精品解析：2025-2026学年人教版数学九年级上册期末模拟

2025-2026人教版九年级上数学期末模拟测试 一、选择（每小题2分，共16分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么点D与这条圆弧所在圆的位置关系是（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 在圆内或圆上 4. 如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列关于二次函数的图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 图象与x轴有唯一交点 6. 如图，是圆的直径，点，分别在直径所对的两个半圆上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，分别与相切于A，B两点，点C在优弧上，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知及外一定点P，嘉嘉同学进行了如下两步操作后，得出了四个结论： ①点A是的中点； ②直线都是切线； ③点P到点Q、点R的距离相等； ④连接，则． 上述结论正确的是（ ） A ① B. ② C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空（每小题2分，共16分） 9. 方程的根是_____________________． 10. 已知一个扇形的半径长为，圆心角为，则这个扇形的面积为____． 11. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是点__________________． 12. 如图，点A，B，C都在上，若，则的度数为________． 13. 如图，圆形拱门的形状是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，连接并延长交于点，并且，，则的半径为______． 14. 如图，为正八边形的中心，连接，以为圆心的圆弧经过点，，与交于点，连接，则的大小为_________________． 15. 化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班36人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_____名同学． 16. 在平面直角坐标系中，已知点，是抛物线上两点，若对于都有，则的取值范围是_____________________________． 三、解答题（本题共68分，第17---21题每题5分，22题6分，23题5分，24—26每题6分，27—28每题7分） 17. 解方程：． 18. 已知实数是的根，求的值． 19. 关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一根小于0，求的取值范围． 20. 如图，在7×7正方形网格中，每个小正方形网格的边长为1，图中“L”形的每个顶点均为网格线交点，将“L”形绕点O顺时针旋转（），顶点A，B的对应点分别为，，线段m的对应线段为． （1）在图中标出点O，并画出“L”形旋转后所得到的图形； （2）______°； （3）在旋转过程中，点C所经过的路径长为_____． 21. 甲、乙两人做游戏，同时掷两枚质地均匀的骰子，规则如下： 两枚骰子点数相同时甲胜； 两枚骰子的点数之和为时乙胜； 是否存在m的值使得甲、乙两人获胜的概率相同？请用画树状图或列表的方法说明你的结论. 22. 下表是二次函数图象上部分点的横坐标和纵坐标． x … －1 0 1 2 3 4 5 … y … 8 3 0 －1 0 m 8 … （1）观察表格，直接写出______； （2）求这个二次函数的表达式． 23. 在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移2个单位得到的直线经过点． （1）求k与b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 24. 如图，是的内接三角形，延长至点D，平分交于点E，连接，．求证：． 25. 如图，是的直径，弦，过点D作的切线交的延长线于点E，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线：经过点． （1）求抛物线对称轴； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交抛物线于点N． ①若，，求长，的面积； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的面积随的长的增大而增大，求a的取值范围． 27. 在中，，，将边绕点B逆时针旋转，得到线段，连接，过点B作的垂线交于点E，交延长线于点M，连接． （1）求的度数； （2）用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和平面内的点C，给出如下定义：若弦上存在点P，使得点C绕点P旋转后得到的对应点在上，则称点C是弦的“伴随点”． （1）如图，点，． ①在点，,中，弦的“伴随点”是_________； ②若点D是弦“伴随点”，则点D的横坐标的最小值为________； （2）已知直线与坐标轴交于点E和点F，点Q是线段上任意一点，且存在的弦，，使得点Q是弦的“伴随点”．直接写出b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版九年级上数学期末模拟测试 一、选择（每小题2分，共16分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，理解轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C中图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：B． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，掌握顶点式 的顶点坐标是是解题的关键． 直接根据二次函数的顶点式性质，从函数表达式读出顶点坐标即可解答． 【详解】解：∵ 抛物线， ∴ 该抛物线的顶点坐标为， 故选：B． 3. 如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么点D与这条圆弧所在圆的位置关系是（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 在圆内或圆上 【答案】A 【解析】 【分析】因为圆心到A，B，C三点距离相等，所以圆心在的垂直平分线上，根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，比较半径和的长度即可得出结论． 【详解】解：∵圆心到A，B，C三点距离相等， ∴圆心在的垂直平分线上， 故如图线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点． 即为圆心， 则， ， ∵， ， 点在这条圆弧所在圆的圆内． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂直平分线，点和圆的位置关系，实数的比较大小，勾股定理，数形结合是解答此题的关键． 4. 如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是旋转性质、等边对等角、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握旋转性质． 根据旋转性质得，，，再由等边对等角得，结合三角形内角和定理即可得解． 【详解】解：由旋转性质得，，，， ，， 中，． 故选：． 5. 下列关于二次函数的图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 图象与x轴有唯一交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练运用配方法和判别式是解题关键． 通过配方法将二次函数化为顶点式，得到顶点坐标和开口方向，再根据二次函数的性质判断各选项即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， 对于A：开口向下，错误； 对于B：顶点坐标是，不是，错误； 对于C：∵ 开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随增大而增大，正确； 对于D：判别式， ∴与轴有两个交点，错误． 故选 C． 6. 如图，是圆的直径，点，分别在直径所对的两个半圆上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由圆周角定理可得，进而根据角的和差即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴， 故选：． 7. 如图，分别与相切于A，B两点，点C在优弧上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，四边形的内角和，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键．连接，根据切线的性质求出，根据四边形的内角和为求得，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， 分别与相切于A，B两点， ， ， ， ， 故选：A． 8. 如图，已知及外一定点P，嘉嘉同学进行了如下两步操作后，得出了四个结论： ①点A是的中点； ②直线都是的切线； ③点P到点Q、点R的距离相等； ④连接，则． 上述结论正确的是（ ） A. ① B. ② C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图法、圆周角定理、切线的判定以及切线长定理．熟练掌握以上知识是解题的关键．由第一步作图痕迹可知直线是的垂直平分线，由此可判断①正确；根据直径所对的圆周角等于，可判断②正确；根据切线长定理可判断③正确；先证明，由此可得，进而可得，因此可判断④错误． 【详解】解：如下图， 由第一步作图痕迹可知直线是的垂直平分线， 因此点A是的中点，故①正确； ∵是的直径， ， ， ∴直线都是的切线，故②正确； ∵直线都是的切线， 根据切线长定理，可知，故③正确； ， ∴， ∴， ， ∵点A是的中点， ，故④错误． 故选：C． 二、填空（每小题2分，共16分） 9. 方程的根是_____________________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，通过因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：原方程化为， ∴或， 解得，． 故答案为：，． 10. 已知一个扇形的半径长为，圆心角为，则这个扇形的面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积公式，理解扇形面积与相应圆面积的比就是扇形圆心角占整个周角的比，列式求解即可得到答案，熟记扇形面积公式并正确理解是解决问题的关键． 【详解】解：一个扇形的半径长为，圆心角为， 这个扇形的面积为， 故答案为：． 11. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是点__________________． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转角相等，解答即可． 【详解】解：根据旋转角相等，得， 故旋转中心可能是点B， 故答案为：B． 12. 如图，点A，B，C都在上，若，则的度数为________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理．根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，圆形拱门的形状是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，连接并延长交于点，并且，，则的半径为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一和勾股定理，垂径定理．连接，，由等腰三角形三线合一得，，设的半径为，则，那么，在中，根据，列出方程，然后解方程即可． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵是弦的中点，，， ∴，， 设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得． 则的半径为． 故答案为：． 14. 如图，为正八边形的中心，连接，以为圆心的圆弧经过点，，与交于点，连接，则的大小为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，正多边形内角和定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练运用内角和公式、三角形内角和公式、等腰三角形的性质是解题的关键． 根据正多边形内角和定理求出的度数，进而求出的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵八边形是正八边形， ∴， 由对称性可得， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班36人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_____名同学． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出一元二次方程是解题的关键． 设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可解答． 【详解】解：设1人每次能手把手教会名同学． 由题意，得， 解得：（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会名同学． 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，已知点，是抛物线上两点，若对于都有，则取值范围是_____________________________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解不等式，分类讨论是解题的关键．根据题意，可知，可得，然后分成以及两种情况分类讨论，当时，其开口向上，越靠近，其函数值越小，此时和都在的右侧，且更靠近对称轴，符合题意；当时，其开口向下，越靠近，其函数值越大，先证明在对称轴左侧，然后找出对称轴的对称点为，结合，得到，最后结合，可得，最后算得答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴对称轴为， 当时，其开口向上，越靠近，其函数值越小， ∵， ∴和都在的右侧，且更靠近对称轴， ∴， 故时满足题意； 当时，其开口向下，越靠近，其函数值越大， ∵， ∴， ∴在对称轴左侧， 设，那么对称轴的对称点为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，或． 故答案为：或． 三、解答题（本题共68分，第17---21题每题5分，22题6分，23题5分，24—26每题6分，27—28每题7分） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】将方程的常数项移动方程右边，两边都加上，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 【详解】， 移项得：， 配方得：，即， 开方得：， 则，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，掌握配方的方法和步骤是解题的关键． 18. 已知实数是的根，求的值． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，一元二次方程的解，由实数是的根，得到，再将整式化简后即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵实数是的根， ∴，即， ∴ ． 19. 关于一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一根小于0，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，公式法解一元二次方程； （1）求出根的判别式，根据判别式的意义可得结论； （2）利用公式法求出方程的解为，，根据该方程有一根小于0可知，然后可求出的取值范围． 【小问1详解】 证明：依题意，得， 该方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ，， ∵该方程有一根小于0， ∴， ∴． 20. 如图，在7×7的正方形网格中，每个小正方形网格的边长为1，图中“L”形的每个顶点均为网格线交点，将“L”形绕点O顺时针旋转（），顶点A，B的对应点分别为，，线段m的对应线段为． （1）在图中标出点O，并画出“L”形旋转后所得到的图形； （2）______°； （3）在旋转过程中，点C所经过的路径长为_____． 【答案】（1）见解析 （2）90 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，弧长公式，解题关键是掌握旋转变换的性质，记住弧长公式． （1）和垂直平分线的交点即为旋转中心O，然后利用旋转变换的性质分别作出对应点即可； （2）根据旋转角的定义判断即可； （3）利用弧长公式求解． 【小问1详解】 解：图形如图所示； 【小问2详解】 解：观察图形发现旋转角． 故答案为：； 【小问3详解】 解：点C所经过的路径长为； 故答案为：； 21. 甲、乙两人做游戏，同时掷两枚质地均匀的骰子，规则如下： 两枚骰子点数相同时甲胜； 两枚骰子的点数之和为时乙胜； 是否存在m的值使得甲、乙两人获胜的概率相同？请用画树状图或列表的方法说明你的结论. 【答案】当时，甲、乙两人获胜的概率相同 【解析】 【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与点数相同和点数和的情况，再利用概率公式即可求得两人获胜的概率，可得结果． 此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：存在． 列表得： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 共有36种等可能的结果，点数相同的结果有6种， 甲胜的概率为， 两枚骰子的点数之和为7的结果为6种， 当时， 乙胜的概率为， 即当时，甲、乙两人获胜的概率相同． 22. 下表是二次函数图象上部分点的横坐标和纵坐标． x … －1 0 1 2 3 4 5 … y … 8 3 0 －1 0 m 8 … （1）观察表格，直接写出______； （2）求这个二次函数表达式． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式．熟练掌握二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． （1）根据二次函数的对称性质即可得出的值； （2）由表格可知二次函数图象顶点为，由二次函数的顶点式即可求解． 【小问1详解】 解：观察表格，可知． 故答案为：3． 【小问2详解】 解：由表格可知，二次函数图象顶点， ∴设二次函数顶点式为， 把代入得：， 解得， ∴二次函数解析式为，即． 23. 在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移2个单位得到的直线经过点． （1）求k与b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，熟知一次函数的性质是解题的关键． （1）先根据直线向上平移 2 个单位得出，再将点代入，求出的值即可； （2）根据点结合一次函数的性质即可求得． 【小问1详解】 解：∵将函数的图象向上平移 2 个单位得到的直线， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：把代入，得， 把点代入，得． ∵当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值， ∴的取值范围是． 24. 如图，是的内接三角形，延长至点D，平分交于点E，连接，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】首先根据同弧所对的圆周角相等可得，根据圆内接四边形的对角互补可得，根据邻补角定义可得，根据同角的补角相等可得，等量代换可证，根据等角对等边可证． 【详解】证明：平分， ， ∵， ， 四边形为的内接四边形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、同弧所对的圆周角相等、等角对等边、角平分线的定义．解决本题的关键是根据图形的性质得到角之间的关系，利用角之间的关系得到边之间的关系． 25. 如图，是的直径，弦，过点D作的切线交的延长线于点E，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作于点，连接，先由平行的性质得，再由切线的性质得，进而得，即可得，再由垂径定理和圆周角定理可得，继而可得结论； （2）作于点，设的半径为，则，由勾股定理列方程得，解方程得，进而可得的值，再由勾股定理可得的值，最后由可得答案． 【小问1详解】 证明：过点 O 作于点，连接，如图1， ， ， ， ， ， 是的切线， D是切点， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：作于点，如图2， ， ， ∴四边形为矩形， ， 设的半径为，则， ， ， ∵在中，， ， 解得， ， ， ， ∴在中，， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线：经过点． （1）求抛物线对称轴； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交抛物线于点N． ①若，，求的长，的面积； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的面积随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1）抛物线对称轴是直线 （2）①，的面积是2；②或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与三角形的面积的综合问题，二次函数的图象与性质，抛物线开口方向的不同以及增减性的变化研究是解题的关键． （1）把的坐标代入，求得，得到抛物线的解析式为：，从而可求得答案； （2）①当，时，抛物线得解析式为：，抛物线的解析式为，点的坐标为，即可求得答案； ②先求出和，得到，进一步证明抛物线的顶点在抛物线上，即可讨论抛物线的开口方向及画出图形：若，且时，，此时，根据题意，可求得a的取值范围；若，且时，，此时，但不符合题意；若，则，，在点P的运动过程中始终满足题意；综合上述即可得出结论． 【小问1详解】 解：把的坐标代入，得， ， 抛物线得解析式为：， ， 其对称轴为直线； 【小问2详解】 解：①当，时，抛物线得解析式为：，抛物线得解析式为，点的坐标为， 此时点P与点M重合， ， 当时，， ， ， 的面积为； ②把点的坐标代入抛物线：，得， ， 把点的坐标代入抛物线：，得， ， 则， 抛物线：的顶点坐标为， 当时，， 抛物线的顶点在抛物线上， 若，且时，， 此时， 在点P从点O运动到点的过程中，的面积随的长的增大而增大， 必须在对称轴直线的左侧， ， ， ； 若，且时，， 此时， 在点P从点O运动到点的过程中，必须，且，的面积才随的长的增大而增大， 这与不符，舍去； 若，则， ， 此时，在点P从点O运动到点的过程中，点P始终在对称轴直线的左侧，的面积总是随的长的增大而增大， ； 综上所述，满足题意的a的取值范围是或． 27. 在中，，，将边绕点B逆时针旋转，得到线段，连接，过点B作的垂线交于点E，交延长线于点M，连接． （1）求的度数； （2）用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【分析】（1）作于点Q，由旋转得，则，因为，，所以，而于点E，则，则，所以； （2）由，得，所以，则，而，，所以，则可得结论． 【小问1详解】 解：作于点Q，则， 将边绕点B逆时针旋转，得到线段， ， ， ，， ， 于点E， ， ， ， 的度数是 【小问2详解】 解：， 证明：， ， ， ， ，于点Q， ， ，于点E， ， 垂直平分， ， ， ， 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、旋转的性质、等腰三角形的“三线合一”、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和平面内的点C，给出如下定义：若弦上存在点P，使得点C绕点P旋转后得到的对应点在上，则称点C是弦的“伴随点”． （1）如图，点，． ①在点，,中，弦的“伴随点”是_________； ②若点D是弦的“伴随点”，则点D的横坐标的最小值为________； （2）已知直线与坐标轴交于点E和点F，点Q是线段上任意一点，且存在的弦，，使得点Q是弦的“伴随点”．直接写出b的取值范围． 【答案】（1）①，② （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据点，，确定直线的解析式为， 设点绕点P旋转后得到对应点，且在上，设，则，根据题意，，整理，得，根据题意，的半径为1，且在上，得到，解方程，依次解答即可． ②设，根据点D是弦的“伴随点”，得到，继而得到，解答即可． （2）把分别绕点N，M旋转得到和，连接，，，此时点N在上，点M在上，且，设和的外切于点K，作和的外公切线，连接，交切线于点G，设切线与的切点为W，连接，根据题意，得正方形，，根据得到是等边三角形，得， 故弦的“伴随点”在以点为圆心，分别以3为半径，为半径的圆环内，包含边界．故点Q在以点为圆心，分别以3为半径，为半径的圆环内，包含边界．确定了或，当，且直线，且与小圆切于点R，交y轴于点S，得到，此时得到；当，且直线，且与小圆切于点T，交y轴于点U，此时；解答即可． 本题考查的是新定义的含义，一次函数的图象与性质，圆的基本性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，理解新定义，熟练的利用数形结合的方法解题是关键. 【小问1详解】 ①解：设直线的解析式为，把点，分别代入解析式，得， 解得， 故直线的解析式为， 设点绕点P旋转后得到对应点，且在上，， 则，根据题意，，整理，得， 故， 又的半径为1，且在上， 故， 把代入中，得 ， 整理，得即， 解得， 当时，，此时； 当时，，此时； ∴点是弦的“伴随点”； 设点绕点P旋转后得到对应点，且在上，， 则，根据题意，，整理，得， 又的半径为1，且在上， 故， 把代入中，得 ， 整理，得即， 又， 此时方程无解， 故不是弦的“伴随点”； 设点绕点P旋转后得到对应点，且在上，， 则，根据题意，，整理，得， 故， 又的半径为1，且在上， 故， 把代入中，得 ， 整理，得即， 故即， 解得， 当时，，此时； ∴点是弦的“伴随点”； 故答案为：，． ②解：设， ∵点D是弦的“伴随点”， ∴， ∴， ∴， ∴点D的横坐标的最小值为； 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图，， 把分别绕点N，M旋转得到和，连接，，， 此时点N在上，点M在上，且， 设和的外切于点K，作和的外公切线，连接，交切线于点G， 设切线与的切点为W，连接， 根据题意，得正方形， 故， 根据得到是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴弦的“伴随点”在以点为圆心，分别以3为半径，为半径的圆环内，包含边界． ∵直线与坐标轴交于点E和点F，点Q是线段上任意一点，且存在的弦，，使得点Q是弦的“伴随点”． ∴点Q在以点为圆心，分别以3为半径，为半径的圆环内，包含边界． ∴或， 当，且直线，且与小圆切于点R，交y轴于点S， ∵直线与坐标轴交于点E和点F， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 此时； 当，且直线，且与小圆切于点T，交y轴于点U， ∵直线与坐标轴交于点E和点F， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 此时； 综上所述，b的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $