7.4.1 二项分布-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦二项分布核心知识点，通过抛掷硬币、射击等实例引入伯努利试验，明确其“两个结果、相互独立”特征，进而构建n重伯努利试验模型，最终导出二项分布的定义、分布列及均值方差公式，形成从具体到抽象的学习支架。 该资料以问题链驱动概念生成，如导学问题引导学生自主归纳伯努利试验特征，培养数学抽象素养。通过射击命中、种子发芽等实例设计“一题多变”及综合应用题型，提升数学建模与运算能力。课中助力教师引导探究，课后分层练习（基础巩固、综合提升）帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

7．4　二项分布与超几何分布 7．4.1　二项分布 学业标准 素养目标 1．通过具体实例，了解伯努利试验．(重点) 2．掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题．(难点) 1．通过对伯努利试验和二项分布等概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．利用二项分布解决实际应用问题，提升数学运算、数学建模等核心素养． [对应学生用书P48] 导学1　n重伯努利试验 　要研究抛掷硬币时出现的统计规律性，需要在相同的条件下多次重复做此试验． (1)试验结果有哪些？ [提示]　正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生． (2)各次试验的结果有无影响？ [提示]　无，即各次试验相互独立． ◎结论形成 1．伯努利试验：只包含__两个试验__结果的试验叫做伯努利试验． 2．n重伯努利试验 (1)定义：将一个伯努利试验独立地__重复__进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． (2)n重伯努利试验的特征：①同一个伯努利试验__重复__做n次；②各次试验的结果__相互独立__． 导学2　二项分布 　射击比赛时，某射击运动员连续射击3次，每次击中靶心的概率都是0.8，用Ai(i＝1，2，3)表示第i次击中靶心这个事件，用Bk表示事件仅击中k次． (1)用Ai如何表示B1，并求P(B1). [提示]　B1＝(A123)∪(1A23)∪(12A3)， 因为P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8，且A123，1A23，12A3两两互斥， 故P(B1)＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22＝3×0.8×0.22＝0.096. (2)P(B2)和P(B3)的值是什么？ [提示]　P(B2)＝3×0.2×0.82＝0.384， P(B3)＝0.83＝0.512. (3)由以上问题的结果你能得出什么结论？ [提示]　P(Bk)＝C0.8k0.23-k(k＝0，1，2，3). ◎结论形成 1．二项分布 (1)在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 P(X＝k)＝__Cpk(1－p)n－k__，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作__X～B(n，p)__． (2)性质：P(X＝k)＝1. 2．二项分布的均值与方差 如果X～B(n，p)，那么E(X)＝__np__，D(X)＝__np(1－p)__ . 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)n重伯努利试验每次试验之间是相互独立的．(　　) (2)n重伯努利试验每次试验只有发生与不发生两种结果．(　　) (3)n重伯努利试验各次试验发生的事件是互斥的.(　　) (4)设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X～B(n，p).(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．下列事件：①运动员甲射击箭靶一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击箭靶一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击箭靶一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标．其中是n重伯努利试验的是(　　) A．①　 　 B．②　 　 C．③　 　 D．④ 解析　①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互独立事件；④是n重伯努利试验． 答案　D 3．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是(　　) A． B． C． D． 解析　播下3粒种子恰有2粒发芽的概率为C×＝. 答案　B 4．设如果X～B，那么E(X)＝________，D(X)＝________． 解析　E(X)＝4×＝，D(X)＝4××＝. 答案　　 [对应学生用书P49] 题型一　求n重伯努利试验的概率　(一题多变) 　某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次．求： (1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率； (2)其中恰有3次击中目标的概率． [解析]　(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也就是在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影响，故所求概率为P＝××××＝； (2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标．根据排列组合知识，5次当中选3次，共有C种情况，因为各次射击的结果互不影响，所以符合n重伯努利试验概率模型．故所求概率为P＝C××＝. [母题变式] (变结论)本例的条件不变，求该射手射击5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率． 解析　该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，把3次连续击中目标看成一个整体可得共有C种情况．故所求概率为P＝C··＝. 解答n重伯努利试验中概率问题的几点注意 (1)先要判断问题中所涉及的试验是否为n重独立重复试验． (2)要注意分析所研究的事件的含义，并根据题意划分为若干个互斥事件的并． (3)要善于分析规律，恰当应用排列、组合数简化运算． [触类旁通] 1．某安全监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检)，若安检不合格，则必须整改．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率都是0.5.求： (1)恰有两家煤矿必须整改的概率； (2)至少有两家煤矿必须整改的概率． 解析　设需整改的煤矿有X家，则X～B(5，0.5). (1)恰好有两家煤矿必须整改的概率为P(X＝2)＝C×(1－0.5)2×0.53＝. (2)“至少有两家煤矿必须整改”的对立事件为“5家都不用整改或只有一家必须整改”，其概率为P(X＝0)＋P(X＝1)＝C×(1－0.5)0×0.55＋C×(1－0.5)1×0.54＝， 所以至少有两家煤矿必须整改的概率为 1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－＝. 题型二　求二项分布的分布列、均值和方差 　袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．有放回抽样时，求取到黑球的个数X的分布列、均值和方差． [解析]　有放回抽样时，取到的黑球数X可能的取值为0，1，2，3.又每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3重独立重复试验，则X～B. ∴P(X＝0)＝C×＝， P(X＝1)＝C××＝， P(X＝2)＝C××＝， P(X＝3)＝C×＝. ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P 因为X～B，所以E(X)＝3×＝，D(X)＝3××＝. 解决二项分布问题的两个关注点 (1)对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，必须在满足“n重伯努利试验”时才能应用，否则不能应用该公式． (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次． [触类旁通] 2．某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列、均值和方差． 解析　由题意可知X～B， 所以P(X＝k)＝C(k＝0，1，2，3). P(X＝0)＝C＝， P(X＝1)＝C··＝， P(X＝2)＝C·＝， P(X＝3)＝C＝. 所以分布列为 X 0 1 2 3 P 因为X～B，所以E(X)＝3×＝， D(X)＝3××＝. 题型三　二项分布的综合应用 　[教材例3·拓展]一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是. (1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列； (2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率． [解析]　(1)由ξ～B，则P(ξ＝k)＝C，k＝0，1，2，3，4，5. 即P(ξ＝0)＝C××＝； P(ξ＝1)＝C××＝； P(ξ＝2)＝C××＝； P(ξ＝3)＝C××＝； P(ξ＝4)＝C××＝； P(ξ＝5)＝C×＝. 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 P (2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝·，k＝0，1，2，3，4， 即P(η＝0)＝×＝； P(η＝1)＝×＝； P(η＝2)＝×＝； P(η＝3)＝×＝； P(η＝4)＝×＝； P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝＝. 故η的分布列为 η 0 1 2 3 4 5 P (3)所求概率为P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－＝. [素养聚焦]　在利用二项分布解决简单的实际问题时，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”等词语的意义，在解题过程中，提升数学建模等核心素养． 对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、n重伯努利试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别应用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解． [触类旁通] 3．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响． (1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率； (2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； (3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．问：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？ 解析　用A表示事件甲射击一次击中目标，B表示事件乙射击一次击中目标，则A，B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝. (1)用C表示事件甲射击4次，至少有1次未击中目标，则P(C)＝1－＝. (2)用D表示事件两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次，∴P(D)＝C···C··＝. (3)甲恰好射击5次，被中止射击，说明甲第4、5次未击中目标，第3次击中目标，第1、2两次至多一次未击中目标，故所求概率P＝··＝. 知识落实 技法强化 1．n重伯努利试验的概念及特征． 2．二项分布的概念及表示． 在数学建模过程中常出现对二项分布的判断错误． [必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列说法正确的是(　　) A. “依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上”是n重伯努利试验 B．某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10，0.6) C．某福彩的中奖概率为P，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，P) D．从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B 解析　A中由于四枚硬币的质地不同，即试验的条件不同，所以该试验不是n重伯努利试验；BC显然满足n重伯努利试验的条件，而D虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义． 答案　BC 2．已知随机变量ξ～B，则P(ξ＝2)＝(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． 解析　P(ξ＝2)＝C＝. 答案　D 3．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队的实力之比为3∶2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为(　　) A．C· B．C· C．C· D．C· 解析　甲打完4局才胜，说明在前三局中甲胜两局，且在第4局中获胜， 其概率为P＝C××＝C×. 答案　A 4．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学通过测试的概率都是p(0<p<1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有1位同学通过测试的概率为(　　) A．(1－p)n B．1－pn C．pn D．1－(1－p)n 解析　所有同学都不能通过测试的概率为(1－p)n，则至少有1位同学能通过测试的概率为1－(1－p)n. 答案　D 5．某一供电网络，有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是________． 解析　依题意知，用电单位个数X服从二项分布，且X～B(n，p)，∴E(X)＝np. 答案　np 6．已知随机变量X服从二项分布B(n，p).若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________． 解析　由E(X)＝30，D(X)＝20，可得 解得p＝. 答案　 7．一个学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为________． 解析　由1－C>0.9，得<0.1， ∴n≥4. 答案　4 8．甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为，没有平局． (1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率是多少？ (2)若进行五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？ 解析　(1)甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜， 则P＝＋C×××＝. (2)甲前三局胜，或甲第四局胜，而前三局仅胜两局，或甲第五局胜，而前四局仅胜两局，则P＝＋C×××＋C×××＝. [关键能力·综合提升] 9. (多选题)设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)＝，则(　　) A．p＝ B．E(ξ)＝ C．D(η)＝1 D．P(η≥2)＝ 解析　∵P(ξ＝0)＋P(ξ≥1)＝1， ∴C(1－p)2＋＝1，∴p＝. ∴E(ξ)＝2×＝， D(η)＝3××＝. P(η≥2)＝Cp3＋Cp2(1－p)＝＋＝. 答案　ABD 10．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测：方法一，在10箱中各任意抽查一枚；方法二，在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、方法二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p1和p2，则(　　) A．p1＝p2 B．p1<p2 C．p1>p2 D．以上三种情况都有可能 解析　法一　每箱选中劣币的概率为，则p1＝1－C×0.010×0.9910＝1－； 法二　所求事件的概率p2＝1－＝1－，∴p1<p2. 答案　B 11．设X～B(2，p)，若P(X≥1)＝，则p＝________． 解析　∵X～B(2，p)， ∴P(X＝k)＝Cpk(1－p)2-k，k＝0，1，2. ∴P(X≥1)＝1－P(X＜1)＝1－P(X＝0)＝1－Cp0(1－p)2＝1－(1－p)2， ∴1－(1－p)2＝. 结合0≤p≤1，解之得p＝. 答案　 12． 泊松分布的概率分布列为P(X＝k)＝e－λ(k∈N)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．若随机变量X服从二项分布B(n，p)，当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中λ＝np，即P(X＝k)＝(n∈N*，k∈N).现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则抽到的次品的个数小于2的概率约为 __________． 解析　由已知np＝100×0.01＝1， P(X＝1)＝≈0.37，P(X＝0)＝≈0.37， 所以抽到的次品的个数小于2的概率为P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.37＋0.37＝0.74. 答案　0.74 13．一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗， 假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的， 并且概率是. (1)求这位司机遇到红灯数X的期望与方差； (2)若遇上红灯， 则需等待30秒， 求司机总共等待时间Y的期望与方差． 解析　(1)易知司机遇上红灯次数X服从二项分布，且X～B， ∴E(X)＝6×＝2， D(X)＝6××＝. (2)由已知Y＝30X， ∴E(Y)＝30E(X)＝60，D(Y)＝900D(X)＝1 200. [核心价值·探索创新] 14．若X～B，则使P(X＝k)最大的k的值是(　　) A．2 B．3 C．2或3 D．4 解析　P(X＝k)＝Ck＝C， 又＝＝， 当k<时，P(X＝k＋1)>P(X＝k)， 当k>时，P(X＝k＋1)<P(X＝k)， ∴当k＝3时，P(X＝k)取得最大值． 答案　B 15．蛟龙号从海底中带回某种生物，甲、乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该次试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的． (1)甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率； (2)若甲、乙两小组各进行2次试验，求两个小组试验成功至少3次的概率． 解析　 (1)设“甲小组做了三次试验，至少两次试验成功”为事件A，则其概率为P(A)＝C××＋C＝. (2)设“甲乙两小组试验成功3次”为事件B，则 P(B)＝CC＋C·C＝， 设“甲乙两小组试验成功4次”为事件C，则P(C)＝C·C＝， 故两个小组试验成功至少3次的概率为 P(B)＋P(C)＝＋＝. 学科网（北京）股份有限公司 $