7.5 正态分布-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦正态分布核心知识点，从连续型随机变量概念切入，系统梳理正态曲线的定义、性质（对称性、峰值特征），参数μ（均值）和σ（方差）对曲线形状的影响，以及3σ原则的概率应用，构建“概念-性质-参数-应用”的完整学习支架。 该资料通过误差模型引入培养数学抽象，结合正态曲线对称性分析提升直观想象，借助3σ原则计算概率强化数学运算。例题融入考试成绩、零件尺寸等实际情境，课中助力教师分层教学，课后通过判断、选择、解答题帮助学生查漏补缺，深化知识理解与应用能力。

7．5　正态分布 学业标准 素养目标 1．通过误差模型，了解正态曲线、正态分布的概念．(重点) 2．通过借助具体实例的频率分布直方图，了解正态分布的特征及曲线表示的含义．(重点) 3．了解正态分布的均值、方差及其含义．(难点) 4．会用正态分布解决实际问题． 1．通过正态分布相关概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过运用正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率，提升数学运算、直观想象等核心素养． [对应学生用书P55] 导学　正态分布 　函数，x∈R的图象如图所示． (1)由图可得到函数f(x)的图象关于哪条直线对称？ [提示]　直线x＝72. (2)函数f(x)取得最大值时，x的值是什么？由此可以得到μ的值是什么？ [提示]　x＝72，μ＝72. (3)由以上的讨论得到函数f(x)的解析式是什么？ [提示]　 ◎结论形成 1．连续型随机变量 如果随机变量不是离散型的，它们的取值充满__某个区间甚至整个实轴__，但取一点的概率为__0__，称这类随机变量为连续型随机变量． 2．正态曲线和正态分布 (1)正态曲线：函数f(x)＝ x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数__，称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态分布：若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为__X～N(μ，σ2)__，特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从__标准正态分布__． (3)正态曲线的特点 ①正态曲线是单峰的，它关于直线__x＝μ__对称； ②正态曲线在x＝μ处达到峰值____； ③正态曲线与x轴之间的区域的面积为__1__； ④当|x|无限增大时，正态曲线无限接近x轴． (4)参数μ和σ对正态曲线形状的影响 ①当σ一定时，正态曲线的位置由μ确定．正态曲线随着μ的变化而沿x轴__平移__．如图(1). ②当μ一定时，正态曲线的形状可确定．当σ较小时，峰值高，正态曲线“__瘦高__”，表示随机变量X的分布比较__集中__；当σ较大时，峰值低，正态曲线“__矮胖__”，表示随机变量X的分布比较__分散__．如图(2). 3．正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝__μ__，D(X)＝__σ2__． 4．3σ原则 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； (2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； (3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 通常服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取__[μ－3σ，μ＋3σ]__的值，这在统计学中称为3σ原则． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．(　　) (2)正态曲线是单峰的，其与x轴之间的区域的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．(　　) (3)正态曲线可以关于y轴对称．(　　) (4)若X～N(μ，σ2)，则P(X<μ)＝.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X>2)＝0.15，则P(0≤X≤1)＝(　　) A．0.85　 B．0.70　 C．0.35　 D．0.15 解析　P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)＝0.5－P(X>2)＝0.35. 答案　C 3．如图是正态分布N(μ，σ)，N(μ，σ)，N(μ，σ)(σ1，σ2，σ3＞0)对应的曲线，则σ1，σ2，σ3的大小关系是(　　) A．σ1＞σ2＞σ3 B．σ3＞σ2＞σ1 C．σ1＞σ3＞σ2 D．σ2＞σ1＞σ3 解析　由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ2越小，故有σ1＞σ2＞σ3. 答案　A 4．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，则P(X<2)＝________． 解析　由题意知曲线关于X＝2对称，因此P(X<2)＝. 答案　 [对应学生用书P56] 题型一　正态曲线及其性质 　(多选题)某次我市高三教学质量检测中， 甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多， 成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图所示曲线可得下列说法中正确的项是(　　) A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．乙科总体的标准差及平均数都居中 D．甲、乙、丙的总体的平均数相同 [解析]　由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等， 由正态密度曲线的性质，可知σ越大， 正态曲线越扁平；σ越小， 正态曲线越尖陡， 故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙． [答案]　AD 利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ (1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ. (2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ. (3)由σ的大小区分曲线的胖瘦． [触类旁通] 1．若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态分布的概率密度函数的解析式． 解析　由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以正态曲线关于y轴对称，即μ＝0，而正态分布的概率密度函数的最大值是，所以＝，解得σ＝4.故函数的解析式为φμ，σ(x)＝·e，x∈(－∞，＋∞). 题型二　利用正态曲线的对称性求概率　(一题多变) 　设X～N(1，22)，试求： (1)P(－1<X≤3)；(2)P(3<X≤5)； (3)P(X>5). [解析]　因为X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2. (1)P(－1<X≤3)＝P(1－2<X≤1＋2) ＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 7. (2)因为P(3<X≤5)＝P(－3≤X<－1)， 所以P(3<X≤5) ＝[P(－3<X≤5)－P(－1<X≤3)] ＝[P(1－4<X≤1＋4)－P(1－2<X≤1＋2)] ＝[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)] ＝×(0.954 5－0.682 7) ＝0.135 9. (3)P(X>5)＝P(X≤－3) ＝[1－P(－3<X≤5)] ＝[1－P(1－4<X≤1＋4)]＝0.022 8. [母题变式] (变结论)本例条件不变，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，求c的值． 解析　因为X服从正态分布N(1，22)，所以对应的正态曲线关于x＝1对称． 又P(X>c＋1)＝P(X<c－1)， 因此＝1，即c＝1. 正态变量在某个区间内取值概率的求解策略 (1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. (2)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． (3)注意概率值的求解转化： ①P(X<a)＝1－P(X≥a)； ②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)； ③若b<μ，则P(X<b)＝. [触类旁通] 2．设随机变量X～N(2，9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1). (1)求c的值； (2)求P(－4<X≤8). 解析　(1)由X～N(2，9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示). ∵P(X>c＋1)＝P(X<c－1)， 故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，∴c＝2. (2)P(－4<X≤8)＝P(2－2×3<X≤2＋2×3)＝P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 5. 题型三　正态分布的实际应用 　在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布，即X～N(100，100)，已知满分为150分． (1)试求考试成绩X位于区间(80，120]内的概率； (2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数． [解析]　(1)由X～N(100，100)，知μ＝100，σ＝10. ∴P(80＜X≤120)＝P(100－20＜X≤100＋20)＝0.954 5，即考试成绩位于区间(80，120]内的概率为0.954 5. (2)∵P(90＜X≤110)＝P(100－10＜X≤100＋10)＝0.682 7， ∴P(X＞110)＝×(1－0.682 7)＝0.158 65， ∴P(X≥90)＝0.682 7＋0.158 65＝0.841 35. ∴及格人数为2 000×0.841 35≈1 683(人). [素养聚焦]　解决正态分布的实际应用问题要把握正态分布图象的对称性，强化对其图象对称性的认识，通过解决此类问题提升直观想象数学运算等核心素养． 正态曲线的应用及求解策略 解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想． [触类旁通] 3．某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4，0.052)，质量检查人员从该厂生产的1 000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为3.7 cm，该厂生产的这批零件是否合格？ 解析　由于X服从正态分布N(4，0.052)，由正态分布的性质，可知正态分布N(4，0.052)在(4－3×0.05，4＋3×0.05)之外的取值的概率只有0.0027，3.7∉(3.85，4.15)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的． 知识落实 技法强化 1．正态曲线及其特点． 2．正态分布． 3．正态分布的应用，3σ原则． 解题过程中常出现概率区间转化不等价． [必备知识·基础巩固] 1．已知某批零件的长度误差(单位：mm)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(　　) 附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)≈68.27%，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈95.45%. A．4.56%　　　　　　 B．13.59% C．27.18% D．31.74% 解析　由正态分布的概率公式知P(－3<X<3)＝0.682 7，P(－6<X<6)＝0.954 5， 故P(3<X<6)＝[P(－6<X<6)－P(－3<X<3)]＝(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9＝13.59%. 答案　B 2．设随机变量X～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，则实数a的值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析　因为随机变量X～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，所以由正态分布密度曲线的对称性(对称轴是x＝1)可知，a－2＝2×1，解得a＝4. 答案　B 3．(多选题)已知三个正态密度函数φi(x)＝· (x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．σ1＝σ2 B．μ1>μ2 C．μ1＝μ2 D．σ2<σ3 解析　由图可知μ2＝μ3>μ1，σ1＝σ2<σ3，故AD正确． 答案　AD 4．(多选题)(2024·新课标Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(Z<μ＋σ)≈0.841 3)(　　) A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5 C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8 解析　由题意可知，X～N(1.8，0.12)， 所以P(X>2)<P(X>1.8)＝0.5， P(X<1.9)≈0.841 3， 所以P(X>2)<P(X≥1.9)＝1－P(X<1.9)≈1－0.841 3＝0.158 7<0.2， 所以A错误，B正确． 因为Y～N(2.1，0.12)， 所以P(Y<2.2)≈0.841 3， P(Y>2)>P(Y>2.1)＝0.5， 所以P(2<Y<2.1)＝P(2.1<Y<2.2)＝P(Y<2.2)－P(Y≤2.1)≈0.841 3－0.5＝0.341 3， 所以P(Y>2)＝P(2<Y<2.1)＋P(Y≥2.1)≈0.341 3＋0.5＝0.841 3 >0.8， 所以C正确，D错误． 综上，选BC. 答案　BC 5．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2＜X≤2.5)＝0.36，则P(X＞2.5)＝________． 解析　由题意可知，P(X>2)＝0.5， 故P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.14. 答案　0.14 6．某市有48 000名学生，一次考试后数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，从理论上讲，在80分到90分之间有________人． 解析　设X表示该市学生的数学成绩，则X～N(80，102)，则P(80－10<X≤80＋10)＝0.682 7.所以在80分到90分之间的人数为48 000××0.682 7≈16 385(人). 答案　16 385 7．已知X～N(4，σ2)，且P(2<X<6)≈0.682 7，则σ＝________，P(|X－2|<4)＝________． 解析　∵X～N(4，σ2)，∴μ＝4. ∵P(2<X<6)≈0.682 7， ∴∴σ＝2. ∴P(|X－2|<4)＝P(－2<X<6) ＝P(－2<X<2)＋P(2<X<6) ＝[P(－2<X<10)－P(2<X<6)]＋P(2<X<6) ＝P(－2<X<10)＋P(2<X<6)＝0.84. 答案　2　0.84 8．设X～N(3，42)，试求： (1)P(－1<X≤7)； (2)P(7<X≤11)； (3)P(X≥11). 解析　∵X～N(3，42)，∴μ＝3，σ＝4. (1)P(－1<X≤7)＝P(3－4<X≤3＋4) ＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 7. (2)∵P(7<X≤11)＝P(－5<X≤－1)， ∴P(7<X≤11) ＝[P(－5<X≤11)－P(－1<X≤7)] ＝[P(3－8<X≤3＋8)－P(3－4<X≤3＋4)] ＝[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)] ＝(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9. (3)∵P(X≥11)＝P(X≤－5)， ∴P(X≥11)＝[1－P(－5<X≤11)] ＝[1－P(3－8<X≤3＋8)] ＝[1－P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)] ＝(1－0.954 5)＝0.022 75. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)某厂生产的零件外径X～N(10，0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为9.9 cm，9.3 cm，则可认为(　　) A．上午生产情况正常 B．下午生产情况异常 C．下午生产情况正常 D．上午生产情况异常 解析　因测量值X为随机变量，又X～N(10，0.04)，所以μ＝10，σ＝0.2，记I＝(μ－3σ，μ＋3σ)＝(9.4，10.6)，则9.9∈I，9.3∉I. 答案　AB 10．某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X(单位：mm)服从正态分布X～N(100，1).现加工10个螺栓的尺寸(单位：mm)如下：101.7，100.3，99.6，102.4，98.2，103.2，101.1，98.8，100.4，100.0.X～N(μ，σ2)，有P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997.根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　10个螺栓的尺寸，只有103.2不在区间[97，103]内，∴工人随机将其中的8个交与质检员检验，质检员认为设备需检修的概率为＝，故选B. 答案　B 11．若随机变量X的正态分布密度函数是φμ，σ(x)＝× (x∈R)，则E(2X－1)＝________ . 解析　由题知σ＝2，μ＝－2，故E(2X－1)＝2E(X)－1＝2×(－2)－1＝－5. 答案　－5 12．某班有50名学生，一次数学考试的成绩X服从正态分布N(105，102)，已知P(95≤X≤105)＝0.32，试估计该班学生数学成绩在115分以上(含115分)的人数为________． 解析　∵考试的成绩X服从正态分布N(105，102)， ∴正态曲线关于直线x＝105对称， ∵P(95≤X≤105)＝0.32， ∴P(X≥115)＝×(1－0.64)＝0.18， ∴该班学生数学成绩在115分以上的人数为0.18×50＝9. 答案　9 13．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(min)服从正态分布N(5，1)；第二条路线较长不拥挤，X服从N(6，0.16).若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？ 解析　还有7分钟时：若选第一条路线，即X～N(5，1)，能及时到达的概率为 P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5<X≤7)＝＋P(μ－2σ<X≤μ＋2σ). 若选第二条路线，即X～N(6，0.16)，能及时到达的概率为 P2＝P(X≤7)＝P(X≤6)＋P(6<X≤7)＝＋P(μ－2.5σ<X≤μ＋2.5σ). 因为P1<P2，所以应选第二条路线． 同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线． [核心价值·探索创新] 14．(多选题)(2025·黄山高二期末)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．假设其坐公交车用时X和骑自行车用时Y均服从正态分布，密度曲线如下图所示，则(　　) A．E(X)<E(Y) B．D(X)<D(Y) C．如果某天有34 min可用，为了降低迟到的可能性，李明应选择坐公交车 D．如果某天有38 min可用，为了降低迟到的可能性，李明应选择骑自行车 解析　对于A，E(X)＝30，E(Y)＝34，所以E(X)<E(Y)，故A正确； 对于B，X的密度曲线矮胖，数据分散，Y的密度曲线瘦高，数据集中，所以D(X)>D(Y)，故B错误； 对于C，显然P(X≤34)>＝P(Y≤34)，则当有34 min可用时，坐公交车不迟到的概率大，故C正确； 对于D，显然P(X≤38)<P(Y≤38)，则当有38 min可用时，骑自行车不迟到的概率大，故D正确； 故选ACD. 答案　ACD 15．港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨南海伶仃洋水域接珠海和澳门人工岛，止于珠海洪湾立交；桥隧全长55千米，桥面为双向六车道高速公路，设计速度为100千米/小时，限制速度为90～120千米/小时，通车后由桥上监控显示每辆车行车和通关时间的频率分布直方图如图所示． (1)估计车辆通过港珠澳大桥的平均时间；(精确到0.1) (2)以(1)中的平均时间作为μ，车辆通过港珠澳大桥的时间X近似服从正态分布N(μ，36)，任意取通过大桥的1 000辆汽车，求所用时间少于39.5分钟的大致车辆数目(精确到整数). 附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X＜μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ<X＜μ＋2σ)＝0.954 5. 解析　(1)由频率分布直方图可得 ＝32.5×0.015＋37.5×0.18＋42.5×0.27＋47.5×0.3＋52.5×0.2＋57.5×0.035 ≈45.5(min). (2)由题知X～N(45.5，36)， ∴P(X<39.5)＝P(X<μ－σ)＝[1－P(μ－σ<X＜μ＋σ)]＝0.158 65， 所以1 000×0.158 65≈159， 故所用时间少于39.5分钟的大致车辆数目为159. 学科网（北京）股份有限公司 $