6.2.3-6.2.4 组合 组合数-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦“组合与组合数”核心知识点，从组合定义出发，通过对比排列明确无序特性，推导组合数公式（乘积、阶乘形式及性质），构建“概念辨析-公式应用-综合问题解决”的学习支架，涵盖简单组合、有限制条件、几何及排列组合综合问题。 资料以导学问题引入概念，设计一题多解/多变案例（如组合问题直接法与间接法），强化数学抽象（从实例抽象组合概念）、逻辑推理（分类讨论几何组合）和数学建模（分组分配问题）素养。课中助力教师分层教学，课后通过基础到创新题帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

6．2.3　组合 6．2.4　组合数 第1课时　组合与组合数 学业标准 素养目标 1．理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系．(重点) 2．理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算．(重点) 3．会解决一些简单的组合问题．(难点) 1．通过对组合概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．组合数公式的应用，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． 3．通过利用组合与组合数公式解决简单的实际问题，主要提升数学建模核心素养． [对应学生用书P12] 导学1　组合的定义 　从1，3，5，7中任取两个数相除或相乘． (1) 所得商和积的个数相同吗？ [提示]　不相同． (2)它们是排列吗？ [提示]　从1，3，5，7中任取两个数相除是排列，而相乘不是排列． ◎结论形成 1．组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素__作为一组__，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合与排列的区别：组合无序，排列有序． 导学2　组合与组合数公式 　从1，3，5，7中任取两个数相除，可得到A个商数，也可用分步法求商的个数，按照下列步骤得到： 第1步，从这四个数中任取两个数，有C种方法； 第2步，将每个组合中的两个数排列，有A种排法． 由分步乘法计数原理，可得商的个数为CA，由此你能得到C和A的关系吗？ [提示]　C＝＝6. ◎结论形成 组合数及组合数公式 组合数定义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同组合的个数__，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示 组合数公式 乘积 形式 C＝ 阶乘 形式 C＝ 性质 C＝__C__ C＝___C___＋__C__ 备注 规定C＝__1__ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)C＝5×4×3＝60.(　　) (2)C＝C＝2 023.(　　) (3)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是C.(　　) (4)“abc”“acb”与“bac”是三种不同的组合．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．方程C＝C的解为(　　) A．4或9　　　　　　　 B．4 C．9 D．其他 解析　当x＝3x－8时，解得x＝4； 当28－x＝3x－8时，解得x＝9. 答案　A 3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为(　　) A．14 B．24 C．28 D．48 解析　从6人中任选4人的选法种数为C＝15，其中没有女生的选法有1种，故至少有1名女生的选法种数为15－1＝14. 答案　A 4．计算：C＋C＝________． 解析　C＋C＝C＝C＝＝1 275. 答案　1 275 [对应学生用书P13] 题型一　组合的概念 　判断下列各事件是排列问题还是组合问题． (1)10个人相互各写一封信，共写多少封信？ (2)10个人相互通一次电话，共通了多少次电话？ (3)从10个人中选3个代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人里选出3个不同学科的代表，有多少种选法？ [解析]　(1)是排列问题．因为发信人与收信人是有区别的． (2)是组合问题．因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别． (3)是组合问题．因为3个代表之间没有顺序的区别． (4)是排列问题．因为3个人中，担任哪一学科的代表是有顺序区别的． 根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合． [触类旁通] 1．从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合． 解析　要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示． 由此可得所有的组合为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de. 题型二　组合数公式及应用 　[教材例6·迁移](1)计算：C＋C·C； (2)若－<，求n的取值集合． [解析]　(1)原式＝C＋C×1＝＋＝56＋4 950＝5 006. (2)由－＜， 可得n2－11n－12<0，解得－1<n<12. 又n∈N*，且n≥5，所以n∈{5，6，7，8，9，10，11}． 所以n的取值集合为{5，6，7，8，9，10，11}． 1．解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误，注意不要忽略n∈N*. 2．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质．求解时，要注意由C中的m∈N*，n∈N*，且n≥m确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意． [触类旁通] 2．(多选题)(2025·承德高二期末)已知m，n∈N*，且n≥m≥2，则(　　) A．C＝C　　　　 B．A＝CA C．A＋A＝A D．nC＝mC 解析　A选项，由组合数性质得C＝C，A正确； B选项，由组合数计算公式得A＝CA，B正确； C选项，不妨设n＝4，m＝3，则A＝24，A＝12，A＝60， 显然A＋A≠A，C错误； D选项，nC＝n ＝＝m ＝mC，D正确． 故选ABD. 答案　ABD 题型三　简单的组合问题 　在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？ (1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人中只能有1人参加． [解析]　(1)从中任取5人是组合问题，共有C＝792种不同的选法． (2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C＝36种不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C＝126种不同的选法． (4)甲、乙、丙三人中只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C种选法．共有CC＝378种不同的选法． [素养聚焦]　在解决简单的组合应用问题时，首先要根据组合的概念把实际问题数学化，在此过程中提升数学建模的核心素养． 解答简单的组合问题的方法 (1)弄清要做的这件事是什么事； (2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题； (3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果． [触类旁通] 3．从7名男生、5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？ (1)A，B必须当选； (2)A，B必不当选； (3)A，B不全当选． 解析　(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，故有不同的选法种数为C＝120. (2)从除去的A，B两人的10人中选5人即可，故有不同的选法种数为C＝252. (3)全部选法有C种，A，B全当选有C种，故A，B不全当选的选法种数为C－C＝672. 知识落实 技法强化 1．组合与组合数的定义． 2．排列与组合的区别与联系． 3．用列举法写组合． 枚举法、公式法、间接法是常用的方法，但在解题时注意区分“排列”还是“组合”． [必备知识·基础巩固] 1．(多选题)给出下面几个问题，其中是组合问题的有(　　) A．由1，2，3，4构成的含有2个元素的集合个数 B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数 C．由1，2，3组成两位数的不同方法数 D．由1，2，3组成的无重复数字的两位数的个数 答案　AB 2．(2025·江门高二期末)计算C＋2A的值是(　　) A．41 B．61 C．62 D．82 解析　C＝＝＝21， A＝＝4×5＝20，2A＝2×20＝40， 因此C＋2A＝21＋40＝61. 故选B. 答案　B 3．(2023·新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(　　) A．C·C 种 B．C·C 种 C．C·C 种 D．C·C 种 答案　D 4．方程C＝C的解集为(　　) A．{4} B．{14} C．{4，6} D．{14，2} 解析　由题意知或 解得x＝4或x＝6. 答案　C 5．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，则不同方法的种数是________(用数字作答). 解析　由于选出的人无角色差异，所以是组合问题，共有C＝＝＝10种不同方法． 答案　10 6．计算：C＋C＝________． 解析　因为所以 所以n＝10. 所以原式＝C＋C＝＋＝＋31＝466. 答案　466 7．对所有满足1≤m<n≤5的自然数m，n，方程x2＋Cy2＝1所表示的不同椭圆的个数为________． 解析　因为1≤m<n≤5，所以C可以是C，C，C，C，C，C，C，C，C，C，计算可知C＝C，C＝C，C＝C，C＝C，故x2＋Cy2＝1能表示6个不同的椭圆． 答案　6 8．(1)解方程：A＝6C； (2)解不等式：C>3C. 解析　(1)原方程等价于m(m－1)(m－2)＝6×， ∴4＝m－3，解得m＝7. (2)由已知得∴x≤8，且x∈N*， ∵C>3C， ∴＞. 即>，∴x>3(9－x)，解得x>， ∴x＝7或x＝8. ∴原不等式的解集为{7，8}． [关键能力·综合提升] 9．(多选题)下列问题是组合问题的有(　　) A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B．平面上有2 021个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段 C.集合{a1，a2，a3，…，an}中含有三个元素的子集有多少个 D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法 解析　组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D选项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，故选ABC. 答案　ABC 10．已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有(　　) A．36个 B．72个 C．63个 D．126个 解析　此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所以四边形的对角线的交点个数即为所求，所以交点有C＝126个． 答案　D 11．方程C－C＝C的解集是________． 解析　因为C＝C＋C，所以C＝C，由组合数公式的性质，得x－1＝2x＋2或x－1＋2x＋2＝16，解得x1＝－3(舍去)，x2＝5. 答案　{5} 12．(2025·合肥高二期末)从编号为1，2，3，4的四个元素中取出3个元素，排在编号为1，2，3的位置上(每个位置只排一个元素).则元素的编号与所处位置的号码不相同的排法有________种． 解析　若取出的3个元素中有4，且从1，2，3中任取2个元素，则有C×C＝9种排法； 若取出的3个元素中没有4，即取出的3个元素为1，2，3，则共有2种排法． 综上所述，共有9＋2＝11种排法． 答案　11 13．一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问： (1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？ (2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？ 解析　(1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为C＝12 376. (2)教练员可以分两步完成这件事情： 第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有C种选法； 第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有C种选法． 所以教练员做这件事情的方式种数为C×C＝136 136. [核心价值·探索创新] 14．某区有7条南北向街道，5条东西向街道(如图). (1)图中有________个矩形； (2)从A点走向B点最短的走法有________种． 解析　(1)在7条南北向街道中任选2条，5条东西向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形C·C＝·＝210(个). (2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C·C＝·＝210种走法． 答案　(1)210　(2)210 15．袋中装有大小相同标号不同的白球4个，黑球5个，从中任取3个球． (1)共有多少种不同结果？ (2)取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果有几个？ (3)取出的3球中至少有2个白球的结果有几个？ 解析　(1)从4个白球，5个黑球中任取3个的所有结果有C＝84个不同结果． (2)设“取出3球中有2个白球，1个黑球”的所有结果组成的集合为A，A所包含的种数为CC.所以共有CC＝30种不同的结果． (3)设“取出3球中至少有2个白球”的所有结果组成集合为B，B包含的结果数是C＋CC. 所以共有C＋CC＝34种不同的结果． 第2课时　组合与组合数的应用 学业标准 素养目标 1．能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题．(重点) 2．能解决有限制条件的组合问题．(重点、难点) 在利用组合数与排列数公式解决组合及排列组合的实际应用问题的过程中，提升数学建模、数学运算等核心素养． [对应学生用书P15] 题型一　有限制条件的组合问题　(一题多解) 　[教材例7·提升]某医科大学的学生中，有男生12名、女生8名在某市人民医院实习，现从中选派5名参加青年志愿者医疗队． (1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？ (2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？ (3)甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？ (4)医疗队中男生和女生都至少有一名，有多少种选法？ [解析]　(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C＝816(种). (2)只需从其他18人中选5人即可，共有C＝8 568(种). (3)分两类：甲、乙中只有一人参加，则有C·C种选法；甲、乙两人都参加，则有C种选法．故共有C·C＋C＝6 936(种). (4)法一(直接法)　男生和女生都至少有一名的选法可分为四类：1男4女；2男3女；3男2女；4男1女. 所以共有C·C＋C·C＋C·C＋C·C＝14 656(种). 法二(间接法)　由总数中减去5名都是男生和5名都是女生的选法种数，得C－(C＋C)＝14 656(种). 有限制条件的组合问题分类及解题策略 (1)“含”与“不含”问题， 其解法常用直接分步法， 即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取， 分步计数． (2)“至多”“至少”问题， 其解法常有两种解决思路：一是直接分类法， 但要注意分类要不重不漏；二是间接法， 注意找准对立面， 确保不重不漏． [触类旁通] 1．课外活动小组共13人，其中男生8人、女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)只有一名女生当选； (2)两名队长当选； (3)至少有一名队长当选； (4)至多有两名女生当选． 解析　(1)一名女生，四名男生．故共有C·C＝350(种). (2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C·C＝165(种). (3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长．故共有：C·C＋C·C＝825种，或采用排除法有C－C＝825(种). (4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生． 故选法为C·C＋C·C＋C＝966(种). 题型二　几何中的组合问题　(一题多解) 　平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？ [解析]　法一　以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准． 第一类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有CC＝48个不同的三角形； 第二类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有CC＝112个不同的三角形； 第三类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C＝56个不同的三角形． 由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(个). 法二(间接法)　从12个点中任意取3个点，有C＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C＝4(种). 故这12个点构成的三角形有C－C＝216(个). 解答几何组合问题的策略 (1)几何组合问题，主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合．这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强． (2)解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可． (3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数． [触类旁通] 2．在四棱锥P­ABCD中，顶点为P，从其他的顶点和各棱的中点中取3个，使它们和点P在同一平面上，不同的取法有(　　) A．40种　　　　　 B．48种 C．56种 D．62种 解析　满足要求的点的取法可分为3类： 第1类，在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点，有4C种取法； 第2类，在两个对角面上除点P外任取3点，有2C种取法； 第3类，过点P的四条棱中，每一条棱上的两点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面，有4C种取法． 所以，满足题意的不同取法共有4C＋2C＋4C＝56种，选C. 答案　C 题型三　排列组合综合问题　(一题多变) 　有6本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式？ (1)分成三组，每组分别有1本、2本、3本； (2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本． [解析]　(1)分三步：先选一本有C种选法，再从余下的5本中选两本有C种选法，最后余下的三本全选有C种选法．由分步乘法计数原理知，分配方式共有C·C·C＝60(种). (2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)问的基础上，还应考虑再分配问题．因此，分配方式共有C·C·C·A＝360(种). [母题变式] 1．(变条件)本例的条件不变，6本不同的书分成三组，每组都是2本，有多少种不同的分法？ 解析　先分三组，有CCC种分法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一组取了A，B，第二组取了C，D，第三组取了E，F，则该种方法记为(AB，CD，EF)，但CCC种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A种情况，而这A种情况只能作为一种分法，故分配方式有＝15(种). 2．(变结论)本例的条件不变，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本，有多少种不同的分法？ 解析　先平均分成三组，有种分法，再分给3个人，所以分配方式共有·A＝90(种). [素养聚焦]　在解决计数问题时常用下面的结论：“无对象的均匀分配”问题，只需按“有对象的均匀分配”问题列式后，再除以组数的全排列数；对于“无对象的非均匀分配”与“有对象的非均匀分配”问题，前者只需分步完成，后者先分组，再排列，通过解决此类问题，培养数学建模、数学运算等核心素养． 1．解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列． 2．解排列、组合综合问题时要注意以下几点： (1)元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题． (2)对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法． [触类旁通] 3．(2025·重庆高二期末)某地区是典型的盐碱地区，面对盐碱地改造成本高、维护难的现实，农技人员从“以种适地”角度入手，近年来相继培育出“捷麦19”和“捷麦20”等自主研发的旱碱麦品种，亩产量大幅提高，有力促进农民收入增长，带动农村经济发展．现有A，B，C，D四块盐碱地，计划种植“捷麦19”和“捷麦20”这两种旱碱麦，若要求这两种旱碱麦都要种植，每块盐碱地种植一种旱碱麦，则不同的种植方案共有(　　) A．18种　 B．16种　 C．14种　 D．12种 解析　第一类，先选一块地种植一种旱碱麦，剩下的三块地种植另外一种旱碱麦，则不同的种植方案有CA＝8种； 第二类，先选两块地种植一种旱碱麦，剩下的两块地种植另外一种旱碱麦，则不同的种植方案有·A＝6种． 故不同的种植方案共有8＋6＝14种， 故选C. 答案　C 知识落实 技法强化 1．涉及具体数字的可以直接用公式C＝＝ 计算． 2．涉及字母的可以用阶乘式C＝计算． 3．计算时应注意利用组合数的性质C＝C简化运算． 4．分组分配问题． 分类讨论、正难则反、方程思想是常用的方法和思想，解题时要注意分组分配中是否为“平均分组”． [必备知识·基础巩固] 1．某科技小组有6名学生，现从中选出3人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为(　　) A．2　　　　　　　　 B．3 C．4 D．5 解析　设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意：C－C＝16.即x(x－1)(x－2)＝6×5×4－16×6＝4×3×2.∴x＝4，即女生有2人． 答案　A 2．甲、乙等5名北京冬奥会志愿者到高山滑雪、短道速滑、花样滑冰、冰壶四个场地进行志愿服务，每个志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲去高山滑雪场，则不同的安排方法共有(　　) A．96种 B．60种 C．36种 D．24种 解析　分两类，一是高山滑雪场安排2人，除甲外的其余4人每人去一个场地，不同的安排方法共有A＝24种； 二是高山滑雪场只安排1人(甲)，其余4人分三组(2，1，1)，再安排到各场地，有C·A＝36种． ∴不同的安排方法有24＋36＝60. 故选B. 答案　B 3．(2025·天津高二期末)某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡．现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有(　　) A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 解析　因为甲负责第一关，且最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，所以先从除甲之外的4人中选两人负责最后一关，共有C－1＝5种，然后再将剩余2人分配到第二、三关，共有2种，所以，满足条件的参赛方案有5×2＝10种．故选B. 答案　B 4．(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　) A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 解析　相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案． 首先确定相同的读物，共有C种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A种， 根据分步乘法公式则共有C·A＝120(种)， 故选C. 答案　C 5．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有______种． 解析　可以分情况讨论：①甲、丙同去，则乙不去，有C·A＝240种选法；②甲、丙同不去，有A＝360种选法，所以共有600种不同的选派方案． 答案　600 6．中国救援队在国际救援中多次创造生命救援奇迹，为祖国赢得了荣誉，很好地展示了国家形象，增进了国际友谊．现有5支救援队前往3个不同受灾地区进行救援任务，若每支救援队只能去其中的1个受灾地区，且每个受灾地区至少安排1支救援队，其中甲、乙两个救援队只能去同一个受灾地区，则不同的安排方式共有________种． 解析　分类讨论是否有其他救援队与甲、乙两个救援队一起，结合组合数运算求解． 若只有甲、乙救援队同去一个受灾地区，则不同的安排方式共有CCC＝18(种)； 若还有一支救援队与甲、乙救援队同去一个受灾地区，则不同的安排方式共有CCC＝18(种)； 所以不同的安排方式共有18＋18＝36(种). 答案　36 7．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答). 解析　当每个台阶上各站1人时有CA种站法；当两个人站在同一个台阶上时有CCC种站法．因此不同的站法种数为CA＋CCC＝210＋126＝336. 答案　336 8．某市教育局决定派出8名心理咨询专家(5男3女)到甲、乙两所学校进行心理问题调研． (1)每所学校均有4名专家参加调研，有多少种的安排方法？ (2)每所学校至少有3人且必须有女专家参加调研，有多少种的安排方法？ 解析　(1)由题知，每所学校均有4名专家参加调研的安排方法有CC＝70种． (2)分三类：第一类，甲校有3人有C种，全是男专家有C种；全是女专家有C种， 则符合题意的有C－C－C＝45； 第二类，甲校4人有C种，全是男专家有C种； 3女1男有CC种， 则符合题意的有C－C－CC＝60； 第三类，甲校5人，有C种，全是男专家有C种； 3女2男有CC种， 则符合题意的有C－C－CC＝45. 故每所学校至少有3人且必须有女专家参加调研的安排方法共有45＋60＋45＝150(种). [关键能力·综合提升] 9．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有(　　) A．C种 B．A种 C．AA种 D．CC种 解析　每个被选的人员无角色差异，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C种选法；第二步，选男工，有C种．故有CC种不同选法． 答案　D 10．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各三张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法种数为(　　) A．135 B．172 C．189 D．162 解析　不考虑特殊情况，共有C种取法，取三张相同颜色的卡片，有4种取法，只取两张红色卡片(另一张非红色)，共有CC种取法． 所求取法种数为C－4－CC＝189. 答案　C 11．初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数6＝22＋12＋12＋02.设25＝a2＋b2＋c2＋d2，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________(用数字作答). 解析　显然a，b，c，d均为不超过5的自然数，下面进行讨论： 最大数为5的情况： ①25＝52＋02＋02＋02，此时共有A＝4种情况． 最大数为4的情况： ②25＝42＋32＋02＋02，此时共有A＝12种情况． ③25＝42＋22＋22＋12，此时共有A＝12种情况． 当最大数为3时，32＋32＋22＋22>25>32＋32＋22＋12，没有满足题意的情况． 由分类加法计数原理，满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是4＋12＋12＝28. 答案　28 12．(2025·聊城高二期末)每年9月第三个星期六是我国法定的全民国防教育日，同学们积极参与到国防教育之中为实现中国梦、强军梦凝聚强大力量．某校国防教育活动中拟将7本不同的国防知识书分给甲、乙、丙三个班，其中一个班得3本，另外两个班每班得2本．则共有________种不同的分配方式．(请用数字作答) 解析　先将7本不同的国防知识书分为三组，各组的书本数分别为3，2，2， 再将这三组书分配给甲、乙、丙三个班， 由分步乘法计数原理可知，不同的分配方法种数为·A＝×6＝630(种). 答案　630 13．从1到6这6个数字中，取2个偶数和2个奇数组成没有重复数字的四位数．试问： (1)能组成多少个不同的四位数？ (2)四位数中，2个偶数排在一起的有几个？ (3)2个偶数不相邻的四位数有几个？(所得结果均用数值表示). 解析　(1)易知四位数共有CCA＝216(个). (2)上述四位数中，偶数排在一起的有CCAA＝108(个). (3)由(1)(2)知两个偶数不相邻的四位数有216－108＝108(个). [核心价值·探索创新] 14．(多选题)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数可能为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　任意两位同学之间交换纪念品共要交换C＝15次，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是每人得到5份纪念品．现在6位同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次若不涉及同一人，则收到4份纪念品的同学有4人，若涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学有2人．故选BD. 答案　BD 15．有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ 解析　法一(直接法)　从0与1两个特殊值着眼，可分三类： (1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C种方法；0可在后两位，有C种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有CCC·22个． (2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数C·22·A个． (3)0和1都不取，有不同的三位数C·23·A个． 综上所述，共有不同的三位数： C·C·C·22＋C·22·A＋C·23·A＝432(个). 法二(间接法)　任取三张卡片可以组成不同的三位数C·23·A个，其中0在百位的有C·22·A个，这是不合题意的，故共有不同的三位数：C·23·A－C·22·A＝432(个). 学科网（北京）股份有限公司 $