江苏省南京市玄武区2025-2026学年九年级上学期期末数学复习试卷

答案与解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式． 配方法的一般步骤： 把常数项移到等号的右边； 把二次项的系数化为； 等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好是方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数． 【解答】 解：， ， ， ． 故选A． 2.【答案】  【解析】解：对于二次函数， ， 图象开口向上，选项说法错误，不符合题意； 图象的对称轴为直线，选项说法错误，不符合题意； 函数的最小值为，选项说法正确，符合题意； 当时，随的增大而减小，选项说法错误，不符合题意； 故选：． 根据二次函数的性质判断即可． 本题考查的二次函数的性质，正确根据二次函数解析式的系数确定开口方向、对称轴、函数最值、函数增减性是解题的关键． 3.【答案】  【解析】【分析】 根据已知角的正切值表示即可． 此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键． 【解答】 解：，，在直角中， ． 故选：． 4.【答案】  【解析】解：两年后该足球队队员不变，队员前后年龄的平均数变大，但数据的波动性没有变化，所以方差不变． 故选：． 根据平均数的定义和方差的意义计算判断． 本题考查方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了算术平均数． 5.【答案】  【解析】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：、，， ，故 A选项正确，不符合题意； B、，， ，故 B选项正确，不符合题意； C、，， ，故 C选项正确，不符合题意； D、当时，无法得到，故 D选项错误，符合题意． 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】本题主要考查了图象法求不等式的解集，结合函数图象找到一次函数图像在二次函数图象上方自变量的取值范围即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，， 故选：． 7.【答案】  【解析】解：设圆心为，连接，如图所示， 垂直平分，， ， ，， ， ， ， ， 解得， 即圆形工件的半径为， 故选：． 8.【答案】  【解析】解：在▱中，，点是的中点， ． ， ∽， ． ， ， ，故正确． ，， ，故正确． ， ， ，故正确． 不平行于， 与只有一个角相等， 与不一定相似，故错误． 故选：． 根据平行四边形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到，故正确；根据相似三角形的性质得到，故正确；根据三角形的面积公式得到，故正确；由于与只有一个角相等，于是得到与不一定相似，故错误． 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 9.【答案】任意实数  【解析】解：关于的方程有实数根， ，对为任意实数恒成立， 故答案为：任意实数． 利用一元二次方程根的判别式解答即可． 本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根是解题的关键． 10.【答案】  【解析】此题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，灵活运用勾股定理是解本题的关键．根据题意设铅直距离为，则水平距离为，根据勾股定理求出的值，即可得到结果． 【详解】解：设铅直距离为，则水平距离为， 根据题意得：， 解得：， 则她实际上升了米， 故答案为： 11.【答案】  【解析】解：设母线长为，底面半径是，则底面周长，侧面积． ． 故答案为：． 圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求解． 本题利用了扇形面积公式求解．熟记公式是解答本题的关键，难度不大． 12.【答案】  【解析】本题主要考查了二次函数的平移变换，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 直接运用二次函数图像的平移规律解答即可． 【详解】解：由平移规律可得：将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得的函数图象的表达式为：，即． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】解：在中，，， ， 平分， ， ， ， ， 和都是顶角为的等腰三角形． 顶角为的等腰三角形为“黄金三角形”， 它的底与腰的比值为， ； 故答案为：． 根据黄金三角形的腰与底的比值即可求解． 本题考查了黄金分割、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握黄金分割． 14.【答案】  【解析】解：由题意可知，步，步，步， ， ， 又， ∽， ， ， ， 故答案为：． 证明∽，得到，即可求出的长． 本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． 15.【答案】  【解析】解：连接，由正六边形是轴对称图形可知： 在中，，． ，． ，，，，， 故答案为： 先连接，由于正六边形是轴对称图形，并设交轴于，那么；在中，则，即可求得的坐标，和关于轴对称的点的坐标，其他坐标类似可求出． 本题考查了正多边形与圆，正六边形的对称性，直角三角形的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识． 16.【答案】  【解析】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据相似三角形的性质得出，进而在，勾股定理即可求解即可． 【详解】解：是正方形，， ，而，， ，， ， ， ， 为中点， ， 又， ， ， ， 由勾股定理得：． 故答案为：． 17.【答案】  【解析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，将求的正切值转化为求的正切值是解题的关键．根据题意得知，，由平行线的性质得到，结合相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， 设，则， ， ． 故答案为：． 18.【答案】  【解析】解：取的中点，连接，，，如图所示： 为直径， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 19.【答案】；     ，  【解析】      ；  由题意，，  ，  ，，  ，． 20.【答案】解：，，； 将组数据从小到大排列为：，，，，，，，， 中位数为次； 出现的次数最多， 众数是次； 平均次数为：次． 故答案为：，，； ，； ， 人， 组的人数为． 故答案为：，； 名， 大约有名学生达到适宜心率．  21.【答案】【小题】 证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ； 【小题】 解：， ， ， ， 由得：， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 的面积， 答：的面积为．   22.【答案】  【解析】解：总共有“宫、商、角、徵、羽”五个音，  第一次发出“羽”音的概率为，  故答案为：；  音乐小球从处先后两次进入音槽，两次先发出音的情况画树状图如下：    由树状图可知，共有种等可能的结果，其中先发出“角”音，再发出“徵”音的结果只有种，  先发出“角”音，再发出“徵”音的概率为． 23.【答案】解：直线与相切，理由如下： 连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线与相切； 设， 在中，，，， ， 解得不合题意舍去，， 故的半径为．  24.【答案】见解析；     见解析．  【解析】证明：由条件可知，  ，  由条件可知，  ，  ，  ∽，  ，  ，  点是点的“关联点”  解：如图所示，所作即为所求，  25.【答案】【小题】 解：如图，过点作交的延长线于点， 在中， 米， 米， 米， 在中， ， 米， 米， 答：的距离为米； 【小题】 如图，过点作于点，过点作于点， 由题意，知， 四边形是矩形， ， 在中， 米，， 米， ， ， 又， ， 在中， 米， 米， 米， 米， 答：货车顶端到水平线的距离约为米．   26.【答案】解：根据题意得， ； 当时， 得到， 解得：，， 使顾客获得实惠， ． 答：销售单价应定为元， 获利不得高于，即， ． 当时，． 答：销售单价定为元时，月销售利润达到最大．  27.【答案】解：由题意得， 解得：， 抛物线的表达式为：； 由抛物线的表达式知，点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， ， ， ； 如图， 当时， 作，交于， ∽， ：：， 把代入得， ， ， ：， 当时，：， ， 故的最大值为； 由知，， 过点作轴交于点， 同理可得：∽， 则：：， 即：存在最小值， 而：：存在最小值， 故不存在最大值．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南京市玄武区2025-2026学年九年级上学期 期末数学复习试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.用配方法解方程，则配方正确的是(    ) A. B. C. D. 2.下列选项是对二次函数的描述，其中正确的是(    ) A. 图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线 C. 函数的最小值为 D. 当时，随的增大而增大 3.如图，为了测量河岸，两点的距离，在与垂直的方向上取点，测得，，那么等于(    ) A. B. C. D. 4.某校足球队队员年龄的平均数为岁，方差为岁，若两年后该足球队队员不变，则下列关于队员前后年龄的说法，正确的是(    ) A. 平均数不变，方差改变 B. 平均数不变，方差不变 C. 平均数改变，方差不变 D. 平均数改变，方差改变 5.如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，直线与抛物线交于，两点，那么当时，的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在▱中，，相交于点，点是的中点，连接并延长交于点已知，则下列结论：；，；∽，其中一定正确的是． A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，共31分。 9.关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 10.小红沿坡比为的斜坡上走了米，则她实际上升了          米 11.已知圆锥的侧面积是，底面半径是，则圆锥的母线长是______． 12.将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得的函数图象的表达式为          ． 13.如图，等腰中，，，平分交于点，则的值等于______． 14.九章算术中记载了这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十五步有木，问出南门几何步见木？”其大意如下：如图，、分别是正方形边和的中点，正方形的边长为步，出东门继续往东走步有一树木点，问出南门继续往南走多少步恰好能看到位于点处的树木即点在直线上？则根据以上信息，算出的长是        步 15.如图，将正六边形放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若点的坐标为，则点的坐标为        ． 16.如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点，若，，则           ． 17.如图，已知点是矩形的对角线上的一动点，正方形的顶点、都在边上，若，则的值为          ． 18.如图，矩形中，，，为射线上一动点，以为直径的圆与相交于点，则长度的最小值为        ． 三、解答题：本题共9小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 ； 解方程：． 20.本小题分 某校八年级班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数次分钟，分为如下五组：组：，组：，组：，组：，组：． 