6.2.1-6.2.2 排列 排列数-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“排列与排列数”核心知识点，从排列的定义（从n个不同元素取m个按顺序排成一列）出发，衔接排列数公式（乘积式与阶乘式），再延伸至无限制条件排列、排队问题、数字排列等应用，构建“概念-公式-应用”递进的学习支架。 资料以问题导学引入，如选同学参加活动抽象出排列定义，组数字游戏推导排列数公式，培养数学抽象能力。例题设计注重逻辑推理，如用捆绑法、插空法解决排队问题，提升数学运算与推理素养。课中助力教师分层教学，课后通过触类旁通和变式训练帮助学生查漏补缺，强化应用意识。

6．2　排列与组合 6．2.1　排列 6．2.2　排列数 第1课时　排列与排列数 学业标准 素养目标 1．了解排列的概念．(重点) 2．理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点) 1．通过排列概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．利用排列数公式计算和证明恒等式，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． [对应学生用书P6] 导学1　排列的定义 　从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动．让你安排这项活动需要分几步？ [提示]　分两步．第1步确定上午的同学；第2步确定下午的同学． ◎结论形成 1．排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照__一定的顺序__排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．相同排列：两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素__完全相同__，且元素的__排列顺序__也相同． 3．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列． 导学2　排列数与排列数公式 　两个同学从写有数字1，2，3，4的卡片中选取卡片进行组数字游戏． (1)从这4个数字中选出2个能构成多少个无重复数字的两位数？ [提示]　4×3＝12个无重复数字的两位数． (2)从这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？ [提示]　4×3×2＝24个无重复数字的三位数． (3)从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，共有多少种不同的排法？ [提示]　n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)种不同的排法． ◎结论形成 排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有__不同排列__的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 排列数表示法 A 阶乘 正整数从1到n的连乘积，叫做n的阶乘，记作__n！__ 排列数乘积式 A＝__n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)__ 公式 阶乘式 A＝ 性质 A＝__n！__，0！＝__1__ 备注 n，m∈N*，m≤n 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a，b，c与b，a，c是同一个排列．(　　) (2)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．(　　) (3)从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．(　　) (4)由1，2，3组成的全排列数有A种．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(多选题)从1，2，3，4四个数字中，任选两个数运算，按照计算结果，可以看作排列问题的运算为(　　) A．加法　　　　　　　 B．减法 C．乘法 D．除法 解析　因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题． 答案　BD 3．89×90×91×…×100可表示为(　　) A．A　　 B．A C．A　　 D．A 解析　A＝100×99×…×(100－12＋1)＝100×99×…×89. 答案　C 4．一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有________种． 解析　从原来4个节目形成的5个空中选2个空排列，共有A＝20种添加方法． 答案　20 [对应学生用书P7] 题型一　排列的概念 　判断下列问题是否为排列问题． (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票价格(假设来回的票价相同)； (2)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (3)某班40名学生在假期相互通信． [解析]　(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题． (2)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (3)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在顺序问题，属于排列问题． 判断一个具体问题是否为排列问题的思路 [触类旁通] 1．判断下列问题是否为排列问题． (1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？ (2)从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程－＝1? (3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？ 解析　(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题． (2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题． 若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定； 在双曲线－＝1中，不管a>b还是a<b，方程－＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题． (3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题． 题型二　排列的列举问题 　[教材问题2·提升]某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5，4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法． [解析]　如图， 由树状图可写出所有不同试验方法如下：a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种． 在排列个数不多的情况下，树状图是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树状图写出排列． [触类旁通] 2．写出从a，b，c，d这4个字母中，每次取出2个字母的所有排列． 解析　画出树状图如图所示： 因此，共计有12个不同的排列，它们是ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc. 题型三　排列数公式及应用　(一题多变) 　(1)计算：＝(　　) A．12　　　　　　　 B．24 C．30 D．36 (2)求证：A＝A·A. [解析]　(1)A＝＝7×6×A，A＝6×A， 所以原式＝＝36. (2)证明　A·A＝(n－m)！＝n！＝A，所以等式成立． [答案]　(1)D　(2)略 [母题变式] (变条件)在本例(2)中，把等式换为k·A＝(k＋1)！－k！，试求证． 证明　左边＝k·A＝k·k！＝(k＋1－1)·k！＝(k＋1)！－k！＝右边，∴等式成立． [素养聚焦]　在利用排列数公式证明等式的过程中，要仔细观察等式两端的代数式的特征，找到推证的方向，在此过程中提升逻辑推理的核心素养． 排列数公式的形式及选择方法 排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式． [触类旁通] 3．不等式A<6A的解集为(　　) A．[2，8] B．[2，6] C．(7，12) D．{8} 解析　由A<6A，得＜6×， 化简得x2－19x＋84<0，解得7<x<12，① 又所以2≤x≤8，② 由①②及x∈N*，得x＝8. 答案　D 知识落实 技法强化 1．排列、排列数的定义． 2．排列的简单应用． 3．排列数公式的应用． 在解题过程中常忽视A中“n，m∈N*”及“m≤n”这个条件． [必备知识·基础巩固] 1．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为(　　) A．甲乙、乙甲、甲丙、丙甲 B．甲乙、丙乙、丙甲 C．甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙 D．甲乙、甲丙、乙丙 解析　从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙． 答案　C 2．从5本不同的书中选2本送给2名同学，每人1本，不同的送法种数为(　　) A．5　　　　　　　　 B．10 C．15 D．20 解析　由题意可得从5本不同的书中选2本送给2名同学，每人1本，不同的送法种数为A＝20. 答案　D 3．已知A－A＝10，则n的值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析　由A－A＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5. 答案　B 4．(多选题)下列为排列问题的是(　　) A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动 C．从a，b，c，d中选出3个字母 D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数 解析　由排列的定义知A，D是排列问题． 答案　AD 5．若A＝17×16×15×…×5×4，则n＝________，m＝________． 解析　因为A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ＝17×16×15×…×5×4， 所以n＝17，又n－m＋1＝4，所以m＝14. 答案　17　14 6．若集合P＝{x|x＝A，m∈N*}，则集合P中共有________个元素． 解析　由题意知，m＝1，2，3，4，由A＝A，故集合P中共有3个元素． 答案　3 7．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，可以组成________个四位数． 解析　在已知的5个数字中任选4个作全排列即可得答案． 用1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，即任选4个数字作全排列即可， 所以可组成A＝5×4×3×2＝120(个). 答案　120 8．一条铁路线原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问原有多少个车站？现有多少车站？ 解析　由题意可得A－A＝58， 即(n＋2)(n＋1)－n(n－1)＝58，解得n＝14. 所以原有车站14个，现有车站16个． [关键能力·综合提升] 9．(多选题)下列各式中与排列数A相等的是(　　) A． B．n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) C． D．AA 解析　由排列数公式可知A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，故B正确； A＝， 而AA＝n×＝， ∴AA＝A，故D正确． 答案　BD 10．若S＝A＋A＋A＋A＋…＋A，则S的个位数字是(　　) A．8 B．5 C．3 D．0 解析　1！＝1，2！＝2，3！＝6，4！＝24，5！＝120，而6！＝6×5！，7！＝7×6×5！，…，100！＝100×99×…×6×5！，所以从5！开始到100！，个位数字均为0，所以S的个位数字为3. 答案　C 11．由1，4，5，x四个数字组成没有重复数字的四位数，所有这些四位数的各数位上的数字之和为288，则x＝________． 解析　当x≠0时，有A＝24(个)四位数，每个四位数的数字之和为1＋4＋5＋x， 故24(1＋4＋5＋x)＝288，解得x＝2； 当x＝0时，每个四位数的数字之和为1＋4＋5＝10，而288不能被10整除，即x＝0不符合题意，综上可知，x＝2. 答案　2 12．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________(用数字作答)种不同的招聘方案． 解析　将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有A＝5×4×3＝60(种). 答案　60 13．解不等式：A<140A. 解析　根据原方程，x∈N*，且应满足解得x≥3. 根据排列数公式，原不等式可化为(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x－2)<140x·(x－1)·(x－2). ∵x≥3，∴两边同除以4x(x－1)， 得(2x＋1)·(2x－1)<35(x－2)， 即4x2－35x＋69<0， 解得3<x<5. ∵x∈N*，∴x＝4或x＝5. [核心价值·探索创新] 14．由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数． (1)若x＝9，则其中能被3整除的共有______个； (2)若所有这些三位数的各位数字之和是252，则x＝________． 解析　(1)因为当各数位上的数字之和能被3整除时，该数就能被3整除， 所以这种三位数只能由2，4，9或1，2，9排列组成，所以共有2×A＝12(个). (2)显然x≠0，因为1，2，4，x在各个数位上出现的次数都相同，且各自出现A·A次，所以这样的数字之和是(1＋2＋4＋x)·A·A， 即(1＋2＋4＋x)·A·A＝252， 所以7＋x＝14，解得x＝7. 答案　(1)12　(2)7 15．(1)解不等式：A＜6A； (2)证明A－A＝nA，并用此结论计算A＋2A＋3A＋…＋8A. (1)解析　原不等式等价于 整理得 即5＜x≤6且x∈N*，从而解得x＝6. (2)证明　A－A＝(n＋1)！－n! ＝(n＋1)n！－n！＝n·n！＝nA. A＋2A＋3A＋…＋8A ＝(A－A)＋(A－A)＋…＋(A－A)＋(A－A) ＝A－A＝9！－1 ＝362 879. 第2课时　排列与排列数的应用 学业标准 素养目标 1．进一步加深对排列概念的理解．(重点) 2．掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题．(重点、难点) 通过利用排列的概念及排列数公式解决实际应用问题，提升数学建模、数学运算等核心素养． [对应学生用书P9] 题型一　无限制条件的排列问题 　某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示______种不同的信号． [解析]　第1类，挂1面旗表示信号，有A种不同方法； 第2类，挂2面旗表示信号，有A种不同方法； 第3类，挂3面旗表示信号，有A种不同方法． 根据分类加法计数原理，共有A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15种可以表示的信号． [答案]　15 1．没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可． 2．在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取． [触类旁通] 1．(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ (2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 解析　(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A＝7×6×5＝210种不同的送法． (2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7＝343种不同的送法． 题型二　排队问题　(一题多解) 　已知7人站成一排．问： (1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？ (2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？ (4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？ [解析]　(1)(捆绑法)　将甲、乙两人“捆绑”为一个元素，与其余5人全排列，共有A种排法．甲、乙两人可交换位置，有A种排法．故共有A·A＝1 440 种排法． (2)法一(间接法)　7人任意排列，有A种排法．甲、乙两人相邻有A·A种排法，故共有A－A·A＝3 600种排法． 法二(插空法)　将其余5人排列，有A种排法．5人之间及两端共有6个位置，任选2个排甲、乙两人，有A种排法．故共有A·A＝3 600种排法． (3)(捆绑法)　将甲、乙、丙三人捆绑在一起与其余4人全排列，有A种排法，甲、乙、丙三人有A种排法，共有A·A＝720种排法． (4)(插空法)　将其余4人排好，有A种排法．将甲、乙、丙插入5个空中，有A种排法．故共有A·A＝1 440种排法． 1．元素相邻问题利用“捆绑法”处理，即把相邻元素看作一个整体，视为一个元素，参与其他元素的排列．同时，应注意捆绑元素的内部排列． 2．元素不相邻问题利用“插空法”处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中． 3．处理元素“相邻”“不相邻”或“元素定序”问题，应遵循“先整体，后局部”的原则，元素相邻问题一般用“捆绑法”，元素不相邻问题一般用“插空法”． [触类旁通] 2．(2025·临沂高二期末)已知A，B，C，D四个同学站成一排，要求A和B不相邻，C不站两端，则不同排法的种数是(　　) A．8　　 B．10　　 C．12　　 D．16 解析　①若C排在从左到右的第二个位置， 则D不能排在从左到右的第一个位置，否则只能A，B相邻，这与题意矛盾， 则D只能排在从左到右的第三或第四个位置， 此时有AA＝4种不同的排法； ②若C排在从左到右的第三个位置，根据对称性可知，此时有AA＝4种不同的排法； 由分类加法计数原理可知，不同排法的种数为4＋4＝8.故选A. 答案　A 题型三　数字排列问题　(一题多解)　(一题多变) 　[教材例4·拓展]用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的整数，求满足下列条件的数各有多少个． (1)六位数； (2)六位奇数． [解析]　(1)(间接法)　0，1，2，3，4，5六个数字共能形成A种不同的排法，当0在首位时不满足题意，故可以组成A－A＝600个没有重复数字的六位数． (2)法一(位置分析法)　①从个位入手：个位数排奇数，即从1，3，5中选1个有A种方法，首位数在排除0及个位数余下的4位数字中选1个有A种方法，余下的数字可在其他位置全排列有A种方法，由分步乘法计数原理知，共有A·A·A＝288个不同的六位奇数． ②从首位入手：对首位排奇数还是非0偶数分两类进行． 第1类，首位排奇数，有A种选择，再个位排奇数有A种方法，其余位置全排列有A.则共有A·A·A＝144种方法． 第2类，首位排非0偶数，共有A·A·A＝144种方法． 根据分类加法计数原理，共有144＋144＝288个不同的六位奇数． 法二(元素分析法)　0不在两端有A种排法．从1，3，5中选1个排在个位，剩下的4个数字全排列．故共有A·A·A＝288个不同的六位奇数． [母题变式] 1．(变结论)在本例条件下，试求能组成多少个无重复数字的四位偶数． 解析　符合要求的四位偶数可分为三类： 第1类，0在个位时，有A个；第2类，2在个位时，首位上的数字从1，3，4，5中选定1个，有A种选法，十位上的数字和百位上的数字从余下的数字中选，有A种，于是有A·A个；第3类，4在个位时，与第2类同理，也有A·A个．由分类加法计数原理可知：共有A＋2A·A＝156个无重复数字的四位偶数． 2．(变结论)在本例条件下，试求能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数． 解析　可分为两类：第1类，个位上为0的五位数有A个；第2类，个位上为5的五位数有A·A个，故共有A＋A·A＝216个无重复数字且为5的倍数的五位数． [素养聚焦]　利用排列的概念和排列数公式解决实际应用问题的过程中，体现了数学建模和数学运算的核心素养． 排数字问题常见的解题方法 (1)两优先排法：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”． (2)分类讨论法：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意如下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏． (3)排除法：全排列数减去不符合条件的排列数． (4)位置分析法：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好． [触类旁通] 3．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，求： (1)可以组成多少个六位数？ (2)可以组成至少有一个偶数数字的三位数多少个？ 解析　(1)先考虑首位数字，从1，2，3，4，5中任选一个，有5种选法；再将剩下的5个数字在剩下的5个数位上全排有A种选法，由分步乘法计数原理，可得六位数有5A＝600(个). (2)先考虑由数字0，1，2，3，4，5组成的三位数的个数，①考虑百位数字，有5种选法；②考虑十位和个位，有A种选法，由分步乘法计数原理，共有这样的三位数5A＝100(个)； 再考虑“至少有一个偶数数字的三位数”的反面情况：“没有一个偶数数字的三位数”的个数为A＝6个，故得至少有一个偶数数字的三位数有100－6＝94(个). 知识落实 技法强化 1．对排列概念的深层理解． 2．排列数的综合应用． 1．分类讨论法、求补法． 2．注意分类、分步标准的选取． [必备知识·基础巩固] 1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为(　　) A．36　　　　　　　 B．120 C．720 D．240 解析　由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A＝720. 答案　C 2．小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加某节目的现场录制，5人坐一排．若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为(　　) A．6 B．12 C．24 D．48 解析　根据题意，要求小明的父母都与他相邻，即小明坐在父母中间，将三人看成一个整体，有2种排法，将这个整体与爷爷和奶奶全排列，有A＝6种排法，则有2×6＝12种不同的排法． 答案　B 3．(多选题)若3男3女排成一排，则下列说法错误的是(　　) A．共计有720种不同的排法 B．男生甲排在两端的排法种数为120 C．男生甲、乙相邻的排法种数为120 D．男、女生相间的排法种数为72 解析　3男3女排成一排共计有A＝720(种)不同的排法；男生甲排在两端的排法种数为2A＝240；男生甲、乙相邻的排法种数为AA＝240；男、女生相间的排法种数为2AA＝72. 答案　BC 4．某校要安排一场共11个节目的文艺晚会，除第1个节目和最后一个节目已经确定外，3个音乐节目要求排在2，6，9的位置，3个舞蹈节目必须相邻，3个曲艺节目没有要求，共有不同的演出顺序排法种数为(　　) A．144 B．192 C．216 D．324 解析　先排音乐节目，则舞蹈节目位置只能排在3，4，5，再排曲艺节目，然后由分步乘法计数原理可得．①先排3个音乐节目有A种排法，共6种排法； ②再排3个舞蹈节目只能排3，4，5位置，共A＝6种排法； ③再排3个曲艺节目，共A＝6种排法； ∴由分步乘法记数原理有6×6×6＝216种排法． 故选C. 答案　C 5．8次投篮中，投中3次，其中恰有2次连续命中的情形有________种． 解析　将2次连续命中当作一个整体，和另一次命中插入另外5次不命中留下的6个空进行排列，有A＝30种情形． 答案　30 6．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则不同的选派方案的种数为________． 解析　可用间接法：从全部方案中减去只选派男生的方案数，则所有不同的选派方案共有A－A＝186(种). 答案　186 7．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术 6门课各一节的课程表．要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为______(用数字作答). 解析　先在前3节课中选一节安排数学，有A种安排方法； 在除了数学课与第6节课外的4节课中选一节安排英语课，有A种安排方法； 其余4节课无约束条件，有A种安排方法． 根据分步乘法计数原理，不同的排法种数为A·A·A＝288. 答案　288 8．根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》上映，某学校政治组有4名男教师和3名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．求： (1)4名男教师必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)3名女教师互不相邻的坐法有多少种？ 解析　(1)根据题意，先将4名男教师排在一起，有A＝24种坐法， 将排好的男教师视为一个整体，与3名女教师进行排列，共有A＝24种坐法， 由分步乘法计数原理，共有24×24＝576种坐法． (2)根据题意，先将4名男教师排好，有A＝24种坐法， 再在这4名男教师之间及两头的5个空位中插入3名女教师，有A＝60种坐法， 由分步乘法计数原理，共有60×24＝1 440种坐法． [关键能力·综合提升] 9．直线Ax＋By＝0的系数A，B可以在0，1，2，3，5，7这六个数字中选取，则这些方程所表示的不同直线有(　　) A．30条 B．23条 C．22条 D．14条 解析　当A＝B≠0时，表示同一直线x＋y＝0；当A＝0，B≠0时，表示直线y＝0；当A≠0，B＝0时，表示直线x＝0；当A≠0，B≠0，A≠B时有A条直线，故共有1＋1＋1＋A＝23条直线． 答案　B 10．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位数字的数共有(　　) A．210个 B．300个 C．464个 D．600个 解析　个位数要么小于十位数，要么大于十位数，故有AA＝300(个). 答案　B 11．用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，这样的八位数共有________个(用数字作答). 解析　把相邻的两个数捆绑(看成一个整体)，三捆组内部都有A种排列方法，它们与另外2个数之间又有A种排列方法．根据分步乘法计数原理知，共有AAAA＝8×120＝960个八位数． 答案　960 12．(2025·太原、阳泉高二期末)某公园设计了如图所示的观赏花坛，现有四种不同的鲜花可供摆放，要求有公共边的区域摆放不同种类的鲜花，则摆放鲜花的不同方法种数为________． 解析　先安排1，3，5区域，此时从4种鲜花中任选3种全排列，故共有A＝24种方法． 接下来安排区域2，4，6， 若4与5同色，1，2同色，此时区域6有2种选择； 若4与5同色，1，2不同色，此时区域2只有1种选择，区域6也只有1种选择； 若4与5不同色，此时1，2只能同色，此时区域6有2种选择， 故区域2，4，6共有2＋1＋2＝5种安排方法， 因此总的方法共有24×5＝120(种). 答案　120 13．有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程，从中选4门安排在上午的4节课中，其中化学不排在第四节，共有多少种安排方法？ 解析　法一(分类法)　分两类： 第1类，化学被选上，有A·A种排法； 第2类，化学不被选上，有A种排法． 故共有A·A＋A＝300种不同的安排方法． 法二(分步法)　第1步，第四节有A种排法； 第2步，其余三节有A种排法，故共有A·A＝300种不同的安排方法． 法三(间接法)　从6门课中选4门课有A种排法，而化学排第四节有A种排法， 故共有A－A＝300种不同的安排方法． [核心价值·探索创新] 14．在探索系数A，ω，φ，b对函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)图象的影响时，我们发现，系数A对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数ω对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数φ对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”．运用上述四种变换，若函数f(x)＝sin x的图象经过四步变换得到函数g(x)＝2sin ＋1的图象，且已知其中有一步是向右平移个单位长度，则变换的方法共有(　　) A．6种 B．12种 C．16种 D．24种 解析　根据题意，该图象变换的过程有振幅变换、周期变换、左右平移变换和上下平移变换共四步，因为左右平移变换是向右平移个单位长度，所以要求左右平移变换在周期变换之前，所以变换的方法共有＝12(种). 答案　B 15．用0，1，2，…，9十个数可组成多少个满足以下条件且没有重复数字的排列？ (1)五位奇数； (2)大于30 000的五位偶数． 解析　(1)要得到五位奇数，末位应从1，3，5，7，9五个数字中取，有5种取法，取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的8种不同取法．首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位、百位与千位三个数位选取，共有A种不同的排列方法．因此由分步乘法计数原理共有5×8×A＝13 440个没有重复数字的五位奇数． (2)要得到偶数，末位应从0，2，4，6，8中选取，而要比30 000大的五位偶数，可分两类： ①末位数字从0，2中选取，则首位可取3，4，5，6，7，8，9中任一个，共7种选取方法，其余三个数位就有除首尾两个数位上的数字之外的八个数字可以选取，共A种取法．所以共有2×7×A种不同情况． ②末位数字从4，6，8中选取，则首位应从3，4，5，6，7，8，9中除去末位数字的六个数字中选取，其余三个数位仍有A种选法，所以共有3×6×A种不同情况． 由分类加法计数原理，比30 000大的无重复数字的五位偶数的个数共有2×7×A＋3×6×A＝10 752. 学科网（北京）股份有限公司 $