期末压轴18大题型汇总（期末复习专项训练）2025-2026学年北师大版数学八年级上册

专题：期末压轴题汇总（92题18大压轴题型） 题型1 用勾股定理解三角形 题型2 折叠问题 题型3 最值问题 题型4 代数式求值 题型5 数字规律类问题 题型6 分母有理化 题型7 新定义中的实数运算 题型8 点的坐标规律探索 题型9 一次函数图象与系数的关系 题型10 一次函数中的规律问题 题型11 一次函数与几何综合 题型12 一次函数的实际应用 题型13二元一次方程组中的参数问题 题型14图形与坐标变化（轴对称） 题型15二元一次方程组的实际应用 题型16勾股定理与实际问题 题型17全等三角形与勾股定理综合 题型18动点类问题 题型一 用勾股定理解三角形（共5小题） 1．如图，在中，，垂直平分交于点D，若的周长为14，且，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 2．如图，中，平分，线段垂直平分，交于点M，交于点O．若，，则点O到的距离为（    ） A． B． C． D． 3．拿破仑为人好学，是法兰西科学院院士，他对数学方面很感兴趣，在行军打仗的空闲时间，经常研究平面几何．他提出了著名的拿破仑定理：以三角形各边为边分别向外侧作等边三角形，则它们的中心构成一个等边三角形．如图所示，以的三条边为边，分别向外作三个正三角形，顺次连结它们的中心E，F，G，得到“拿破仑”．已知三个等边三角形的面积比为，则“拿破仑”与的面积比为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为 ． 5．如图，“羊头”形图案作法如下：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和正方形，……依此类推，若正方形①的边长为，则正方形③的边长为 ，正方形（）的边长为 ． 题型二 与数轴有关的计算问题（共4小题） 6．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是 ． 7．如图，将长方形纸片对折后再展开，形成两个小长方形，并得到折痕，是上一点，沿着再次折叠纸片，使得点恰好落在折痕上的点处，连接，．设，，，用含的式子表示的面积是 ． 8．如图：在平面直角坐标系内有长方形，点，分别在轴，轴上，点在上，点在上，沿折叠，使点与点重合，点与点重合．若点在坐标轴上，且面积是18，则点坐标为 ． 9．如图，在中，，P是线段边上的动点（不与点A，B重合）．将沿所在直线翻折，得到，连接，当取最小值时，则的值为 ． 题型三 最值问题（共5小题） 10．如图是一个长、宽、高的长方体玻璃水槽，用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，外侧P处的小蚂蚁想去吃糖，则小蚂蚁所走的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 11．如图，在中，的垂直平分线交于点O，D为外一点，，且，连接，则线段长为 ，线段的最大值为 12．如图，已知，．直线l是过点A的一条动直线（不与直线重合），分别过点B，C作直线l的垂线，垂足为D，E、在直线l运动的过程中，的最大值为 ． 13．如果一个四位自然数满足，那么称这个四位数为“和雅数”．例如：四位数8031，因为，所以8031是“和雅数”；又如：四位数9132，因为，所以9132不是“和雅数”． 若是“和雅数”，则的最大值是 ； 若是一个“和雅数”，去掉其十位数字得到一个三位数，记，若是11的倍数，则的最大值与最小值的和为 ． 14．如图，在等腰中，，平分，平分，M，N分别为射线上的动点，若，则的最小值为 ． 题型四 代数式求值（共2小题） 15．若，，则等于（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 16．已知满足，则代数式的值是 ． 题型五 数字规律类问题（5小题） 17．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按上述规律，第个等式（   ） A． B． C． D． 18．将，，，，……按如图方式排列．若规定表示第x排从左向右第y个数，若在，则的值为 ． 19．对数串1：，，进行如下操作：将该数串最后两数进行求和与作差操作，然后按顺序依次放在数串1的后面得到数串2：，，，；重复上述操作，得到数串3：，，，，，；数串4：，，，，，，，；……，对数串1各数进行求和运算，结果记为，，对数串2各数进行求和运算，结果记为，，……，对数串各数进行求和运算，结果记为（，且为整数），下列各结论中，说法正确的个数为（   ） ①对任意数，，均有；②； ③令，，当关于的方程（，且为整数）在时有且只有1个解，则． A．0 B．1 C．2 D．3 20．已知：；；；……按此规律，请表示出第2021个式子 ． 21．我们经过探索知道，，，，若已知，则 （用含的代数式表示，其中为正整数）． 题型六 分母有理化（共4小题） 22．例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫作分母有理化．有下列结论： ①若a是的小数部分，则的值为； ②； ③已知，，则； ④设实数m，n满足，则．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： 例1：； 例2：，，； 利用以上结论解答以下问题： (1)_____； (2)利用上面结论，求的值． 24．恒等变形是代数求值的一个重要方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式． 【阅读材料】当时，求． 方法：将条件变形，两边同时平方得：， 所以移项得：，两边同时乘x得：， 原式 【类比应用】（1）已知，求的值． 【深入思考】（2）已知，求的值． 【拓展延伸】（3）已知，求的值． 25．小明在解决问题：已知a=，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的： ∵a===2﹣ ∴a﹣2=﹣ ∴（a﹣2）2=3，a2﹣4a+4=3 ∴a2﹣4a=﹣1 ∴2a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2×（﹣1）+1=﹣1 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简+++…+ （2）若a=，求4a2﹣8a+1的值． 题型七 新定义中的实数运算（共5小题） 26．对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于m的最大整数），称为m的根整数，如：，．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．现有如下四种说法：①；②；③若方程，则满足条件的x的整数值有4个；④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数m中，最大值与最小值之差为239．其中正确说法的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．若表示不超过的最大整数，例如：，，，设，那么 ． 28．一个四位正整数m各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m前两位数字之和为4，后两位数字之和为10，称这样的四位数m为“事实数”；把四位数m的前两位上的数字和后两位上的数字整体轮换后得到新的四位数，称此时的是m的“伴随数”，并规定，例如：，∵，，∴1234不是“事实数”；，∵，，3128是“事实数”．则，．已知：，（，，，其中a、b、c均为整数），当为“事实数”时，求出所有的值： ，的最大值： ． 29．如果一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，千位数字与百位数字组成的两位数等于十位数字与个位数字之和的倍（为正整数），则把这个四位数叫做“和数”，例如四位数2439，因为，所以2439是“2和数”，再如四位数6318，因为，所以6318是“7和数”．若四位自然数是“4和数”，则的最大值是 ；若四位自然数是“1和数”，记，若是一个有理数，则所有符合条件的之和为 ． 30．我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小华受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等． （1）2020属于 类（填A，B或C）； （2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于 类（填A，B或C）；     ②从A、B类数中任取一数，则它们的和属于 类（填A，B或C）；     ③从A类数中任意取出8个数，从B类数中任意取出9个数，从C类数中任意取出10个数，把它们都加起来，则最后的结果属于 类（填A，B或C）； （3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则下列关于m，n的叙述中正确的是 （填序号）． ①属于C类；②属于A类；③，属于同一类． 题型八 点的坐标规律探索（共7小题） 31．在平面直角坐标系中，一个蜘蛛最初在点（p是常数，且），第一次爬到射线绕O点逆时针旋转方向上的点，且；第二次爬到射线绕点O逆时针旋转方向上的点，且；…；第2021次爬行到点的坐标是（    ） A． B． C． D． 32．如图，在平面直角坐标系中，，，，，一个动点从点A出发沿的方向移动，移动了2025个单位后动点的坐标为（   ） A． B． C． D． 33．如图，是坐标原点，、、、、、…，按此规律进行下去，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 34．如图在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0） ．根据这个规律探索可得，第2022个点的坐标为（  ） A．（2022，8） B．（63，5） C．（64，5） D．（64，4） 35．如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示、如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2022次碰到球桌边时，小球的位置是（    ） A． B． C． D． 36．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(﹣4，0)，B(0，3)，对△AOB连续作旋转变换，依次得到三角形（1），（2），（3），（4），…，那么第（7）个三角形的直角顶点的坐标是 ，第（2020）个三角形的直角顶点坐标是 ． 37．王老师要求同学们观察生活中的现象编写一个数学问题，小颖同学观察台球比赛台球撞击台球桌时受到启发，把它抽象成数学问题：如图，已知长方形，小球从出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等 于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为，当小球第次碰到长方形的边时，点的坐标是 ． 题型九 一次函数图象与系数的关系（共3小题） 38．一次函数与（m，n常数，且）是在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A．B．C． D． 39．一次函数，（m，n为常数，且）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ）． A．B．C． D． 40．一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 41．已知，且，则一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型十 一次函数中的规律问题（共3小题） 42．如下图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…记面积为，面积为，面积为，…则等于（   ） A． B． C． D． 43．正方形，，按如图的方式放置，，，和点，，分别在直线和轴上，则点的横坐标是 ． 44．如图，，，，是等边三角形，直线经过它们的顶点，，，，，点，，，在轴上，则点的横坐标是 ． 题型十一 一次函数与几何综合（共9小题） 45．如图，直线分别与轴、轴交于两点，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，又经直线反射后回到点，则光线所经过的路线长是（   ） A． B．2 C． D． 46．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是，另一点A的坐标为，则以下结论： ①点P在直线上； ②若设的面积为S，当时，； ③的最小值为； ④的周长最小值为； ⑤若点P在第四象限，过P作轴于点E，轴于点F，长方形的周长始终为8． 其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 47．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为点D，E．易证：． （1）①如图1，若，则__________； ②如图2，，点的坐标为，连接交轴于点，求点的坐标，点的坐标． 【拓展探究】 （2）如图4，的图象分别交轴和轴于A、B两点，点坐标为，点在直线上，连结，当与的图象的夹角为时，请求出点的坐标． 48．如图，直线l1：与x轴、y轴分别交于点A、B，另一直线：与x轴、y轴分别交于点C，D，连接．直线与直线交于点，在x轴上有一点，过点P作x轴的垂线，分别与直线交于点M，N． (1)求m的值及的面积； (2)若，求a的值； (3)在y轴找点Q使得为等腰三角形，请直接写出Q点的坐标． 49．综合与探究如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点是线段上的一个动点（不与重合），连接，设点的横坐标为． (1)直接写出两点的坐标； (2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当的面积时， ①判断此时线段与的数量关系并说明理由； ②第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型十二 一次函数的实际应用（共7小题） 50．甲、乙两车从A地沿直路同向匀速行驶行往B地，现甲车在乙车前500米处，设x秒后两车相距y米，y与x的函数关系如图所示，则乙车在整个运动过程中行驶的路程是（   ） A．3500米 B．3200米 C．4375米 D．4000米 51．在，两地之间有汽车站站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离站的路程，(km)与行驶时间之间的函数图象如图所示．有下列说法：①，两地相距为；②两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为；③客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：；④客、货两车在小时相遇．其中正确的有（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 52．某工厂安排80名工人在规定时段内全部参与加工三种零件．在该时段内，每名工人只能加工零件2件，或零件1件，或零件4件．工厂要求加工零件的总数至少8件，零件的总数至少11件，零件和零件的总数相等．若加工零件总数不超过20件时，每件获利360元，超过20件时，超过的部分每件少获利30元；加工零件每件获利700元；加工零件每件获利180元． （1）当安排2名工人加工零件时，安排加工零件的工人人数为 ； （2）当安排 名工人加工零件时，在规定时段内工厂获利最大，最大利润为 元． 53．如图1是甲、乙、丙三个圆柱形无盖容器的截面示意图．其中，乙容器底部放置了一块长方体铁块，乙容器和丙容器之间有一根管子连通（管子体积可忽略不计）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器中，则三个容器中水的深度h（厘米）与注水时间t（分）之间的关系如图2所示．请结合图像提供的信息，解答下列问题． (1)乙容器中铁块的高度是 ． (2)当甲、乙两容器中水的深度相同时，求注水时长． (3)若甲容器的底面积为，丙容器的底面积为，则a的值为 ． 54．在校运动会无人机表演活动中，甲、乙两架无人机在同一平台竖直向上起飞，飞行的路径互相平行，当飞行高度达到米时，无人机停止表演．甲从起点出发，先以米秒的速度匀速飞行了秒，然后以米秒的速度继续匀速飞行．乙在甲出发秒后起飞，以米秒的速度匀速飞行，乙出发秒后，与甲飞行的高度相差米．如图，折线，线段分别表示甲，乙的飞行高度（米）与甲飞行时间（秒）之间的函数图象．请结合图象解答下列问题． (1)，_______； (2)分别求出线段，对应的函数表达式；（请写出自变量的取值范围） (3)当两架无人机之间的高度差为米时，能形成特定的表演效果．求在整个飞行过程中，能形成这种特定的表演效果时的取值． 55．甲、乙两人从A，B两地同时出发，甲前往B地，乙前往A地，途经休息区时甲休息1小时后加速行驶，而乙没有休息继续原速行驶，结果甲比乙早到达目的地0.5小时，甲、乙两人离各自出发地的路程y（千米）与乙出发的时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)求甲休息前的速度和乙的速度； (2)求加速后甲离出发地的路程y与乙出发的时间x之间的函数关系式； (3)请直接写出乙出发多少小时两人相距30千米． 56．一条笔直公路上依次有A、B、C三地，甲车从B地匀速行驶到A地，到达A地因故停留1小时，然后按原路原速返回到C地（调头时间忽略不计）：乙车在甲车出发1小时后，从A地匀速行驶到C地，到达C地后停止行驶，在行驶的过程中．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与乙车行驶时间（小时）函数图象如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车行驶的速度为___________千米/时，B、C两地相距的路程是___________千米； (2)求甲车从A地驶向B地的过程中，y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)请直接写出甲车出发多少小时，两车相距40千米． 57．小明需要寄送一批包裹，现了解到A、B两个快递公司的收费标准如下表： 首重费用 续重费用 A公司 包裹重量，收费12元 超过，每增加加收3元（不足按计算） B公司 统一收费 无论重量，均按5元计算，最低收费10元（即不足也按10元计算） 设小明需要寄送包裹的重量为（）． (1)若小明寄送包裹的重量为，A公司的收费为_______元，B公司的收费为_______元； (2)若小明寄送包裹的重量超过，则他去哪个公司寄送更划算？ 58．综合实践小组模拟“刻漏”原理，用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了简易计时装置如图所示，现需要在甲容器外壁标记刻度，以便通过刻度直接读取时间． 为此，综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 记录时间 流水时间 0 10 20 30 水面高度（观察值） 30 29 27 其中“，”是初始状态下的准确数据，后续数据测量可能存在误差． 任务1利用“，；，”这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 任务2利用任务1所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ 经检验，发现有一组表中观察值不满足原任务中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的绝对值之和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 题型十三 二元一次方程组中的参数问题（共5小题） 59．已知关于和的方程组的解满足，则的值是（   ） A． B． C． D． 60．若关于、的方程组和有相同的解，则的值为（　　） A． B． C． D． 61．已知关于的方程组无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为 ． 62．已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是 ． ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则 63．对、定义了一种新运算T，规定（其中，均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：， 已知，． （1）求，的值； （2）求． （3）若关于的不等式组恰好有4个整数解，求的取值范围． 题型十四 图形与坐标变化（轴对称）（共7小题） 64．在平面直角坐标系中，已知顶点坐标分别为点、，，l1是过点与x轴垂直的直线．若直线上存在点Q，使点Q关于直线l1的对称点在的内部或边上，则b的取值范围是 ． 65．如图，平面直角坐标系中，点，点关于直线对称的点为，点向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到点，若点落在内（包括边界），则的取值范围是 ． 66．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C在y轴的正半轴上，D在直线AB上，且，．若点P为线段AB上的一个动点，横坐标为m，且P关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界）． （1）点C的坐标为 ． （2）点P的横坐标m的取值范围为 ． 67．如图，三个顶点的坐标分别为，，， (1)若与关于轴对称，则三个顶点坐标分别为 ， ， ； (2)在轴上是否存在点，使得，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由； 68．如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．    (1)在图中画出关于轴对称的图形； (2)在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是______，此时点关于这条直线的对称点的坐标为______； (3)在轴上确定一点，使的周长最小．（注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹） (4)在y轴上一点M的坐标为，在x轴上有一动点Q满足最大，此时Q点的坐标为______，最大值为______． 69．在平面直角坐标系中，已知点，，对于直线l和点P，给出如下定义：若在线段上存在点Q，使得点P，Q关于直线l对称，则称直线l为点P的关联直线，点P是直线l的关联点．    (1)已知直线：，在点，，中，直线的关联点是___________； (2)若在x轴上存在点P，使得点P为直线：的关联点，求b的取值范围； (3)已知点，若存在直线：是点N的关联直线，直接写出n的取值范围． 70．平面直角坐标系中，点在y轴正半轴，点在x轴正半轴，以线段为边在第一象限内作等边，点C关于y轴的对称点为点D，连接,，且交y轴于点E． (1)补全图形，并填空； ①若点，则点D的坐标是______； ②若，则______． (2)若，求证：垂直平分； (3)若时，探究，，的数量关系，并证明． 题型十五 二元一次方程的实际应用（共6小题） 71．幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，其规则是将数字填在正方形格子中，使每一行、每一列和两条对角线上的3个数字的和都相等．例如图①就是一个幻方． （I）图②是一个未完成的幻方，则的结果为 ；（II）图③中的为 （用含的式子表示） 72．若一个各位数字均不为0的四位数（，，，a，b，c，d均为整数）满足：把N的千位数字a作为十位数字，N的十位数字c作为个位数字组成的两位数与5的和记作X，N的千位数字a与个位数字d的3倍的和记作Y，如果X的各位数字之和与Y的和是一个正整数K的立方，则称这个四位数为“开心数”，正整数K称“开心元素”；当，时，最小“开心数”为 ；若“开心数”N满足前两位数字之和与后两位数字之和相等，且为整数，则满足条件的最大M为 ． 73．手工陶艺坊制作陶杯和陶碗，陶土用量（单位：g）及成品率（成品率）如下表．第一次制作，共得到陶杯和陶碗成品80件；第二次制作，陶杯陶土用量是第一次的2倍，陶碗陶土用量是第一次的3倍，共得到成品190件． 类别 原材料 成品率 陶杯 陶土E 陶碗 陶土F (1)第一次制作时，陶土E和陶土F的用量分别是多少？ (2)若陶土E中高岭土占比为，为制作出两次试验的陶杯成品总量，需准备多少克高岭土（不考虑损耗）？ 74．新年将至，小宏记录了他家连续两天购买两种年货（两次购买年货时单价不变）的名目：第一天购买5个A种年货和4个B种年货共元；第二天购买3个A种年货和2个B种年货共元． (1)小宏的爸爸看了后，说他的记录错误，请帮他说明错误理由； (2)原来，小宏把第一天的费用元写成了元，修正后求出每个A种年货单价元，每个种年货单价元，小宏一家决定再次购买两种年货共个，设总费用元，且总费用低于元但不少于元，请问有几种购买方案？并请求出花费最高的购买方案． 75．某包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．    (1)若该厂购进正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ (2)该厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值． 76．综合与实践 青少年正处于生长发育的黄金阶段．某校食堂为保证学生科学饮食，计划结合青少年每日摄入营养比例设计一个健康饮食餐盒． 材料搜集：材料1，青少年每餐摄入食物比例整理如下表． 食物 主食 肉蛋类 蔬菜 水果 占比 材料2，学生每餐最少摄入3种颜色的非淀粉类蔬菜． 方案设计：综合与实践小组设计了如图所示的长方形餐盒，其中主食格、菜格、水果格、肉蛋格参考材料1中数据设计，另外增加了汤格和餐具格，其中，菜格平均分为三块区域．已知，，．设，． 问题解决：请根据题意完成下列解答， (1)填空：_________，_________． (2)列方程就是“拉出一个量，将之算两次”，即对一个“量”讲“两个故事”，并把两个“故事”用“”号连接起来．请将下列各“量”分别用“两个故事”表示（用含，的式子表示）． “量” 第一个“故事” 第二个“故事” 用“”连接 ________ ______ 的面积 （   ） _____ ．．．．．． (3)请求出，的值． 题型十六 勾股定理与实际问题（共5小题） 77．如图，四边形是某公园的休闲步道．经测量，点B在A的正西方向，，点D在A的正北方向． (1)求四边形步道所围公园的面积； (2)小明和小亮从B到D去玩耍，公园内有一条小路，小明决定走小路从B→E→D，小明的速度为，小亮决定全程走步道从B→C→D，小亮的速度为，已知，则小明和小亮谁先到达D？请说明理由．（精确到十分位，参考数据：，，） 78．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力 ．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全 等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得 到等式 ，化简便得到结论．这里用两种求法来表示同一个量 从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数 学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． (1)请 用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图 形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，  则边上的高为_______； (3)如图4，在中，是边上的高，，求的长． 79．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 80．对于一个图形，我们通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，图1中的面积关系可以解释等式． 【探索发现】 （1）用四个长与宽分别为a，b的小长方形拼成如图2所示的图形．根据图中条件，猜想与之间的关系为： ________； （2）用四个完全相同的直角三角形（其中直角边长分别为a，b，斜边长为c），拼出如图3所示的图形．根据图中条件，猜想并验证a，b，c之间的等量关系． 【拓展提升】 （3）对于自然数中前n个奇数之和，可以通过计算正方形的面积得到．如图4，将边长为1的正方形的一组邻边逐渐增加1，形成了一系列的新正方形．新正方形与原正方形相比，面积逐步增加3，5，7，…，．请你依据这个图形补全下面的等式： ________． （4）类似的，如图5，将边长为1的正方形的一组邻边逐渐增加2，3，4，…，n，形成了一系列的新正方形．请你依据这个图形直接写出一个关于n的等式． 题型十七 全等三角形与勾股定理综合（共6小题） 81．如图，已知点A，B为直线外两点，且在异侧，连接，分别过点A作于点C，过点B作于点D，点F是线段上一点，连接交于点 (1)有下列条件：①点F是的中点；②点E是的中点；③点E是的中点．请从中选择一个能证明的条件，并写出证明过程； (2)若，且，，，求的长． 82．如图，在中，，点P是线段上一点，过点A作的垂线，交的延长线于点M，于点N，于点Q，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 83．如图，在中，，，若点是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，，连接． (1)求证：≌； (2)试说明：； (3)如图，当点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，，请直接写出的值． 84．如图，在中，于点，，． (1)求的长； (2)若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求的长． 85．如图，在中，．D为边上一点，，连接，过点A作的垂线，交于点E，交于点F，点E关于直线的对称点为点G，连接并延长交于点H． (1)依题意补全图形； (2)若，求的大小（用含的式子表示）； (3)用等式表示线段，和的数量关系，并证明． 86．【特例感知】 如图1，小秦把一块三角板（）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点，、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段与之间的数量关系是___________； 【问题探究】 小秦在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型，如图2，在四边形中，，的面积是18且，求的面积． 【拓展应用】 如图3，在中，，点、分别是边上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，连接．如图3，已知，点是的中点，连接、，求周长的最小值． 题型十八 动点类问题（共7小题） 87．如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足，线段AB交y轴于点D．在y轴上存在一动点E（点E不与点O重合）．点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴负半轴方向运动（点不与点重合）． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ． (2)在y轴上是否存在这样的E点，使的面积等于的面积的？若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图2，若点E为y轴负半轴上一动点，过点E作，分别作，的平分线交于点M，在点E的运动过程中的度数始终不变，则的度数是 ． 88．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，，且满足． (1)如图，求点的坐标； (2)如图，点从点出发以每秒个单位的速度沿轴正方向运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴负方向运动，设运动时间为，当时，求的取值范围； (3)如图，将线段平移，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为（在第三象限），连接交轴于点，当时，求点的坐标． 89．在平面直角坐标系中，如图①，第二象限内有一点，过点B作线段垂直于x轴，垂足为A，实数a、b满足．，将线段向右平移使点A和点D重合得到线段，连接与y轴相交于点M，动点P从A点出发，沿折线运动，运动到点C停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒． (1)求点C的坐标； (2)当点P在线段上运动时，请用含t的代数式表示在这一运动过程中线段的长，并直接写出t的取值范围； (3)如图②，y轴上有一点，在点P沿折线运动过程中是否存在t值，使三角形的面积为2？若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 90．如图，在平面直角坐标系中，已知点，线段平移到线段，且点在轴上． (1)_______，点的坐标为_______； (2)如图2，过点作直线轴，直线上有一动点，以每秒2个单位长度从点向方向运动，运动时间为秒，连接与线段交于点，连接，当为何值时 ； (3)如图3，点是射线上的一点，向轴正方向移动，在直线上取两点、（点在点左侧），满足，．当运动到某一位置时，四边形的面积有最大值，请直接写出面积的最大值． 91．在平面直角坐标系 中，给定（n为正整数）个不同的点 给出如下定义：记点称为这个点的n阶中点．例如，当时，点为的1阶中点， 已知点，，，． (1)点A，B，C，D的2阶中点P的坐标是 ； (2)点A，B，C，D中任意两点的1阶中点坐标共有 种可能的情况； (3)在四边形的四条边上分别取点E，， ，， 点Q为E，F，G，H的2阶中点， 点R为A，B，C，D，E，F，G，H的3阶中点， ① 若点Q与点 R重合时，则点E的坐标为 ；b，d满足的关系式为 ； ② 若点E，F，H分别在线段，，上运动，请直接写出所有点 R组成的图形面积． 92．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点关于轴的对称点为． (1)点的坐标为 　　； (2)已知一次函数的图象经过点与，求这个一次函数的解析式； (3)点是轴上的一个动点，当　　时，的周长最小； (4)点，是轴上的两个动点，当 时，的周长最小； (5)点，点分别是轴和轴上的动点，当四边形的周长最小时，　　 ，此时四边形的面积为 　　 ． 1．我国人工智能的发展处于全球领先梯队，目前已形成“巨头引领、新锐崛起、垂直深耕”的多元化格局，在技术、产业、应用等多个领域均取得了显著成果．图1展示了宇树科技研发的两款机器狗“闪电”和“追风”，它们从训练基地甲地出发，沿同一直线前往相距500米的乙地执行任务．“闪电”首先从甲地出发，并始终保持匀速前进；而“追风”在“闪电”出发时仍在甲地保持原地不动，待“闪电”出发一段时间后才开始出发，并在行进过程中将速度提升至原来的2倍．已知“追风”到达乙地后，会在原地等待“闪电”到达．“闪电”行走的路程（米）、“追风”行走的路程（米）与“闪电”行走的时间t（秒）之间的函数关系图象如图2． (1)求“追风”提速前的速度及提速后的速度及m，n的值； (2)求两只机器狗行走的路程与“闪电”行走的时间t的函数解析式； (3)直接写出“闪电”和“追风”之间的距离为10米时t的值． 2．如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作交于点，交轴于点，且． (1)B的坐标为_______，线段的长为_______． (2)求直线的解析式和点D的坐标． (3)如图（2），点是线段上一动点（不与点，重合），交于点，连接． ①在点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明； ②连接，当面积最大时，求的长度和的面积． 3．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们始终对它充满兴趣，不断探索其证明方法，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，试证明． 【知识运用】（2）如图2所示，表示一条铁路，是两个城市，它们到铁路所在直线的垂直距离分别为千米，千米，且千米，现要在之间设一个中转站，求出应建在离点多少千米处，才能使它到两个城市的距离相等． 【知识迁移】（3）借助上面的思考过程，画图说明并求出代数式的最小值． 4．定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“星光点”．例如，求一次函数图象的“星光点”时，联立方程，解得，则一次函数图象的“星光点”为． (1)一次函数图象的“星光点”为_____； (2)关于x的一次函数图象的“星光点”为，求的立方根； (3)在平面直角坐标系中，若一次函数的图象分别与轴，轴交于点，，且一次函数的图象上没有“星光点”，点在轴上，且，连接，直接写出直线的“星光点”． 5．有这样一个问题：已知，求的值． 小明是这样解答的：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 根据小明的解答过程，解决以下问题： (1)填空：______；______； (2)化简，已知． ①求的值； ②求的值． 6．在平面直角坐标系中，对于点，记，将称为点A，B的横纵偏差，记为，即．若点B在线段上，将的最大值称为线段关于点A的横纵偏差，记为．例如：点，点，． (1) ①的值是 ； ②点K在x轴上，若，求点K的坐标． (2)点P，Q在y轴上，点P在点Q的上方， ，点M的坐标为． ①当点Q的坐标为时，则的值是 ． ②当线段在y轴上运动时，直接写出的最小值及此时点P的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点． (1)求M的坐标______，并求出直线的函数解析式； (2)若点C是直线上一点，，求点C的坐标； (3)点P为x轴上一点，当时，请求出满足条件的点P的坐标． 8．【感知】 （1）如图1，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线、之间一点，连接、．求证：； 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程．证明：过点B作， ∴___________（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（   ）， ∴___________， ∵， ∴． 【类比探究】 （2）如图2，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B、F是直线、之间的点，连接、、、，平分，平分，设，，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线、之间一点，连接、，平分，平分，，已知，试探究的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题：期末压轴题汇总（92题18大压轴题型） 题型1 用勾股定理解三角形 题型2 折叠问题 题型3 最值问题 题型4 代数式求值 题型5 数字规律类问题 题型6 分母有理化 题型7 新定义中的实数运算 题型8 点的坐标规律探索 题型9 一次函数图象与系数的关系 题型10 一次函数中的规律问题 题型11 一次函数与几何综合 题型12 一次函数的实际应用 题型13二元一次方程组中的参数问题 题型14图形与坐标变化（轴对称） 题型15二元一次方程组的实际应用 题型16勾股定理与实际问题 题型17全等三角形与勾股定理综合 题型18动点类问题 题型一 用勾股定理解三角形（共5小题） 1．如图，在中，，垂直平分交于点D，若的周长为14，且，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据线段垂直平分线的性质得出相等边，然后根据比值假设，则，利用面积列出方程求解，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， 假设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， 由勾股定理得, 故选：C． 2．如图，中，平分，线段垂直平分，交于点M，交于点O．若，，则点O到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点O作于点N，得，， 继而得到，利用勾股定理，角的平分线性质定理是解题的关键． 本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，角的平分线性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：过点O作于点N， ∵线段垂直平分，交于点M，交于点O，， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．拿破仑为人好学，是法兰西科学院院士，他对数学方面很感兴趣，在行军打仗的空闲时间，经常研究平面几何．他提出了著名的拿破仑定理：以三角形各边为边分别向外侧作等边三角形，则它们的中心构成一个等边三角形．如图所示，以的三条边为边，分别向外作三个正三角形，顺次连结它们的中心E，F，G，得到“拿破仑”．已知三个等边三角形的面积比为，则“拿破仑”与的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，并延长交于点，连接，先根据等边三角形的性质可得，，，再根据面积之比可得，从而可得是直角三角形，然后解直角三角形可得，由此可得是直角三角形，利用勾股定理可得的值，最后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，连接，并延长交于点，连接， 点是等边三角形 的中心， ， 在中，， 在中，， ， 同理可得：， 不妨设， 则，即， ， 设，则， ，， 是以为斜边的直角三角形， ， 在中，， ， ， 又， ， ， 则， 即“拿破仑”与的面积比为， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键． 4．如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，学会利用面积法解决问题．过点作于点．证明，利用面积法求解． 【详解】解：由题意可知，平分，如图，过点作于点． ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵， 又∵，， ∴ ∴． 故答案为：． 5．如图，“羊头”形图案作法如下：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和正方形，……依此类推，若正方形①的边长为，则正方形③的边长为 ，正方形（）的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，规律探索，掌握相关知识解决问题的关键．由勾股定理可求出每个等腰三角形的直角边长，即每个正方形边长，找到规律进行解答即可． 【详解】解：设正方形②的边长为， ∵每个三角形为等腰直角三角形，且正方形①的边长为， 则， 解得：， 同理设正方形③的边长为， 则， 解得：， 同理可求出正方形④的边长为， 发现规律， 正方形①的边长为， 正方形②的边长为， 正方形③的边长为：， 正方形④的边长为：， ∴正方形（）的边长为． 故答案为：，． 题型二 与数轴有关的计算问题（共4小题） 6．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是 ． 【答案】 【分析】过点作于，于，由折叠的性质可得，，由勾股定理可求，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长． 【详解】解：如图，过点作于，于， 将沿直线翻折， ，， ， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，求出的长是本题的关键． 7．如图，将长方形纸片对折后再展开，形成两个小长方形，并得到折痕，是上一点，沿着再次折叠纸片，使得点恰好落在折痕上的点处，连接，．设，，，用含的式子表示的面积是 ． 【答案】． 【分析】由翻折可知， AM=NC，根据勾股定理求出NC，再求出MB′，用三角形面积公式求面积即可． 【详解】解：∵∠C=90°， ∴NC=， 由翻折可知， AM= NC=，AB′=AB=， MB′=， 的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称变换的性质，勾股定理，解题关键是把握轴对称的性质，找到题目中相等的相等，根据勾股定理求出线段长． 8．如图：在平面直角坐标系内有长方形，点，分别在轴，轴上，点在上，点在上，沿折叠，使点与点重合，点与点重合．若点在坐标轴上，且面积是18，则点坐标为 ． 【答案】或或或 【分析】过作于F，如图：根据折叠的性质得到，，，，根据三角形的面积公式和勾股定理得到，当P在x轴上时，连接交x轴于H，得到，当P在y轴上时，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：过作于F，如图： ∵， ∴， ∴， ∵沿折叠，使点B与点O重合，点C与点重合， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，且， ∴， ∴； 当P在x轴上时，连接交x轴于H，如图： ∵，； ∴直线为， 令得， ∴， ∵面积是18， ∴，即， ∴， ∴或； 当P在y轴上时，如图： ∵面积是18， ∴，即， ∴， ∴或， 综上所述，P的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查长方形中的折叠问题，坐标与图形，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理． 9．如图，在中，，P是线段边上的动点（不与点A，B重合）．将沿所在直线翻折，得到，连接，当取最小值时，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、两点之间线段最短、角平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．根据折叠的性质，得，故，，当点落在上时，，此时的值最小，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， 如图1，由翻折得， ∵， ∴， ∴， ∴当点落在上时，，此时的值最小， 如图2，当点落在上时，则， 作于点F，于点E，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三 最值问题（共5小题） 10．如图是一个长、宽、高的长方体玻璃水槽，用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，外侧P处的小蚂蚁想去吃糖，则小蚂蚁所走的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点P关于的对称点A，则，由于用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，故展开图中，，连接，交于点E，此时最短，解答即可． 本题考查了长方体的展开图，勾股定理，轴对称，熟练掌握定理和展开图是解题的关键． 【详解】解：作点P关于的对称点A，则， 由于用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖， 故展开图中，， 连接，交于点E，此时最短， 且 故选：D    ． 11．如图，在中，的垂直平分线交于点O，D为外一点，，且，连接，则线段长为 ，线段的最大值为 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，勾股定理，三点共线，三角形的内角与边的关系，掌握知识点是解题的关键．连接，证明，，由勾股定理，可得，求出，则；在上取一点，使，连接，，由得到，则，四边形为平行四边形，得到，当、、三点共线时最大，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵的垂直平分线交于点O， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 在上取一点，使，连接，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时最大， 故答案为：． 12．如图，已知，．直线l是过点A的一条动直线（不与直线重合），分别过点B，C作直线l的垂线，垂足为D，E、在直线l运动的过程中，的最大值为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系及完全平方公式的应用，正确得出的值最大时，直线在外部，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 根据全等三角形的判定和性质得出，得出当直线在内部时，，当直线在外部时，，可得的值最大时，直线在外部，根据勾股定理，利用完全平方公式得出，结合三角形三边关系即可的答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵过点B，C作直线l的垂线，垂足为D，E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，当直线在内部时，， 当直线在外部时，， ∴的值最大时，直线在外部， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故答案为： 13．如果一个四位自然数满足，那么称这个四位数为“和雅数”．例如：四位数8031，因为，所以8031是“和雅数”；又如：四位数9132，因为，所以9132不是“和雅数”． 若是“和雅数”，则的最大值是 ； 若是一个“和雅数”，去掉其十位数字得到一个三位数，记，若是11的倍数，则的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 9609 5 【分析】根据个位数字最大是9 ，千位数字最大也是9，故，故，当时最大，故的最大值是9609；根据题意即。代入解答即可． 本题考查了数的整除，熟练掌握整除是解题的关键． 【详解】解：是“和雅数”，则，个位数字最大是9 ，千位数字最大也是9，故，故，当时最大，故的最大值是9609； 根据题意，是一个“和雅数”，则，去掉其十位数字得到一个三位数，， 又是11的倍数， 故， 故c一定是奇数， 当时，， 当时，， 当时，舍去， 当，时，最大，且为， 当，时，最小，且为， 故， 故答案为：9609，5 14．如图，在等腰中，，平分，平分，M，N分别为射线上的动点，若，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，轴对称的性质，角平分线的性质，勾股定理，作出辅助线是解题的关键． 如图，作关于的对称点，则，当三点共线时最短即，当时最短，过点作，交的延长线于点，即与点重合时最短，过点作于点，根据等面积法求得，即可求解． 【详解】解：如图，作关于的对称点，过点作，交的延长线于点，过点作于点， ∴，当三点共线时最小即， ∵当时，最短， ∴即为所求， ∵， 是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵平分， ∴ ∵， 设，则 在中， ∵ ∴ 解得 ∴ ∵ ∴ 故答案为：4． 题型四 代数式求值（共2小题） 15．若，，则等于（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的运算以及代数式求值，熟练掌握幂的运算法则和开方运算求未知数的值是解题的关键．先分别求解和的值，再将其代入代数式计算． 【详解】解：∵，， ∴或． ∵，， ∴． 当，时， ， 当，时， ， 故选：． 16．已知满足，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】由二次根式的非负性得，从而得，结合条件即可求解． 此题主要考查了非负数的性质，解题突破点是根据已知求出未知数的值，另外要注意算术平方根、绝对值具有非负性的知识点的运用． 【详解】解：由得， 而， 故， 解得， 故时， 又， ，，， ， 故， 故答案为：． 题型五 数字规律类问题（5小题） 17．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按上述规律，第个等式（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的规律、算术平方根等知识点，从已有式子中发现规律是解题的关键． 直接根据已有式子和算术平方根归纳规律即可． 【详解】解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：， …… 第n个等式：． 故选：D． 18．将，，，，……按如图方式排列．若规定表示第x排从左向右第y个数，若在，则的值为 ． 【答案】9 【分析】此题考查了数字类规律的探索问题，涉及了有理数的乘方，算术平方根，解题的关键是理解题意，正确找出数字的规律． 观察式子，得到如下规律，第排的个数为个，前排的总数为个，奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列，根据规律求解即可． 【详解】观察式子可得， 第1排的个数为1，前1排的总数为， 第2排的个数为3，前2排的总数为，从右到左依次增大排列， 第3排的个数为5，前3排的总数为，从左到右依次增大排列， 第4排的个数为7，前4排的总数为，从右到左依次增大排列， …… 第排的个数为，前排的总数为， 奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列， 因为，， 所以2023是在第45排，即， 第45排，为奇数排，从左向右依次增大， 因为，所以， 将，代入得， ． 故答案为：9． 19．对数串1：，，进行如下操作：将该数串最后两数进行求和与作差操作，然后按顺序依次放在数串1的后面得到数串2：，，，；重复上述操作，得到数串3：，，，，，；数串4：，，，，，，，；……，对数串1各数进行求和运算，结果记为，，对数串2各数进行求和运算，结果记为，，……，对数串各数进行求和运算，结果记为（，且为整数），下列各结论中，说法正确的个数为（   ） ①对任意数，，均有；②； ③令，，当关于的方程（，且为整数）在时有且只有1个解，则． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查定义新运算，整式的混合运算，二次函数图象的性质，理解新定义运算法则，掌握整式的混合运算是关键，根据题目分别求出的进行判定，根据题意得到，，把，代入得到，判定二次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：计算和的比值： 根据题目的操作：，，，，，， ∴，当时，成立， ∴对任意不成立，故①错误； 根据题意得到，，， ∴，故②正确； 根据上述计算得到，，， ∴代入得， ， ， ∴， 代入，得，， 方程化简为， 当时，，当时，， 反之，当，解为或， 当时，解为或， ∴在时有且只有1个解，即时，， ∵题目要求，故结论③错误； ∴正确结论为②，共1个， 故选：B． 20．已知：；；；……按此规律，请表示出第2021个式子 ． 【答案】 【详解】∵第1个数： 第2个数： 第3个数： 第4个数： ∴第n个数 当n=2021时， 故答案为. 【点睛】本题考查的是找规律，找出式子与序号的关系是解决本题的关键. 21．我们经过探索知道，，，，若已知，则 （用含的代数式表示，其中为正整数）． 【答案】 【分析】先求出，，，，的值，代入原式利用算术平方根和公式进行化简与计算，即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查数式规律问题、算术平方根、有理数的加减混合运算等知识点，用裂项法将分数进行化简与计算是解题关键． 题型六 分母有理化（共4小题） 22．例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫作分母有理化．有下列结论： ①若a是的小数部分，则的值为； ②； ③已知，，则； ④设实数m，n满足，则．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化．熟练掌握平方差公式，有理化因式，完全平方公式变形求值，二次根式的混合运算，是解题的关键．判断四个结论的正确性，逐一分析每个结论的解题过程． ①的小数部分．得，结论①正确． ② ，结论②错误． ③可得，，得，结论③错误． ④由已知得，得，由，得，得，得．结论④正确． 【详解】解：①∵， ∴， ∴的整数部分为1， ∴小数部分． ∴． ∴①正确． ②∵ ， ∴②错误． ③∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴③错误． ④：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴④正确． 综上，正确结论为①和④，共2个． 选：B． 23．观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： 例1：； 例2：，，； 利用以上结论解答以下问题： (1)_____； (2)利用上面结论，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质、二次根式的乘法法则、平方差公式等知识点，熟练掌握分母有理化的方法是解本题的关键． （1）分子分母同时乘以，然后根据平方差进行计算即可； （2）先根据例2化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：由例2可得：， ． 24．恒等变形是代数求值的一个重要方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式． 【阅读材料】当时，求． 方法：将条件变形，两边同时平方得：， 所以移项得：，两边同时乘x得：， 原式 【类比应用】（1）已知，求的值． 【深入思考】（2）已知，求的值． 【拓展延伸】（3）已知，求的值． 【答案】（1）8；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，正确理解题意是解题的关键． （1）先分母有理化得到，则，再利用完全平方公式即可得到答案； （2）先得到，则可求出，，进而把所求式子变形得，进一步变形得到，据此可得答案； （3）先分母有理化求出，从而得，两边平方得， 即，得出， 再把所求式子的分母变形为，从而求出分母值；进一步把分子可变形为 ，从而求出分子值，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴ ； （3）∵， ∴ ， ∴， 两边平方得， 即， ∴， ∴， ， ∴ ． 25．小明在解决问题：已知a=，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的： ∵a===2﹣ ∴a﹣2=﹣ ∴（a﹣2）2=3，a2﹣4a+4=3 ∴a2﹣4a=﹣1 ∴2a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2×（﹣1）+1=﹣1 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简+++…+ （2）若a=，求4a2﹣8a+1的值． 【答案】（1）9；（2）5． 【详解】试题分析： （1）此式必须在把分母有理化后才能实现化简，即各分式分子分母同乘以一个因式，使得与分母相乘后，为平方差公式结构，如. (2)先对a值进行化简得 ，若就接着代入求解，计算量偏大．模仿小明做法，可先计算 的值，就能较为简单地算出结果；也可对这个二次三项式进行配方，再代入求值．后两种方法都比直接代入计算量小很多. 解：（1）原式=             （2）∵， 解法一：∵ ， ∴ ，即 ∴原式= 解法二∴ 原式= 点睛：（1）把分母有理化的方法：分子分母同乘以分母的有理化因式， 得，去掉根号，实现分母有理化. （2）当已知量为根式时，求这类二次三项式的值，直接代入求值，计算量偏大，若能巧妙利用完全平方公式或者配方法，计算要简便得多. 题型七 新定义中的实数运算（共5小题） 26．对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于m的最大整数），称为m的根整数，如：，．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．现有如下四种说法：①；②；③若方程，则满足条件的x的整数值有4个；④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数m中，最大值与最小值之差为239．其中正确说法的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查新定义“根整数”的理解与应用，涉及无理数的估算、二次根式及最值分析．根据新定义再结合无理数的估算、二次根式及最值逐一验证各说法的正确性即可． 【详解】解：①：计算左边，，和为；右边，等式成立．故①正确． ②：，取反例，左边，右边，显然．故②错误． ③：方程，x为整数且． 逐一验证： 当时，左边分别为，满足条件； 其他x值均不满足．故满足条件的x有3个，而非4个．故③错误． ④：设正整数m进行3次连续求根整数运算后结果为1，即， 第三次操作时：，则； 第二次操作时：，则，其中； 第一次操作时：，则． 排除提前终止的情况： 若，则，对应，但这些m在2次操作内即可终止，需排除； 若，则，对应； 若，则，对应； ∴需进行3次根整数运算结果为1的正整数m的范围为， ∴m的最大值为255，最小值为16，差值为．故④正确． 综上，正确说法为①④，共2个． 故选：B． 27．若表示不超过的最大整数，例如：，，，设，那么 ． 【答案】11 【分析】本题考查平方根以及阅读信息取整符号等知识，难度较大，解答的关键是根据一般规律推导特殊性质的能力，利用规律进行求解．先计算出前几个数的值，然后可得出3个数、5个数、7个数依次相等，从而可得出答案． 【详解】解： ， ， ， … ， ∴原式， ∴， 故答案为：11． 28．一个四位正整数m各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m前两位数字之和为4，后两位数字之和为10，称这样的四位数m为“事实数”；把四位数m的前两位上的数字和后两位上的数字整体轮换后得到新的四位数，称此时的是m的“伴随数”，并规定，例如：，∵，，∴1234不是“事实数”；，∵，，3128是“事实数”．则，．已知：，（，，，其中a、b、c均为整数），当为“事实数”时，求出所有的值： ，的最大值： ． 【答案】 1346、1364、1328 【分析】本题考查了新定义运算，整式的加减的应用，先求出，再分两种情况：当时，若为“事实数”，则，且；当时，若为“事实数”，则，且；分别计算即可得解，理解题意，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：（，，，其中a、b、c均为整数）． 当时，若为“事实数”，则，且． ∴，． 经分析，此时b、c的值可能存在以下4种情况： ①当时，则．此时，（不符合题意，故舍去）． ②当时，则．此时，． ③当时，则．此时，（不符合题意，故舍去）． ④当时，则．此时，． 当时，若为“事实数”，则，且． ∴，． 经分析，此时b、c的值可能存在以下三种情况： ⑤当时，则（不合题意，舍去）． ⑥当时，则．此时，（不符合题意，故舍去）． ⑦当时，则．此时，． 综上：的值有1346、1364、1328． 当，． 当，． 当，． ∴的最大值为， 故答案为：1346、1364、1328；． 29．如果一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，千位数字与百位数字组成的两位数等于十位数字与个位数字之和的倍（为正整数），则把这个四位数叫做“和数”，例如四位数2439，因为，所以2439是“2和数”，再如四位数6318，因为，所以6318是“7和数”．若四位自然数是“4和数”，则的最大值是 ；若四位自然数是“1和数”，记，若是一个有理数，则所有符合条件的之和为 ． 【答案】 【分析】依据“和数”定义，要让高位数字尽可能大，通过尝试不同十位、个位数字组合，找到满足千位与百位组成的两位数是其和4倍的最大数；再由定义得，结合是有理数，推出为完全平方数，进而分析的表达式，确定符合条件的并求和 ．本题主要考查新定义“和数”的理解与应用，涉及数字组合、数位运算、完全平方数特征等知识．熟练掌握新定义内涵，准确分析数字间的数量关系，结合完全平方数的性质筛选符合条件的数，是解题关键． 【详解】解：设为“4和数”，即， 当p，q取最大时，即p=9，q=8，此时，，不符合题意， p=9，q=7，此时，，符合题意， ∴的最大值是， ∵四位自然数是“1和数”， ∴， ∴， ∴， ∵是有理数， ∴ 是完全平方数， 是千位数字（），是个位数字（），且、、、互不相等、均不为， 当时，需为完全平方数．尝试，则（是完全平方数）．此时，即 ： ，（与重复，舍去）； ，，； ，，； ，，． 当时，（如，时，，但会导致，超出范围，无解 ），无法满足完全平方数非负的要求． 符合条件的为、、，其和为：． 故答案为：，． 30．我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小华受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等． （1）2020属于 类（填A，B或C）； （2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于 类（填A，B或C）；     ②从A、B类数中任取一数，则它们的和属于 类（填A，B或C）；     ③从A类数中任意取出8个数，从B类数中任意取出9个数，从C类数中任意取出10个数，把它们都加起来，则最后的结果属于 类（填A，B或C）； （3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则下列关于m，n的叙述中正确的是 （填序号）． ①属于C类；②属于A类；③，属于同一类． 【答案】（1）A；（2）①B；②C；③B；（3）①③． 【分析】（1）计算，结合计算结果即可进行判断； （2）①从A类数中任取两个数进行计算，即可求解； ②从A、B两类数中任取两个数进行计算，即可求解； ③根据题意，从A类数中任意取出8个数，从B类数中任意取出9个数，从C类数中任意取出10个数，把它们的余数相加，再除以3，即可得到答案； （3）根据m，n的余数之和，举例，观察即可判断． 【详解】解：（1）根据题意， ∵， ∴2020被3除余数为1，属于A类； 故答案为：A． （2）①从A类数中任取两个数， 如：（1+4）÷3=1…2，（4+7）÷3=3…2，…… ∴两个A类数的和被3除余数为2， 则它们的和属于B类； ②从A、B类数中任取一数，与①同理， 如：（1+2）÷3=1，（1+5）÷3=2，（4+5）÷3=3，…… ∴从A、B类数中任取一数，则它们的和属于C类； ③从A类数中任意取出8个数，从B类数中任意取出9个数，从C类数中任意取出10个数，把它们的余数相加，则 ， ∴， ∴余数为2，属于B类； 故答案为：①B；②C；③B． （3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数， 余数之和为：m×1+n×2=m+2n， ∵最后的结果属于C类， ∴m+2n能被3整除，即m+2n属于C类，①正确； ②若m=1，n=1，则|mn|=0，不属于B类，②错误； ③观察可发现若m+2n属于C类，m，n必须是同一类，③正确； 综上，①③正确． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了新定义的应用和有理数的除法，解题的关键是熟练掌握新定义进行解答． 题型八 点的坐标规律探索（共7小题） 31．在平面直角坐标系中，一个蜘蛛最初在点（p是常数，且），第一次爬到射线绕O点逆时针旋转方向上的点，且；第二次爬到射线绕点O逆时针旋转方向上的点，且；…；第2021次爬行到点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据及，归纳可得：，再蜘蛛爬行6次回到原来的射线上，而，从而与在同一条射线上，且，过作轴于，则，利用含的直角三角形的性质，从而可得答案．本题考查的是图形与坐标，坐标规律的探究，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，掌握“从具体到一般的探究方法并归纳总结”是解题的关键． 【详解】， ， ， ， ， ， 又由题意可得：蜘蛛爬行6次回到原来的射线上，而， ∴与在同一条射线上，且， 如图，过作轴于，则， ， ， 故选：D． 32．如图，在平面直角坐标系中，，，，，一个动点从点A出发沿的方向移动，移动了2025个单位后动点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为，，，， 所以，，，，且四边形是长方形， 则长方形的周长为：． 因为， 则， 所以移动了2025个单位后动点在点C的右边3个单位处， 则， 所以移动了2025个单位后动点的坐标为． 故选：C． 33．如图，是坐标原点，、、、、、…，按此规律进行下去，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，根据题意得到当为奇数项时的坐标规律是解题的关键．根据题意可知当为奇数项时，其横坐标为，纵坐标依次为2，3，4，5，……，设奇数，则对应的纵坐标为，然后由，用表示出纵坐标，得到规律，即可解题． 【详解】解：2025为奇数，根据题意，、、、、…… 当为奇数项时，其横坐标为，纵坐标依次为2，3，4，5，…… 设奇数， 则对应的纵坐标为， 此时， 奇数项的纵坐标为， 当为奇数项时，其坐标为， ． 故选：A． 34．如图在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0） ．根据这个规律探索可得，第2022个点的坐标为（  ） A．（2022，8） B．（63，5） C．（64，5） D．（64，4） 【答案】C 【分析】把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，以此类推，第一列有1个点，第二列有2个点…第n列有n个点，可得前n列共有个点，第n列最下面的点的坐标为（n，0），最后按照规律可得第2022个点的坐标． 【详解】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，以此类推，第一列有1个点，第二列有2个点…第n列有n个 ∴前n列共有个点，第n列最下面的点的坐标为（n，0）， ∵=2016，且列数是偶数时，点的顺序是由下而上，列数是奇数时，点的顺序是由上而下， ∴第2016个点的坐标为（63，0）， 第2017个点的坐标为（64，0）， 第2018个点的坐标为（64，1）， 第2019个点的坐标为（64，2）， 第2020个点的坐标为（64，3）， 第2021个点的坐标为（64，4）， 第2022个点的坐标为（64，5）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查规律型：点的坐标，根据图形得出点的坐标的规律是解答此题的关键． 35．如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示、如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2022次碰到球桌边时，小球的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在位置的变化特点，即可得到小球第2022次碰到球卓边时，小球的位置． 【详解】由图可得， 点(1，0)第一次碰撞后的点的坐标为(0，1)， 第二次碰撞后的点的坐标为(3，4)， 第三次碰撞后的点的坐标为(7，0)， 第四次碰撞后的点的坐标为(8，1)， 第五次碰撞后的点的坐标为(5，4)， 第六次碰撞后的点的坐标为(1，0)， 2022÷6=3366， 小球第2022次碰到球桌边时，小球的位置是（1，0)， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答． 36．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(﹣4，0)，B(0，3)，对△AOB连续作旋转变换，依次得到三角形（1），（2），（3），（4），…，那么第（7）个三角形的直角顶点的坐标是 ，第（2020）个三角形的直角顶点坐标是 ． 【答案】 （24，0） （8076，0） 【分析】由A（-4，0），B（0，3），根据勾股定理得AB=5，而对△AOB连续作三次旋转变换回到原来的状态，并且第三个和第四个直角三角形的直角顶点的坐标是（12，0），根据规律可以得到答案． 【详解】∵A（-4，0），B（0，3）， ∴AB==5， ∵第三个和第四个直角三角形的直角顶点的坐标是（12，0）， ∴对△AOB连续作三次旋转变换回到原来的状态，每个循环组直角顶点移动的距离是3+5+4=12， ∵， ∴第（7）个三角形是第2组的第3个直角三角形， ∴第（7）个三角形的横坐标是， ∴第（7）个三角形的坐标是（24，0）， ∵， ∴第（2020）个三角形是第674组的第1个直角三角形， ∴第（2020）个三角形的直角顶点的横坐标是， ∴第（2020）个三角形的直角顶点的坐标是（8076，0）． 故答案为：（24，0），（8076，0）． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了勾股定理以及图形变化的规律． 37．王老师要求同学们观察生活中的现象编写一个数学问题，小颖同学观察台球比赛台球撞击台球桌时受到启发，把它抽象成数学问题：如图，已知长方形，小球从出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等 于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为，当小球第次碰到长方形的边时，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了寻找规律问题，关键是画出小球的运动轨迹，然后由运动的轨迹规律可知次一个循环，利用碰触点的角标序号除以看余数，即可推出小球的位置． 【详解】解：如图可知小球的运动轨迹，第6次回到出发点． 由碰触长方形边的点位置可知， ：，余数为； ：，余数为； ：，余数为； ：，余数为； ：，余数为； ：，余数为； ，余数为， 的位置与的位置相同，即位置为． 故答案为：． 题型九 一次函数图象与系数的关系（共3小题） 38．一次函数与（m，n常数，且）是在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数图象与系数的关系，分析一次项系数与常数项判断一次函数的大致图象是解题的关键． 首先通过分析一次项系数与常数项的符号，再逐一验证选项是否符合图象特征即可． 【详解】解：对于A：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于正半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应下降，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故A错误； 对于B：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于正半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应下降，且与y轴交于负半轴，∴与图象相符合，故B正确； 对于C：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于负半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应上升，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故C错误； 对于D：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于负半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应上升，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故D错误； 故选：B． 39．一次函数，（m，n为常数，且）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ）． A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数和正比例函数图象的综合判断，根据每个选项中图象所过象限，判断出的符号，即可得出结果． 【详解】解：A、一次函数过一，二，四象限，则，故，而正比例函数过二，四象限，则，符合题意； B、一次函数过一，二，四象限，则，故，而正比例函数过一，三象限，则，不符合题意； C、一次函数过一，二，三象限，则，故，而正比例函数过二，四象限，则，故不符合题意； D、一次函数过一，三，四象限，则，故，而正比例函数过一，三象限，则，不符合题意； 故选A． 40．一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质可依次作判断. 【详解】解：A、假设经过一，二，四象限，所以 经过一，三，四象限，所以符合题意； B、假设经过一，三，四象限，所以 经过一，三，四象限，所以两图像a，b不一致,不符合题意； C、假设经过一，二，三象限，所以 经过一，二，四象限，所以两图像不一致，不符合题意； D、假设经过一，三，四象限，所以 经过二，三，四象限，所以两图像a不一致，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像性质，解决问题的关键是掌握一次函数的性质，根据的符号判断图像所经过的象限. 41．已知，且，则一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图像，理解一次函数图像、正比例函数图像与参数的关系是解题的关键． 根据，且，可知，或；由可判断A、B选项，再分和两种情况可判定B、D选项． 【详解】解：∵，且， ∴，或， ∵， ∴函数的图像过二、四象限，故A、B选项不符合题意； 当，一次函数的函数值y随x的增大而增大，且与y轴的交点在y轴的负半轴，即B、D选项都不符合题意； 当，一次函数的函数值y随x的增大而增大，且与y轴的交点在y轴的正半轴，即D选项都符合题意． 故选：D． 题型十 一次函数中的规律问题（共3小题） 42．如下图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…记面积为，面积为，面积为，…则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，平面直角坐标系中点坐标的规律计算，理解图示，找出点坐标的规律，面积的计算方法是解题的关键． 根据题意，分别算出，，……的值，找出规律即可求解． 【详解】解：将代入得，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，且点在直线的图象上， ∴， ∴， ∴， 依此类推，，，， ∴（为正整数）， 当时，， 故选：B ． 43．正方形，，按如图的方式放置，，，和点，，分别在直线和轴上，则点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，点的坐标变化规律，分别求出点的横坐标，可得点的横坐标为，即得点的横坐标为，进而即可求解，找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵直线，当时，， ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴点的横坐标为， 把代入，得， ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ， ∴点的横坐标为， 同理可得，， ∴点的横坐标为， , 点的横坐标为， 设，则， ∴②①，得, 即， ∴点的横坐标为， ∴点的横坐标是， 故答案为：． 44．如图，，，，是等边三角形，直线经过它们的顶点，，，，，点，，，在轴上，则点的横坐标是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，设直线与轴交于点， 当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，，，┈， ∴，， ∴点的横坐标为． 【点睛】本题主要考查一次函数图形与几何的变换规律的综合，理解等边三角形的性质，一次函数图像的性质和特点，点的变换规律是解题的关键． 题型十一 一次函数与几何综合（共9小题） 45．如图，直线分别与轴、轴交于两点，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，又经直线反射后回到点，则光线所经过的路线长是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用，轴对称的性质，勾股定理等知识点，由题意由题意知的点点，点，设光线分别射在上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，反射角等于入射角，则；．由而求得． 【详解】解：由题意知中， 当时，， 当时，，得到； ∴点，点， ∴， ∴，    ∵点， 设光线分别射在上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点， 根据反射规律，则． 作出点P关于的对称点，作出点P关于的对称点， 则， ∴共线，， ∵， 即； ∴． 故选：A． 46．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是，另一点A的坐标为，则以下结论： ①点P在直线上； ②若设的面积为S，当时，； ③的最小值为； ④的周长最小值为； ⑤若点P在第四象限，过P作轴于点E，轴于点F，长方形的周长始终为8． 其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【详解】解：∵点的坐标为， ∴当时，，满足，故①正确； 当时，； ∵，， ∴，到轴距离为， ∴，故②正确； ， ∴，故③正确； 将关于直线对称得， 则的最小值为， ∴周长最小值为，故④正确； 当在第四象限时，且， ，， 矩形周长，故⑤正确； 综上，所有结论均正确， 故选：D； 47．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为点D，E．易证：． （1）①如图1，若，则__________； ②如图2，，点的坐标为，连接交轴于点，求点的坐标，点的坐标． 【拓展探究】 （2）如图4，的图象分别交轴和轴于A、B两点，点坐标为，点在直线上，连结，当与的图象的夹角为时，请求出点的坐标． 【答案】（1）①；②，；（2）或 【分析】（1）①根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论； ②如图2，过A作轴于C，过B作轴于D，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）如图所示，当在轴下方时，以为直角顶点作等腰直角三角形，同理可得，设，则，，进而表示出点的坐标，代入一次函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：①∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：8； ②如图2， 过A作轴于C，过B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在与中， ， ∴， ∴，， ∵点B的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，代入，得， ， 解得： ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （2）解：如图所示，当在轴下方时，以为直角顶点作等腰直角三角形， 设，则，， 同理可得， ∴， ∴， ∵在上， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 当在点的位置时，， 综上所述，或． 48．如图，直线l1：与x轴、y轴分别交于点A、B，另一直线：与x轴、y轴分别交于点C，D，连接．直线与直线交于点，在x轴上有一点，过点P作x轴的垂线，分别与直线交于点M，N． (1)求m的值及的面积； (2)若，求a的值； (3)在y轴找点Q使得为等腰三角形，请直接写出Q点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或或． 【分析】本题主要考查等腰三角形，一次函数与几何综合，勾股定理； （1）根据题意得到，，结合，计算即可； （2）证出，得到，求出M点的横坐标为，即可求出结果； （3）过点E作于点F，由勾股定理可得：，若为腰时，得到，或，若为底时，则的垂直平分线交y于，设，则，求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵直线与直线交于点， ∴把点E的坐标代入直线：得：， ∴， ∴把点E的坐标代入直线：得：， 解得：， ∴直线：， ∵直线：与x轴，y轴分别交于点A，B， 令，则；令，则， ∴，， ∵直线：与x轴，y轴分别交于点C，D， 令，则， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵轴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，则点为的中点， ∵点，， ∴M点的横坐标为， ∴a的值为； （3）解：如图，过点E作于点F， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理可得：， 如图，若为腰时，则，或， ∴；     若为底时，则的垂直平分线交y于，则， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上，点Q的坐标为或或或． 49．综合与探究如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点是线段上的一个动点（不与重合），连接，设点的横坐标为． (1)直接写出两点的坐标； (2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当的面积时， ①判断此时线段与的数量关系并说明理由； ②第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①，理由见解析；②存在，点的坐标为或 【详解】（1）解：， ∴当时，，当时，，解得：， ∴； （2）解：∵点是线段上的一个动点（不与重合）， 设点的横坐标为，过点作轴， ∴点坐标为， ∴的面积： ∴的面积与之间的函数关系式为； （3）解：①． 理由如下：当的面积时， ，解得：， ∴点坐标为， ∴， ∵， ∴； ②存在， 过点作轴交轴于点，过点作于点，过点作于点，分两种情况： 情况一：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌（AAS）， ∴， ∴点 情况二：∵是等腰直角三角形，同理≌（AAS）， ∴， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 题型十二 一次函数的实际应用（共7小题） 50．甲、乙两车从A地沿直路同向匀速行驶行往B地，现甲车在乙车前500米处，设x秒后两车相距y米，y与x的函数关系如图所示，则乙车在整个运动过程中行驶的路程是（   ） A．3500米 B．3200米 C．4375米 D．4000米 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象的实际应用以及行程问题中速度、时间和路程的关系，解题关键是从图象中获取关键信息，明确甲、乙两车的运动时间和路程关系，进而计算出两车的速度． 主要解题思路：从图象得知 100 秒时乙追上甲，此时乙比甲多走 500 米，算出乙比甲快 5 米 / 秒；根据 100 到 160 秒的时间差，得这段乙比甲多走 300 米即 a 的值；由甲 160 到 175 秒走完 a 的路程，算出甲速，进而得乙速，最后求出乙行驶的总路程． 【详解】解：观察图象可知：从开始出发至第100秒，乙车追上甲车，说明在此段时间内乙车比甲车多走500米，因此乙车比甲车的速度快（米/秒）， ∴从第100秒至第160秒，乙车比甲车多走（米）， ∵至第160秒，乙走完全程；甲从第160秒至175秒也走完全程，此段时间经过的路程也是（米）． ∴甲车的行驶速度为（米/秒）， ∴乙车的行驶速度为（米/秒）， 因此乙车在整个运动过程中行驶的路程是：（米）． 故选：D． 51．在，两地之间有汽车站站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离站的路程，(km)与行驶时间之间的函数图象如图所示．有下列说法：①，两地相距为；②两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为；③客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：；④客、货两车在小时相遇．其中正确的有（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一次函数的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键； 根据函数图象提供的信息即可判断①；分别利用待定系数法求出函数解析式即可判断②③；再由求出的值即可判断④； 【详解】解：由图象可得：，两地相距为，故①正确； ∵货车的速度为：， ∴货车到达地一共需要， 设两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为， ∵在图象上， ∴， 解得：， ∴两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：， 故②正确； 设客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：， ∵在图象上， ∴，解得：， ∴客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：， 故③正确； 由相遇得：， ∴， ∴， ∵，∴符合题意， 即客、货两车在小时相遇，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共个， 故选：D． 52．某工厂安排80名工人在规定时段内全部参与加工三种零件．在该时段内，每名工人只能加工零件2件，或零件1件，或零件4件．工厂要求加工零件的总数至少8件，零件的总数至少11件，零件和零件的总数相等．若加工零件总数不超过20件时，每件获利360元，超过20件时，超过的部分每件少获利30元；加工零件每件获利700元；加工零件每件获利180元． （1）当安排2名工人加工零件时，安排加工零件的工人人数为 ； （2）当安排 名工人加工零件时，在规定时段内工厂获利最大，最大利润为 元． 【答案】 74 5 56300 【分析】本题考查了一次函数的应用．设加工C零件的工人为人，则加工A零件的工人为人，则加工B零件的人数为人，设利润为P，根据题意列出一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：设加工C零件的工人为人，则C零件总数为件，A零件总数也为件，则加工A零件的工人为人，则加工B零件的人数为人， （1）当时，人， 此时B零件总数，符合条件， ∴当安排2名工人加工C零件时，加工B零件的有74人； （2）利润分段计算：当 (即)时，A零件利润为； 当时，A零件利润为：； 设利润为P，则 当时，， ∵， ∴为增函数，最大值在时取得，； 当时， ， ∵， ∴为减函数，最大值在时取得，元； 综上所述，当，即安排5名工人生产C零件时，利润最大，最大利润为56300元． 故答案为：74；5；56300． 53．如图1是甲、乙、丙三个圆柱形无盖容器的截面示意图．其中，乙容器底部放置了一块长方体铁块，乙容器和丙容器之间有一根管子连通（管子体积可忽略不计）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器中，则三个容器中水的深度h（厘米）与注水时间t（分）之间的关系如图2所示．请结合图像提供的信息，解答下列问题． (1)乙容器中铁块的高度是 ． (2)当甲、乙两容器中水的深度相同时，求注水时长． (3)若甲容器的底面积为，丙容器的底面积为，则a的值为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． （1）1分钟时水淹没铁块，铁块高度即此时乙容器水深，得； （2）分别设甲、乙水深的一次函数，代入点求解解析式，联立方程得水深相同时的时长为； （3）先算甲容器总水量、倒水速度，再求乙容器底面积，最后算剩余水注入后乙、丙的水面高度为． 【详解】（1）解：由图可得，0到1分钟是水逐渐淹没铁块过程， 故当1分钟时，铁块高度为， 故答案为：8． （2）由图象可得时，甲、乙两容器中水的深度相同， 设， 把，代入，得， 解得， 所以， 设， 把，代入，得， 解得， 所以， 令，得，解得， 所以当甲、乙两容器中水的深度相同时，注水时长为． （3）解：由题图，得甲容器中初始水面高度为， 所以水的总体积为， 所以每分钟甲容器中的水倒出， 所以乙容器1～3分钟水的体积增加了， 因为乙容器 1～3 分钟水面升高了， 所以乙容器的底面积为． 因为丙容器的底面积为， 所以当水面为高时，丙容器中水的体积为， 此时甲容器中剩余的水的体积为， 所以将这部分水全注入乙、丙容器中水面高度． 故答案为：24． 54．在校运动会无人机表演活动中，甲、乙两架无人机在同一平台竖直向上起飞，飞行的路径互相平行，当飞行高度达到米时，无人机停止表演．甲从起点出发，先以米秒的速度匀速飞行了秒，然后以米秒的速度继续匀速飞行．乙在甲出发秒后起飞，以米秒的速度匀速飞行，乙出发秒后，与甲飞行的高度相差米．如图，折线，线段分别表示甲，乙的飞行高度（米）与甲飞行时间（秒）之间的函数图象．请结合图象解答下列问题． (1)，_______； (2)分别求出线段，对应的函数表达式；（请写出自变量的取值范围） (3)当两架无人机之间的高度差为米时，能形成特定的表演效果．求在整个飞行过程中，能形成这种特定的表演效果时的取值． 【答案】(1)，； (2)对应的函数表达式为 ，对应的函数表达式为 ； (3)或． 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象中获取信息，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据图象即可求解； （2）利用待定系数法求出解析式即可； （3）根据两架无人机之间的高度差为米，结合（2）的解析式，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，甲飞行秒后的速度（米秒 ），乙飞行的速度（米秒 ）， 故答案为：，； （2）解：设对应的函数表达式为， 把， ， 代入得：，            解得， ∴对应的函数表达式为 ； 设对应的函数表达式为 ， ∵乙出发秒后，与甲飞行的高度相差 米， ∴图象过， ∴， 解得， ，令，得， ∴对应的函数表达式为 ； （3）解：对于，令，得， 当 时，甲的高度为， 此时两无人机高度差为米， 当甲比乙高米时， ， 解得：， 当乙比甲高米时， 解得：， ∴能形成这种表演效果时的取值为或． 55．甲、乙两人从A，B两地同时出发，甲前往B地，乙前往A地，途经休息区时甲休息1小时后加速行驶，而乙没有休息继续原速行驶，结果甲比乙早到达目的地0.5小时，甲、乙两人离各自出发地的路程y（千米）与乙出发的时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)求甲休息前的速度和乙的速度； (2)求加速后甲离出发地的路程y与乙出发的时间x之间的函数关系式； (3)请直接写出乙出发多少小时两人相距30千米． 【答案】(1)甲休息前的速度为75千米/时，乙的速度为60千米/时 (2) (3)乙车出发2小时或3小时，相距30千米 【分析】本题考查函数图象，一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，是解题的关键． （1）根据甲车出发2小时，甲车的路程为150千米，乙车出发2.5小时，乙车的路程为150千米，利用路程除以时间，即可得解； （2）先求出C、E的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （3）设乙车出发x小时后两车相距30千米，由两车相向而行，故分相遇之前和相遇之后，两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：根据题意，得：甲休息前的速度为千米/时；乙的速度为千米/时； （2）解：乙车从B地到A地所用的时间为小时， ∵甲比乙早到达目的地0.5小时， ∴， 又， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴； （3）解：两车相遇前， 根据题意，得， 解得； 两车相遇后， 根据题意，得， 解得， 答：乙车出发2小时或3小时，相距30千米 56．一条笔直公路上依次有A、B、C三地，甲车从B地匀速行驶到A地，到达A地因故停留1小时，然后按原路原速返回到C地（调头时间忽略不计）：乙车在甲车出发1小时后，从A地匀速行驶到C地，到达C地后停止行驶，在行驶的过程中．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与乙车行驶时间（小时）函数图象如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车行驶的速度为___________千米/时，B、C两地相距的路程是___________千米； (2)求甲车从A地驶向B地的过程中，y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)请直接写出甲车出发多少小时，两车相距40千米． 【答案】(1)120，120 (2)； (3)甲车出发2小时或2.4小时或小时，两车相距40千米． 【详解】（1）解：由题意得， 先明确折线N-P-R-E-F是甲车的对应图象，线段是乙车的对应图象， 其中，x(小时)表示乙车的行驶时间，y(千米)表示甲车距各自出发地的路程； 点表示当乙出发时，甲已经出发距B地120千米； 又∵乙车在甲车出发1小时后出发，则甲车行驶1小时的路程为120千米， ∴(千米/小时)， 故甲车行驶的速度为120千米/小时； 段表示甲车在A地滞留1个小时， 点P表示甲车到达乙地， 此时，则甲车的行驶时间为小时； ∴B、A两地的距离为(千米)； 点M表示乙车达终点C地，则A、C两地的距离为480千米， ∴B、C两地的距离为 (千米)； 故答案为：120，120； （2）解：点P表示甲车到达A地，B、A两地相距360千米， 则点， 段表示甲车在A地滞留1小时，则点； 点E表示甲车由A地返回B地，用时(小时)， ∴点， 则甲车从A地返回B地对应线段为， 设的解析式为， 将点，代入得，， 解得， ∴的解析式为； （3）解：由图象可知， ∴点， ∴乙车的速度为(千米/小时)， 设甲车出发t小时，两车相距40千米，则乙车行驶小时； 由（1）知，B、A两地距离360千米，B、C两地相距120千米，A、C两地相距480千米，甲车的速度为120千米/小时， ①在甲车由B→A过程中(此时两车相向而行）， 当时，甲车列达A地，（）， 由题意得或， 解得或； ②在甲车在A地滞留1小时时，此时， 当时，甲到达A地， 此时乙与A地的距离也就是它的路程为， ∴此段甲、乙两车不可能相距40千米，舍去； ③在甲车由A→C且乙车到达终点之前(两车同向而行)，乙车到达终点C时，即点M处，， 故此时，此段时，乙车先到达终点C， 由题意得， 解得，此段不符合题意舍去； ④乙车到达终点之后()， 此时乙车停在C地， 当甲，乙两车相距40千米时， 由题意得， 解得； 综上，甲车出发2小时或2.4小时或小时，两车相距40千米． 57．小明需要寄送一批包裹，现了解到A、B两个快递公司的收费标准如下表： 首重费用 续重费用 A公司 包裹重量，收费12元 超过，每增加加收3元（不足按计算） B公司 统一收费 无论重量，均按5元计算，最低收费10元（即不足也按10元计算） 设小明需要寄送包裹的重量为（）． (1)若小明寄送包裹的重量为，A公司的收费为_______元，B公司的收费为_______元； (2)若小明寄送包裹的重量超过，则他去哪个公司寄送更划算？ 【答案】(1)12，10 (2)当小明寄送包裹重量在以上以下，或在以上以下，则选择B公司划算；当小明寄送包裹重量恰好为或时，则选择A公司，B公司费用一样；当小明寄送包裹重量在到之间时或超过时，则选择A公司划算 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，难度较大，解题的关键是正确理解题意，利用数形结合的思想求解． （1）根据题意即可求解； （2）画出函数图象进行分析即可． 【详解】（1）解：A公司：，则收费12元； B公司：，则收费10元， 故答案为：12，10； （2）解：设公司收费为元，公司收费为元， ， 画出函数图象： 由函数图象可得： 时，或 或； 当时，或 当时，， ∴当小明寄送包裹重量在以上以下，或在以上以下，则选择B公司划算；当小明寄送包裹重量恰好为或时，则选择A公司，B公司费用一样；当小明寄送包裹重量在到之间时或超过时，则选择A公司划算． 58．综合实践小组模拟“刻漏”原理，用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了简易计时装置如图所示，现需要在甲容器外壁标记刻度，以便通过刻度直接读取时间． 为此，综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 记录时间 流水时间 0 10 20 30 水面高度（观察值） 30 29 27 其中“，”是初始状态下的准确数据，后续数据测量可能存在误差． 任务1利用“，；，”这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 任务2利用任务1所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ 经检验，发现有一组表中观察值不满足原任务中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的绝对值之和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键； 任务1：先判断是一次函数，再利用待定系数法求解即可； 任务2：把代入函数关系式求出t，再进一步求解即可； 任务3：设经过的函数解析式为，根据题意得到w关于a的绝对值式子，再分类讨论求解． 【详解】解：任务1： 由表中数据可得：约过10分钟，水面高度h减少约1cm， 所以水面高度h是流水时间t的一次函数，设， 把，；，代入，得 ，解得， ∴水面高度h与流水时间t的函数关系式是； 任务2：当水面高度为时，即，， 解得， 分钟小时， ∴当甲容器中的水面高度为时是小时，即； 任务3： 设经过的函数解析式为， 则 当时，， 当时，， 则当时，， 当时，， 综上，当时，w最小，此时函数的解析式是． 题型十三 二元一次方程组中的参数问题（共5小题） 59．已知关于和的方程组的解满足，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了本题考查解二元一次方程组求参数，解题的关键注意整体思想的应用，先根据得出，再根据得出，解一元一次方程求出即可． 【详解】解：， 得：， ， ， 解得：． 故选： B． 60．若关于、的方程组和有相同的解，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值，将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，联立含有的两个方程，把的值代入，两方程相加可求得的值，再代入代数式中求解即可，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键． 【详解】解：联立方程：， 得：， 得：， 得：，解得：， 把代入得，解得：， 因此，方程组的解为， 将代入得， ， 得：， ∴， ∴， 故选：． 61．已知关于的方程组无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解含参数的二元一次方程组．掌握加减消元法是解题的关键． ，,得,即得解． 【详解】解：∵， ∴,得． ∴无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为11． 故答案为：11． 62．已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是 ． ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则 【答案】①③④ 【分析】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，可以判断题目中的各个结论是否成立．根据题目中的条件代入原来的方程组中，即可判断结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解： 当这个方程组的解，的值互为相反数时， 即， 两方程相加，得， ， 解得；故正确； 当时，原方程组可化简为 解得 方程， 左边可化为：， 右边可化为：， 所以左边右边， 故错误； 可得：， 即， 所以无论取什么实数，的值始终为，故正确； 由知， ，故正确； 故答案为． 63．对、定义了一种新运算T，规定（其中，均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：， 已知，． （1）求，的值； （2）求． （3）若关于的不等式组恰好有4个整数解，求的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【分析】（1）根据题中的新定义列出关于与的方程组，求出方程组的解即可得到与的值； （2）利用题中的新定义将，代入计算即可； （3）利用题中的新定义化简已知不等式组，表示出解集，由不等式组恰好有4个整数解，确定出的范围，再解不等式组即可． 【详解】解：（1）根据题意得： ， 解得：； （2）由（1）得： ∴； （3）根据题意得：， 由①得：；由②得：， 不等式组的解集为， 不等式组恰好有4个整数解，即，1，2，3， ， 解得：． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则、理解新定义的意义是解本题的关键． 题型十四 图形与坐标变化（轴对称）（共7小题） 64．在平面直角坐标系中，已知顶点坐标分别为点、，，l1是过点与x轴垂直的直线．若直线上存在点Q，使点Q关于直线l1的对称点在的内部或边上，则b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化—对称，数形结合是解题的关键． 求得直线经过点关于直线的对称点时的的值，求得直线经过点关于直线的对称点时的的值，结合图形即可求解． 【详解】解：∵点，是过点与x轴垂直的直线， ∴关于直线的对称点为关于直线的对称点为， 如图，当经过点时，则， 解得， 当直线经过点时，则，解得， 故由图形可知，若直线上存在点，使点关于直线的对称点在的内部或边上， 则的取值范围是． 故答案为：． 65．如图，平面直角坐标系中，点，点关于直线对称的点为，点向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到点，若点落在内（包括边界），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，点和连线中点坐标为，确定，得到，建立不等式组解答即可． 本题考查了平移，对称，不等式组的应用，熟练掌握平移，对称是解题的关键． 【详解】解：设，点和连线中点坐标为， ∵点关于直线对称的点为， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵点向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到点， ∴， ∵点落在内（包括边界）， ∴， ∴， ∴ 解得， 故答案为：． 66．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C在y轴的正半轴上，D在直线AB上，且，．若点P为线段AB上的一个动点，横坐标为m，且P关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界）． （1）点C的坐标为 ． （2）点P的横坐标m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形的轴对称变化，正确理解题意灵活综合运用知识是解题的关键． （1）利用一次函数解析式求出B点坐标，可知长度，结合已知条件，可求出长度，则C点坐标可求； （2）已知，且D在直线AB上，则D点坐标可求，进而可求解析式，因为点P为线段AB上的一个动点，横坐标为m，且P关于x轴的对称点Q，可用m表达出Q坐标，根据Q总在内（不包括边界），列出不等式求解即可． 【详解】 解：（1）在中， 当时，， 当时，即，， ， ∵C在y轴的正半轴上，， ， 故答案为：； （2）， ∴点D在线段的垂直平分线上，即在直线上， 在中， 当时，即，解得：， ； 设直线解析式为， ， ， ∴直线解析式为， 同理可得直线的解析式为， ∵点P为线段上的一个动点，且其横坐标为m， ， ∵P、Q关于x轴对称， ， ∵点Q总在内（不包括边界）， ， 解得：． 故答案为：． 67．如图，三个顶点的坐标分别为，，， (1)若与关于轴对称，则三个顶点坐标分别为 ， ， ； (2)在轴上是否存在点，使得，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由； 【答案】(1)，， (2)存在，或 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的轴对称变换、三角形面积计算，熟练掌握相关的坐标特征、面积公式和轴对称性质是解题的关键． （）根据关于轴对称的点的坐标特征，即纵坐标不变，横坐标互为相反数来求解； （）通过求出直线的解析式，得到直线与轴相交于点，再求出的面积，再设出点坐标，根据三角形面积公式列出方程求解； 【详解】（1）解：如图所示， ∵关于轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，，，， ∴，，． 故答案依次为：；； （2）存在． 设直线的解析式， 代入，得 ， 解得， ∴， 令，则， 直线与轴相交于点， 由图可得：， ∵， ∴， 设， ∴， 解得或， ∴或. 68．如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在图中画出关于轴对称的图形； (2)在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是______，此时点关于这条直线的对称点的坐标为______； (3)在轴上确定一点，使的周长最小．（注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹） (4)在y轴上一点M的坐标为，在x轴上有一动点Q满足最大，此时Q点的坐标为______，最大值为______． 【答案】(1)见解析 (2)轴，； (3)见解析 (4) 【分析】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用轴对称解决最短问题． （1）利用轴对称的性质分别作出的对应点，，，再连接即可． （2）利用轴对称的性质求解问题即可． （3）连接交轴于点，连接，点即为所求； （4）由点B与点关于x轴对称得，从而，可知当点M，点，点Q共线时，最大，求出直线的解析式进而可求出点Q的坐标，求出，进而可求出的最大值． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是直线，即为轴，此时点关于这条直线的对称点的坐标为． 故答案为：轴，； （3）解：如图，点即为所求． （4）解：∵点B与点关于x轴对称， ∴， ∴， ∴当点M，点，点Q共线时，最大， 设直线的解析式为，把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ， ． ∵， 最大值为5． 故答案为：． 69．在平面直角坐标系中，已知点，，对于直线l和点P，给出如下定义：若在线段上存在点Q，使得点P，Q关于直线l对称，则称直线l为点P的关联直线，点P是直线l的关联点． (1)已知直线：，在点，，中，直线的关联点是___________； (2)若在x轴上存在点P，使得点P为直线：的关联点，求b的取值范围； (3)已知点，若存在直线：是点N的关联直线，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）利用网格图确定线段关于直线：对称的线段,点在上，得出结论． （2）如图，由题意知，点Q在线段AB上，当点Q与点A重合时，点P的坐标为，直线经过原点，此时b=0；当点Q与点B重合时，点P的坐标为，直线经过点A，此时，所以． （3）如图，点在直线上，设线段关于的对称线段为,当直线：为时，可求，此时，点为满足题意的点N，；，当在第一、三象限内，存在如下图情况，此时，点落在上，落在x轴上，连接，过点A作轴，垂足为，可求，此时，为满足题意的点N，；如图，线段与关于y轴对称，可求，此时为满足题意的点N，；如图，当直线在第二、四象限，存在如下情况，点在直线上，点在x轴上,作，垂足为H，可求，此时为满足题意的点N，，得出结论． 【详解】（1）解：如图，线段关于直线：对称的线段,点在上，故直线的关联点是；    （2）解：如图，由题意知，点Q在线段AB上， ∵点P为直线的关联点， ∴点P关于直线的对称点为Q，    当点Q与点A重合时，点P的坐标为， 是等腰直角三角形，直线经过原点，此时b=0； 当点Q与点B重合时，点P的坐标为， 是等腰直角三角形，直线经过点A，此时． 综上所述，b的取值范围是． （3）解：如图，点在直线上，设线段关于的 对称线段为, 当直线：为时，点，关于直线的对称点,，此时，点为满足题意的点N，；    随着增大，当在第一、三象限内，存在如下图情况，点落在上，落在x轴上，连接，由对称知，， ∴ 过点A作轴，垂足为，中， ∴ ∵ ∴, ∴点 此时，为满足题意的点N，    故时，存在直线：是点的关联直线； 如图，线段与关于y轴对称，,此时为满足题意的点N，；    如图，当直线在第二、四象限，存在如下图情况，点在直线上，点在x轴上,    过点作，垂足为H，由对称知，，， ，中， ∵ ∴ ∴ 此时为满足题意的点N， 故时，存在直线：是点的关联直线； 综上，若存在直线：是点的关联直线，则，或． 【点睛】本题考查直角坐标系与点的坐标，轴对称，等腰直角三角形，勾股定理，动态的理解图形，分类对所有情况作完备的讨论是解题的关键． 70．平面直角坐标系中，点在y轴正半轴，点在x轴正半轴，以线段为边在第一象限内作等边，点C关于y轴的对称点为点D，连接,，且交y轴于点E． (1)补全图形，并填空； ①若点，则点D的坐标是______； ②若，则______． (2)若，求证：垂直平分； (3)若时，探究，，的数量关系，并证明． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题是几何变换的综合题，考查等边三角形的性质，轴对称的性质，三角形全等的判定与性质，截长补短法的应用是． （1）①由关于y轴对称的点的特点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可求解； ②求出，再由轴，求出，即可求； （2）延长交于点G，由题意求出，再求出，，则有，由是等边三角形，可得G是的中点，则可证明垂直平分； （3）先证，可得，然后作，证可得，最后证即可解答． 【详解】（1）①如图1： ∵点关于y轴的对称点为点D， ∴， 故答案为：； ②由对称性可知，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴． 故答案为： （2）如图2，延长交于点G， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴G是的中点， ∴垂直平分； （3），证明如下： 如图：作，连接， ∵C、D两点关于y轴的对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵, ∴, ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十五 二元一次方程的实际应用（共6小题） 71．幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，其规则是将数字填在正方形格子中，使每一行、每一列和两条对角线上的3个数字的和都相等．例如图①就是一个幻方． （I）图②是一个未完成的幻方，则的结果为 ；（II）图③中的为 （用含的式子表示） 【答案】 12 【分析】本题考查了整式加减的应用，二元一次方程组应用． 根据每一行、每一列和两条对角线上的3个数字的和都相等．可知有公共单元格的横竖斜行的其他两个数和相等，据此求出未知第三格的数值（或用代数式表示），最后列出方程（组）求解即可． 【详解】解：∵每一横行，每一坚列以及两条对角线上的3个数之和都相等． 由图②中，， ∴， ∴ 解得： ∴， 由图③中，设每一横行，每一坚列以及两条对角线上的3个数之和都相等． ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， 又∵，∴， ， ∴ 故答案为：12；． 72．若一个各位数字均不为0的四位数（，，，a，b，c，d均为整数）满足：把N的千位数字a作为十位数字，N的十位数字c作为个位数字组成的两位数与5的和记作X，N的千位数字a与个位数字d的3倍的和记作Y，如果X的各位数字之和与Y的和是一个正整数K的立方，则称这个四位数为“开心数”，正整数K称“开心元素”；当，时，最小“开心数”为 ；若“开心数”N满足前两位数字之和与后两位数字之和相等，且为整数，则满足条件的最大M为 ． 【答案】 3115 8163 【分析】当，时，可知，，则，当时，    a可以取得最小值3，且，据此即可求得答案；根据和为整数，可求得为整数，可得或，分情况逐一讨论即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴四位数． ∴，． ∴． ∴当时，a可以取得最小值3． 又， ∴； ∵， ∴ ． ∵为整数， ∴为整数． 又，， ∴或．①当时．根据题意可知，， ∴，．∴． ∴． ∴不符合题意． ②当，且，时． 根据题意，得， ∴，． ∴． ∵    K为正整数， ∴． ∴． ∴； ∴． ③当，且，时． 根据题意，得， ∴，． ∴． ∵K为正整数，． ∴不合． ∴． 综上所述，符合条件的的最大值为8163． 故答案为：3115，8163． 【点晴】本题主要考查了新定义——“开心数”．熟练掌握新定义，理清数量关系，列数字表达式，列方程，实数综合运算，分类讨论，是解题的关键． 73．手工陶艺坊制作陶杯和陶碗，陶土用量（单位：g）及成品率（成品率）如下表．第一次制作，共得到陶杯和陶碗成品80件；第二次制作，陶杯陶土用量是第一次的2倍，陶碗陶土用量是第一次的3倍，共得到成品190件． 类别 原材料 成品率 陶杯 陶土E 陶碗 陶土F (1)第一次制作时，陶土E和陶土F的用量分别是多少？ (2)若陶土E中高岭土占比为，为制作出两次试验的陶杯成品总量，需准备多少克高岭土（不考虑损耗）？ 【答案】(1)第一次制作时，陶土E的用量为，陶土F的用量为 (2)需准备高岭土 【分析】（1）根据两次制作的成品数量以及成品率，设出第一次制作时陶土和陶土的用量，列出方程组求解； （2）先算出两次制作陶杯成品的总量，再根据陶杯成品率算出所需陶土的总量，最后根据高岭土占比求出高岭土的量． 【详解】（1）解:设第一次制作时，陶土E的用量为，陶土F的用量为． 根据成品率及两次成品总量列方程组为 得：， 将代入①，解得： ∴． 则第一次制作时，陶土的用量为，陶土的用量为． （2）解：两次制作陶杯成品总量（按成品率算）：． 陶土E中高岭土占比为， ∴高岭土用量为， ∴需准备g高岭土． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是根据成品率的定义建立方程组，再结合比例关系求解，体现了方程思想在实际问题中的应用． 74．新年将至，小宏记录了他家连续两天购买两种年货（两次购买年货时单价不变）的名目：第一天购买5个A种年货和4个B种年货共元；第二天购买3个A种年货和2个B种年货共元． (1)小宏的爸爸看了后，说他的记录错误，请帮他说明错误理由； (2)原来，小宏把第一天的费用元写成了元，修正后求出每个A种年货单价元，每个种年货单价元，小宏一家决定再次购买两种年货共个，设总费用元，且总费用低于元但不少于元，请问有几种购买方案？并请求出花费最高的购买方案． 【答案】(1)见解析 (2)有5种购买方案，当时，，花费最高 【分析】本题考查二元一次方程组的实际问题和一元一次不等式的实际问题，正确理解题意，找出数量关系并列出方程组或不等式是解题的关键． （1）根据题意，设、两种年货单价分别为、元，列出方程组求解，然后结合实际说明即可； （2）设购买种年货个，列出不等式组求解，然后结合实际情况即可求解； 【详解】（1）解：设、两种年货单价分别为、元， 即， 解得：， ∵种年货单价不应为负， ∴小宏记录错误． （2）解：设购买种年货个，则种年货个， 即：， 即， 解得：， ∵年货个数为正数， ∴可以取、、、、， ∴共有5种购买方案； ∵是关于的一次函数， ∴随的增大而减小， 即当时，取最大值，， ∴当时，花费最高； 75．某包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）． (1)若该厂购进正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ (2)该厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值． 【答案】(1)加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个 (2)满足条件的a为：，， 【分析】（1）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据题意即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合即可求出a的值，此题得解． 【详解】（1）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个， 根据题意得：， 解得：， 答：加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个． （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个， 根据题意得：， 解得：， ∵n、a为正整数， ∴a为5的倍数， 又∵， ∴满足条件的a为：，，． 76．综合与实践 青少年正处于生长发育的黄金阶段．某校食堂为保证学生科学饮食，计划结合青少年每日摄入营养比例设计一个健康饮食餐盒． 材料搜集：材料1，青少年每餐摄入食物比例整理如下表． 食物 主食 肉蛋类 蔬菜 水果 占比 材料2，学生每餐最少摄入3种颜色的非淀粉类蔬菜． 方案设计：综合与实践小组设计了如图所示的长方形餐盒，其中主食格、菜格、水果格、肉蛋格参考材料1中数据设计，另外增加了汤格和餐具格，其中，菜格平均分为三块区域．已知，，．设，． 问题解决：请根据题意完成下列解答， (1)填空：_________，_________． (2)列方程就是“拉出一个量，将之算两次”，即对一个“量”讲“两个故事”，并把两个“故事”用“”号连接起来．请将下列各“量”分别用“两个故事”表示（用含，的式子表示）． “量” 第一个“故事” 第二个“故事” 用“”连接 ________ ______ 的面积 （   ） _____ ．．．．．． (3)请求出，的值． 【答案】(1)10， (2)见解析 (3)15，6.25． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出二元一次方程组是解题的关键： （1）根据表格中的比例关系，得到长方形中线段的比例关系进行求解即可； （2）根据线段的和差关系和图形的面积的计算方法，列出代数式即可； （3）列出方程组，进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可表格可知，，， ∴， 故答案为：10，； （2）由（1）知：， ∴， 由表格可知：的面积（长方形的面积餐具格的面积汤格的面积） ； 填表如下： “量” 第一个“故事” 第二个“故事” 用“”连接 的面积 ．．．．．． （3）列方程组 解得 答：，的值分别为15，6.25． 题型十六 勾股定理与实际问题（共5小题） 77．如图，四边形是某公园的休闲步道．经测量，点B在A的正西方向，，点D在A的正北方向． (1)求四边形步道所围公园的面积； (2)小明和小亮从B到D去玩耍，公园内有一条小路，小明决定走小路从B→E→D，小明的速度为，小亮决定全程走步道从B→C→D，小亮的速度为，已知，则小明和小亮谁先到达D？请说明理由．（精确到十分位，参考数据：，，） 【答案】(1) (2)小明先到达D，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握该两个定理的灵活应用． （1）先利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形，再利用勾股定理得出长度，最后利用三角形的面积公式求解即可； （2）利用勾股定理求出线段的长度，然后分别求出两人的时间进行对比即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴； 根据方位得，， 由勾股定理得，， ∴； ∴； （2）解：小明先到达D，理由如下： ， 由勾股定理得， 小明所需时间为； 小亮所需时间为； ∵， ∴小明先到达D． 78．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力 ．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全 等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得 到等式 ，化简便得到结论．这里用两种求法来表示同一个量 从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数 学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． (1)请 用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图 形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，  则边上的高为_______； (3)如图4，在中，是边上的高，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) (3) 【分析】本题主要考查了证明勾股定理、勾股定理的应用等知识点，灵活利用面积法证明勾股定理是解题的关键． （1）先表示出三个图形的面积进行加减计算即可证明结论； （2）利用割补法求解即可； （3）运用勾股定理在和中求出，据此列出方程求解即可； 【详解】（1）证明：∵，，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：设边上的高为x， ∵， ∴． （3）解：在中，由勾股定理得： ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴，解得：． 79．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 【答案】（1）见解析；（2）千米；（3）8 【详解】（1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得，即千米， (千米)， 答：新路比原路少千米； （3）解：如图， 设， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， ． 80．对于一个图形，我们通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，图1中的面积关系可以解释等式． 【探索发现】 （1）用四个长与宽分别为a，b的小长方形拼成如图2所示的图形．根据图中条件，猜想与之间的关系为： ________； （2）用四个完全相同的直角三角形（其中直角边长分别为a，b，斜边长为c），拼出如图3所示的图形．根据图中条件，猜想并验证a，b，c之间的等量关系． 【拓展提升】 （3）对于自然数中前n个奇数之和，可以通过计算正方形的面积得到．如图4，将边长为1的正方形的一组邻边逐渐增加1，形成了一系列的新正方形．新正方形与原正方形相比，面积逐步增加3，5，7，…，．请你依据这个图形补全下面的等式： ________． （4）类似的，如图5，将边长为1的正方形的一组邻边逐渐增加2，3，4，…，n，形成了一系列的新正方形．请你依据这个图形直接写出一个关于n的等式． 【答案】（1）；（2），验证见解析；（3）；（4）． 【分析】本题主要考查了完全平方公式与图形面积、多项式乘多项式与面积、勾股定理、图形规律等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）由题意可知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的面积为小正方形与四个面积为矩形之和，据此即可解答； （2）由题意可知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的面积为小正方形与四个面积为矩形之和，据此列式并整理即可解答； （3）由图形可知图形的面积为或，据此列出等式即可解答； （4）由图形可知大正方形的边长为，则大正方形的面积为；大正方形的面积为，进而得到． 【详解】解：（1）由题意可知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的面积为面积为小正方形与四个面积为矩形之和，即． 故答案为：． （2），验证如下： 由题意可知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的面积为面积为小正方形与四个面积为矩形之和，即，整理得． （3）由图形可知图形的面积为或，所以． 故答案为：． （4）由图形可知大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为； 又∵大正方形的面积为， ∴． 题型十七 全等三角形与勾股定理综合（共6小题） 81．如图，已知点A，B为直线外两点，且在异侧，连接，分别过点A作于点C，过点B作于点D，点F是线段上一点，连接交于点 (1)有下列条件：①点F是的中点；②点E是的中点；③点E是的中点．请从中选择一个能证明的条件，并写出证明过程； (2)若，且，，，求的长． 【答案】(1)②或③，见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质． （1）根据三角形全等的判定定理，由已知添加合适的条件，证明即可得出结论； （2）由（1）知，推出，，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：选择②或③， 选择②时：， ， ， 点是的中点， ， 在与中， ， ， ； 选择③时，， ， ， 点是的中点， ， 在与中， ， ， ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ， ，， ， 在中， ． 82．如图，在中，，点P是线段上一点，过点A作的垂线，交的延长线于点M，于点N，于点Q，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）先由垂直条件得出多个直角，通过同角的余角相等推导出一组角相等，再结合已知的一组边相等，利用“角边角”判定定理证明两个三角形全等； （2）根据（1）的全等结论得到两组边相等和一组角相等，通过角的等量代换推导出角平分线，再利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，结合之前的边相等关系，证明目标边相等； （3）设出未知边长，结合已知线段长度表示出相关边，在直角三角形中利用勾股定理列方程求出未知边长，再通过直角三角形全等得到一组边相等，最后在另一个直角三角形中用勾股定理求出答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在与中， ， ． （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：由（2）知，则设， 又，则， 在中，， 即， 解得， ∴， ， ， ， ， 在中，， 即， 解得． 83．如图，在中，，，若点是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，，连接． (1)求证：≌； (2)试说明：； (3)如图，当点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证 ，即可得出结论； （2）由等腰直角三角形的性质，，则，再由全等三角形的性质得，，则，然后由勾股定理即可解决问题； （3）分两种情况，①点在延长线上时，过点作于点，由等腰三角形的性质得，再由（2）可知，，，再由勾股定理求出的长即可； ②点在延长线上时，过点作于点，由等腰直角三角形的性质得，同（2）得 ，则；即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， 即， 是等腰直角三角形，且， ， 在和中， ， ； （2）解：，，是等腰直角三角形，且， ，， ， 由（1）可知，≌， ，， ， ， ， ； （3）解：和是等腰直角三角形，，， ，， ，，， 分两种情况： ①如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， 由（2）可知，，， ； ②如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 同（2）得： ， ； 综上所述，的值为或． 84．如图，在中，于点，，． (1)求的长； (2)若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求的长． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质和平行线的性质，解题的关键是分类讨论和熟练全等三角形的相关知识． （1）结合已知条件，利用勾股定理即可求得； （2）①由勾股定理得，并利用证得，有，即可求得； ②分两种情况：当点在线段上时，由面积比得，求得，并得到和，可得，利用等角对等边即可求得；当在线段的延长线上时．由面积比得，可求得，同理，即可求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：； （2）解：①在中，由勾股定理得：． ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； ②分两种情况： 如图，当点在线段上时． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在线段的延长线上时． ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得： ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 85．如图，在中，．D为边上一点，，连接，过点A作的垂线，交于点E，交于点F，点E关于直线的对称点为点G，连接并延长交于点H． (1)依题意补全图形； (2)若，求的大小（用含的式子表示）； (3)用等式表示线段，和的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）按照题目补图即可； （2）连接，根据轴对称的性质和全等三角形的判定与性质可得出，，根据三角形内角和定理和对顶角的性质可求出，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，然后根据三角形外角的性质即可求解； （3）过C作交于M，根据证明，得出，根据（2）中，得出，结合对顶角的性质可得出，根据证明，得出，根据线段的和差关系可求出，根据勾股定理求出，即可得证． 【详解】（1）解∶补全图形如图所示： ； （2）解：连接， ∵E、G关于对称， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：， 理由：过C作交延长线于M， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 86．【特例感知】 如图1，小秦把一块三角板（）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点，、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段与之间的数量关系是___________； 【问题探究】 小秦在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型，如图2，在四边形中，，的面积是18且，求的面积． 【拓展应用】 如图3，在中，，点、分别是边上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，连接．如图3，已知，点是的中点，连接、，求周长的最小值． 【答案】特殊感知：；问题探究：；拓展应用： 【详解】解：特殊感知： ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； 问题探究： 如图，过点C作，过点B作的延长线于点N， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵的面积是18且， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 拓展应用：如图，在上取一点，使，连接，将沿翻折得到，对应点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴周长为， ∴当、、三点共线时，周长最小，最小值为． 题型十八 动点类问题（共7小题） 87．如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足，线段AB交y轴于点D．在y轴上存在一动点E（点E不与点O重合）．点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴负半轴方向运动（点不与点重合）． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ． (2)在y轴上是否存在这样的E点，使的面积等于的面积的？若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图2，若点E为y轴负半轴上一动点，过点E作，分别作，的平分线交于点M，在点E的运动过程中的度数始终不变，则的度数是 ． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的面积计算、非负数的性质． （1）根据非负数的性质分别求出、、，得到点、、的坐标． （2）根据（1）的结论求得的面积，设点的坐标为，用含的代数式表示出的面积，根据题意列出方程，解方程即可； （3）作，根据平行线的性质得到，，，根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义计算，得到答案． 【详解】（1）解：，，，， ，，， 解得，，，， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； 故答案为：，，； （2）解：存在， 理由如下：∵点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 ∴， ∴ 设点的坐标为， 由题意得，，， 的面积， 依题意， 解得： ∴或 点坐标的坐标为或． （3）解：过点作，如图2， ∵， ， ，，， ， ， 、分别为，的平分线， ，， ． 故答案为：． 88．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，，且满足． (1)如图，求点的坐标； (2)如图，点从点出发以每秒个单位的速度沿轴正方向运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴负方向运动，设运动时间为，当时，求的取值范围； (3)如图，将线段平移，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为（在第三象限），连接交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（）根据非负数的性质解答即可； （）由题意得，，再分点在上和点在的延长线上两种情况解答即可； （）设点，由平移的性质得，过点作轴于，可得，，进而得到，即得到，再根据得，解方程即可求解； 本题考查了非负数的性质，平移的性质，坐标与图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵，轴于，轴于， ∴，， 由题意得，，， 当点在上，即时，则， ∴ ， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点在的延长线上，即时，则， ∴， ， ∵， ∴， 解得； 综上，当时，的取值范围为或； （3）解：设点，则， ∵，， ∴由平移的性质得，， 过点作轴于，如图， 则，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∵点在第三象限， ∴， ∴， ∴， ∴． 89．在平面直角坐标系中，如图①，第二象限内有一点，过点B作线段垂直于x轴，垂足为A，实数a、b满足．，将线段向右平移使点A和点D重合得到线段，连接与y轴相交于点M，动点P从A点出发，沿折线运动，运动到点C停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒． (1)求点C的坐标； (2)当点P在线段上运动时，请用含t的代数式表示在这一运动过程中线段的长，并直接写出t的取值范围； (3)如图②，y轴上有一点，在点P沿折线运动过程中是否存在t值，使三角形的面积为2？若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【分析】（1）根据非负数之和求出a，b，从而得出B和C点坐标； （2）分析出点P从A到B需要的时间，再求出B到C需要的时间，从而得出用含t表示的长度； （3）分类讨论当点P在线段上，当P在线段运动时，分别求出t值和P点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 根据平移的性质可知：，，C，B两点的纵坐标相同，纵坐标都为3， ∵垂直x轴， ∴垂直x轴， ∴C，D两点的横坐标相同，横坐标都是4， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵P的速度为每秒2个单位长度， ∴P由A到B需要的时间为：（秒）； A到B需要的时间为（秒）； ∴P由A到B，再由B到C需要的时间为（秒）， 当点P在线段上运动时，点P的坐标为， ∴； （3）解：分以下两种情况讨论： 当点P在线段上运动时，点P的坐标为， 则，如图1， ∵，， ∴， ∵，点， ∴， 解得， ∴； 当点P在线段上运动时，点P的坐标为， 即，如图2， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，点， ∴， 解得， ∴， ∴此时． 综上所述，当时，；当时，． 【点睛】本题是动点移动问题，考查了非负数的性质，分类讨论思想，方程思想，解题关键是熟练掌握动点移动问题． 90．如图，在平面直角坐标系中，已知点，线段平移到线段，且点在轴上． (1)_______，点的坐标为_______； (2)如图2，过点作直线轴，直线上有一动点，以每秒2个单位长度从点向方向运动，运动时间为秒，连接与线段交于点，连接，当为何值时 ； (3)如图3，点是射线上的一点，向轴正方向移动，在直线上取两点、（点在点左侧），满足，．当运动到某一位置时，四边形的面积有最大值，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意点在轴上，解出值，利用点坐标得到平移向上平移1个单位，向右平移2个单位到线段，进而求出点的坐标； （2）连接，通过割补法计算出的面积，通过等式的性质得到，，进而求值； （3）通过平移至，将四边形面积转化为求面积，当时，可得面积面积最大，进而得到四边形面积最大值． 【详解】（1） 且点在轴上， ， ， 从平移到，即平移向上平移2个单位，向右平移1个单位到线段， ， 即， 故答案为：； （2）解：过点作，过点作的垂线交于点，连接， ，，，， ， ， ， ， 即， 根据题意， ， ； （3）四边形面积最大值为，理由如下： 平移至，交延长线于，过点作， 则，， ， 当四边形面积最大时，的面积也是最大， 当时，的面积最大， 最大值为， 四边形面积最大值为． 91．在平面直角坐标系 中，给定（n为正整数）个不同的点 给出如下定义：记点称为这个点的n阶中点．例如，当时，点为的1阶中点， 已知点，，，． (1)点A，B，C，D的2阶中点P的坐标是 ； (2)点A，B，C，D中任意两点的1阶中点坐标共有 种可能的情况； (3)在四边形的四条边上分别取点E，， ，， 点Q为E，F，G，H的2阶中点， 点R为A，B，C，D，E，F，G，H的3阶中点， ① 若点Q与点 R重合时，则点E的坐标为 ；b，d满足的关系式为 ； ② 若点E，F，H分别在线段，，上运动，请直接写出所有点 R组成的图形面积． 【答案】(1) (2)5 (3)①，  ② 【分析】本题考查新定义的运算，点的坐标，掌握新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据新定义运算法则计算解答； （2）分别根据新定义运算法则计算，然后判断解答即可； （3）①先判断点在边上，设点的作标为,然后根据新定义的运算法则列等式求出值，即可解题； ②根据新定义的运算法则求出点的坐标，然后根据点的位置求出组成的图形是平行四边形形，然后计算面积解答即可． 【详解】（1）解：，， ∴点A，B，C，D的2阶中点P的坐标是， 故答案为：； （2）解：点A和B的1阶中点坐标为，即； 点A和C的1阶中点坐标为，即； 点A和D的1阶中点坐标为，即； 点B和C的1阶中点坐标为，即； 点B和D的1阶中点坐标为，即； 点C和D的1阶中点坐标为，即； 故答案为：； （3）①解：设点E的坐标为， 则，， 解得，， 又∵E，， ，， ∴点G在边上，点F在边上，点H在上， ∴点E在上， 则点的坐标为， ∴， 故答案为：，； ②解：∵点E在上， ∴ 点R的坐标为，即为， ∵，，，， ∴，， ∴点R构成的图形是长为，高为的平行四边形， ∴点R构成的图形的面积为． 92．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点关于轴的对称点为． (1)点的坐标为 　　； (2)已知一次函数的图象经过点与，求这个一次函数的解析式； (3)点是轴上的一个动点，当　　时，的周长最小； (4)点，是轴上的两个动点，当 时，的周长最小； (5)点，点分别是轴和轴上的动点，当四边形的周长最小时，　　 ，此时四边形的面积为 　　 ． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)，． 【分析】（）根据对称的性质直接可得； （）根据待定系数法求函数解析式，设直线的解析式为，代入，的坐标计算即可； （）根据轴对称的性质，三点共线时，最小，由（）中解析式即可求出的值； （）作，且，得四边形为平行四边形，所以，即共线时，最小，求出的函数解析式解决问题； （5）根据轴对称的性质，作关于轴的对称点，关于轴的对称点，连接交轴于，交轴于，点共线时，，此时四边形周长最小，再根据已知数据进行计算． 【详解】（1）解：∵点关于轴的对称点为， ∴， 故答案为：； （2）解：设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为； （3）解：∵周长为，且为定值， ∴只要最小， ∵， ∴三点共线时，最小， 令，得， 故答案为：； （4）解：如图，四边形周长为 ∴只要最小， 作，且，连接， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴，即共线时，最小， ∵，， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 故答案为：； （5）解：根据轴对称的性质，作关于轴的对称点，关于轴的对称点，连接交轴于，交轴于， 此时四边形周长为， ∴点共线时，，此时四边形周长最小， ∵，， ∴，， 设直线的函数解析式为， ∴，解得：， ∴直线的函数解析式为， 当时，；当时，， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：，． 1．我国人工智能的发展处于全球领先梯队，目前已形成“巨头引领、新锐崛起、垂直深耕”的多元化格局，在技术、产业、应用等多个领域均取得了显著成果．图1展示了宇树科技研发的两款机器狗“闪电”和“追风”，它们从训练基地甲地出发，沿同一直线前往相距500米的乙地执行任务．“闪电”首先从甲地出发，并始终保持匀速前进；而“追风”在“闪电”出发时仍在甲地保持原地不动，待“闪电”出发一段时间后才开始出发，并在行进过程中将速度提升至原来的2倍．已知“追风”到达乙地后，会在原地等待“闪电”到达．“闪电”行走的路程（米）、“追风”行走的路程（米）与“闪电”行走的时间t（秒）之间的函数关系图象如图2． (1)求“追风”提速前的速度及提速后的速度及m，n的值； (2)求两只机器狗行走的路程与“闪电”行走的时间t的函数解析式； (3)直接写出“闪电”和“追风”之间的距离为10米时t的值． 【答案】(1)“追风”提速前的速度是，提速后的速度是，的值为，的值为100s． (2)“闪电”行走的路程，“追风”行走的路程； (3)的取值可以为或或或． 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，能够从函数图象中提取信息是解此题的关键． （1）根据题意结合图象分析即可得解； （2）“闪电”始终保持匀速前进，故，然后对“追风”的运动过程分时段进行分析，得到函数解析试即可； （3）分四个时间段当时，当时，当时，当时，逐一分析列出方程即可． 【详解】（1）解：由图象可知，“追风”提速前的速度为：， 故提速后的速度为：， ∴m的值为：， 故“闪电”的速度为：， ∴n的值为：； （2）解：∵“闪电”首先从甲地出发，并始终保持匀速前进， ∴，且到达终点所用的时间为： 当时，“追风”在原地不动，此时， 当时，“追风”的速度为，此时， 当时，“追风”的速度为，此时， 当“追风”到达终点时，，得到， ∴“闪电”行走的路程， “追风”行走的路程； （3）解：由题意得： 当时，，故，， 当时，，故，，不合题意舍去； 当时，相遇前“闪电”在前面，相遇后“追风”在前面，故， ∴或， 解得：或， 当时，在“追风”已经到达乙地，不在运动，此时“闪电”运动继续向前运动，当“闪电”距离终点10米时，即为“闪电”和“追风”之间的距离为10米， ∴，解得， ∴综上，的取值可以为或或或． 2．如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作交于点，交轴于点，且． (1)B的坐标为_______，线段的长为_______． (2)求直线的解析式和点D的坐标． (3)如图（2），点是线段上一动点（不与点，重合），交于点，连接． ①在点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明； ②连接，当面积最大时，求的长度和的面积． 【答案】(1)；4 (2)； (3)①不变，见解析；②， 【分析】（1）分别将、时，代入解析式，即可求出点、坐标，即可求解； （2）根据，可得，通过，，求直线的解析式，与联立方程组，即可求解； （3）①由已知可证，即可求解，②由，得到为定值，当最小时最大， 由，得：当时，取最小值，即可求解． 【详解】（1）解：当时，直线， 当时，直线，解得：， ， ， 故答案为：；． （2）解：过点作交于点，交轴于点，且， ，， ， 设过点，，直线的解析式为：， 则：解得：， 直线的解析式为：， 、交于点， 解得：， ， 故答案为：；． （3）解：①， ，， ，， ， ， ， ， ，即线段与线段数量关系，保持不变， ②， ， ， ， ， ，即：， ， ， ， ， ，，， ，， ， ∴为定值， ， ∴要使最大，求最小即可， ， ∴当取最小值时，最小， ，，， ， 当时，取最小值， ，即：，解得：， 面积最小为， ， 故答案为：①相等，不变，见解析；②，． 3．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们始终对它充满兴趣，不断探索其证明方法，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，试证明． 【知识运用】（2）如图2所示，表示一条铁路，是两个城市，它们到铁路所在直线的垂直距离分别为千米，千米，且千米，现要在之间设一个中转站，求出应建在离点多少千米处，才能使它到两个城市的距离相等． 【知识迁移】（3）借助上面的思考过程，画图说明并求出代数式的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）应建在离点千米处；（3）图见解析，最小值为20 【分析】本题主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称——最短路线问题等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形求代数式最小值是解本题的难点． （1）根据即可得出答案； （2）设 ，则，在和中，利用勾股定理分别表示出和的长，根据列出方程，求解即可； （3）根据轴对称——最短路线的求法，利用勾股定理即可求出． 【详解】小试牛刀： 证明：（1）， ， ， 且， ， 整理得：； 知识运用： 解：（2）设， ， ． 到两个城市的距离相等， ，即， 在Rt中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ，， ， 解得：． 即应建在离点千米处； 知识迁移： 解：（3）如图，，为线段上一点，，作点关于的对称点，连接，交于点，过点作的延长线于点， 则，，， ，， 即， 就是代数式的最小值， 代数式的最小值为． 4．定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“星光点”．例如，求一次函数图象的“星光点”时，联立方程，解得，则一次函数图象的“星光点”为． (1)一次函数图象的“星光点”为_____； (2)关于x的一次函数图象的“星光点”为，求的立方根； (3)在平面直角坐标系中，若一次函数的图象分别与轴，轴交于点，，且一次函数的图象上没有“星光点”，点在轴上，且，连接，直接写出直线的“星光点”． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的交点（即“星光点”）的定义，以及联立方程求解、立方根计算、三角形面积与坐标几何的综合应用；解题的关键是理解“星光点”的定义． （1）直接联立一次函数与，解方程组得到交点坐标； （2）根据“星光点”在上，得，求出，再将星光点坐标代入一次函数求，然后计算代数式的立方根； （3）由“没有星光点”推出，得到函数解析式，进而求出与坐标轴的交点、；利用三角形面积关系​，设点坐标，通过面积公式列方程求解；最后用待定系数法求直线的解析式，联立求星光点． 【详解】（1）根据“星光点”的定义得 解得 故答案为． （2）一次函数图象的“星光点”为 根据“星光点”的定义得 解得 则 ∴的立方根为 （3）解：如图， ∵若一次函数没有“星光点” 即与没有交点， 联立，得， 整理得 由于无解， ∴ 一次函数的图象分别与轴，轴交于点， 令，，则点 令，，则点 ∴ ∴ 设点， ∵ ∴ ∴或 ∴点， ①当点， 设， 将点，代入得 ；解得 则， 联立；解得 ∴的“星光点”是． ②当点， 设， 将点，代入得 ；解得 则 联立；解得 ∴的“星光点”是． 综上，直线的“星光点”为或． 5．有这样一个问题：已知，求的值． 小明是这样解答的：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 根据小明的解答过程，解决以下问题： (1)填空：______；______； (2)化简，已知． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)， (2)①，② 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据分母有理化计算即可求解； （2）①先求得，得出，再整体代入代数式，即可求解； ②根据 ，将整体代入代数式，即可求解； 【详解】（1）， ， 故答案为：， （2）解：①∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ②∵， ∴ 6．在平面直角坐标系中，对于点，记，将称为点A，B的横纵偏差，记为，即．若点B在线段上，将的最大值称为线段关于点A的横纵偏差，记为．例如：点，点，． (1) ①的值是 ； ②点K在x轴上，若，求点K的坐标． (2)点P，Q在y轴上，点P在点Q的上方， ，点M的坐标为． ①当点Q的坐标为时，则的值是 ． ②当线段在y轴上运动时，直接写出的最小值及此时点P的坐标． 【答案】(1)①3；②或 (2)①3；②最小值是3，P点坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形、一元一次方程的应用，理解定义是解此题的关键． （1）①根据定义计算即可得解；②设，根据定义得出关于的一元一次方程，解方程即可得解； （2）①设点为线段上任意一点，则，再根据定义计算即可得解；②设点，则，再根据定义计算即可得解． 【详解】（1）解：①∵， ∴，， 则， 故答案是：3． ②∵，点K在x轴上，设， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得，或， ∴K的坐标是或． 故答案是：或； （2）解：①∵点P、Q在y轴上，点P在点Q的上方，，点Q的坐标为， ∴点P的坐标为， 设点为线段上任意一点，则； ∵点M的坐标为， ∴，， ∴； 由，可得； ∴， ∴的最大值是3， ∴． ②当点都在轴的正半轴上或都在轴的负半轴上时，如图， 则：或， 设点，则， ∴，， ∵当时，有最小值， 即时，有最小值， ∴或或（舍去），此时有最小值为3， ∴点P的坐标为或， 当点在轴的正半轴，点在轴的负半轴上时，如图， 则为的长为4， 综上：的最小值是3，此时点P的坐标是或． 7．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点． (1)求M的坐标______，并求出直线的函数解析式； (2)若点C是直线上一点，，求点C的坐标； (3)点P为x轴上一点，当时，请求出满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）求出A、B的坐标，中点公式得到点M的坐标，待定系数法求出直线的解析式即可； （2）过点C作轴于点N，交直线于点D，设，则，分割法得到，结合，进行求解即可； （3）分点P在点A左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解： ， 当时，，当时，， ，， 点M为线段的中点， ， 设直线的函数解析式为， 将代入，得：， 解得， 直线的函数解析式为， 故答案为： （2）解：过点C作轴于点N，交直线于点D，设，则， ， ， ， ， 或， 点C的坐标或； （3）解：分两种情况： 当点P在点A右侧时：将直线沿着y轴向上平移6个单位，得到直线，如图： 此时， ， 当时，， ； 当点P在点A左侧时，作的中垂线，交于点E，连接交x轴于点P，则：， ， 设， 则， ， 解得， ， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ， 当时，， ， 综上，或． 8．【感知】 （1）如图1，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线、之间一点，连接、．求证：； 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程．证明：过点B作， ∴___________（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（   ）， ∴___________， ∵， ∴． 【类比探究】 （2）如图2，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B、F是直线、之间的点，连接、、、，平分，平分，设，，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线、之间一点，连接、，平分，平分，，已知，试探究的度数． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平行线的性质和判定填空作答即可． （2）因为平分，平分，所以，，根据（1）的，，进行角的等量代换，即可作答． （3）先根据平分，平分，所以，，因为，得，再结合以及（1）的结论进行角的等量代换，即可作答． 【解答】（1）证明：过点B作， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴， ∵， ∴． 故答案为：，平行于同一直线的两直线平行，； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴由（1）可得，， ∴； ∴的度数为． （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∴． ∴． ∴． ∵． ∴由（1）可得． ∴ ． ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $