2025-2026学年北师大版九年级上册数学期末检测卷（二）

2025-2026北师大九年级上册数学期末检测卷（二） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数中，不是反比例函数的是(    ) A. B. C. D. 2.下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是(    ) A. B. C. D. 3.一副直角三角板按照如图所示的方式摆放，其中一个三角板的直角顶点在另一个三角板的斜边上，已知，则的度数为(    ) A. B. C. D. 第7题图 第4题图 第3题图 4.如图，在距离铁轨的处，观察由深圳开往广州的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上；一段时间后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这段时间动车的运动路程是(    ) A. B. C. D. 5.当时，关于的一元二次方程的根的情况为(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 6.小红、小明、小芳在一起做游戏时，需要确定游戏的先后顺序他们约定用“剪子、包袱、锤子”的方式确定则在一个回合中三个人都出包袱的概率是(    ) A. B. C. D. 7.如图，正方形的对角线相交于点，为上一动点．连接，作交于点，已知，则四边形的面积为  (    ) A. B. C. D. 8.以正方形两条对角线的交点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线 经过点，则正方形的面积是      A. B. C. D. 第10题图 第9题图 第8题图 9.如图，在中，，，为上一点，且，在上取一点，若以，，为顶点的三角形与相似，则的长为(    ) A. B. C. 或 D. 或 10.如图，为的直径，点为半圆上一点且，，分别为，的中点，弦分别交，于点，若，则(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.若，则          ． 12.如图，是的中线，点在上，延长交于点，若，则_______． 第14题图 第15题图 第13题图 第12题图 13.如图，在中，，，点是内一点，连接，，，且，过点作交于点，若，则的面积为          ． 14.如图，在中，，，将绕点逆时针旋转后，得到，点经过的路径为若，则图中阴影部分的面积为          结果保留． 15.如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且为对角线上一点，则的最大值为          ． 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 16.化简：解方程  ． 四、解答题：本题共7小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分材料阅读： 光从空气进入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射．我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点，测得，若，，三点在同一条直线上，请依据相关材料求的长．结果精确到；参考数据：，， 18.本小题分请阅读下列材料，并完成相应的任务： 定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为等对四边形．等对四边形对边中点的连线，称为等对中位线． 性质：等对四边形的两条等对中位线互相垂直平分． 已知：如图，四边形中，对角线，，，，分别是，，，的中点，连接，． 求证：，互相垂直平分． 部分证明过程如下： 证明：如图，顺次连接，，，四点， 任务： 下列图形，是等对四边形的有          只填序号；平行四边形  矩形  菱形  正方形 请按照上面的证明思路，完成剩余的证明过程； 如图，等对四边形中，若等对中位线，求等对四边形两对角线的长． 19.本小题分在流感多发的季节，某校校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，完成间办公室和间教室的药物喷洒共需完成间办公室和间教室的药物喷洒共需． 该校医完成间办公室和间教室的药物喷洒各需多少时间 消毒药物在一间教室内空气中的浓度单位：与时间单位：的函数关系如图所示，校医进行药物喷洒时，与的函数关系式为，药物喷洒完成后，与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为点当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，校医依次对九班至九班教室共间进行药物喷洒消毒，当把最后一间教室药物喷洒完成后，班学生能否进入教室请通过计算说明． 20.本小题分某商店经销一种成本为每千克元的水产品，据市场分析，若按每千克元销售，一个月能售出，销售单价每千克每涨元，月销售量就减少，解答以下问题． 当销售单价定为每千克元时，计算销售量和月销售利润 设销售单价为每千克元，月销售利润为元，请求出与之间的函数关系式 若商店想减少库存，并使得月销售利润达到元，则销售单价应为每千克多少元 21.本小题分图是一个四冲程汽油机的工作图，我们在物理课上学过汽油发动机是由汽油和空气燃烧推动活塞运动的．然而活塞运动是直线方向的运动，而汽车的行进是靠滚动的，这时就需要通过曲柄连杆机构把直线运动转化为旋转运动． 图 图是曲柄连杆机构的示意图，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点，是直线与的交点．当点运动到点时，点到达点；当点运动到点时，点到达点已知，． 图 的长为          ． 求当与相切时，的长度． 据中国汽车工业协会统计分析，年月，我国新能源汽车产销同比高速增长，市场占有率达到，与此同时，中国产的新能源汽车在海外市场的销量也在不断增长．目前的新能源汽车大多使用电动机，我们在物理课上也学过电动机，是由电磁感应带动转子直接转动的．你能写出一个新能源汽车比传统汽油车的优势吗？ 22.本小题分已知二次函数． 若函数图象经过点，求抛物线的对称轴 若，当时，随的增大而增大，求的取值范围 若，两点都在二次函数的图象上，试比较与的大小，并说明理由． 23.本小题分【阅读理解】半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题．   【初步探究】如图，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，若，将绕点顺时针旋转，得到易证：． 根据以上信息填空：           ； 线段，，之间满足的数量关系为          ． 【迁移探究】如图，在正方形中，若点在的延长线上，点在的延长线上，，猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 【拓展探索】如图，已知正方形的边长为，，分别在，上，，连接分别交，于点，，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026北师大九年级上册数学期末检测卷（二) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数中，不是反比例函数的是() A.y=-3 x By=爱 cy= D.3xy=2 2.下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是() B 3.一副直角三角板按照如图所示的方式摆放，其中一个三角板的直角顶点D在另一个三角板的斜边AC上， 己知BCI/EF,则∠CDF的度数为() A.30° B.20° C.15° D.10° D D 北 B 西N 一东 B F 第3题图 第4题图 第7题图 4.如图，在距离铁轨200m的B处，观察由深圳开往广州的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位 于B处的北偏东60°方向上；一段时间后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这段时间动车 的运动路程是() A.(100+100V3m B.(200+200V3m C.(100W2+100V3m D.(200V2+200W3m 5.当b+c=5时，关于x的一元二次方程3x2+bx-c=0的根的情况为() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 6.小红、小明、小芳在一起做游戏时，需要确定游戏的先后顺序他们约定用“剪子、包袱、锤子”的方式 确定.则在一个回合中三个人都出包袱的概率是(） A号 B c D 第1页，共6页 7.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,E为AB上一动点.连接OE,作OF⊥OE交BC于点F,己知AB=2, 则四边形EBFO的面积为() A.1 B.2 C.v2 D.4 8.以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线y=3经过点D, 则正方形ABCD的面积是() A.10 B.11 C.12 D.13 D 3 D 0 B 第8题图 第9题图 第10题图 9如图，在ABC中，AB=9,AC=12,D为AB上一点，且AD=号AB,在AC上取一点E,若以A,D,E 为顶点的三角形与。ABC相似，则AE的长为() A.8 B号 C8或号 D.8政号 10如图，AB为OO的直径，点C为半圆上一点且sin CAB=是B,F分别为ACBC的中点，弦EF分别交AC, CB于点M,N.若MN=2V6,则AB=() A.10V3 B.10√2 C.18 D.6v6 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11若号=子则2之=一 12.如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D,若BF=3EF,则 C D E B D M 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 13.如图，在△ABC中，AB=4,AC=2V3,点D是△ABC内一点，连接AD,BD,CD,且BD1CD,过点 D作DE⊥AD交AB于点E,若LDAB=∠DBC=30°，则△ADE的面积为 第2页，共6页 14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=V3AC,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转45°后，得到Rt△AED, 点B经过的路径为BE若AC=2,则图中阴影部分的面积为—（结果保留m), 15.如图，在正方形ABCD中，AB=8,AC与BD交于点0，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6.P为 对角线BD上一点，则PM-PN的最大值为 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 16()化简：（片-x+1)÷号（②）解方程03xc-2)=x-2②x+8)cx+1)=-12. 四、解答题：本题共7小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题9分)材料阅读： 光从空气进入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射.我们把入射角 法线！ sina 空气 的正弦值和折射角B的正弦值之比称为折射率(n),即n= 已知光线从空气进入水 中时的折射率为 问题解答： 如图，矩形ABCD为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O,折射后照到水槽底部的点Q,测得 ∠N0Q=37°，NQ=12cm.若P,0,C三点在同一条直线上，请依据相关材料求CQ的长.（结果精确到0.1cm: 参考数据：sim37≈景，cos3T≈，tamn37≈) 第3页，共6页 18.(本小题9分)请阅读下列材料，并完成相应的任务： 定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为等对四边形.等对四边形对边中点的连线， 称为等对中位线， 性质：等对四边形的两条等对中位线互相垂直平分， 己知：如图①，四边形ABCD中，对角线AC=BD,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，连 接EG,FH. 求证：EG,FH互相垂直平分. 图① 图② 部分证明过程如下： 证明：如图①，顺次连接E,F,G,H四点， 任务： (1)下列图形，是等对四边形的有（只填序号）；①平行四边形②矩形③菱形④正方形 (②)请按照上面的证明思路，完成剩余的证明过程； (3)如图②，等对四边形ABCD中，若等对中位线EG=FH=aCm,求等对四边形ABCD两对角线的长. 19.(本小题9分)在流感多发的季节，某校校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，完成1间 办公室和1间教室的药物喷洒共需8mim,完成2间办公室和3间教室的药物喷洒共需21mim. ↑y/(mg/m) m x/min (1)该校医完成1间办公室和1间教室的药物喷洒各需多少时间？ (2)消毒药物在一间教室内空气中的浓度y(单位：mg/m3)与时间x(单位：min)的函数关系如图所示，校医 进行药物喷洒时，y与x的函数关系式为y=2x,药物喷洒完成后，y与x成反比例函数关系，两个函数图象 的交点为点A(m,n).当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对九(1)班至 九(11)班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当把最后一间教室药物喷洒完成后，(1)班学生能否进入教室？ 请通过计算说明. 第4页，共6页 20.(本小题9分)某商店经销一种成本为每千克20元的水产品，据市场分析，若按每千克30元销售，一个 月能售出500kg,销售单价每千克每涨1元，月销售量就减少10kg,解答以下问题. (1)当销售单价定为每千克35元时，计算销售量和月销售利润； (2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，请求出y与x之间的函数关系式： (3)若商店想减少库存，并使得月销售利润达到8000元，则销售单价应为每千克多少元？ 21.(本小题9分)图1是一个四冲程汽油机的工作图，我们在物理课上学过汽油发动机是由汽油和空气燃烧 推动活塞运动的.然而活塞运动是直线方向的运动，而汽车的行进是靠滚动的，这时就需要通过曲柄连杆 机构把直线运动转化为旋转运动. 图1 图2是曲柄连杆机构的示意图，点A在直线上往复运动，推动点B做圆周运动形成⊙O,AB与B0表示曲柄 连杆的两直杆，点C,D是直线与⊙O的交点，当点A运动到点E时，点B到达点C;当点A运动到点F时，点B 到达点D.已知AB=12,0B=5, B 图2 (1)FC的长为 (2)求当AB与⊙O相切时，EA的长度. (3)据中国汽车工业协会统计分析，2024年1月，我国新能源汽车产销同比高速增长，市场占有率达到29.9%， 与此同时，中国产的新能源汽车在海外市场的销量也在不断增长.目前的新能源汽车大多使用电动机，我 们在物理课上也学过电动机，是由电磁感应带动转子直接转动的.你能写出一个新能源汽车比传统汽油车 的优势吗？ 第5页，共6页 22.(本小题10分)已知二次函数y=ax2-(a-2)x+2(a≠0). (1)若函数图象经过点(3,2)，求抛物线的对称轴； (2)若a>0,当x≥-1时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； (3)若A(1-,b),B3-,c)两点都在二次函数的图象上，试比较b与c的大小，并说明理由.。 23.(本小题10分)【阅读理解】半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的 两边相等.通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以 解决线段关系、角度、面积等问题 B B E 图(2) 图(3) 图(1) (1)【初步探究】如图(1)，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，连接AE,AF,EF.若∠EAF=45°， 将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG.易证：△AEF兰△AEG. 根据以上信息填空： ①LEAG=°： ②线段BE,EF,DF之间满足的数量关系为一· (2)【迁移探究】如图(2)，在正方形ABCD中，若点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，∠EAF=45, 猜想线段BE,EF,DF之间的数量关系，并证明， (3)【拓展探索】如图(3)，己知正方形ABCD的边长为3V2,E,F分别在BC,CD上，∠EAF=45°，连接BD 分别交AE,AF于点M,N,若点M恰好为线段BD的三等分点，且BM<DM,求线段MN的长. 第6页，共6页参考答案 1.【答案】C 2.【答案】C 3.【答案】C 4.【答案】B 5.【答案】A 6.【答案】D 7.【答案】A 8.【答案】C 9.【答案】C 10.【答案】A 11.【答案】克 12.【答案】 13【答案】华 14.【答案】2π 15.【答案】2 16.【答案】(1)原式=-x2-x: (2)①解：移项，得3x(x-2)-(x-2)=0,即(3x-1x-2)=0, X1=青，2=2. ②原方程可化为x2+9x+20=0,即(x+4(x+5)=0, X1=-4,X2=-5. 17.【答案】解：在Rta0NQ中，∠NOQ=37°，NQ=12cm, ·0N=器心12×寺=16(cm）,由题意待器=专， sin∠POM=专Xsin37≈青×号=专，：∠P0M=∠C0N,sin∠POM=sinCON=专， 在Rt.C0N中，si∠C0N=器=青，÷设CN=4xcm,则oC=5xcm, :0N=V0C2-CN=V(5x)2-(4x)7=3x(cm),÷3x=16,解得：x=号， 第1页，共1页 CN=4x=譬(cm),CQ=CN-NQ=等-12=2号≈9.3(cm),答：CQ的长约为 9.3cm 18.【答案】【小题1】 ②④ 【小题2】 补全剩余证明如下：：点E,F分别是AB,BC的中点，：EF是△ABC的中位线，：EF=专AC,同理 可得GH=支AC,EH=专BD,GF=专BD,又：AC=BD,:EF=GH=EH=GP,:四边形 EFGH是菱形，·EG,FH互相垂直平分： 【小题3】 如图，顺次连接E,F,G,H四点，由（②）可知，四边形EFGH是菱形，又：EG=FH,·四边形 EPGH是正方形，∠BRG=90。,∠GER=45°，：GF=号EG=号acm,:四边形ABCD是 等对四边形，EG,FH是等对中位线，÷AC=BD,点F,G分别是BC,CD的中点，·GF是△BCD的 中位线，“BD=2GF=2×号a=V反acm:AC=BD=V反acm,即等对四边形ABCD两对 角线的长都为V2acm. 19.【答案】【小题1】 解：设完成1间办公室和1间教室的药物喷洒分别需要xmin和ymin, xy=8 x=3, 则12x3y=21,解得{y=5 故校医完成1间办公室和1间教室的药物喷洒分别需要3min和5min. 【小题2】 1间教室的药物喷洒时间为5min,则11间教室的药物喷洒需要55min. 当x=5时，y=2x=10, 故点A5,10): 设反比例函数的表达式为y=会， 第1页，共1页 将点A的坐标代入，得k=50, 故反比例函数的表达式为y=碧 当x=55时，y=3<1, 故九(1)班学生能安全进入教室， 20.【答案】【小题1】 销售量：500-(35-30)×10=450(kg). 月销售利润：450×(35-20)=450×15=6750（元） 【小题2】 y=(x-20500-10(x-30]=-10x2+1000x-16000.÷y与x之间的函数关系式为 y=-10x2+1000x-16000. 【小题3】 设销售单价为每千克m元则(m-20500-10(m-30]=8000.整理，得m2-100m+2400=0.解得 m1=40,m2=60.:要减少库存，·m=40.答：销售单价应为每千克40元. 21.【答案】【小题1】 2 【小题2】 如图，当AB与⊙0相切时，∠AB0=90°， B ÷A0=VAB2+0B2=13.:EA=E0-A0=（12+5)-13=4, 【小题3】 电动机可以直接做旋转运动，不需要额外的传输，效率更高.（言之有据均可） 22.【答案】【小题1】 解：将点(3,2)代入二次函数y=ax2-(a-2x+2(a≠0， 得9a-3(a-2+2=2, 第1页，共1页 解得a=-1. ·抛物线的表达式为y=-x2+3x+2. :抛物线的对称轴为直线X=一之=是。 【小题2】 :抛物线的对称轴为直线X=若， 由题意得爱≤-1， 解得a≤导， 0<a≤号， 【小题3】 :抛物线的对称轴为直线x=青一青， “克-合<1-贵<3-贵 :A(1-吉，b,B3-,c ·点A,点B在对称轴的右侧. ①当a>0时，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， :1-吉<3-吉， .b<c ②当a<0时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， :1-8<3-合， .b>c. 综上，当a>0时，b<C 当a<0时，b>c. 23.【答案】【小题1】 45 BE十DF=EF 【小题2】 第1页，共1页 BE+EF=DF证明如下：如图(1)，在DC上截取DH=BE,连接AH,在△ABE和△ADH中， AB=AD, ∠ABE=∠D=90g÷△ABE≌△ADH(SAS),·AE=AH,∠BAE=∠DAH,·∠BAE+∠BAH=∠BAL BE=DH, 即∠EAH=∠BAD=90°，：∠EAF=45°，·∠EAF=∠FAH=45°，在△EAF和△HAF中， AE=AH ∠EAF=∠HAF,·△EAF≌△HAF(SAS),·EF=HF:DH+HF=DF,·BE+EF=DF AF-AF, A D B 图(1) 【小题3】 如图②)，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABK,连接KM,:四边形ABCD是正方形， ÷AB=AD=3V2,∠BAD=90°，·∠ABD=∠ADB=45°，BD=VNAB2+AD2=6, BM=专BD=2,:DM=BD-BM=4,由旋转可得，∠KAN=90°，AK=AN,BK=DN, ∠ABK=∠ADB=45°，·∠KBM=∠ABK+∠ABD=90°，：∠KAN=90°，∠MAN=45°， :∠KAM=∠MAN=45°.又：AM=AM,·△AMK≌△AMN,÷KM=MN设 MK=MN=x,则BK=DN=4-x在Rt△BMK中，BK2+BM2=MK2,·(4-x+22=x2, 解得x=2.5,÷MN=2.5. 图(2) 第1页，共1页