6.3.1 二项式定理-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学二项式定理核心知识点，从初中(a+b)²、(a+b)³展开式入手，通过多项式乘法推导、组合观点解释系数来源，类比推广至(a+b)ⁿ展开式，系统梳理二项式定理及通项公式，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以问题链驱动探究，通过“展开式特点”“组合观点解释”等引导学生抽象出二项式定理，培养数学抽象与逻辑推理素养。例题分层设计，从基础展开到特定项求解，提升数学运算能力。课中助力教师引导学生自主构建知识，课后练习题与知识落实部分帮助学生巩固提升，弥补盲点。

6．3　二项式定理 6．3.1　二项式定理 学业标准 素养目标 1．能用计数原理证明二项式定理．(难点) 2．掌握二项式定理及其展开式的通项公式．(重点) 3．会用二项式定理解决有关的简单问题．(重点) 1．通过理解二项式定理及二项展开式的通项公式，培养数学抽象核心素养． 2．在利用二项式定理的通项公式求特定项的过程中，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． [对应学生用书P19] 导学　二项式定理 　我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式． [提示]　(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3， (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4. 　上述两个等式的右侧有何特点？ [提示]　(a＋b)3的展开式有4项，每项的次数是3；(a＋b)4的展开式有5项，每一项的次数为4. 　你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？ [提示]　(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b).由多项式的乘法法则知，从每个(a＋b)中选a或选b相乘即得展开式中的一项． 若都选a，则得Ca4b0； 若有一个选b，其余三个选a，则得Ca3b； 若有两个选b，其余两个选a，则得Ca2b2； 若有三个选b，一个选a，则得Cab3； 若都选b，则得Ca0b4. 　能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？ [提示]　能，(a＋b)n＝Can＋Can-1b＋…＋Cbn. ◎结论形成 二项式定理及其相关概念 二项式定理 当n是正整数时，有(a＋b)n＝Can＋Can-1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn， 上述公式称为二项式定理 (a＋b)n的展开式 等式右边的式子称为(a＋b)n的展开式，它共有__n＋1__项 通项 其中Can－kbk 是展开式中的第__k＋1__项，叫做二项展开式的通项(通常用Tk＋1表示) 二项式系数 __C(k＝0，1，…，n)__称为第k＋1项的二项式系数 通项公式 我们将Tk＋1＝__Can－kbk__称为二项展开式的通项公式．其中n是正整数，k是满足0≤k≤n的正整数 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项．(　　) (2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．(　　) (3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(　　) (4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC＝(　　) A．1　　　　　　　 B．1 C．(－1)n D．3n 解析　逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b， 可得原式＝(1－2)n＝(－1)n. 答案　C 3．在的展开式中，第4项是________． 解析　由通项公式可得T4＝C(2x2)3·＝C·(－1)3·23·x3， 所以T4＝－160x3. 答案　－160x3 4．在的展开式中，x2的系数是________． 解析　∵Tk＋1＝Cx5-k＝2kCx5-3k， 令5－3k＝2，得k＝1， ∴T2＝2Cx2＝10x2，∴x2的系数是10. 答案　10 [对应学生用书P20] 题型一　二项式定理的展开式 　利用(a＋b)n的二项展开式解题． (1)求(a＋2b)4的展开式； (2)求的展开式． [解析]　(1)根据二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can-1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn， 得(a＋2b)4＝Ca4＋Ca3(2b)＋Ca2(2b)2＋Ca·(2b)3＋C(2b)4＝a4＋8a3b＋24a2b2＋32ab3＋16b4. (2)＝C(2x)5＋C(2x)4＋C(2x)3＋C(2x)2＋C(2x)＋C＝32x5－120x2＋－＋－. 运用二项式定理展开二项式，要记准展开式的通项公式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷；要搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二项式系数的区别．逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． [触类旁通] 1．(1)求的展开式； (2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1). 解析　(1)法一　 ＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·＋C(3)·＋C· ＝81x2＋108x＋54＋＋. 法二　＝ ＝[C(3x)4＋C(3x)3＋C(3x)2＋C·3x＋C] ＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) ＝81x2＋108x＋54＋＋. (2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C－1 ＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1. 题型二　求二项展开式中的特定项 　[教材例2·提升]已知在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为. (1)求m的值； (2)求的展开式的中间两项． [解析]　(1)展开式的通项为Tk＋1＝C·(x2)m－k·＝C·2k·x， ∴展开式中第4项的系数为C·23，倒数第4项的系数为C·2m-3， ∴＝，即＝，∴m＝7. (2)由(1)可知，m＝7， ∴的展开式的通项为Tk＋1＝C·2k·x2m－＝C·2k·x. 二项展开式共有8项，中间两项即为第4项和第5项， ∴T4＝C·23·x＝280x， T5＝C·24·x＝560x4. ∴的展开式的中间两项分别为280x，560x4. [素养聚焦]　可以把求二项展开式的特定项问题“程序化”，其步骤为：二项式→通项公式→结合题目条件→结论，其关键是熟练运用通项公式，在此过程中体现了数学运算的核心素养． 利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型．常见的有求二项展开式中的第k项、常数项、含某字母的k次方的项等．其通常解法就是根据通项公式确定Tk＋1中k的值或取值范围以满足题设的条件． [触类旁通] 2．在的展开式中，求： (1)第5项的二项式系数及第5项的系数； (2)x2的系数． 解析　(1)T5＝T4＋1＝C(2x2)8-4＝C·24·x，所以第5项的二项式系数是C＝70，第5项的系数是C·24＝1 120. (2)的通项是C(2x2)8-k＝(－1)kC·28-k·x. 由题意，得16－k＝2，解得k＝6， 因此，x2的系数是(－1)6C·28-6＝112. 题型三　二项式系数与项的系数问题　(一题多变) 　(1)求二项式的展开式中第6项的二项式系数及第6项的系数； (2)求的展开式中x3的系数． [解析]　(1)由已知得二项展开式的通项为 Tk＋1＝C(2)6-k·＝26-kC·(－1)k·x3-，∴T6＝－12·x. ∴第6项的二项式系数为C＝6，第6项的系数为C·(－1)5·2＝－12. (2)设展开式中的第k＋1项为含x3的项，则 Tk＋1＝Cx9-k·＝(－1)k·C·x9-2k， 令9－2k＝3，得k＝3，即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C＝－84. [母题变式] 1．(变结论)本例问题(1)条件不变，问题改为“求第4项的二项式系数和第4项的系数”． 解析　由通项Tk＋1＝(－1)k·C·26-k·x， 知第4项的二项式系数为C＝20， 第4项的系数为C·(－1)3·23＝－160. 2．(变结论)本例问题(2)条件不变，问题改为“求展开式中x5的系数”，该如何求解． 解析　设展开式中第k＋1项为含x5的项，则Tk＋1＝(－1)k·C·x9-2k， 令9－2k＝5，得k＝2.即展开式中的第3项含x5，且系数为C＝36. [素养聚焦]　在利用二项展开式的通项公式求特定项的系数的过程中，特别要注意计算的正确性，在此过程中培养数学运算的核心素养． 求某项的二项式系数或展开式中含xk的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项二项式系数与系数两者的区别． [触类旁通] 3．已知在的展开式中，第6项为常数项． (1)求n的值； (2)求含x2的项的系数； (3)求第4项的二项式系数及第4项的系数． 解析　(1)通项为Tk＋1＝Cx(－3)kx＝C(－3)kx . 因为第6项为常数项，所以当k＝5时，有＝0，即n＝10. (2)令＝2，得k＝2. 所以所求的系数为C(－3)2＝405. (3)因为的展开式的通项是 Tk＋1＝C(－3)kx， 所以第4项的二项式系数为C＝120， 第4项的系数为C(－3)3＝－120×27＝－3 240 . 知识落实 技法强化 1．二项式定理． 2．二项展开式的通项公式． 二项式系数与系数的区别，Can－kbk是展开式的第k＋1项． [必备知识·基础巩固] 1．C·2n＋C·2n-1＋…＋C·2n－k＋…＋C＝(　　) A．2n　　　　　　　　 B．2n－1 C．3n D．1 解析　原式＝(2＋1)n＝3n. 答案　C 2．若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝(　　) A．33 B．29 C．23 D．19 解析　∵(1＋)4＝1＋4＋12＋8＋4＝17＋12＝a＋b， 又∵a，b为有理数，∴a＝17，b＝12. ∴a＋b＝29. 答案　B 3．二项式的展开式的常数项为60，则a的值为(　　) A．2 B．－2 C．±2 D．±3 解析　∵二项式的展开式的通项公式为Tk＋1＝C·(－1)ka6-k·x12-3k，令12－3k＝0，求得k＝4，可得常数项为C·a2＝60，则a＝±2. 答案　C 4．(多选题)的展开式中，下列说法正确的是(　　) A．所有项系数和为64 B．常数项为第4项 C．整式共有3项 D．x3项的系数－81 解析　令x＝1，由(3－1)6＝26＝64知，所有项系数和为64，故A正确； 二项展开式的通项公式为Tk＋1＝C(3x)6-k·(－1)kx＝(－1)k36-kCx，令6－k＝0，解得k＝4，故展开式第5项为常数项，故B错误； 当k＝0，2，4时，6－k∈N，展开式为整式，故C正确； 当6－k＝3时，k＝2，T3＝(－1)236-2Cx3＝1 215x3，故D错误． 故选AC. 答案　AC 5．(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为______(用数字填写答案). 解析　x2y7＝x·(xy7)，其系数为C， x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－C， ∴x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20. 答案　－20 6．(2024·天津卷)在的展开式中，常数项为________． 解析　Tk＋1＝C6－k＝C·36-2k·x6k-18.令6k－18＝0，则k＝3，所以常数项为T4＝C·30·x0＝20. 答案　20 7．已知n∈N*且n>1，x的展开式中存在常数项，写出n的一个值为____________． 解析　二项式的展开式的通项为 Tk＋1＝Cx3(n－k)＝(－2)k·Cx3n-4k，k＝0，1，2，…，n， 因为二项式x的展开式中存在常数项，所以3n－4k＝－1有解， 即n＝， 可得n的一个值为5.(答案不唯一) 答案　5或者4k＋1(k∈N*) 8．已知在的展开式中，第9项为常数项，求： (1)n的值； (2)展开式中x5的系数； (3)含x的整数次幂的项的个数． 解析　已知二项展开式的通项Tk＋1＝C·＝(－1)kCx. (1)因为第9项为常数项， 即当k＝8时，2n－k＝0， 解得n＝10. (2)令2n－k＝5，得k＝(2n－5)＝6， 所以x5的系数为(－1)6C＝. (3)要使2n－k，即为整数，只需k为偶数，由于k＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项． [关键能力·综合提升] 9．(多选题)对于二项式(n∈N*)，以下四种判断正确的是(　　) A．存在n∈N*，展开式中有常数项 B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项 D．存在n∈N*，展开式中有x的一次项 解析　二项式的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx4k－n，由通项公式可知，当n＝4k(k∈N*)和n＝4k－1(k∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项． 答案　AD 10．(1＋x)4展开式中含x2的项的系数为(　　) A．4 B．6 C．10 D．12 解析　根据乘法公式，得(1)因式1＋中的1和(1＋x)4展开式中含x2的项相乘可得含x2的项；(2)因式1＋中的和(1＋x)4展开式中含x3的项相乘可得含x2的项． (1＋x)4展开式的通项为Tk＋1＝Cxk(k＝0，1，…，4)，故·(1＋x)4展开式中含x2的项为1·Cx2＋·Cx3＝10x2，即含x2项的系数为10. 答案　C 11．(2025·威海高二期末)(1－2x2)(1＋x)5的展开式中x4的系数为________． 解析　展开式(1＋x)5通项公式为Tk＋1＝Cxk，所以所求x4的系数为1×C－2C＝－15. 答案　－15 12．(2024·全国甲卷)的展开式中，各项系数中的最大值为________． 解析　的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cxk，则各项的系数分别为C， C，C，C，C， C，C，C，C， C，C，观察发现二项式系数先增大后减小，且前后对称，指数式递增，分别计算C，C，C，C， C，C，比较可得， C2＝5最大． 答案　5 13．已知(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列． (1)求n的值； (2)写出它展开式中的所有有理项． 解析　(1)(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C，C，C. 依题意得＋＝2·， 化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)， 即n2－37n＋322＝0， 解得n＝14或n＝23， 因为n<15，所以n＝14. (2)展开式的通项Tk＋1＝Cx·x＝C·x， 展开式中的有理项当且仅当k是6的倍数，0≤k≤14，所以展开式中的有理项共3项是： k＝0，T1＝Cx7＝x7； k＝6，T7＝Cx6＝3 003x6； k＝12，T13＝Cx5＝91x5. [核心价值·探索创新] 14．1.0120最接近下列哪个数字(　　) A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 解析　由题意得1.0120＝(1＋0.01)20， 由二项式定理得(1＋0.01)20＝1＋C×1×0.01＋C×0.012＋…， 而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可，所以我们得到(1＋0.01)20≈1＋C×1×0.01＋C×0.012＝1.219， 则其与1.22更接近，故C正确． 故选C. 答案　C 15．(1)求多项式的展开式； (2)求(1＋x)2·(1－x)5的展开式中x3的系数． 解析　(1)∵x2＋－2＝x2－2＋＝， ∴＝＝Cx6＋Cx5·＋Cx4＋Cx3·＋Cx2·＋Cx＋C＝x6－6x4＋15x2－20＋－＋. (2)法一　(1＋x)2·(1－x)5＝(1－x2)2(1－x)3＝(1－2x2＋x4)·(1－3x＋3x2－x3)， ∴x3的系数为1×(－1)＋(－2)×(－3)＝5. 则有或或 故x3的系数为－C·C＋C·C－C＝5. 学科网（北京）股份有限公司 $