7.1.2 全概率公式-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦全概率公式这一核心知识点，通过两箱摸球的具体问题情境导入，引导学生发现事件概率关系，结合互斥事件、条件概率等基础，抽象概括出全概率公式，构建“问题情境-关系探究-公式形成-应用拓展”的学习支架。 资料以问题驱动推导过程，培养数学抽象素养，结合公司员工抽样、零件次品等实际案例，强化数学建模与逻辑推理能力。一题多解和分层练习设计，课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升运算与解决实际问题能力。

7．1.2　全概率公式 学业标准 素养目标 1．理解全概率公式及其推导过程．(重点) 2．结合古典概型，利用全概率公式求事件的概率．(重点、难点) 1．通过对全概率公式的推导，培养数学抽象等核心素养． 2．通过全概率公式的应用，加强数学运算、逻辑推理数学建模核心素养的培养． [对应学生用书P35] 导学　全概率公式 　甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球、4个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A为“从甲箱里摸出白球”，B为“从乙箱里摸出白球”． (1)试求P(A), P(AB)，P(A)； [提示]　P(A)＝，P(AB)＝＝，P(A)＝＝. (2)P(A), P(AB)，P(A)有什么关系？ [提示]　P(A)＝ P(AB)＋P(A). ◎结论形成 全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai). 称上面的公式为全概率公式． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|).(　　) (2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．(　　) (3)P(A)＝P(A|B1)＋P(A|B2).(　　) (4)P(A)＝P(AB)＋P(B).(　　) 答案　(1)√　 (2)√　(3)×　(4)× 2．若P(B)＝0.5，P(B)＝0.02，则P(BA)＝(　　) A．0.52　　　　　　　　 B．0.48 C．0.01 D．0.2 解析　P(BA)＝P(B)－P(B)＝0.5－0.02＝0.48. 答案　B 3．已知事件A，B满足P(A)＝P()，P(B)＝0.3，P(B|)＝0.4，则P(B|A)＝________． 解析　因为A，互为对立事件且P(A)＝P()， 所以P(A)＝P()＝0.5， P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.5×P(B|A)＋0.5×0.4＝0.3， 所以P(B|A)＝0.2. 答案　0.2 4．已知P(A)＝，P(B|A)＝，P(|)＝，则P(B)＝________． 解析　因为P(A)＝， 所以P()＝1－P(A)＝1－＝， 因为P(|)＝， 所以P(B|)＝1－P(|)＝1－＝， 所以由全概率公式可得 P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|)P()＝×＋×＝. 答案　 [对应学生用书P36] 题型一　全概率公式的简单应用 　(1)已知P()＝0.4，P(|A)＝0.6，求P(AB)； (2)已知P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.4，P(B|)＝0.1，求P(B)和P(A|B). [解析]　(1)因为P()＝0.4，所以P(A)＝0.6， P(A)＝P(A)P(|A)＝0.6×0.6＝0.36， P(AB)＝P(A)－P(A)＝0.6－0.36＝0.24. (2)由题意可知，P()＝1－0.8＝0.2， 所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) ＝0.8×0.4＋0.2×0.1＝0.34， P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.8×0.4＝0.32， 所以P(A|B)＝＝＝. 解决此类问题，要熟练应用以下公式并且注意各事件间的关系： (1)P(A)＝P(AB)＋P(A)； (2)条件概率公式和乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)，P(B|A)＝； (3)全概率公式：P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|). [触类旁通] 1．已知P()＝0.9，P(B|A)＝0.6，P(B|)＝0.4，求P()，P(A|B). 解析　由题意可得P(A)＝1－P()＝0.1， P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.1×0.6＋0.9×0.4＝0.42. P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.1×0.6＝0.06， 所以P(A|B)＝＝＝. 题型二　全概率公式的实际应用　(一题多解) 　[教材例5·迁移]已知某公司有甲、乙两个分公司，男女员工人数如下表所示： 公司 男员工人数 女员工人数 甲 240 120 乙 100 40 公司按照分层随机抽样的方法抽取了50名员工组成职工委员会，现从该职工委员会中随机抽取一名员工参加上级工会会议，求该员工为女员工的概率． [解析]　法一　由题意可知，该公司的职工委员会中甲分公司的男员工有240×＝24人， 女员工有120×＝12人， 乙分公司的男员工有100×＝10人，女员工有40×＝4人， 用A和分别表示该员工来自甲分公司和乙分公司，用B表示该员工为女员工， 则P(A)＝＝， P()＝＝， 且P(B|A)＝＝， P(B|)＝＝， 由全概率公式可得，该员工为女员工的概率为 P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝. 法二　由题意可知，该公司的职工委员会中甲分公司的女员工有120×＝12人， 乙分公司的女员工有40×＝4人，所以共有女员工16人， 用B表示该员工为女员工，则该员工为女员工的概率为P(B)＝＝. 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂的事件的概率计算问题，分解为若干个简单事件的概率计算问题，最后应用概率的可加性求出最终结果．用树状图表示如下： [触类旁通] 2．假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有5件次品．现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件． (1)求取出的零件是次品的概率； (2)已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率． 解析　(1)设事件Ai＝“从第i箱中取一个零件”(i＝1，2)， 事件B＝“取出的零件是次品”， 则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥， 则P(A1)＝，P(A2)＝， 所以P(B|A1)＝＝， P(B|A2)＝＝， 所以P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝×＋×＝， 所以取出的零件是次品的概率为. (2)取出的是次品是从第一箱取出的概率P(A1|B)＝＝＝＝， 所以已知取出的是次品，则它是从第一箱取出的概率为. 题型三　全概率公式与其他知识的交汇的应用 　盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，3个是旧的．第一次比赛时，从中任意取出了3个来用，用完后仍放回盒中(新球用后成了旧球).第二次比赛时再从盒中取出3个来用，求第二次取出的3个球均为新球的概率． [解析]　设A表示第二次取出3个球均为新球，Bi为第一次取出3球中有i个新球，i＝0，1，2，3，则 P(B0)＝＝，P(B1)＝＝， P(B2)＝＝，P(B3)＝＝， P(A|B0)＝＝，P(A|B1)＝＝， P(A|B2)＝＝，P(A|B3)＝＝， 所以P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)＝0.145 8. [素养聚焦]　在应用全概率公式解决实际应用问题时，关键是把实际问题转化为数学问题，即建模，通过解决此类问题着重培养数学建模核心素养． 应用全概率公式计算事件的概率时的注意点 (1)要把所求概率的事件分解为若干个互斥的事件，然后利用互斥事件的性质计算概率． (2)题目没有给出明确概率的大小时，要结合排列组合知识和古典概型计算各事件的概率． (3)注意乘法公式和全概率公式的区别：乘法公式是求“几个事件发生”的概率；全概率公式是求“最后结果”的概率． [触类旁通] 3．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7，飞机被一人击中而击落的概率是0.2，被两人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率． 解析　设事件A为飞机被击落，Bi为飞机被i人击落，i＝1，2，3， 所以P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6， P(A|B3)＝1， 且A＝B1A＋B2A＋B3A， 设Hi表示飞机被第i人击落，i＝1，2，3， 可得P(B1)＝P(H1 2 3＋1H23＋12H3)＝0.36， P(B2)＝P(H1H23＋1H2H3＋H12H3)＝0.41， P(B3)＝P(H1H2H3)＝0.14， 由全概率公式可得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3) ＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458， 即飞机被击落的概率为0.458. 知识落实 技法强化 1．全概率公式． 2．贝叶斯公式． 解题过程中常见出现事件拆分不合理或不全面． [必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列公式正确的是(　　) A．P(A)＝P(BA)＋P(B) B．P(B)＝P(BA)＋P(B) C．P(A)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) D．P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) 解析　由互斥事件概率的加法公式可知选项B正确，由全概率公式可知选项D正确． 答案　BD 2．已知P(B)＝0.3，P(B|A)＝0.9，P(B|)＝0.2，则P(A)＝(　　) A．　　　　　　　　 B． C．0.33 D．0.1 解析　由P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)可得0.3＝P(A)×0.9＋[1－P(A)]×0.2， 解得P(A)＝. 答案　A 3．书架上有3本语文书，2本数学书，甲、乙两位同学先后从书架上任取一本书，则乙取到语文书的概率是(　　) A． B． C． D． 解析　用B表示乙取到语文书，A表示甲取到语文书，则P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝. 答案　B 4．已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，现随机选一人，则此人恰是色盲的概率是(　　) A．0.012 45 B．0.057 86 C．0.026 25 D．0.028 65 解析　用事件A，B分别表示随机选一人是男人或女人，用事件C表示此人恰好患色盲，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)·P(C|B)＝×5%＋×0.25%＝0.026 25. 答案　C 5．若P(B)＝0.7，P(A|)＝0.6，P(A)＝0.4，则P(AB)＝________；P(B|A)＝________． 解析　因为P(B)＝0.7，所以P()＝0.3， 所以P(A)＝0.3×0.6＝0.18， P(AB)＝P(A)－P(A)＝0.4－0.18＝0.22， 所以P(B|A)＝＝＝. 答案　0.22　 6．已知P(A)＝0.9，P(|A)＝0.6，P(|)＝0.5，则P(A|)＝____________． 解析　P()＝P(A)P(|A)＋P()P(|)＝0.9×0.6＋0.1×0.5＝0.59，P(A|)＝＝＝＝. 答案　 7．人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化．现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为______． 解析　记A为事件“利率下调”，那么即为“利率不变”，记B为事件“股票价格上涨”． 依题设知P(A)＝60%，P()＝40%，P(B|A)＝80%，P(B|)＝40%， 于是P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝60%×80%＋40%×40%＝64%. 答案　64% 8．已知高三某班是否有意向报考师范大学的情况如下表所示： 男生/人 女生/人 有报考师范大学的意向 6 10 没有报考师范大学的意向 24 10 从该班任选一名同学，求该同学有报考师范大学意向的概率． 解析　法一　由全概率公式可得从该班任选一名同学，则该同学有报考师范大学意向的概率为×＋×＝. 法二　由古典概型的概率公式可得从该班任选一名同学，则该同学有报考师范大学意向的概率为＝. [关键能力·综合提升] 9．(2025·威海高二期末)已知随机事件A，B满足P(AB)＝0.4，P(A)＝0.6，P(B|)＝0.5，则P(B)＝(　　) A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 解析　随机事件A，B满足P(AB)＝0.4，P(A)＝0.6，则P(B|A)＝＝＝， 又P(B|)＝0.5， 则P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.6×＋0.4×0.5＝0.6.故选C. 答案　C 10．(多选题)若0<P(A)<1，0<P(B)<1，则下列式子中成立的有(　　) A．P(A|B)＝ B．P(AB)＝P(A)P(B|A) C．P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) D．P(A|B)＝ 解析　由条件概率的计算公式知A错误；B，C显然正确；D选项中，因为P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)，所以P(A|B)＝＝＝，故D正确． 答案　BCD 11．已知P(A)＝0.6，P(AB)＝0.2，则P(A)＝________． 解析　P(A)＝P(A)－P(AB)＝0.6－0.2＝0.4. 答案　0.4 12．(2025·菏泽高二期末)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.假设发送信号0和1是等可能的，则接收信号为1的概率是________． 解析　设A＝“发送的信号为0”， B＝“接收到的信号为0”，则＝“发送的信号为1”， ＝ “接收到的信号为1”．由题意得 P(A)＝P()＝0.5，P(B|A)＝0.8，P(|A)＝0.2， P(B|)＝0.1，P(|)＝0.9， P()＝P(A)P(|A)＋P()P(|)＝0.5×0.2＋0.5×0.9＝0.55. 故答案为0.55. 答案　0.55 13．有三个罐子，1号罐装有2红1黑球，2号罐装有3红1黑球，3号罐装有2红2黑球．某人从中随机取一罐，在从中任意取出一球，求取出的是红球的概率． 解析　用A表示取出的是红球，用Bi表示球取自i号罐，i＝1，2，3，则P(Bi)＝，P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，所以P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝×＋×＋×＝. [核心价值·探索创新] 14．盒中有a朵红花、b朵黄花，现随机从中取出1朵，观察其颜色后放回，并放入同色花c朵，再从盒中随机取出1朵花，则第二次取出的是黄花的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　设A表示“第一次取出的是黄花”，B表示“第二次取出的是黄花”，则B＝AB∪B，由全概率公式知P(B)＝P(A)(B|A)＋P()P(B|)， 由题意P(A)＝，P(B|A)＝， P()＝，P(B|)＝， 所以P(B)＝＋＝. 答案　A 15．chatGPT是由OpenAI开发的一款人工智能机器人程序，一经推出就火遍全球， chatGPT的开发主要采用RLHF(人类反馈强化学习)技术，训练分为以下三个阶段．第一阶段：训练监督策略模型．对抽取的prompt数据，人工进行高质量的回答，获取〈prompl, answer〉数据对，帮助数学模型GPT-4更好地理解指令．第二阶段：训练奖励模型，用上一阶段训练好的数学模型，生成k个不同的回答，人工标注排名，通过奖励模型给出不同的数值，奖励数值越高越好．奖励数值可以通过最小化下面的交叉损失函数得到：Loss＝－yi ln i，其中yi∈{0，1}，i∈(0，1)，且 i＝1.第三阶段：实验与强化模型和算法．通过调整模型的参数，使模型得到最大奖以符合人工的选择取向． (1)若已知某单个样本，共真实分布y＝[y1，y2，…，y10]＝[0，0，0，0，1，0，0，0，0，0]，共预测近似分布＝[y1，y2，…，y10]＝[0，0.2，0，0，0.7，0，0，0.1，0，0]，计算该单个样本的交叉损失函数Loss的值； (2)某次测试输入的问题中出现语法错误的概率为5%，如果输入问题没有语法错误，chatGPT的回答被采纳的概率为90%，如果出现语法错误，chatGPT的回答被采纳的概率为50%. ①求chatGPT的回答被采纳的概率； ②已知chatGPT的回答被采纳，求该测试输入的问题没有语法错误的概率． 参考数据：ln 2＝0.693，ln 5≈1.609，ln 7≈1.946. 解析　(1)由题意，该单个样本的交叉损失函数： Loss＝－yi ln i＝－1×ln 0.7＝－ln ＝ln ＝ln 2＋ln 5－ln 7≈0.356. (2)记事件A：charGPT中输入的语法无错误；事件B：charGPT中输入的语法有错误；事件C：chatGPT的回答被采纳． 依题意：P(A)＝0.95，P(B)＝0.05，P(C|A)＝0.9，P(C|B)＝0.5. ①由全概率公式得，chatGPT的回答被采纳的概率为P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝0.95×0.9＋0.05×0.5＝0.88. ②依题意，P(A|C)＝＝＝＝. 所以该测试输入的问题没有语法错误的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $