　 (多选题)若(2－x)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025，则(　　) A．a0＝2 B．a0＋a1＋a2＋…＋a2 025＝1 C．|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 025|＝32 025 D．a1＋2a2＋3a3＋…＋2 025a2 025＝－2 025 [信息提取]　 (1)求展开式系数；(2)求展开式系数和；(3)求含绝对值的系数和；(4)求常数与系数乘积的和． [加工转化]　(1)利用赋值法判断A，B，C；(2)对(2－x)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025两边同时求导，再令x＝1，判断D. [深度解析]　令x＝0，得a0＝22 025，所以A错误； 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2 025＝1，所以B正确； 令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a2 025＝32 025， 显然a0，a2，a4，…，a2 024都是正数，a1，a3，…，a2 025都是负数， 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 025|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 025＝32 025，所以C正确； 对(2－x)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025两边同时求导， 得－2 025(2－x)2 024＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2 025a2 025x2 024， 令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋2 025a2 025＝－2 025，所以D正确． 故选BCD. [答案]　BCD [进阶训练] (2025·济宁高二期末)已知不等式ln x≤x－1对任意x>0恒成立，则下列不等式中一定成立的是________(请填序号). ①ln x≥1－ ②＋＋…＋<e ③＋＋…＋>ln 2 025 ④1＋＋…＋>ln 2 025 解析　对于①，由不等式ln x≤x－1，得ln ≤－1，因此ln x≥1－，①正确；对于②，在不等式ln x≤x－1中，取x＝1＋，n∈N*，得ln <，即ln <1，则<e，因此＋＋…＋＝<e，②正确； 对于④，由ln <，得 >ln ＝ln ＝ln 2 025，④正确； 对于③，在不等式ln x≤x－1中，取x＝，n∈N*，得ln <－， 即ln >，因此 <ln ＝ ln ＝ln 2 025，③错误． 所以所给不等式中一定成立的是①②④. 答案　①②④ 学科网（北京）股份有限公司 $