7.4.2 超几何分布-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“超几何分布”核心知识点，系统梳理其定义、分布列、均值及与二项分布的区别。通过“学生选3人”“产品次品”等实例引入，以导学问题、公式推导、例题变式、分层练习构建完整学习支架。 该资料以核心素养为导向，通过“粽子选取”“辩论赛组队”等实例培养数学抽象与数学建模能力，母题变式（如“有放回”与“不放回”对比）强化数学运算。课中助力教师引导概念理解，课后分层练习帮助学生巩固提升，有效查漏补缺。

7．4.2　超几何分布 学业标准 素养目标 1．通过具体实例，了解超几何分布．(重点) 2．能利用超几何分布解决简单的实际问题．(难点) 1．通过超几何分布概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．利用超几何分布解决实际应用问题，提升数学运算、数学建模等核心素养． [对应学生用书P52] 导学　超几何分布 　在含有5名男生的100名学生中，任选3人． (1)求其中恰有1名男生的概率表达式． [提示]　. (2)求其中恰有2名男生的概率表达式． [提示]　. ◎结论形成 1．超几何分布的定义：假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N, M∈N*，M≤N，n≤N，则m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 2．超几何分布的均值：设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品的次品数．令p＝，则E(X)＝____＝__np__． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)服从超几何分布的随机试验是不放回抽取．(　　) (2)超几何分布的总体里只有两类物品．(　　) (3)某射手的命中率为0.8，现对目标射击3次，命中目标的次数X服从超几何分布．(　　) (4)超几何分布与二项分布没有任何联系．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．已知在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是(　　) A．P(X＝2)　　　　　 B．P(X≤2) C．P(X＝4) D．P(X≤4) 解析　X服从超几何分布，基本事件总数为C，所求事件数为CC， ∴P(X＝4)＝. 答案　C 3．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为(　　) A．　　　　　　　 B． C．1－ D． 解析　出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品概率为，故答案为1－. 答案　C 4．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率为______(结果用最简分数表示). 解析　设随机变量X表示取出次品的个数，则X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3， 它的可能的取值为0，1，2，相应的概率为P(X＝1)＝＝. 答案　 [对应学生用书P53] 题型一　超几何分布　(一题多变) 　[教材例4·拓展]一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球． (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率； (2)记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列． [解析]　(1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n＝C＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为CCC＝6， 所以取出的3个球的颜色都不相同的概率为P＝＝. (2)由题意知X＝0，1，2，3， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P [母题变式] 1．(变结论)本例的条件不变，若记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的分布列． 解析　由题意可知η＝0，1，服从两点分布． 又P(η＝1)＝＝， 所以η的分布列为 η 0 1 P 2．(变条件)把本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次球，每次抽取1个球”，其他条件不变，结果又如何？ 解析　(1)取出3个球颜色都不相同的概率P＝＝. (2)由题意知X＝0，1，2，3. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝. P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 超几何分布的求解步骤 (1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否由具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型． (2)算概率：可以直接借助公式P(X＝k)＝求解，也可以利用排列、组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义． (3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来． [触类旁通] 1．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，白粽8个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个． (1)求既有豆沙粽又有白粽的概率； (2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列． 解析　(1)记事件A：取出的3个都是白粽， 则P(A)＝＝＝， 所以既有豆沙粽又有白粽的概率为 1－P(A)＝1－＝. (2)X的可能取值为0，1，2， 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 题型二　超几何分布的综合应用 　甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道试题，乙能答对其中的8道试题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，答对一题得5分，答错一题得0分．求： (1)甲答对试题数X的分布列； (2)乙所得分数Y的分布列； (3)求乙的得分不低于10分的概率． [解析]　(1)X的可能取值为0，1，2，3. P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝. 所以甲答对试题数X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)乙答对试题数可能为1，2，3，所以乙所得分数Y＝5，10，15. P(Y＝5)＝＝＝， P(Y＝10)＝＝＝， P(Y＝15)＝＝＝. 所以乙所得分数Y的分布列为 Y 5 10 15 P (3)由(2)可知，根据随机变量Y的分布列，可以得到乙的得分不低于10分的概率为 P(X≥10)＝P(X＝10)＋P(X＝15)＝＋＝. [素养聚焦]　解决超几何分布的实际应用问题的关键是在具体的问题中识别超几何分布，把题目条件和公式相对应，借以应用公式．在此过程中，培养数学建模和数学运算核心素养． 1．在求离散型随机变量的分布列时，明确随机变量所取的每个值表示的意义是关键． 2．求与分布列有关的概率问题，一般是把所求概率的事件分解为几个互斥的事件，然后利用概率的加法公式计算． [触类旁通] 2．某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队． (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列． 解析　(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人． 代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝. (2)根据题意，X的所有可能取值为1，2，3. P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 题型三　超几何分布的均值和方差 　某班从5名班干部(其中男生3人，女生2人)中选3人参加学校学生会的干部竞选．设所选3人中女生人数为X，求随机变量X的方差． [解析]　X的所有可能取值为0，1，2，所以依题意得P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝， 或E(X)＝＝. D(X)＝×＋×＋×＝. 若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)＝＝np，熟练应用上述两公式可大大减少运算量，提高解题速度，但应用公式求均值前要仔细辨别随机变量所服从的分布类型，若不能应用公式，则利用均值的定义计算． [触类旁通] 3．一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则X的均值是(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 解析　法一　题意得，P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝. ∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝，故A正确． 法二　易知X服从超几何分布，所以E(X)＝＝. 答案　A 知识落实 技法强化 1．超几何分布的概念及特征． 2．超几何分布的均值． 3．超几何分布与二项分布的区别与联系． 超几何分布与二项分布混淆，前者是不放回抽样，后者是有放回抽样． [必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列随机变量中，服从超几何分布的有(　　) A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X B．从3台甲型电脑和2台乙型电脑中任取2台，记X表示所取的2台电脑中甲型电脑的台数 C．一名学生骑自行车上学，途中有6个红绿灯，记此学生遇到红灯的个数为X D．从10名男生、5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X 解析　依据超几何分布模型定义可知，A，B，D中随机变量X服从超几何分布，而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故C中随机变量X不服从超几何分布． 答案　ABD 2．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为(　　) A．　 　 B．　 　 C．　 　 D． 解析　由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝＝. 答案　B 3．某党支部有10名党员，7男3女，现从中选取2人做汇报，若X表示选中的女党员数，则P＝(　　) A． B． C． D．1 解析　根据超几何分布的概率公式直接计算． 由题意，知X服从超几何分布，X的可能取值为0，1，2， 故P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝. 故选C. 答案　C 4．一个盒子里装有相同大小的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是(　　) A．P(0<X≤2) B．P(X≤1) C．P(X＝1) D．P(X＝2) 解析　本题相当于最多取出1个白球的概率，也就是取到1个白球或没有取到白球，故选B. 答案　B 5．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________(用式子表示). 解析　二级品不多于1台，即一级品有3台或4台． 答案　 6．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人.现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝________． 解析　易知P(X＝1)＝＝. 答案　 7．盒子中共有8件产品，其中有2件次品，现从中随机选取3件产品，记次品的件数为X，则X的均值为________． 解析　因为X服从超几何分布，所以E(X)＝＝. 答案　 8．某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下： 奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额 一等奖 3红1蓝 200元 二等奖 3红0蓝 50元 三等奖 2红1蓝 10元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级． (1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率； (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列． 解析　设Ai(i＝0，1，2，3)表示摸到i个红球，Bj(j＝0，1)表示摸到j个蓝球． (1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝＝. (2)X的所有可能值为0，10，50，200，且： P(X＝200)＝·＝， P(X＝50)＝·＝， P(X＝10)＝·＝＝， P(X＝0)＝1－－－＝. 综上可知X的分布列为 X 0 10 50 200 P [关键能力·综合提升] 9．(多选题)10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则a等于(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析　由题意知，＝， 整理，得a2－10a＋16＝0， 解得a＝2或8. 答案　BD 10．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是的事件为(　　) A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是好的 D．最多有2个是坏的 解析　“X＝k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”， 则P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4). 所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝， P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，故选C. 答案　C 11．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员．从这10人中任选4人参加某项活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝__________． 解析　P(X＝3)＝＝. 答案　 12．袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率P(ξ≥8)＝________． 解析　由题意知P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝6)－P(ξ＝4)＝1－－＝. 答案　 13．袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求： (1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X的分布列； (3)计算介于20分到40分之间的概率． 解析　(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A， 则P(A)＝＝. (2)由题意，X所有可能的取值为2，3，4，5. P(X＝2)＝＝； P(X＝3)＝＝； P(X＝4)＝＝； P(X＝5)＝＝. 所以随机变量X的概率分布列为 X 2 3 4 5 P (3)“一次取球得分介于20分到40分之间”记为事件C， 则P(C)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝. [核心价值·探索创新] 14．某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲能答对6个，则甲通过自主招生初试的概率为________，记甲答对试题的个数为X，则X的均值E(X)＝________． 解析　依题意，甲能通过的概率为 P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝＋＝. 由于P(X＝2)＝＝， 法一　故E(X)＝2×＋3×＋4×＝3. 法二　E(X)＝＝3. 答案　　3 15．某人有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，一次他醉酒后拿钥匙去开门．由于看不清是哪把钥匙，他只好逐一去试．若不能开门，则把钥匙扔到一边，记打开门时试开门的次数为ξ. (1)求ξ的分布列和期望； (2)求他至多试开3次的概率． 解析　(1)ξ的所有可能取值为1，2，3，4，5， 且P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝， P(ξ＝5)＝＝. 因此ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 P 所以E(X)＝(1＋2＋3＋4＋5)×＝3. (2)由分布列知P(ξ≤3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＋＝. 学科网（北京）股份有限公司 $