根据统计数据绘制了不完整的统计图如图所示，请结合统计图解答下列问题： 其中组数据为：，，，，，，，组数据的中位数是  ______ 次，众数是  ______ 次，平均数是  ______ 次． 这部分学生共有  ______ 人，组频数是  ______ 人． 一般运动的适宜心率为次分钟，即、组都是适宜的心率该校共有名学生，依据此次跨学科研究结果，估计该校大约有多少名学生达到适宜心率． 21.本小题分 如图，在正方形中，为上一点，，交于，交的延长线于点． 求证：； 若，，求的面积． 22.本小题分 “宫、商、角、徵、羽”是我国五声音调中五个不同音的名称，最早的“宫商角徵羽”的名称见于距今余年的春秋时期，在管子地员篇中，有采用数学运算方法获得“宫、商、角、徵、羽”五个音的科学办法，这就是中国音乐史上著名的“三分损益法”某音乐玩具的大致结构如图所示，音乐小球从中间处沿轨道进入周围的个音槽内，就可以发出相应的声音，且小球每次进入每个音槽内的可能性均相同，现有一个音乐小球从处先后两次进入音槽  第一次发出“羽”音的概率为  ______ ；  请用列表法或画树状图的方法求这两次先发出“角”音，再发出“徵”音的概率． 23.本小题0分 如图，是的直径，弦与交于点，，点 的延长线上． 若，判断直线与的位置关系，并说明理由； 若，，求的半径． 24.本小题0分 在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． 如图，在中，若，于点试说明：点是点的“关联点”． 如图，已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使点为点的“关联点”． 25.本小题分 为了方便市民出行，建委决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为的改造为坡角为的，已知米，点，，，，，在同一平面内． 求的距离；结果保留根号 一辆货车沿斜坡从处行驶到处，货车的高为米，，若米，求此时货车顶端到水平线的距离精确到米，参考数据：， 26.本小题分 某商店经销一种销售成本为每千克元的水产品，规定试销期间销售单价不低于成本价．据试销发现，月销售量千克与销售单价元符合一次函数若该商店获得的月销售利润为元，请回答下列问题： 请写出月销售利润与销售单价之间的关系式关系式化为一般式； 在使顾客获得实惠的条件下，要使月销售利润达到元，销售单价应定为多少元？ 若获利不得高于，那么销售单价定为多少元时，月销售利润达到最大？ 27.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，设点的横坐标为． 求抛物线的表达式； 当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 在的条件下连接，交于点，求的最大值； 当时，过点作轴的平行线交直线于点，连接，交直线于点，是否存在最大值？若存在请求出最大值，若不存在请说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $江苏省南京市玄武区2025-2026学年九年级上学期 期末数学复习试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.用配方法解方程x2+8x+7=0,则配方正确的是() A.(x+4)2=9 B.x-④2=9 C.(x-8)2=16D.(x+8)2=57 2.下列选项是对二次函数y=2(x-3)2+1的描述，其中正确的是() A.图象的开口向下 B.图象的对称轴为直线x=一3 C.函数的最小值为1 D.当x<3时，y随x的增大而增大 3.如图，为了测量河岸A,B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C,测得AC=a,∠ABC=a,那么AB 等于() A.a·sina B.a·cos C.a·tana D.a tana B 4.某校足球队队员年龄的平均数为13岁，方差为2岁2，若两年后该足球队队员不变，则下列关于队员 前后年龄的说法，正确的是() A.平均数不变，方差改变 B.平均数不变，方差不变 C.平均数改变，方差不变 D.平均数改变，方差改变 5.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件，不正确的是() A.∠ABP=LC B.∠APB=∠ABC c- 6.如图，直线y1=kx+n与抛物线y2=ax2+bx+c交于A(-1,0),B(2,-3)两点，那么当y1>y2时，x的 取值范围是() A.-1<x<2 B.x<2 C.x<-3 D.0<x<2 第1页，共8页 y=ax?+bx+c B(2,-3) y=kx+n 7.数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任 取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交AB于点C,测出AB=40Cm,CD=10cm, 则圆形工件的半径为() A.50cm B.35cm C.25cm D.20cm C D 8.如图，在口ABCD中，AC,BD相交于点O,点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F.己知S△AEF=4, 则下列结论：①铝=是②SBGE=36,③S AADE=12:④△ABF∽△ACD,其中一定正确的是()片 A.①②③④ B.①④ C.②③④ D.①②③ A D E B C 二、填空题：本题共10小题，共31分。 9.关于x的方程2x2+mx-4=0有实数根，则m的取值范围是 10.小红沿坡比为1：V3的斜坡上走了120米，则她实际上升了米 11.已知圆锥的侧面积是8π，底面半径是2，则圆锥的母线长是 12.将二次函数y=3(x-2)2-5的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的函数 图象的表达式为一· 13.如图，等腰△ABC中，∠A=36°，AB=AC,BD平分LABC交AC于点D,则0的值等于一一一 AD 第2页，共8页 C 14.仇章算术》中记载了这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十五步有木，问出南门 几何步见木？”其大意如下：如图，M、N分别是正方形ABCD边BC和DC的中点，正方形的边长为200步， 出东门M继续往东走16步有一树木（点E),问出南门N继续往南走多少步恰好能看到位于点E处的树木（即点 C在直线EF上)？则根据以上信息，算出FN的长是一步. A.---------.B 东门M树E 南门N 15.如图，将正六边形放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若点A的坐标为(-1,0)，则点C的坐标 为 D 16.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF L AB于点F,连接DE并延长，交边BC于点M,交边AB的 延长线于点G,若AF=2,FB=1,则MG=一 D 17.如图， 点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB= 4,BC=,则ta中∠DA的值为 H GDG E 第3页，共8页 B 18.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E为射线BA上一动点，以BE为直径的圆与CE相交于点H,则DH 长度的最小值为一· E H B 三、解答题：本题共9小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(本小题8分) (11-√3+（π-2025）°-2sin60°+(2)1： (2)解方程：x2-4x-5=0. 20.(本小题8分) 某校八年级(1)班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动 负荷在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x(次/分钟)，分为如下五组： A组：50≤x<75,B组：75≤x<100,C组：100≤x<125,D组：125≤x<150,E组：150≤x<175. +频数（人） C 50 45 30% B 0 8%A 30 D 20 15 E 10 8 A B E 元举 (次分钟) 根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题： (1)其中A组数据为：70,65,65,50,50,60,60,60.A组数据的中位数是 次，众数是 次， 平均数是 次。 (2)这部分学生共有 人，C组频数是 第4页，共8页 (3)一般运动的适宜心率为100≤x<150(次/分钟)，即C、D组都是适宜的心率该校共有2000名学生，依 据此次跨学科研究结果，估计该校大约有多少名学生达到适宜心率. 21.(本小题8分) 如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM,ME交CD于F,交AD的延长线于点E (1)求证：△ABM△MCF; (2)若AB=4,BM=2,求△DEF的面积. B M 22.(本小题8分) “宫、商、角、徵、羽”是我国五声音调中五个不同音的名称，最早的“宫商角徵羽”的名称见于距今2600 余年的春秋时期，在《管子地员篇》中，有采用数学运算方法获得“宫、商、角、徵、羽”五个音的科学 办法，这就是中国音乐史上著名的“三分损益法”某音乐玩具的大致结构如图所示，音乐小球从中间A处沿 轨道进入周围的5个音槽内，就可以发出相应的声音，且小球每次进入每个音槽内的可能性均相同，现有 一个音乐小球从A处先后两次进入音槽 (1)第一次发出“羽”音的概率为一一一： (2)请用列表法或画树状图的方法求这两次先发出“角”音，再发出“徵”音的概率. 23.(本小题10分) 如图，AB是⊙O的直径，弦DE与AB交于点F,OD 1 AB,点 的延长线上. (1)若CF=CE,判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由： (2)若AF=4,DF=V10,求⊙0的半径 第5页，共8页 A F D 24.(本小题10分) 在△ABC中，点D在边AB上，若CD2=AD·BD,则称点D是点C的“关联点”. D A D B (1) 2) (1)如图(1)，在△ABC中，若LACB=90°，CD1AB于点D.试说明：点D是点C的“关联点”. (2)如图(2)，己知点D在线段AB上，用无刻度的直尺和圆规作一个△ABC,使点D为点C的“关联点”. 25.(本小题10分) 为了方便市民出行，建委决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为45°的BC改造为坡角为30° 的AC,己知BC=20V2米，点A,B,C,D,E,F在同一平面内. (1)求AB的距离；（结果保留根号） 第6页，共8页 (2)一辆货车沿斜坡从C处行驶到F处，货车的高EF为6米，EF1AC,若CF=32米，求此时货车顶端E到 水平线CD的距离DE.(精确到0.1米，参考数据：V2≈1.41，√3≈1.73) D 50。 26.(本小题12分) 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，规定试销期间销售单价不低于成本价.据试销发现，月 销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数y=-10x+1000.若该商店获得的月销售利润为W元，请回答 下列问题： (1)请写出月销售利润W与销售单价x之间的关系式（关系式化为一般式）： (2)在使顾客获得实惠的条件下，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？ (3)若获利不得高于70%，那么销售单价定为多少元时，月销售利润达到最大？ 27.(本小题12分) 如图，在平面直角坐标系中，己知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(2,0)两点，与y轴交于点C, 点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标为t. (1)求抛物线的表达式： (2)当点D在直线BC下方的抛物线上时，过点D作y轴的平行线交BC于点E,DE的长为l,请写出l关于t的函数 第7页，共8页 表达式，并写出自变量t的取值范围； (3)在(2)的条件下连接AD,交BC于点F,求△D严的最大值： S△AEF (④当t>2时，过点D作y轴的平行线交直线BC于点E,连接AD,交直线BC于点F, △DEE是否存在最大值？ S△AEF 若存在请求出最大值，若不存在请说明理由 y本 D A 备用图 第8页，共8页